2025-2026学年沪教版数学九年级上册期末复习试卷 (二）

沪教版九年级数学上册期末复习试卷（二） 考查范围：第24章～第26章 1． 选择题 1.下列四组线段中，成比例线段的是（     ） A．4，1，3，8 B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，2 2.如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝（　　） A． B． C． D． （第2题） （第3题） （第4题） 3.如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则a的值等于（    ） A． B． C． D． 4.为测量一河两岸相对电线杆、之间的距离，有四位同学分别测量出了一下四组数据： ①，；②，，；③，，；④，，； 能根据所测数据，求出、间距离的共有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 5．建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D. 6.二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（    ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 二．填空题 7.在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为 km． 8.如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝　　m． （第8题） （第10题） 9．若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是 10.如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为______________． 11．如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． （第11题） （第12题） （第15题） 12.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、 于点、．若，，则 ． 13.小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他竖直上升了 14.将二次函数用配方法化成的形式为 　　 15.如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6m，则石坝的高度为 16.如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降2米时，水面宽度增加　　米． （第16题） （第18题） 17．如果我们定义 为二次函数的“有序数集”，如函数的“有序数集”为．若一个二次函数的“有序数集”是 ，则将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数的“有序数集”是 18.如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则= 三．简答题 19.计算： 20.如图，已知在中，，，点D在边上，，连接AD，．   (1)求边的长； (2)求的值． 21.如图，抛物线交轴于A，两点，交轴于点，对称轴是直线，，，请解答下列问题； (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接写出抛物线的顶点的坐标，并判断与的位置关系，不需要说明理由． 22.综合实践操作题（任选一题完成即可） 题目一：“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为的等腰三角形，如图，在中，，．   (1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)猜想与证明：请你利用所学知识，证明点是边的黄金分割点． 题目二： 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． (1)直接写出的度数； (2)证明（1）中你发现的结论． 四．解答题 23．如图，在中，点、分别在边、上，，，与交于点，且． 求证：（1）； （2）． 24.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)当的面积等于的面积的时，求m的值； (3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25．在ABC中，∠C= 90°，AC=2，BC=，点D为边AC的中点（如图），点P、Q分别是射线BC、BA上的动点，且BQ=BP，联结PQ、QD、DP． （1）求证：PQ⊥AB； （2）如果点P在线段BC上，当PQD是直角三角形时，求BP的长； （3）将PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点，如果点位于ABC内，请直接写出BP的取值范围． 沪教版九年级数学期末复习试卷（二）参考答案 一．选择题 1.下列四组线段中，成比例线段的是（  D  ） A．4，1，3，8 B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，2 分析：根据成比例线段的定义进行判断即可 解：A．∵， ∴ 4，1，3，8不是成比例线段，不符合题意； B．∵ ， ∴ 3，4，5，6不是成比例线段，不符合题意； C．∵， ∴ 4，8，3，5不是成比例线段，不符合题意； D．∵ ， ∴15，5，6，2是成比例线段，符合题意． 故选：D． 2.如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝（　C　） A． B． C． D． 分析：利用平行线分线段成比例定理解答即可． 解：∵DE∥BC， ∴＝， ∴， ∴， ∴EC＝． 故选：C． 3.如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则a的值等于（  B  ）    A． B． C． D． 分析：由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则可利用相似多边形的性质构建比例式，求解后即可得出结论． 解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， 故选：B． 4.为测量一河两岸相对电线杆、之间的距离，有四位同学分别测量出了一下四组数据： ①，；②，，；③，，；④，，； 能根据所测数据，求出、间距离的共有（ C ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 分析：根据锐角三角函数关系可以借助边角关系求出AB的长，也可以利用相似三角形的性质，根据求出AB的长. 解：①因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长，故①正确； ②可利用∠ACB和∠ADB的正切由CD的长，得出关于AB，AC的比例式，利用方程求出AB即可，故②正确； ③因为△ABD∽△EFD可利用，求出AB即可，故③正确； ④无法求出A，B间距离，故④错误， 故共有3组可以求出A，B间距离， 故选C． 5．建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 分析：本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 6.二次函数（）的图像如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，都在抛物线上，则有．其中正确的结论其中正确结论的个数是（  C   ）    A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②③④ 分析:本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题．根据二次函数的图像与系数的关键，逐一分析判断即可． 解：∵二次函数图像与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像对称轴为，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，可有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为， ∴， 又∵当时，可有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴， 而本结论中没有说明，故结论④不正确； ∵二次函数图像的对称轴为，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越大，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤． 故选：C． 二．填空题 7.在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为 km． 解：设AB两地实际距离为，根据题意得：，解得：（cm），∴AB两地实际距离为96km. 8.如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝　　m． 分析:根据平行线分线段成比例定理得到AE＝EF，同理得到AD1＝3AE，计算即可． 解：∵BB1∥CC1， ∴＝， ∵AB＝BC， ∴AE＝EF， 同理可得：AE＝EF＝FD1， ∵AE＝0.4m， ∴AD1＝0.4×3＝1.2（m）， 故答案为：1.2． 9．若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是 分析:本题考查二次函数的图象与性质，求得函数图象的开口方向和对称轴，根据各点离对称轴的距离求解即可． 解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上，且， ∴， 10.如图，梯形中，，、分别是、上的点，且，，若，，则向量可用、表示为______________． 答案: 分析： 过点A作交EF于点G，交BC于H，可得AD=GF=CH，然后用BH表示出CH，再求出，根据相似三角形对应边成比例可得，再用BH表示出EG、EF，根据向量的三角形法则求出BH，即可得解． 解：如图，过点A作交EF于点G，交BC于H 四边形ADFG、GFCH、ADCH均为平行四边形 ， 若， 则 故答案为：． 11．如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 分析:本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，再根据正弦定义即可解得的长． 解：在矩形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 12.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、 于点、．若，，则 ． 分析:本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，求正切，连接，勾股定理求得，进而根据正切的定义，即可求解． 解：连接，如图所示， ∵的垂直平分线分别交边于点E、F． ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴ 故答案为：． 13.小明沿着坡度为的山坡向上走了，则他竖直上升了 分析:此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的概念，根据题意，正确画出图形． 根据题意，画出图形，如下，根据坡比为，可设，则，根据勾股定理求解即可． 解：根据题意，画出图形，如下： 由题意可得，， 设，则， 由勾股定理可得：，即 解得， 即，他升高了， 14.将二次函数用配方法化成的形式为 　　 ． 分析:将5裂项为，再根据完全平方公式进行配方，即可解答． 解：． 故答案为：． ． 15.如图，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6m，则石坝的高度为 分析:根据DC∥BF，可得＝，进而得出BF即可． 解：过点B作BF⊥AD于点F， ∵DC⊥AD，BF⊥AD， ∴DC∥BF， ∴△ACD∽△ABF， ∴＝， ∴＝， 解得：BF＝2.7． 16.如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降2米时，水面宽度增加　　米． 分析:建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线的解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算可得结果． 解析:建立平面直角坐标系如图所示： 则抛物线顶点C的坐标为（0，2）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+2， 将A点坐标（﹣2，0）代入，可得：0＝4a+2， 解得：a， 故抛物线的解析式为yx2+2， 当水面下降2米，即当y＝﹣2时，求对应的抛物线上两点之间的距离， 也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离， 将y＝﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2x2+2， 解得：x＝±2， 所以水面宽度为4米， 故水面宽度增加了（44）米， 故答案为：44． 17．如果我们定义 为二次函数的“有序数集”，如函数的“有序数集”为．若一个二次函数的“有序数集”是 ，则将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的图象对应的函数的“有序数集”是 分析:本题考查了新定义问题及二次函数的平移，能够读懂题意得到原函数的解题关键．先根据二次函数的“有序数集”得到这个二次函数，再通过二次函数的平移得到平移后的二次函数，再转化成“有序数集”即可． 解：∵一个二次函数的“有序数集”是 ， ∴这个二次函数为， 再将此函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后， 得到的新函数为， 故新函数对应的“有序数集”为． 故答案为： ． 18.如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则= 分析:分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出，然后根据正弦和余弦的定义即可求和的值，进而可求出的值． 解：如图， 小正方形面积为49，大正方形面积为169， 小正方形的边长是7，大正方形的边长是13， 在中，， 即， 整理得，， 解得，（舍去）， ， ，， ， 2． 简答题 19.计算：． 解：原式 ． 20.如图，已知在中，，，点D在边上，，连接AD，．    (1)求边的长； (2)求的值． 分析:（1）设，根据，可求出长度，再根据勾股定理可求出长度，即可得到长，最后由，可解出x的值．即得到长． （2）作于点E，由，可求出长，再由勾股定理可求出，继而得到长，即可求出． 解:（1）设， 根据题意：，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ，即， 解得， 经检验，是该分式方程的解． ∴． （2）如图，作于点E，    ∵，即， ∴， ∵， 由（1）知． ∴， ∴． 21.如图，抛物线交轴于A，两点，交轴于点，对称轴是直线，，，请解答下列问题； (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接写出抛物线的顶点的坐标，并判断与的位置关系，不需要说明理由． （1）解：∵对称轴是直线，， ∴， 根据题意得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：顶点坐标，，理由如下： 当时，， ∴顶点坐标， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 把和代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为：． ∴． 22.综合实践操作题（任选一题完成即可） 题目一：“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为的等腰三角形，如图，在中，，．    (1)实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)猜想与证明：请你利用所学知识，证明点是边的黄金分割点． 分析:（1）作的角平分线，交于点； （2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可知，再证，根据相似三角形的性质即可得证． （1）解：如图所示，即为所求；    （2）∵在中，，， ∴， 平分， ∴， ，， ， ， ∵，， ∴， ：：， ：：， ∴， 点是边的黄金分割点． 备注说明：本题考查了黄金分割，等腰三角形、相似三角形的判定和性质，以及尺规作图等知识；熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 题目二： 主题：用折纸折出特殊角 素材：一张矩形纸片． 步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点D落在上的点处，折痕为． (1)直接写出的度数； (2)证明（1）中你发现的结论． 分析：此题考查了折叠的性质和特殊角的三角函数． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据折叠的性质和特殊角的三角函数进行证明即可． 解：（1）解：由题意可得，； （2）解：证明：由折叠的性质可知， ，， ∴ ∴， ∴ ∴． 四．解答题 23．如图，在中，点、分别在边、上，，，与交于点，且． 求证：（1）； （2）． 分析： （1）根据题意证明△AFE∽△BFD，即可得到∠FDB=∠AEF，故可求解； （2）根据题意证明△AEF∽△CBA，得到,再得到AB=CD，故可求解． 解析： 证明：（1）∵ ∴ ∵∠BFD=∠AFE ∴△AFE∽△BFD ∴∠FDB=∠AEF， ∴180°-∠FDB=180°-∠AEF， 即 （2）∵ ∴180°-∠ADC-∠C=180°-∠BED-∠C 即∠DAC=∠EBC ∵BE=CE, ∴∠C=∠DAC=∠EBC ∵AD=AB， ∴∠ADB=∠ABD ∵∠ADB=∠C+∠DAC，∠ABD=∠ABE+∠EBC， ∴∠ABE=∠DAC=∠C=∠EBC ∵∠AEB=∠C+∠EBC ∴∠BEA=∠ABE+∠EBC=∠ABC ∴△AEF∽△CBA， ∴ ∴ ∵∠C=∠DAC ∴CD=AD ∵AB=AD ∴AB=CD ∴． 24.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)当的面积等于的面积的时，求m的值； (3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（1）令和求解即可； （2）过点C作交的延长线于F，首先求出，求出直线BC的函数表达式为：，得到，，然后根据列方程求解即可； （3）首先得到，然后设，，然后根据题意分3种情况讨论：是平行四边形的边，是平行四边形的边，是平行四边形的对角线，分别根据平行四边形的性质列方程求解即可． 解：（1）由，得． 解，得，． ∴点A，B的坐标分别为，， 由，得． ∴点C的坐标为． （2）如图，过点D作轴于E，交BC于G，    过点C作交的延长线于F． ∵点A的坐标为，点C的坐标为． ∴，． ∴． ∴． ∵点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线BC的函数表达式为．则．解得 ∴直线BC的函数表达式为：． ∵点D的横坐标为， ∴点D的坐标为，点G的坐标为：． ∴，，． ∴ ∴． 解得：（不合题意舍去），， ∴m的值为3． （3）将代入 ∴， 设，， ∵， ∴如图所示，当是平行四边形的边时，           ∴由平行四边形的性质可得， ，解得或 ∴点M的坐标为或； 当是平行四边形的边时，      ∴由平行四边形的性质可得， ，解得或（不合题意，应舍去） ∴点M的坐标为； 如图所示，当是平行四边形的对角线时，      ∴由平行四边形的性质可得， ，解得或（不合题意，应舍去） ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或或． 备注：本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 25．在ABC中，∠C= 90°，AC=2，BC=，点D为边AC的中点（如图），点P、Q分别是射线BC、BA上的动点，且BQ=BP，联结PQ、QD、DP． （1）求证：PQ⊥AB； （2）如果点P在线段BC上，当PQD是直角三角形时，求BP的长； （3）将PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点，如果点位于ABC内，请直接写出BP的取值范围． 分析： （1）由勾股定理得出AB，再根据相似三角形的判定得出△ABC∽△PBQ即可； （2）根据相似三角形的性质即可求解； （3）分情况考虑P、Q在射线上，不存在△PDQ，此时P、Q继续往右移动，点将不可能位于ABC内，BP应小于当前BP的数值；P在线段BC上时，由特殊锐角三角函数值求得PB即可． 解析： （1）∵∠C= 90°，AC=2，BC=， ∴在Rt△ABC中 AB= = ∴ = ∵BQ=BP ∴ = ∴= = 又∵∠B=∠B ∴△ABC∽△PBQ ∴∠C=∠PQB=90° ∴PQ⊥AB； （2）当PQD是直角三角形时， ∵BQ与BP有比例关系，D点固定 ∴直角三角形PQD的直角也固定，为∠QPD=90° 由（1）得PQ⊥AB ∴∠PQB=∠QPD=90° ∴AB∥PD ∴△CPD∽△CBA 则 ∴P为BC的中点 ∴BP=BC=×= （3）如图： 当P、Q、D共线时，此时不存在△PDQ，在此基础上，P继续沿射线BC方向移动，此时将PQD沿直线QP翻折，点D的对应点不可能位于ABC内， ∴BP应小于当前BP的数值， 在ABC中，∠C= 90°，AC=2，BC=， ∴tanB=， ∴∠B=30°，∠A=90°-30°=60°， 由（1）得PQ⊥AB，PCD是直角三角形，∠B=30°，∴∠BPQ=60°， 在Rt△PCD中，DC=AC=1，则CP=×1=， ∴BP=+=， ∴BP＜； 如图：当点D′落在BC上时， 由于∠BPQ=60°， ∴∠QPD=∠QPB=60°， ∴∠DPC=180°-∠QPD-∠QPB=60°， 此时，当P继续沿BC方向运动（BP＜），D必定会落在ABC内， 在Rt△PCD中，CP=DC=，BP=BC-CP=-=， ∴BP>， 综上＜BP＜． 1 学科网（北京）股份有限公司 $