精品解析：浙江省杭州锦绣育才教育集团2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷

锦绣育才教育集团2025学年第一学期十二月月评 九年级数学试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式化简求值，熟练掌握比例的基本性质，是解题的关键．将所求分式拆分为已知比例与1的差，直接代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 2. 九年级一班有16名女生和20名男生，数学老师从中随机抽取一名学生回答问题．下列说法正确的是（ ） A. 抽到女生的可能性小 B. 抽到男生的可能性小 C. 抽到女生和男生的可能性一样大 D. 抽到女生和男生的可能性大小不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答． 【详解】解：九年级一班有16名女生和20名男生， ∴抽取男生的概率为，抽到女生的概率为：， ∴抽到男生的可能性大，女生的可能性小， 故选：A． 3. 已知⊙O的半径为3，点M到圆心O的距离为1.5，则点M在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住，若圆半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 比较与的大小即可得出结论． 【详解】解：的半径为3．点到圆心的距离为1.5， 点在圆内． 故答案为：C． 4. 下面关于抛物线的结论正确的是（ ） A. 开口向上，顶点坐标为 B. 开口向下，顶点坐标为 C. 开口向上，顶点坐标为） D. 开口向下，顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的顶点式确定顶点坐标． 首先根据二次项系数确定开口方向，而抛物线的顶点坐标为，利用这个公式即可求解． 【详解】解：抛物线， 开口方向向上， 顶点坐标为：， 故答案为：C． 5. 黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点为的黄金分割点，若的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和（）且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义即可得到答案． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， ； 选：D ． 6. 如图，四边形内接于，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质，求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理得， 故选∶B． 7. 已知点，，在抛物线（为常数）上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的解析式得到抛物线的对称轴为，再根据抛物线的性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向下， ∴离对称轴距离越远，函数值越小， ∵点，，在抛物线（为常数）上， ∴， ∴， 故选:D． 8. 如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，，，由平分，得到，推出，由，可得，得到，再由，得到， 求出，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 数学课上，李老师让同学们利用学习函数获得的经验去研究函数的图象特征．甲同学认为：该函数图象一定不经过第二象限，乙同学认为：该函数图象关于直线对称．以下对两位同学的看法判断正确的是（ ） A. 甲乙都正确 B. 甲乙都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式函数的图象与性质，能够运用学习已知函数的方法研究分式函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 而， ∴， ∴过第三象限，不过第二象限，故甲同学说法正确， 当，当时，， ∴图象经过点， 但这两点不关于直线对称， ∴乙同学说法错误， 故选：C． 10. 如图，等腰中，点为斜边的中点，点、分别为、上的动点，满足，连结．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，连接，根据等腰三角形的性质，三线合一，则，，，根据，可得，根据等量代换，全等三角形的判定和性质，则，推出为等腰直角三角形，根据三角形的外角和，得到，延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，得到，即，根据相似三角形的判定和性质，勾股定理，得到，最后，，求出；再根据，即可． 【详解】解：连接， ∵是等腰直角三角形，点为斜边的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， 延长至点，使得，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，相似三角形，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用． 二、填空题：本题有6小题，每小题3分，共18分． 11. 正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为___． 【答案】6 【解析】 【详解】解：∵正n边形的一个外角的度数为60°， ∴n=360÷60=6． 故答案为：6． 12. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的直径为，截面圆的圆心到水面的距离为，则水面宽为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出垂线是解题的关键． 根据垂径定理得，对运用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图： ∴， ∵排水管的直径为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 13. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D=___________． 【答案】40° 【解析】 【分析】连接OC，由题意易得∠OCD=90°，∠DOC=50°，然后根据直角三角形的性质可求解． 【详解】解：连接OC，如图所示： ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD=90°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA， ∵∠A=25°， ∴∠DOC=2∠A=50°， ∴∠D=90°-50°=40°； 故答案为40°． 【点睛】本题主要考查圆的切线性质定理，熟练掌握切线性质定理是解题的关键． 14. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，能通过作辅助线构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 作，连接，得到，根据勾股定理得到，，，继而得到，得到，再根据正弦的定义计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作，连接， ， 令正方形网格的边长为， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 15. 如图，在扇形中，，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先得到为等边三角形，则可得，那么，则，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，折叠的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点，解题的关键在于把握折叠的不变性． 16. 已知抛物线（为常数），直线，当时，抛物线的最高点到直线的距离为2，则的值是_____ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先求解抛物线的对称轴为直线，再分两种情况建立方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图，当时，则， ∵抛物线的最高点到直线的距离为2， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） 如图，当时，则， 此时当时，最高点的纵坐标为：， 同理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去） 综上：的值为或， 故答案为：或． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）求中锐角α的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，二次根式的运算等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入计算得到答案； （2）根据的正切值是解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 18. 一个不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球，这些球除颜色不同外，其余都相同． （1）从中任意摸出1个球是白球的概率； （2）现从袋子中一次摸出两个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中有一个球是黑球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式、用列表法与树状图法求概率等知识点，利用列表法或树状图确定所有等可能的结果数和满足题意的结果数是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，摸到的两个球中有一个球是黑球的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：∵有2个白球，1个黑球， ∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，每一次摸到白球的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： ∴一共有6种可能的结果，摸到的两个球中有一个球是黑球有4种， ∴摸到的两个球中有一个球是黑球的概率． 19. 由小正方形组成的5×5的网格中，的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图． （1）作边上的中线； （2）若点E是上一点，使得，则_______，并在图上画出点E． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， （2）， 如图，点E即为所求， 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的中线、无刻度直尺作图等知识． （1）根据网格的特点找到的中点D，连接即可； （2）根据网格的特点得到，，证明，得到，则，即可证明点E即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 由网格可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 某电商计划售卖一批笔记本电脑，每台售价为5000元，每月可售出100台．为了促进销售，决定将笔记本电脑降价销售，但不能亏本，且降价需大于0元．经调查发现：每台降价100元，每月可多售出10台．已知笔记本电脑的成本为每台3800元． （1）当每月获利72000元时，求此时每台笔记本电脑的售价； （2）当每台笔记本电脑售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）此时每台笔记本电脑的售价为4200元； （2）当每台笔记本电脑售价为4900元时，每月的销售利润最大 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确列式计算是解题关键． (1)根据题意设未知数，利用等量关系列出方程，求出方程的解，即可求出每台笔记本电脑的售价； (2)设未知数，根据题意列出函数关系式，利用二次函数的性质求出最值，即可求出每台笔记本电脑的售价． 【小问1详解】 解∶设每台笔记本电脑降价元， 根据题意得， 整理得， 解得， 当时，． 当时，不符合题意． 答∶此时每台笔记本电脑的售价为4200元； 【小问2详解】 解∶ 设每台笔记本电脑降价a个100元，每月的销售利润为y元， 根据题意得∶， 整理得． ． 当时，有最大值，最大值为121000， 此时每台笔记本电脑的售价为 (元) 答∶当每台笔记本电脑售价为4900元时，每月的销售利润最大． 21. 如图是一个广场的改造平面示意图，已知斜坡长，坡角为，，现计划在斜坡中点处挖去部分，修建一个平行于水平地面的平台和一条新的斜坡．（，结果精确到） （1）若改造后的新的斜坡的坡比为，求平台的长是多少米？ （2）一幢建筑物距离点远（即），小亮在点测得建筑物顶部的仰角为．点，，，，，，在同一个平面内，点，，在同一条直线上，且，问建筑物高为多少米？ 【答案】（1）平台的长是米． （2）建筑物高为米． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，以及解直角三角形的应用一坡度坡角问题，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形． （1）由三角函数的定义，即可求得与的长，又由坡度的定义，即可求得的长，继而求得平台的长． （2）首先设米，根据矩形的判定和性质，用x表示出的长，在中由三角函数的定义，即可求得x的值，进而得到的长． 【小问1详解】 解：， ． 斜坡长，斜坡中点为， ． ． 新的斜坡的坡比为 ． 解得． ． 答∶ 平台的长是米． 【小问2详解】 解：设米， ，斜坡中点为， ． 则(米)． 如图，作于． ，， 四边形为矩形． ，． ， ． 在，，即 解得∶． 答∶ 建筑物高为米． 22. 【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即若弦，交于点，则． 【定理证明】（1）如图1，连结，，求证：． 【解决问题】（2）如图2，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由圆周角定理得到，再证明即可； （2）设半径为，则，由即可求解． 【详解】（1） 略 （2）连接并延长交于点， 设半径为，则， 由上得：， ∴， 解得：（舍负）， ∴的半径为． 23. 已知二次函数（为常数）， （1）若，求该二次函数图象的对称轴； （2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值； （3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先求得解析式，再根据二次函数的性质即可解答； （2）先求得对称轴为．然后分和两种情况，分别运用二次函数的性质求解即可； （3）如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，． 观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大，然后结合图象即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴（为常数）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数的对称轴是． 当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或； 当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或 综上，或． 【小问3详解】 解：如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，． 观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大， 当时，恒成立，即时，m的最大值为． ∴，得（舍去）或3． ∴，得或． ∴m的最大值为． 24. 如图，已知是的直径，，是的两条切线，切点为，，作于点,与交于点，连结与交于点，与交于点，若，． （1）求证：平分； （2）求的直径（用含的代数式表示）； （3）求的值． 【答案】（1） 证明：连接，设圆的半径为，如图： ， ∴， ∴， ∵为圆的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质综合和三角形的三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）连接，得到，在证得，即可得到，然后通过等量变换即可求解； （2）作，得到，再根据圆的切线的性质可得，即可求得，然后通过勾股定理求得，，然后即可求解； （3）连接，， ， ，，根据切线的性质，，，，等量变换得到，再证得，进而可得，再根据勾股定理可得，，再根据，然后即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作，延长交于点，连接，如图： ∴，，， ∴， ∵为圆的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴即的直径为：； 【小问3详解】 解：连接，， ， ，，如图： ， 由（2）得：，， ∵，是的两条切线， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ，， ∴，， ∴， ∵， ∴； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦绣育才教育集团2025学年第一学期十二月月评 九年级数学试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 九年级一班有16名女生和20名男生，数学老师从中随机抽取一名学生回答问题．下列说法正确的是（ ） A. 抽到女生的可能性小 B. 抽到男生的可能性小 C. 抽到女生和男生的可能性一样大 D. 抽到女生和男生的可能性大小不能确定 3. 已知⊙O的半径为3，点M到圆心O的距离为1.5，则点M在（ ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 4. 下面关于抛物线的结论正确的是（ ） A. 开口向上，顶点坐标为 B. 开口向下，顶点坐标为 C. 开口向上，顶点坐标为） D. 开口向下，顶点坐标为 5. 黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点为的黄金分割点，若的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，在抛物线（为常数）上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 数学课上，李老师让同学们利用学习函数获得的经验去研究函数的图象特征．甲同学认为：该函数图象一定不经过第二象限，乙同学认为：该函数图象关于直线对称．以下对两位同学的看法判断正确的是（ ） A. 甲乙都正确 B. 甲乙都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 10. 如图，等腰中，点为斜边的中点，点、分别为、上的动点，满足，连结．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题有6小题，每小题3分，共18分． 11. 正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为___． 12. 一根排水管的截面如图所示，已知排水管的直径为，截面圆的圆心到水面的距离为，则水面宽为______． 13. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D=___________． 14. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 15. 如图，在扇形中，，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点．若，则的长为______． 16. 已知抛物线（为常数），直线，当时，抛物线的最高点到直线的距离为2，则的值是_____ 三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）求中锐角α的值． 18. 一个不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球，这些球除颜色不同外，其余都相同． （1）从中任意摸出1个球是白球的概率； （2）现从袋子中一次摸出两个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中有一个球是黑球的概率． 19. 由小正方形组成的5×5的网格中，的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图． （1）作边上的中线； （2）若点E是上一点，使得，则_______，并在图上画出点E． 20. 某电商计划售卖一批笔记本电脑，每台售价为5000元，每月可售出100台．为了促进销售，决定将笔记本电脑降价销售，但不能亏本，且降价需大于0元．经调查发现：每台降价100元，每月可多售出10台．已知笔记本电脑的成本为每台3800元． （1）当每月获利72000元时，求此时每台笔记本电脑的售价； （2）当每台笔记本电脑售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21. 如图是一个广场的改造平面示意图，已知斜坡长，坡角为，，现计划在斜坡中点处挖去部分，修建一个平行于水平地面的平台和一条新的斜坡．（，结果精确到） （1）若改造后的新的斜坡的坡比为，求平台的长是多少米？ （2）一幢建筑物距离点远（即），小亮在点测得建筑物顶部的仰角为．点，，，，，，在同一个平面内，点，，在同一条直线上，且，问建筑物高为多少米？ 22. 【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即若弦，交于点，则． 【定理证明】（1）如图1，连结，，求证：． 【解决问题】（2）如图2，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 23. 已知二次函数（为常数）， （1）若，求该二次函数图象的对称轴； （2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值； （3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值． 24. 如图，已知是的直径，，是的两条切线，切点为，，作于点,与交于点，连结与交于点，与交于点，若，． （1）求证：平分； （2）求的直径（用含的代数式表示）； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $