浙江省宁波市镇海区尚志中学2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年浙江省宁波市镇海区尚志中学八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2 2．（3分）点A（﹣3，4）所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（3分）两根木棒的长度分别为3cm，6cm，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．10cm 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　） A． B．﹣1 C．0 D． 6．（3分）已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．a﹣b＜0 B．3a+1＜3b+1 C．am2＞bm2 D． 7．（3分）如图，已知AC＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（　　） A．BC＝BD B．∠C＝∠D＝90° C．∠BAC＝∠BAD D．∠ABC＝∠ABD 8．（3分）已知A，B两地相距240千米，早上9点甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．两车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，则下列描述不正确的是（　　） A．甲车的速度是60千米/小时 B．乙车的速度是90千米/小时 C．甲车与乙车在早上10点相遇 D．乙车在12：00到达A地 9．（3分）已知两个一次函数y1，y2的图象互相平行，它们的部分自变量与相应的函数值如表： x m 0 2 y1 8 6 t y2 5 n ﹣1 则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D． 10．（3分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且点N恰好是EF的中点．若图中阴影部分面积为6，则AB的长度是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．（4分）将二次根式化为最简二次根式 　 　 ． 12．（4分）已知（﹣2，y1），（1，y2）是直线（m为常数）上的两个点．则y1　 　 y2（填入“＜”、“＝”或“＞”） 13．（4分）已知等腰三角形的一个内角为110°，则等腰三角形的底角的度数为 　 　 ． 14．（4分）已知y3，则xy的值是 　 　 ． 15．（4分）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集 　 　 ． 16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式是，点M（5，0），存在直线l上的两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，则所有符合条件的点P的坐标是 　 　 ． 三、解答题（第17题6分，第18题6分，第19-22题各8分，第23题10分，24题12分，共66分） 17．（6分）（1）计算：； （2）解不等式：，并把解在数轴上表示出来． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在网格的格点上． （1）写出点A，B的坐标：A　 　 ，B． 　 　 ． （2）在图中作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1． （3）求△ABC的面积． 19．（8分）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF． （1）求证：△ADE≌△CFE． （2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长． 20．（8分）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，陈同学和李同学打算购买画笔与画板两种写生工具数量若干，已知购买2盒画笔和4个画板共需94元，购买4盒画笔和2个画板共需98元． （1）购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？ （2）陈同学和李同学商量，需要画笔盒数和画板个数总共为10，且购买这些写生工具的总费用不超过157元，请问最少购买画板多少个？ 21．（8分）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，折叠纸片使点B与点A重合，DE为折痕，将纸片展开铺平，连结AE． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）求AE的长． 22．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线，且经过点A（2，3）． （1）求该函数的表达式； （2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出与坐标轴的交点； （3）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于一次函数y＝kx+b的值，请直接写出m的取值范围． 23．（10分）某公司装修需要A型和B型板材，根据以下素材，探索完成任务： 材料一 A型板材规格是60cm×30cm； B型板材规格是40cm×30cm． 材料二 目前只能购得150cm×30cm的标准板材． 材料三 一张标准板材尽可能最多的截出A型、B型板材，有以下3种截法： 截法1：A型1块，B型2块； 截法2：A型2块，B型m块； 截法3：A型0块，B型n块． 任务一 求出材料三中的m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ． 任务二 公司需要A型板材240块，B型板材180块． 设按截法1截x张标准板材，按截法2截y张标准板材，按截法3截z张标准板材，且所截出的A、B两种型号的板材刚刚好够用． 分别求出y与x和z与x的函数关系式． 任务三 若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种截法各截标准板材多少张？ 24．（12分）直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，交x轴于点B．射线OP从x轴出发绕点O逆时针方向旋转的角度记作α，作点B关于OP的对称点C，直线AC交OP于点D． （1）如图1，写出点A的坐标 　 　 ；点B的坐标 　 　 ；并求出当α＝20°时∠OAC的度数； （2）如图1，若0°＜α＜90°且α≠45°， ①当α变化时，∠BCD的度数是否会发生变化，若不变，求出∠BCD的度数；若改变，用含α的式子表示∠BCD； ②求证：AD2+CD2＝2OB2； （3）如图2，当90°＜α＜135°时，若，直接写出OD的长． 2024-2025学年浙江省宁波市镇海区尚志中学八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C A D D C C B 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥2 【分析】利用当二次根式有意义时，被开方式为非负数，得到有关x的一元一次不等式，解之即可得到本题答案． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴x﹣2≥0， 解得：x≥2， 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，此类考题相对比较简单，但从近几年的中考看，几乎是一个必考点． 2．（3分）点A（﹣3，4）所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点A所在的象限． 【解答】解：因为点A（﹣3，4）的横坐标是负数，纵坐标是正数，符合点在第二象限的条件，所以点A在第二象限．故选：B． 【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 3．（3分）两根木棒的长度分别为3cm，6cm，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．10cm 【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的范围，判断即可． 【解答】解：设第三根木棒的长度为xcm， 则6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9， ∴第三根木棒的长度可以是四个数据中的4cm， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加法、减法，乘法，除法法则，进行计算即可解答． 【解答】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、22不能再合并，故B不符合题意； C、原式，故C符合题意； D、原式＝1或﹣1，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（3分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　） A． B．﹣1 C．0 D． 【分析】根据实数的大小比较法则、乘方法则解答． 【解答】解：1， （）2﹣2＝0， ∴当n时，“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题， 故选：A． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6．（3分）已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．a﹣b＜0 B．3a+1＜3b+1 C．am2＞bm2 D． 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．若a＞b，则a﹣b＞0，故选项A不成立； B..若a＞b，则3a＞3b，所以3a+1＞3b+1，故选项B不成立； C..若a＞b，当m＝0时，am2＝bm2，故选项C不成立； D..若a＞b，则，故选项D成立． 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 7．（3分）如图，已知AC＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（　　） A．BC＝BD B．∠C＝∠D＝90° C．∠BAC＝∠BAD D．∠ABC＝∠ABD 【分析】分别利用全等三角形的判定方法判断得出即可． 【解答】解：在△ABC与△ABD中，已知AC＝AD，AB＝AB， A、添加AC＝AD，利用SSS可证明△ABC≌△ABD，故此选项不符合题意； B、添加∠C＝∠D＝90°，利用HL可能证明△ABC≌△ABD，故此选项不符合题意； C、添加∠BAC＝∠BAD，利用SAS可证明△ABC≌△ABD，故此选项不符合题意； D、添加∠ABC＝∠ABD，不能证明△ABC≌△ABD，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题难度适中． 8．（3分）已知A，B两地相距240千米，早上9点甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．两车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，则下列描述不正确的是（　　） A．甲车的速度是60千米/小时 B．乙车的速度是90千米/小时 C．甲车与乙车在早上10点相遇 D．乙车在12：00到达A地 【分析】由图象可知，甲车从A地到达B地用了4小时，据此可得甲车的速度；乙车出发40分钟，行驶了60千米，据此可得乙车的速度，进而求出甲车与乙车相遇时的时间以及乙车到达A地的时间． 【解答】解：由题意可知， 甲车的速度是：240÷4＝60（千米/小时），故选项A不合题意； 乙车的速度是：60÷（）＝90（千米/小时），故选项B不合题意； 设甲出发x小时后两车相遇，则60x+90（x）＝240， 解得x， 所以甲车与乙车在早上10时48分相遇，故选项C符合题意； 乙车到达A地的时间为：10+（240﹣60）÷90＝12（时），故选项D不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键． 9．（3分）已知两个一次函数y1，y2的图象互相平行，它们的部分自变量与相应的函数值如表： x m 0 2 y1 8 6 t y2 5 n ﹣1 则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D． 【分析】根据两个一次函数y1，y2的图象互相平行和表格中的数据，可以得到8﹣5＝6﹣n＝t﹣（﹣1），然后即可求得n和t值，从而可以求得y1与x的函数解析式，再将y1＝8代入解析式求出x的值，从而可以得到m的值． 【解答】解：由题意和表格可知， 8﹣5＝6﹣n＝t﹣（﹣1）， 解得n＝3，t＝2， 设y1与x的函数解析式为y1＝kx+b， ∵点（0，6），（2，2）在该函数图象上， ∴， 解得， ∴y1与x的函数解析式为y1＝﹣2x+6， 当y1＝8时，8＝﹣2x+6，得x＝﹣1， ∴m的值为﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查两条直线相交或平行问题、一次函数的性质，解答本题的关键是明确平行直线，横坐标相同时，它们的纵坐标的差值相等． 10．（3分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且点N恰好是EF的中点．若图中阴影部分面积为6，则AB的长度是（　　） A． B． C． D． 【分析】设CE交MN于点H，BM交CP于点L，由∠ACB＝90°及正方形的性质得AN＝AB，AF＝AC＝EF，∠F＝∠ACB＝∠ACE＝∠E＝∠ABM＝∠BCL＝90°，推导出∠FAN＝∠CAB，∠NHE＝∠BLC，可证明△ANF≌△ABC，得FN＝CB＝EN，再证明△ENH≌△CBL，得S△ENH＝S△CBL，推导出S阴影＝S正方形BCPQ＝CB2＝6，求得CB，因为AC＝EF＝2EN＝2CB，所以ABCB，于是得到问题的答案． 【解答】解：设CE交MN于点H，BM交CP于点L， ∵∠ACB＝90°，四边形ABMN、四边形BCPQ、四边形ACEF都是正方形， ∴AN＝AB，AF＝AC＝EF，∠F＝∠ACB＝∠ACE＝∠E＝∠ABM＝∠BCL＝90°，MN∥AB， ∴∠FAN＝∠CAB＝90°﹣∠CAN，∠ACB+∠ACE＝180°， ∴B、C、E三点在同一条直线上， ∴∠NHE＝∠ABC， ∵∠BLC＝∠ABC＝90°﹣∠LBC， ∴∠NHE＝∠BLC， 在△ANF和△ABC中， ， ∴△ANF≌△ABC（SAS）， ∴FN＝CB， ∵点N是EF的中点， ∴FN＝EN， ∴EN＝CB， 在△ENH和△CBL中， ， ∴△ENH≌△CBL（AAS）， ∴S△ENH＝S△CBL， ∴S阴影＝S△ENH+S四边形PQBL＝S△CBL+S四边形PQBL＝S正方形BCPQ， ∵S阴影＝6，S正方形BCPQ＝CB2， ∴CB2＝6， ∴CB或BC（不符合题意，舍去）， ∴AC＝EF＝2EN＝2CB， ∴ABCB， 故选：B． 【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出S阴影＝S正方形BCPQ是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．（4分）将二次根式化为最简二次根式 　　 ． 【分析】结合最简二次根式的概念计算即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查最简二次根式、二次根式的性质与化简，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．（4分）已知（﹣2，y1），（1，y2）是直线（m为常数）上的两个点．则y1　＞　 y2（填入“＜”、“＝”或“＞”） 【分析】根据一次函数的图象与性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为一次函数的解析式为（m为常数）， 所以y随x的增大而减小． 又因为（﹣2，y1），（1，y2）是直线上的两个点，且﹣2＜1， 所以y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 13．（4分）已知等腰三角形的一个内角为110°，则等腰三角形的底角的度数为 　35°　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理即可解决问题． 【解答】解：∵等腰三角形的一个内角是110°， ∴等腰三角形的顶角为110°， ∴等腰三角形的底角为35°， 故答案为：35°． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14．（4分）已知y3，则xy的值是 　　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组求出x，进而求出y，计算即可． 【解答】解：由题意得：2x﹣5≥0，5﹣2x≥0， 解得：x， ∴y＝3， 则xy3， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 15．（4分）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集 　　 ． 【分析】根据题意，得出m＜0及，据此对所给不等式进行求解即可． 【解答】解：由题知， 因为关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是， 所以m＜0，且， 则n＜0，m＝3n． 由（m+n）x＜n﹣m得， 4nx＜﹣2n， 解得x． 故答案为：x． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式是，点M（5，0），存在直线l上的两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，则所有符合条件的点P的坐标是 　，，P3（15，﹣5）　 ． 【分析】依据由题，分类讨论：当OP平分∠QOM时，△OMP≌△OQP，可得OM＝OQ，根据自变量的值，可得相应的函数值；当OA＝PA，OM＝PQ时，△OMP≌△PQO，可得PF＝OE＝5，根据函数值，可得相应自变量的值；当OA＝AP，OM＝PQ时，△OMP≌△PQO，根据AAS，可得△OEA≌△PFA，可得PF的值，根据函数值，可得相应自变量的值． 【解答】解：由题意，（1）如图1，作OQ⊥AB， ∴． ∴OM＝5． ∴OQ＝OM． 当OP平分∠QOM时，△OMP≌△OQP，此时PM⊥OA． 把x＝5代入，得． ∴． （2）如图2，当OA＝PA，OM＝PQ时，△OMP≌△PQO，过O作OE⊥AB于点E，过P作 PF⊥OA于点F． ∴△OEA≌△PFA． ∴PF＝OE＝5． 把y＝5代入得，， ∴． ③如图3，当OA＝AP，OM＝PQ时，△OMP≌△PQO．过O作OE⊥AB于点E，过P作PF⊥OA于点F． ∴△OEA≌△PFA． ∴PF＝OE＝﹣5． 把y＝﹣5代入得，x＝15． ∴P3（15，﹣5）． 综上所述，所有符合条件的点P的坐标为：，，P3（15，﹣5）． 故答案为：，，P3（15，﹣5）． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质，分类讨论是解题关键． 三、解答题（第17题6分，第18题6分，第19-22题各8分，第23题10分，24题12分，共66分） 17．（6分）（1）计算：； （2）解不等式：，并把解在数轴上表示出来． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先去分母，再去括号、移项、合并得到﹣5x≥﹣10，接着把x的系数化为1得到不等式的解集，然后在数轴上表示解集表示出来． 【解答】解：（1）原式＝23 ＝﹣2； （2）去分母，得3（2+x）≥4（2x﹣1）， 去括号，得6+3x≥8x﹣4， 移项，得3x﹣8x≥﹣4﹣6， 合并同类项，得﹣5x≥﹣10， 系数化为1，得x≤2， 解集在数轴上表示为： 【点评】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．也考查了解一元一次不等式和数轴． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在网格的格点上． （1）写出点A，B的坐标：A　（﹣1，1）　 ，B． 　（﹣3，3）　 ． （2）在图中作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1． （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）结合图形可得答案； （2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可． 【解答】解：（1）由图知A（﹣1，1）、B（﹣3，3）， 故答案为：（﹣1，1）、（﹣3，3）； （2）如图所示，△A1B1C1即为所求． （3）△ABC的面积为3×51×52×23×3＝6． 【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． 19．（8分）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF． （1）求证：△ADE≌△CFE． （2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长． 【分析】（1）利用角角边定理判定即可； （2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF． 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）． （2）∵△ADE≌△CFE， ∴AD＝CF＝4． ∴BD＝AB﹣AD＝5.5﹣4＝1.5， 答：BD的长为1.5． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键． 20．（8分）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，陈同学和李同学打算购买画笔与画板两种写生工具数量若干，已知购买2盒画笔和4个画板共需94元，购买4盒画笔和2个画板共需98元． （1）购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？ （2）陈同学和李同学商量，需要画笔盒数和画板个数总共为10，且购买这些写生工具的总费用不超过157元，请问最少购买画板多少个？ 【分析】（1）设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要y元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y的值即可； （2）设最少购买画板a个，则购买画笔（10﹣a）个，根据题意可列出关于a的一元一次不等式，解出a的解集，结合其实际意义即得出答案． 【解答】解：（1）设购买一盒画笔需要x元，一个画板需要y元， 根据题意有， 解得：． 答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元； （2）设最少购买画板a个，则购买画笔（10﹣a）个， 根据题意有17（10﹣a）+15a≤157， 解得：a≥6.5， ∵根据题意可知a为整数， ∴最少购买画板7个． 【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式和不等式是解题关键． 21．（8分）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，折叠纸片使点B与点A重合，DE为折痕，将纸片展开铺平，连结AE． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）求AE的长． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解决问题； （2）根据折叠可得AE＝BE，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，然后根据勾股定理即可解决问题． 【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm， ∴AC2+BC2＝62+82＝102＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）根据折叠可知：AE＝BE， 设AE＝BE＝xcm， 则CE＝（8﹣x）cm， 在Rt△ACE中，根据勾股定理，得 62+（8﹣x）2＝x2， 解得x， ∴AEcm． 【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 22．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线，且经过点A（2，3）． （1）求该函数的表达式； （2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出与坐标轴的交点； （3）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于一次函数y＝kx+b的值，请直接写出m的取值范围． 【分析】（1）由题意可设该函数的表达式为y，代入点A（2，3），可得b＝2，故该函数的表达式为； （2）先画出函数与坐标轴的两个交点坐标，画出这两点确定的一条直线即可； （3）当x＝2时，y3，当y＝mx过（2，3）时，可得m，又当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于一次函数y＝kx+b的值，且当m时，两直线平行，而m时，两直线在第三象限有交点，此时函数y＝mx的值有部分大于一次函数y＝kx+b的值，故． 【解答】解：（1）由题意可设该函数的表达式为y，代入点A（2，3）， 可得b＝2，故该函数的表达式为； （2）该函数的图象如图所示： 令x＝0，y＝2；令y＝0，则x＝﹣4， 故与x轴的交点坐标为（﹣4，0），与y轴交点坐标为（0，2）； （3）当x＝2时，y3，当y＝mx过（2，3）时，可得m， 又当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于一次函数y＝kx+b的值， 且当m时，两直线平行，而m时，两直线在第三象限有交点，此时函数y＝mx的值有部分大于一次函数y＝kx+b的值，故． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，与坐标轴交点的求法，一次函数的函数值的大小比较，掌握以上内容是解题关键． 23．（10分）某公司装修需要A型和B型板材，根据以下素材，探索完成任务： 材料一 A型板材规格是60cm×30cm； B型板材规格是40cm×30cm． 材料二 目前只能购得150cm×30cm的标准板材． 材料三 一张标准板材尽可能最多的截出A型、B型板材，有以下3种截法： 截法1：A型1块，B型2块； 截法2：A型2块，B型m块； 截法3：A型0块，B型n块． 任务一 求出材料三中的m＝ 　0　 ，n＝ 　3　 ． 任务二 公司需要A型板材240块，B型板材180块． 设按截法1截x张标准板材，按截法2截y张标准板材，按截法3截z张标准板材，且所截出的A、B两种型号的板材刚刚好够用． 分别求出y与x和z与x的函数关系式． 任务三 若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种截法各截标准板材多少张？ 【分析】任务一：根据“A，B两种版型的长度和不超过150”求解； 任务一：根据“需要A型板材240块，B型板材180块”列方程求解； 任务一：根据一次函数的性质求解． 【解答】解：任务一：（150﹣60×2）÷40＝0……30， 150÷40＝3……30， 故答案为：0，3； 任务二：由题意得：x+2y＝240，2x+3z＝180， ∴y，z； 任务三：由题意得：Q＝x+y+z＝xx+180， ∵x，y，z都是非负整数， ∴0≤x≤90，且为2和3的公倍数， ∴当x＝90时，Q取最小值，为90+180＝165． 【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意和掌握一次函数的性质是解题的关键． 24．（12分）直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，交x轴于点B．射线OP从x轴出发绕点O逆时针方向旋转的角度记作α，作点B关于OP的对称点C，直线AC交OP于点D． （1）如图1，写出点A的坐标 　（0，5）　 ；点B的坐标 　（5，0）　 ；并求出当α＝20°时∠OAC的度数； （2）如图1，若0°＜α＜90°且α≠45°， ①当α变化时，∠BCD的度数是否会发生变化，若不变，求出∠BCD的度数；若改变，用含α的式子表示∠BCD； ②求证：AD2+CD2＝2OB2； （3）如图2，当90°＜α＜135°时，若，直接写出OD的长． 【分析】（1）直线y＝﹣x+5交y轴交于点A，交x轴于点B，则点A、B的坐标分别为：（0，5）、（5，0），在等腰△OCA中，∠AOC＝90°﹣2α，则∠OAC＝∠OCA（180°﹣90+2α）＝45°+α＝65°； （2）①在等腰△OCA中，∠AOC＝90°﹣2α，则∠OAC＝∠OCA（180°﹣90+2α）＝45°+α，则∠COD＝180°﹣∠ACO﹣∠OCB，即可求解； ②B关于OP的对称点C，则CD＝BD，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AD2+CD2＝AB2＝2OB2，即可求解； （3）由（1）知OC＝OA＝OB，则AE＝CEAC，由（2）知，AD2+CD2＝2OB2，即AD2+（4）2＝2×52，则AD，则AC＝AD+CD，则AE（），则DE＝AE﹣AD（4），即可求解． 【解答】（1）解：直线y＝﹣x+5交y轴交于点A，交x轴于点B，则点A、B的坐标分别为：（0，5）、（5，0）， 连接CO，由图形的对称性知，OC＝OB＝AO，∠DOC＝∠DOB＝α，则∠OCB＝90°﹣α， 在等腰△OCA中，∠AOC＝90°﹣2α，则∠OAC＝∠OCA（180°﹣90+2α）＝45°+α＝65°； 故答案为：（0，5）、（5，0）； （2）①解：∠BCD的度数不变为45°，理由： OC＝OB＝AO，∠DOC＝∠DOB＝α，则∠OCB＝90°﹣α， 在等腰△OCA中，∠AOC＝90°﹣2α，则∠OAC＝∠OCA（180°﹣90+2α）＝45°+α； 则∠COD＝180°﹣∠ACO﹣∠OCB＝180°﹣（45+α）﹣（90°﹣α）＝45°； ②证明：连接BD，则∠CDB＝∠CDO＝45°， 则∠CDB＝90°， ∵B关于OP的对称点C，则CD＝BD， 在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AD2+CD2＝AB2＝2OB2， 即AD2+CD2＝2OB2； （3）解：作OE⊥AC， 由（1）知OC＝OA＝OB，则AE＝CEAC， 由（2）知，AD2+CD2＝2OB2，即AD2+（4）2＝2×52， 则AD， 则AC＝AD+CD，则AE（）， 则DE＝AE﹣AD（4）， 则OE（4）＝DE， 则ODDO＝21． 【点评】本题为一次函数综合题，涉及到勾股定理的运用、点的对称性等，正确确定角的大小是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/12 10:48:55；用户：宋逸扬；邮箱：18267209186；学号：49240137 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $