精品解析：黑龙江省伊春市南岔县两校联考2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年上学期八年级期末数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在跨学科学习中，数学小组给出了下面四张生物图片，则是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段中，能首尾相接构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 6，6，12 C. 7，8，9 D. 6，10，3 4. 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（ ）． A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 无法确定 5. 将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（　　） A. 扩大3倍 B. 扩大6倍 C. 扩大9倍 D. 扩大27倍 6. 若关于x的分式方程的解是非负数，则a需满足的条件是（ ） A. .且 B. .且 C. D. 7. 已知中，，D为上的任意一点，于E，于F，，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（ ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A. 4或12 B. 12或16 C. 4或16 D. 4或12或16 9. 绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少棵．若原计划每天种树x棵，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边分别交于点E、F，给出以下四个结论：①是等腰直角三角形；②；③； ④当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、C重合），．上述结论中始终正确的有（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 生物学家发现一种病毒的长度为．将用科学记数法表示为___________________． 12. 如图，，使，则增加一个条件是_________．     13. 若分式的值为0，则的值为___________． 14. 若，，则的值为______． 15. 若，则值为______． 16. 若是完全平方式，则______． 17. 如图，的中线、相交于点，若四边形的面积为2，则的面积为______． 18. 如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为______． 19. 一个等腰三角形一边上的高等于一边长度的一半，则这个三角形的顶角是________． 20. 如图，已知中，，，，作AC的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第一条线段；作的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第二条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第三条线段；……，如此作下去，则第n条线段的长为______． 三、解答题（60分） 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 22. 解分式方程： （1） （2） 23 先化简，再求值：，其中． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的， （2）写出、、的坐标； （3）求面积． 25. 已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点重合)，连接． （1）如图①，当点边上时，求证：； （2）如图②，当点在边的延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； （3）如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 26. 学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”奖品，计划用600元购买图书，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书每本分别为多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ （3）每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出900元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数． 27. 已知在平面直角坐标系内如图所示，点A和点B的坐标分别为和，且a，b满足． （1）直接写出点A、点B的坐标； （2）若，且，求出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级期末数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方，合并同类项，完全平方公式，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 在跨学科学习中，数学小组给出了下面四张生物图片，则是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A，B，D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 3. 下列长度的三条线段中，能首尾相接构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 6，6，12 C. 7，8，9 D. 6，10，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边”的判定条件． 根据三角形三边关系，依次判断每个选项中两条较短边的和是否大于第三边，从而确定能否构成三角形． 【详解】构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边， A、，等于第三边，不能构成三角形； B、，等于第三边，不能构成三角形； C、，能构成三角形； D、，不能构成三角形． 故选：C． 4. 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（ ）． A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解将已知等式变形为，即可得到a=b，由此判断三角形的形状． 【详解】解：， 由平方差公式得：， ∴， ∵a、b、c三边是三角形的边， ∴a、b、c都大于0， ∴本方程解为a＝b， ∴△ABC一定是等腰三角形， 故选C． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． 5. 将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（　　） A. 扩大3倍 B. 扩大6倍 C. 扩大9倍 D. 扩大27倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化．将x和y同时扩大3倍后，计算新分式并与原分式比较，得出变化倍数，即可作答． 【详解】解：∵原分式为，x和y同时扩大3倍后， ∴新分式， ∴新分式是原分式的3倍， 故分式的值扩大3倍， 故选：A 6. 若关于x的分式方程的解是非负数，则a需满足的条件是（ ） A. .且 B. .且 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵原方程，且分母不为零， ∴且． 化简左边：， ∴方程化为， 两边同乘（）：， 整理得：， 若，则，无解， 若，则． ∵解为非负数， ∴（因为），即， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即，解得， ∴且． 故选：A． 7. 已知中，，D为上的任意一点，于E，于F，，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和性质，利用等腰三角形底角相等的性质和角所对的直角边等于斜边一半的性质，推导与的关系，以及与的关系，从而求出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴ 在中，， 在中，， ∴， 故选：C． 8. 如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（ ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A. 4或12 B. 12或16 C. 4或16 D. 4或12或16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，此题要分三种情况：①当E在线段上，时；②当E在上，时；③当E在上，时，分别进行计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E运动4或12或16秒时，与全等． 故选：D． 9. 绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少棵．若原计划每天种树x棵，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设原计划每天种树x棵，实际每天种树的棵数是棵，根据结果提前5天完成任务，列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天种树x棵，实际每天种树的棵数是棵，根据题意得： ， 故选：B． 10. 如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边分别交于点E、F，给出以下四个结论：①是等腰直角三角形；②；③； ④当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、C重合），．上述结论中始终正确的有（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中线与面积，证明是解题的关键．利用证明得，，则是等腰直角三角形，再结合等腰三角形的性质，中线与面积关系，得出，根据全等三角形的性质，得，则，当点E与A或C重合时，，因为当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、C重合），则，即可作答． 【详解】解：∵，，点P是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， 故①②正确； ∵， ∴， ∵，，直角的顶点P是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， 故③正确； ∵， ∴， 则， 当点E与A或C重合时，， ∵当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、C重合）， ∴， 即， 故④错误． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 生物学家发现一种病毒的长度为．将用科学记数法表示为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可，正确的确定的值，是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 如图，，使，则增加一个条件是_________．     【答案】（或或）（答案不唯一，写出一个即可） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：利用“”判定，可添加条件； 利用“” 判定，可添加条件或； 利用“” 判定，可添加条件； 故答案为：（或或）． 13. 若分式的值为0，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的概念及性质，根据题意得到，计算即可求出． 【详解】解：根据题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式的求值，涉及因式分解和完全平方公式的应用，掌握因式分解的方法以及完全平方公式的结构特征是解题关键．将已知等式分解因式可得，再利用完全平方公式求出，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ． ， ． 故答案为：． 15. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，由已知条件通分得 ，即，然后将所求分式的分子和分母分别变形，代入化简求值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即． 则， 则， ∴． 故答案为：． 16. 若是完全平方式，则______． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了求完全平方式中的系数，根据所给多项式可确定两平方项，则可确定一次项，据此比较系数求解的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：1或． 17. 如图，的中线、相交于点，若四边形的面积为2，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可得出结论 【详解】解：∵的中线、相交于点，且三角形的三条中线交于一点， ∴延长交于点，点为的中点， 由三角形中线可知，，，， ∴，，， 则，， ∴， ， ∴， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了三角形的中线性质、三角形的面积，解题的关键是利用三角形中线的性质找出三角形面积关系． 18. 如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路线问题．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 19. 一个等腰三角形一边上的高等于一边长度的一半，则这个三角形的顶角是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答本题的关键； 分三种情况：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半；当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半；当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高等于腰长的一半，分类讨论即可； 【详解】解：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半， 设等腰三角形中，，是底边上的高，为底边，且． 是底边上的高， D为中点，即， ， ， ， ， 顶角； ， 当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半 设等腰三角形中，，是腰上的高，， 在中， ， ， 即此时顶角为； 当等腰三角形是钝角三角形时， 设等腰三角形中，，是腰延长线上的高，， 在中， ， 顶角， 综上所述：这个等腰三角形的顶角是或或． 故答案为：或或． 20. 如图，已知中，，，，作AC的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第一条线段；作的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第二条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第三条线段；……，如此作下去，则第n条线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意依据垂直平分线性质和等边三角形性质以及60°直角三角形所对应的邻边是斜边的一半得出，，进而总结规律即可得出第n条线段的长. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵垂直平分AC， ∴, ∴, ∴, 同理, ， 可得第n条线段的长为：或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查图形规律，熟练掌握垂直平分线性质和等边三角形性质以及60°直角三角形所对应的邻边是斜边的一半是解题的关键. 三、解答题（60分） 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）根据平方差公式和完全平方公式展开，再去括号、合并同类项，即可求解； （2）根据平方差公式和完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得， 经检验：当时，则， ∴是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 则， 解得； 经检验：当时，则，此时是原分式方程的增根， ∴此方程无解． 23. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的， （2）写出、、的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）、、； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，坐标与图形，割补法求面积，掌握轴对称的性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据（1）的图形写出坐标即可； （3）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：如图可知，、、； 【小问3详解】 解：的面积． 25. 已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点重合)，连接． （1）如图①，当点在边上时，求证：； （2）如图②，当点在边的延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； （3）如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】（1）详见解析 （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题解题的关键是利用等腰直角三角形的性质证明，再结合全等三角形的性质推导线段关系与位置关系． （1）证明，可得，即可推出； （2）证，利用全等三角形的性质即可证明； （3）同（1）得，则，，得，再证即可． 【小问1详解】 解：证明：和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 猜想，，理由如下： ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ，，理由如下： 如图③所示： 同（1）得：， ，， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ． 26. 学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，计划用600元购买图书，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书每本分别为多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ （3）每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出900元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数． 【答案】（1）甲种图书每本30元，乙种图书每本20元； （2）6种； （3）30人． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设乙种图书的单价为元本，则甲种图书的单价为元本，根据数量总价单价结合用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，根据购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，且投入的经费不超过1050元，即可得出关于的一元一次不等式组，再求解即可； （3）由题意直接解答即可． 【小问1详解】 设乙种图书的单价为元本，则甲种图书的单价为元本， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ． 答：甲种图书的单价为30元本，乙种图书的单价为20元本． 【小问2详解】 设购买甲种图书本，则购买乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 可取的值有6个． 共有6种购买方案； 【小问3详解】 由题意可得：此次“首届科技节”获奖学生人数为人． 27. 已知在平面直角坐标系内如图所示，点A和点B的坐标分别为和，且a，b满足． （1）直接写出点A、点B的坐标； （2）若，且，求出点P坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）点P坐标为或 （3）的面积为2或6 【解析】 【分析】本题考查了非负的性质、全等三角形的判定和性质，学会分情况讨论是解决本题的关键． （1）根据非负性求解即可； （2）根据题意分为两种情况：当点P在第一象限时，过点P作轴于点N或当点P在第二象限时，过点P作轴于点M，进行求解即可； （3）根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， 解得，， ，； 【小问2详解】 解：，， ，， ①当点P在第一象限时，过点P作轴于点N， ， ， ，， ， ， 和中， ， ，， ， ②当点P在第二象限时，过点P作轴于点M， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， 点P坐标为或； 【小问3详解】 解：当点P在第一象限时，点P坐标为， ∴ ； 当点P在第二象限时，点P坐标， ∴ ； ∴的面积为2或6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $