模型10 利用垂线段最短求最值-【练客中考】2026年浙江新中考数学初中数学常考模型PPT

该初中数学中考复习课件聚焦“利用垂线段最短求最值”核心考点，覆盖“一定一动”“一定两动”“胡不归”等中考高频模型，通过对接中考说明分析考点权重，归纳平行四边形中位线转化、角平分线对称构造等常考题型，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于“模型识别-转化-求解”三步解题法，结合2024杭州钱塘区三模等真题实例，如例3等边三角形中通过构造30°角将“胡不归”模型转化为垂线段最短问题，培养学生几何直观与推理能力。助力学生掌握最值转化技巧，教师可依此构建系统复习框架，提升中考冲刺效率。

《初中数学常考模型》 数学 模型十　利用垂线段最短求最值 深研浙江统考方向 【建立模型】 “一定一动” 问题描述 已知直线l外一定点A，直线l上一动点B，求AB的最小值 模型展示 解题思路 过点A作直线l的垂线段AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有连线中，垂线段最短 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH.若∠B＝60°， AB＝6，BC＝8，则GH的最小值为_____. 例1题图 深研浙江统考方向 【解析】如解图，连接AF，过点A作AN⊥BC于点N.∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH为△AEF的中位线，∴AF＝2GH，当AF⊥BC时(即点N，F重合时)，AF取得最小值，为AN.在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，∴BN＝3，∴AN＝＝3，∴GH的 最小值为. 例1题解图 深研浙江统考方向 【建立模型】 “一定两动” 问题描述 已知点P是∠AOB内一定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，求PN＋MN的最小值 模型展示 解题思路 要使PN＋MN的值最小，设法将PN，MN转化到同一条直线上，利用垂线段最短即可求解，作点P关于OB的对称点P'，过点P'作OA的垂线，分别交OA，OB于点M，N，则PN＋MN的最小值即为线段P'M的长 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC＝10，CD平分∠ACB交AB于点D，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP＋PQ的最小值为___. 例2题图 4 深研浙江统考方向 　寻题眼　点A为一定点；点P，Q分别是CD，AC上的动点；求线段和最值：AP＋PQ的最小值 　模型图示 →如解图，作Q关于DC的对称点Q'，连接PQ'　 解图 　模型结论　AP＋PQ的最小值转化为AP＋PQ'的最小值，当A，P，Q'三点共线，且AQ'⊥BC(此时P位于P'处)时，AP＋PQ'取得最小值，AP＋PQ'的最小值为AQ'的长 深研浙江统考方向 【解析】如解图，作点Q关于DC的对称点Q'，连接PQ'，AQ'.∵CD平分∠ACB，∴PQ'＝PQ，∴AP＋PQ＝AP＋PQ'，当A，P，Q'三点共线，且AQ'⊥BC(此时点P位于点P'处)时，AP＋PQ'取得最小值AQ'，此时AP＋PQ的值最小.∵△ABC的面积是20，BC＝10，∴AQ'＝4，∴AP＋PQ的最小值为4. 例2题解图 深研浙江统考方向 如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120° ，D是边AC的中点，P，Q分别是AB，BC上的动点.若CD＝2，则DQ＋PQ的最小值为_____. 变式2题图 2 深研浙江统考方向 【建立模型】 “胡不归” 问题描述 已知点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，求kAP＋BP(0＜k＜1)的最小值 模型展示 深研浙江统考方向 解题思路 一找：找带有系数k的线段AP； 二构造：构造以线段AP为斜边的直角三角形：(1)以定点A为顶点作∠NAP，使sin∠NAP＝k；(2)过动点P作垂线，构造Rt△APE； 三转化：化折为直，将kAP转化为PE，使得kAP＋BP＝PE＋BP； 四求解：利用“垂线段最短”转化为求BF的长 常见的k值 常见的k值有，，等，对应构造特殊角为30°，45°，60° 深研浙江统考方向 【模型应用】 如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝ 2，点E为BD上的动点，连接AE，则AE＋BE的最小值为 (　　) A.1 B. C. D.2 例3题图 C 深研浙江统考方向 　寻题眼　点A为直线BD外一定点，点B为直线BD上一定点，点E为直线BD上一动点，求线段和最值，且一条线段带系数：AE ＋BE的最小值 　模型图示　 →如解图，过点E作EM⊥BC于点M，过点A作AH⊥BC于点H，交BD于点E' 　模型结论　AE＋BE的最小值转化为AE＋EM的最小值， AE＋EM的最小值为AH的长 解图 深研浙江统考方向 【解析】如解图，过点E作EM⊥BC于点M，过点A作 AH⊥BC于点H，交BD于点E'.∵△ABC为等边三角形， BD平分∠ABC，∴∠EBM＝30°，∴EM＝BE，∴ AE＋BE＝AE＋EM.当AE＋BE最小时，AE＋EM 最小，此时点E与点E'重合，点M与点H重合，AE＋BE的最小值为AH的长度.在Rt△ABH中，AH＝AB·sin∠ABH＝2×＝，∴AE＋BE 的最小值为. 例3题解图 深研浙江统考方向 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝4，点P是AD 上一点，则BP＋AP的最小值为____________. 变式3题图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 1.如图，矩形ABCD，AB＝6，BC＝6，E是边AD上的一个动点，F是对角线BD上一个动点，连接BE，EF，则BE＋EF的最小值是(　　) A.6 B.6 C.12 D.12 第1题图 B 模型综合练 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 2.如图，在△ABC中，∠CAB＝90° ，AB＝4，AC＝3，将△ABC绕点A旋转得到△AED，连接CD，CE，在旋转过程中，△CDE面积的最大值是(　　) A. B. C.15 D.18 第2题图 B 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 3.★如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点P是矩形ABCD内部一点，E，F，G分别是边AB，BC，CD的中点，连接EF，PE，PF， PD，PG.若S△PDG＝S△PEF，则线段PG长的最小值为____. 第3题图 1 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2， E，F，G分别是边AB，BC，CD的中点，∴AE＝ BE＝DG＝CG＝1，BF＝CF＝，∴ 在Rt△EBF 中，由勾股定理得EF＝＝2.如解图， 过点P分别作EF，CD的垂线，垂足为M，N.∵S△PDG ＝S△PEF，∴×PM·EF＝PN·DG，即×2PM＝PN，∴PM＝PN， 延长EF，DC交于点H，易得△BEF≌△CHF(ASA). 第3题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 ∵点P到EH和DH的距离相等，∴点P在∠DHE的平分线上运动，作射线HP，过点G作GI⊥PH于点I，当点P和点I重合时，PG的长取得最小值.∵CH＝BE＝1，CF＝BF＝，∴tan∠CHF＝，∴∠CHF＝60° ，∴∠CHP＝30° .∵GH＝CG＋CH＝2，∴GI＝1，∴PG长的最小值为1. 第3题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 4.★如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是边AC上的 高，P是BD上的一点，则BP＋CP的最小值是______. 第4题图 5 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 【解析】∵∠A＝45°，BD⊥AC，∴∠ABD＝45°.如 解图，过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CE'⊥AB于点 E'，交BD于点P'，由勾股定理得PE＝BP，∴BP＋ PC＝PE＋PC≥CE'.当C，P，E三点共线，且CE⊥AB (点E，P分别与点E'，P'重合)时，PE＋PC取得最小值， 为CE'.∵在△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC，CE'⊥AB，∴BD＝ CE'.在Rt△ABD中，BD＝＝＝5＝CE'，∴BP＋PC的最小值 为5. 第4题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 5.★(2024杭州钱塘区三模)如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在边AB，BC上(不与顶点重合)，且满足AM＝BN，连接AN，DM交于点P.E，F分别是边AB，BC的中点，连接PE，PF，EF，若正方形的边长 为8，则PE＋PF的最小值为______. 第5题图 2 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 【解析】如解图，取AD中点O，连接OF，取OF中点G，连接EG，取OG中点H，连接PO，PH.∵ 四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAM＝∠B＝90° .又∵AM＝BN，∴△AMD≌△BNA(SAS)，∴∠ADM＝∠BAN.又∵∠ADM＋∠DMA＝90° ，∴∠BAN＋ ∠DMA＝90° ，∴∠APM＝90° ，∴OP＝AD＝4. 第5题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 ∵G为OF的中点，H为OG的中点，∴OH＝OG＝×OF＝2.∵＝＝，＝＝，∴＝.∵∠POH＝∠FOP，∴△OHP∽△OPF，∴＝＝，∴HP＝PF，∴PE＋PF＝PE＋HP.当H，P，E三点共 线时，PE＋HP取最小值，故连接HE，最小值即为HE的长，∴HE＝＝＝2. 第5题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 6.★如图，抛物线y＝－x2＋x＋2与x轴交于A，B两点(点A在点B左 侧)，与y轴交于点C，P是直线BC上一动点，Q是x轴上一动点，连接AP，PQ，则AP＋PQ的最小值为_____. 第6题图 4 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 【解析】如解图，连接AC，作点A关于直线BC的对称 点A'，连接AA'，过点A'作x轴的垂线，交BC于点P'， 交x轴于点Q'，连接AP'.当x＝0时，y＝2，∴C(0，2)， ∴OC＝2.当y＝0时，－x2＋x＋2＝0，解得x1＝4， x2＝－1，∴OA＝1，OB＝4，∴AB＝5，∴AC＝＝，BC＝＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即∠ACB＝90° ，∴AC⊥BC，即AA'恰好过点C. 第6题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 ∵点A与点A'关于直线BC对称，∴AC＝A'C，AP'＝ A'P'，当A'Q'⊥x轴时，A'Q'的长度最小，即A'P'＋ P'Q'的值最小，此时AP＋PQ的值最小，最小值为A'Q' 的长.过点A'向y轴作垂线，垂足为D.在△AOC和△A'DC 中，∴△AOC≌△A'DC(AAS)，∴OC＝DC＝2， ∴DO＝CD＋OC＝4.∵A'Q'⊥x轴，A'D⊥y轴，∠DOQ＝90°，∴四边形A'DOQ'为矩形，∴A'Q'＝DO＝4，∴AP＋PQ的最小值为4. 第6题解图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 7.★如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°. (1)如图1，点E是AO的中点，若点P是对角线BD上一点，求EP＋DP的最小值； 图1 图2 第7题图 解：∵∠AOB＝60°，∴△AOB，△COD是等边三角形， ∴AO＝OC＝BO＝OD＝AB＝4，∠ABO＝∠CDO＝60°，∴∠DBC＝30°.∵∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝60°， 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 如解图1，过点P作PF⊥CD于点F，过点E作EF'⊥ CD于点F'，交BD于点P'，则PF＝DP·sin∠PDF＝ DP·sin 60°＝DP， ∴EP＋DP的最小值即EP＋PF的最小值. 由垂线段最短可得，当E，P，F三点共线且EF⊥CD 时，EP＋PF的值最小，最小值即为EF'的长. 第7题解图1 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 第7题解图1 ∵E是AO的中点，EF'⊥CD，AD⊥DC，AO＝OC， ∴EF'∥AD，AE＝CA，CE＝CA， ∴△CEF'∽△CAD，∴＝＝. ∵AD＝AB·tan 60°＝4，∴EF'＝AD＝3， ∴EP＋DP的最小值为3； 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 (2)如图2，若点P是对角线BD上一点，求2AP＋PD的最小值. 解：∵2AP＋PD＝2(AP＋PD)， ∴要求2AP＋PD的最小值即为求AP＋PD的最小值. 如解图2，在BD下方作∠PDF＝30°，过点P作PE⊥DF于点E，设DF交AC于点E'， ∴PE＝PD·sin 30°＝PD， ∴AP＋PD的最小值即为AP＋PE的最小值， 第7题解图2 图2 第7题图 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 由垂线段最短可得，当A，P，E三点共线且AE⊥DF时，AP＋PE的值最小. ∵△AOB，△COD是等边三角形， ∴∠ACD＝∠CDO＝60°， ∴∠CDE＝30°，∠ADE＝60°， ∴∠CE'D＝90°， ∴AC⊥DF， 第7题解图2 深研浙江统考方向 4 5 3 2 1 7 6 ∴AP＋PE的最小值为AE'的长. ∵AD＝AB·tan 60°＝4，∠ADE'＝60°， ∴AE'＝AD·sin∠ADE＝6， ∴AP＋PD的最小值为6， ∴2AP＋PD的最小值为12. 第7题解图2 深研浙江统考方向 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $