精品解析：河北省盐山中学2026届高三一模数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则 中的元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合B，再利用交集的运算求 ，可得 中元素的个数. 【详解】不等式，解得， 所以，又， 可得，即 中元素的个数为3. 故选：C 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数乘法的运算法则，结合复数相等的定义进行求解即可. 【详解】 所以. 故选：A 3. 已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心可以为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数的性质求出该函数的对称中心，即可逐一判断各选项. 【详解】因函数的最小正周期为，则 即得， 由，可得：， 即函数的对称中心为(*)， 当时，，得对称中心为，故正确； 经检验其它选项均不符合(*)式. 故选： 4. 已知，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出大小关系. 【详解】由题意得，， 即， ， 所以． 故选：C． 5. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（ ） A. 12 B. C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得，，再由平面向量的数量积运算即可求解． 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： 由于正六边形的边长为1， 所以，， 所以， 所以， 故选：A 6. 若定义在上的函数在上单调递增，的图象关于直线对称，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性，再结合函数的单调性解函数不等式. 【详解】因为函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位得到，且其对称轴为， 所以函数的图象关于直线即轴对称，所以函数为偶函数. 又在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减，且. 所以当或 时，；当 时，. 又 或， 解得或. 所以所求不等式的解集为. 故选：B 7. 设双曲线的右顶点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于两点（其中点在第一象限）．若为坐标原点，点满足，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据双曲线的渐近线方程和直线方程求出交点坐标，再利用向量关系得到点的坐标，最后根据两点间距离公式建立关于 的等式，进而求出离心率. 【详解】因为为双曲线的右顶点，所以，且双曲线的渐近线方程为， 设过点且斜率为的直线方程为， 又直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点（其中点在第一象限）， 所以联立直线与，可得， 解方程得，即， 同理，联立直线与，可得， 解方程得，即， 设点，所以，，， 又因为点满足， 所以， 对横坐标求和，得，解得， 对纵坐标求和，得，解得，即， 又，所以， 又，即， 化简整理得，即或者， 当时，即，即， 又，所以，即，所以，所以， 当时，即，即，不成立， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 8. 在三棱锥 中，，且，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量法确定外接球的球心与半径，进而求出表面积. 【详解】过点作，由 ，得， 又，，平面， 所以 平面，过点 作平面， 分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则， ， 由得， 解得，则， 取的中点，则， 由题意知三棱锥 外接球的球心位于过点且与平行的直线上， 设，则， 由，得，解得， 设三棱锥 外接球的半径为，则， 所以该球的表面积为， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1000名用户的问卷（用户打分都在50分到100分之间）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（ ） A. B. 由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下的有350人 C. 估计这1000名用户问卷的得分的分位数为85 D. 估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由各矩形面积为1可判断选项正误；对于B，由A分析结合题意可判断选项正误；对于CD，由频率分布直方图计算百分位数，平均数方法可得答案. 【详解】对于A，由题可得， 故A正确； 对于B，由A分析，打分在分以下对应频率为：，则对应人数为：，故B正确； 对于C，前3个矩形面积之和为：， 前4个矩形面积之和为：， 则分位数在到90之间，设为，则， 故C正确； 对于D，平均数为： ，故D错误. 故选：ABC 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于 两点，分别过点 作的垂线，垂足分别为，则（ ） A. 以为直径的圆与相切 B. 为锐角三角形 C. 三点共线 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线的性质可判断A；连接，结合抛物线的性质可得，即可判断B；设直线，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断C；求出，利用基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，设，则， 所以线段的中点到准线的距离为， 所以以线段为直径的圆与准线相切，故A项正确； 对于B，连接，如图， 因为，， 所以，所以， 所以即，故B项错误； 对于C，抛物线的焦点为， 设直线，， 将直线方程代入抛物线方程化简得， ，则， 又， 因为，， 所以，所以，，三点共线，故C项正确； 对于D，，， 则，得， 因为，所以，等号成立时，， 故， 故D项正确． 故选：ACD 11. 已知函数与，则（ ） A. 当时，曲线的图象在处的切线方程为 B. 若过点可作曲线的两条切线，则的取值范围为 C. 若 时，，则的取值范围为 D. 若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解，，从而可得曲线的图象在处的切线方程即可判断A；设切点为，将问题转化为方程在有两个解，构造函数，求导判断单调性得最值即可判断B；将不等式转化为，构造函数，求导判断单调性得最值即可判断C；设公切线为，是与曲线的切点，是与曲线的切点，根据导数的几何意义可得切线方程，于是有，消元得，构造函数，将问题转化为直线与曲线有三个不同的交点，求导得函数图像即可求的取值范围，从而判断D. 【详解】对于A，当时，，则，所以， 又，则曲线的图象在处的切线方程为，即，故A正确； 对于B，设切点为，因为，则，所以切线方程为， 切线过点，代入得，即方程在有两个解， 设，则，令 ，得，令 ，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，，则，故B错误； 对于C，由题可知，，所以， 设，则，当 时，，当 时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，故C正确； 对于D，设公切线为，是与曲线的切点，是与曲线的切点， 所以的方程为，整理得，同理，整理得， 依题意两条直线重合，可得，消去，得， 由题意此方程有三个不等实根，设，即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令 ，则，当或 时， ，单调递减； 当时， ，单调递增，所以有极小值为，有极大值为 ， 因为，所以 ，当趋近于 时，趋近于；当趋近于 时，趋近于 ，故的图象简单表示为下图： 所以当，即时，直线与曲线有三个交点，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，，则___________． 【答案】31 【解析】 【分析】利用等差数列通项与前项和的基本量的运算可得答案. 【详解】由题意可得： ，解得：， 故. 故答案为：31 13. 已知过原点的直线与圆交于两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆的圆心和半径，然后求得弦中点的轨迹，进而求得轨迹的长度. 【详解】圆，即， 所以圆心，半径， 设，， 由，得， ， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，在圆内部的部分， ，所以圆与圆相交， 由两式相减并化简得， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆（右半圆）， 所以轨迹长度为. 故答案为： 14. 已知的内角所对的边分别为，满足． （1）当时，的取值范围是___________． （2）当取得最小值时，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）已知条件利用正弦定理化简得，当时，，代入m的表达式可得的取值范围； （2）结合积化和差公式得(当且仅当 时取等号)，此时m最小，有，令，由万能公式化简得 ，当且仅当时取等号，再用倍角公式计算此时的 . 【详解】（1）已知， 由正弦定理化简得， 所以， 当 时，，故，有， 则有 ， 因，故，从而， 代入m的表达式得， 当且仅当时取等号，故m的取值范围为； （2）对固定的角A， ， 当且仅当 时取等号，此时m最小， 设 ，则，， 故， 令，由万能公式得， 代入化简得 ， 当且仅当即时取等号， 此时. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足． （1）证明：存在非零实数 ，使得数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明：因为． 所以， 若数列是等比数列，又，则，解得． 此时 ． 由 ，得 ， 所以当时，数列是以8为首项、2为公比的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列定义可得答案； （2）利用第（1）小问求出的通项，再利用错位相减求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，所以 ， 即数列为等差数列，且公差为2，所以 ， 即．则， ， 所以 ， 所以． 16. 如图所示，在四棱锥中，平面 ， 平面 ， 是等边三角形． （1）若为棱 上一点，直线 与平面 交于点，证明： 平面； （2）若 ，直线与平面 所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1）因为平面 ， 平面 ，所以 ， 因为 平面 ，平面 ，所以 平面 ， 由已知， 四点共面， 又因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ， 因为 平面， 平面，所以 平面． （2） 或28 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理与性质定理进行证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角，通过代数运算求线段长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令 ， 取 的中点为，连接 ，过作 ，且交 于， 因为 ，平面 ，所以 平面 ， 因为 是正三角形，，所以 ． 以为坐标原点，方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， 所以 ． 设平面 的法向量为 ，则，即， 取，则 ， 设直线与平面 所成角为， 则， 整理得 ，解得 或 ， 即 或28． 17. 某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 2025年3月 2025年4月 2025年5月 2025年6月 2025年7月 2025年8月 月份代码 1 2 3 4 5 6 销量 千辆 6 7 10 11 12 14 （1）已知与线性相关，求出关于的经验回归方程，并估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量； （2）该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为三期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少有两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具． （Ⅰ）求甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具的概率； （Ⅱ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训．已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润3万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润6万元，不能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润还是3万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，预计最多可以调多少人到其他部门？ 参考公式：经验回归方程，其中，． 参考数据：． 【答案】（1），千辆 （2）（Ⅰ）； （Ⅱ）28 【解析】 【分析】（1）首先求和，再代入经验回归方程的参考公式求和，即可求回归直线方程，再根据方程代入 ，即可求解估计值； （2）（Ⅰ）首先求每位员工经过培训，能使用人工智能工具的概率，再代入独立重复概率公式，即可求解；（Ⅱ）首先设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为，结合（Ⅰ）的求解过程，列出调整后利润的式子，再列不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意得， ， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为， 当 时，， 所以估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量是千辆． 【小问2详解】 （Ⅰ）设“每位员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件， 所以， 设甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具为事件， 则． （Ⅱ）设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为， 设为培训后能使用人工智能工具的人数，因此，为培训后不能使用人工智能工具的人数，因此， 调整后年利润为万元， 令，解得， 所以最多可以调28人到其他部门． 18. 已知椭圆的焦距为，上的点到两焦点的距离之和为6． （1）求的方程； （2）记的左顶点为，过点的直线与交于两点（异于点）． （i）求 的面积的取值范围； （ii）直线分别与直线交于两点，证明：以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1） （2）（Ⅰ）；（Ⅱ）定点坐标为和；证明：由题意可得直线的斜率均存在且均不为0， 由直线和，得，即，同理， 易得以为直径的圆的方程为， 即， 而 ， ， 故以为直径的圆的方程为， 令，得， 故以为直径的圆恒过定点和． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的求解椭圆的标准方程即可； （2）设，直线，联立直线与椭圆得交点坐标关系,（i）利用面积公式即可得 的面积表达式，利用基本不等式求解最值即可得 的面积的取值范围；（ii）由直线和，联立得点坐标，同理得点的坐标，从而可得以为直径的圆的方程，即可得定点坐标． 【小问1详解】 设的焦距为 ， 由题意可知，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）由（1）得，设， 由题得直线的斜率不为零，设，由，得， 所以，, 则, 令，则， 因为在上单调递增，所以， 所以 的面积的取值范围为； （ii）略 19. 已知函数． （1）讨论的零点个数； （2）当时，证明： ； （3）若，求 的取值集合． 【答案】（1） 当时，无零点；当时，有一个零点； （2） 当时，，则， 易知在上单调递增， 因为， 所以存在唯一，使得． 当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 由，得，即， 所以， 又，所以， 所以 ． （3） 【解析】 【分析】（1）令，可得，然后通过研究值域可得答案； （2）由题可得在上单调递增，由零点存在性定理可得存在唯一，使得，从而可得，最后由题意及基本不等式可完成证明； （3）分， ，，四种情况，结合多次求导分析与0大小关系可得答案. 【小问1详解】 由，得， 设，则， 所以在上单调递增，所以 ， 所以当时，无零点；当时，有一个零点； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 设， 则，令， 则， ①当时， 当时，，所以 ， 当时，． 则在上单调递增，所以， 所以为在上的唯一极小值点， 则 ，所以时，恒成立； ②当 时， 当时，，有， 当时，，有. 又，所以， 即在上单调递增． 注意到， 又，所以存在，使得， 当时，，在上单调递减，所以，不符合题意； ③当时，同②有为增函数， 当时，．则， 又因为，所以存在，使得， 当时， ，在上单调递增，所以，不符合题意； ④当时， 当时，，有， 当时，，有， 又，所以 ，在上单调递增， 又因为 ，所以当时，，不符合题意． 综上所述， 的取值集合为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则 中的元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 5 3. 已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心可以为（） A. B. C. D. 4. 已知，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（ ） A. 12 B. C. 16 D. 6. 若定义在上的函数在上单调递增，的图象关于直线对称，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 设双曲线的右顶点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于两点（其中点在第一象限）．若为坐标原点，点满足，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥 中，，且，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1000名用户的问卷（用户打分都在50分到100分之间）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（ ） A. B. 由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下的有350人 C. 估计这1000名用户问卷的得分的分位数为85 D. 估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于 两点，分别过点 作的垂线，垂足分别为，则（ ） A. 以为直径的圆与相切 B. 为锐角三角形 C. 三点共线 D. 11. 已知函数与，则（ ） A. 当时，曲线的图象在处的切线方程为 B. 若过点可作曲线的两条切线，则的取值范围为 C. 若 时，，则的取值范围为 D. 若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，，则___________． 13. 已知过原点的直线与圆交于两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 14. 已知的内角所对的边分别为，满足． （1）当时，的取值范围是___________． （2）当取得最小值时，___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足． （1）证明：存在非零实数，使得数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 16. 如图所示，在四棱锥中，平面 ， 平面 ， 是等边三角形． （1）若为棱 上一点，直线 与平面 交于点，证明： 平面； （2）若 ，直线与平面 所成角的正弦值为，求的长． 17. 某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 2025年3月 2025年4月 2025年5月 2025年6月 2025年7月 2025年8月 月份代码 1 2 3 4 5 6 销量 千辆 6 7 10 11 12 14 （1）已知 与线性相关，求出 关于的经验回归方程，并估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量； （2）该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为三期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少有两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具． （Ⅰ）求甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具的概率； （Ⅱ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训．已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润3万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润6万元，不能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润还是3万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，预计最多可以调多少人到其他部门？ 参考公式：经验回归方程，其中，． 参考数据：． 18. 已知椭圆的焦距为，上的点到两焦点的距离之和为6． （1）求的方程； （2）记的左顶点为，过点的直线与交于两点（异于点）． （i）求 的面积的取值范围； （ii）直线分别与直线交于两点，证明：以 为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标． 19. 已知函数． （1）讨论的零点个数； （2）当时，证明： ； （3）若，求的取值集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $