精品解析：安徽省六校联考2025-2026学年高三上学期1月素质检测数学试题

2026 年元月高三素质检测考试 数学试题 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 设集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，再根据集合交集运算求解即可. 【详解】由题知集合， 故 . 故选：B. 2. 若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算法则可得答案. 【详解】由复数 满足 为虚数单位)， 可得 ， 所以 . 故选： D. 3. 在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设 ，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可. 【详解】方法一：以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示： ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 故选：B. 4. 甲、乙、丙三位同学从 7 处不同的景点中各自选 2 处旅游，则三人恰好选择一个相同的景点，且他们各自选择的另一个景点互不相同的选法共有（ ） A. 840 种 B. 420 种 C. 210 种 D. 140 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理和排列组合公式列式计算即得. 【详解】先从7处不同景点中选出1处作为三人共同选择的景点，再从剩下的6个景点中选出3个不同的景点， 并将其分配给甲、乙、丙三人作为各自的另一个景点，则满足题意的选法种数为 . 故选： A. 5. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于对称，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据辅助角公式，将函数化为，再根据平移变换，求出平移后的解析式，根据对称性求出 的值. 【详解】， 将函数图象向左平移个单位长度， 得到的函数为， 因为函数的图象关于对称，所以， 解得，又因为，所以，所以C正确. 故选：C 6. 在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 是棱 的中点， 是侧面 内任意一点 (包含边界)，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用几何法取直线 与平面 所成角的正弦值的临界状态可得答案. 【详解】如图，正三棱柱 棱长均为 2，取 的中点为 ， 则 平面 ， 当点 是靠近点 的四等分点时， ，则 平面 ， 此时直线 与平面 所成角的正弦值最大为 1； 当点 与 重合时，此时 最长， 即 ， 因为正三棱柱 中， 是棱 的中点， 所以点 到平面 的距离为 ， 此时直线 (即 ) 与平面 所成角的正弦值最小，为 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值取值范围是 . 故选： D. 7. 椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图， 是圆上一动点， 在轴上的投影为，则满足的动点的轨迹是椭圆.若椭圆的离心率，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相关点法求出椭圆的轨迹方程，再由离心率，列方程代入解方程即可得出答案. 【详解】设圆的方程为， 因为，则， 所以，即， 因为是圆上一点，所以， 所以，即，所以， 而椭圆的离心率为：， 所以，解得：. 故选：A. 8. 已知定义域为 函数，满足，，其中是的导函数，若为偶函数，则（ ） A. 74 B. 72 C. 70 D. 68 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，求得，得到是奇函数，求得，再由题意，推得，得到函数是以4为周期的周期函数，结合周期性，即可求解. 【详解】由函数为偶函数，所以 ，所以， 可得是奇函数，所以， 因为，所以 ，所以， 令，可得， 因为，可得， 用代替 ，可得， 又因为，两式相加得， 令，可得；令，可得，所以， 因为，用 代换，可得，即， 又因为函数是奇函数，可得 由，所以， 所以函数是周期为4的一个周期函数，则， 所以， 则. 故选：C. 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据三角函数的部分图象求出函数的表达式，再依据三角函数的性质对每一选项进行判断. 【详解】根据函数 的部分图象， 所以，所以 ，又，，所以，故 正确； 所以， 由，得，解得， 由于，所以，所以， 由于， 所以函数的图象关于点 对称，故B正确； 令，解得， 故函数的单调递减区间为 ， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故错误； 因为，由，得， 若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点， 则，解得，故D错误. 故选：AB 10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. 当 时，函数 的单调递增区间为 B. 若函数 无最小值，则 的取值范围为 C. 对于任意实数 都存在非零实数 ，使得 D. 当 时，若方程 恰有 3 个根，则 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象得出单调性判断A，应用函数图象结合函数最小值即可求解判断B，应用解析式计算判断C，应用函数图象结合解析式求解参数判断D. 【详解】对于 时， ，由函数的图象知，函数在区间 单调递增，故 A正确； 对于 画出函数的图象，如图所示， 由题意可得，函数 无最小值，则 的取值范围为 ，故 B正确; 对于 C，设 ，则 ，则 ， 如图，当 时， 与 并不一定有交点，故 C错误； 对于 D，当 时，若 恰有 3 个根，可得 有三个不同的根. 如图，作出函数 的图象，直线 过定点 . 当 时，设过点 的直线与曲线 的切点为 . 由 ，得 ，所以 ， 故切线方程为 ， 将点 代入，得 ，即 ，所以切线的斜率为 . 则 的取值范围是 ，故 D正确. 故选：ABD. 11. 数学中有许多与圆相关的优美的曲线，并由此衍生了很多有趣的数学问题.给出的下列四个结论中，正确结论的选项是（ ） A. 曲线 上任意两点的距离都不超过 B. 曲线 与曲线 围成的封闭区域包含 6 个整点 (即横纵坐标均为整数的点) C. 直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 D. 曲线 上点 所组成的图形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合曲线方程研究曲线的性质，画出各个选项中的曲线即可. 【详解】A ，对曲线分情况讨论， 则， ， ， ， 作出图象如图所示: 任意两点的距离都不超过 ，故A正确； B，因为，则， 又，则，作出图象如图所示， 故曲线 与曲线 围成的封闭区域包含 6 个整点 ，故B 正确; C，如图所示: 当 时，曲线 即 ，两边平方， 整理得 ，表示以 为圆心，半径 的圆的右半圆; 当 时，曲线 即 ，两边平方， 整理得 .表示以 为圆心，半径 的圆的左半圆. 直线 即 ，表示经过定点 、斜率为 的直线. 因此，直线 与曲线 有两个不同的交点， 就是直线 与两个半圆组成的图形有两个交点， 当直线 与右半圆 有两个交点时，记点 ， 可得直线到圆心的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于 的斜率， 且 ，解得 ; 当直线 与左半圆 有两个交点时，同理解得 . 综上所述，实数 的取值范围是 或 ，即 . 故 的取值范围为 . 故 C错误； D，因为， 令则 所以到以原点为圆心，半径为的圆的距离为， 即点 所组成的图形是一个圆环，作出图象如图， 其面积为 ，故 D 正确. 故选： ABD 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知抛物线的焦点为，过定点的直线与交于两点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，设出直线的方程，与抛物线方程联立，再利用韦达定理及基本不等式求出最小值. 【详解】显然直线斜率存在且不为0，设其方程为，点 ， 由，得，，， 所以，则， 当且仅当时取等号，此时，符合题意， 所以的最小值为. 故答案为： 13. 设数列的前项和为，则 _____. 【答案】2760 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分组求和法，结合等差数列前项和求解. 【详解】数列中，， 当为奇数时，，数列是首项，公差为2的等差数列， 当为偶数时，，数列是首项，公差为4的等差数列， 所以 . 故答案为：2760 14. 在 中， 的角平分线 交 于点 ，且 ，则 _____. 【答案】1 【解析】 【分析】先作垂线 交 于 ，再应用面积公式计算结合边角关系及勾股定理计算求解. 【详解】设 ，则 ，过 作垂线 交 于 . 依题意有 ，所以 ，即 . 在 中有 ，所以 . 在 中， ，即 ， 化简可得， ，即 ， 解得 (舍负). 又 ，所以 . 故答案为：1. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义建立等式求解即可； （2）求导，根据导函数得函数的单调性和极值，结合题意求解即可. 【小问1详解】 由题知 所以. 由题意可知， 解得 或(舍去)，所以； 【小问2详解】 由(1)知 ， 当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以当 时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 即函数的极大值 ，函数的极小值 . 由于当时， ，当 时， ，当时，， 可知当有三个实数根时，. 16. 某中学为了提升课堂教学效果，提出了“学为中心”的理念，同时提出了新的公开课评价标准，为了得到高一年级 位教师对新评价标准是否赞同的真实反馈，学校教研处利用“西蒙斯模型”进行网上问卷调查:在微信中开发了一个随机数模拟小程序，当教师点击 “抽取” 键，手机屏幕将出现数字的快速随机滚动，并最终等可能的生成当中的一个数，每个教师抽取两次.规定“若抽取的两个数奇偶性不同， 则按方案 填写问卷，否则按方案 填写问卷”. 方案 :若第一次抽到的是偶数且第二次抽到的是奇数，则在问卷中填“”，否则填“”； 方案 :若对新评价标准赞同，则在问卷中填“”，否则填“”. 当所有教师完成问卷调查后，统计填“”与填“”的比例.用频率估计概率，即可得到高一年级 位教师对新评价标准赞同比例的估计值. （1）若用 表示按方案 填写问卷的人数，求 的数学期望； （2）若所有调查问卷中，填“”的问卷有 份，试估计高一年级 位教师对新评价标准的赞同比例(用分数表示). 【答案】（1）24 （2） 【解析】 【分析】（1）先算单次抽奇偶不同的概率，再用二项分布求期望； （2）用全概率公式，结合已知条件反推方案②的赞同概率. 【小问1详解】 每名教师每次抽取到偶数的概率为，抽取到奇数的概率为， 每名教师两次抽取到的数字奇偶性不同的概率， 则位教师中按方案填写问卷的人数， 所以 的数学期望. 【小问2详解】 记事件为“按方案填写问卷”，事件为“按方案填写问卷”，事件为“在问卷中填“”. 由(1)知， ，由全概率公式， 则，解得， 所以根据调查问卷估计，高一年级位教师对新评价标准的赞同比例为. 17. 如图1，在梯形中， ，为的中点， ，， ，将 沿折叠，得到图2所示的四棱锥，且使得二面角的大小为，点为棱 上一点. （1）若为 的中点，证明:平面 ； （2）求平面 与平面所成的锐二面角的余弦值的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明结论； （2）由题知二面角的平面角为，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【小问1详解】 证明:为的中点，， 所以， 将 沿折叠后，得到四棱锥， 所以，又为 的中点，所以，① 又，即，， 且， ， 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以，② 又平面 ，③ 所以平面. 【小问2详解】 因为，所以二面角的平面角为， 由已知， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意， 所以， 设平面 的一个法向量为， 由， 令，则，所以， 因为点为棱 上一点.，故平面即为平面 因为， 设平面的一个法向量为， 由， 令，则，所以， 设平面 与平面所成的锐二面角为 ， 所以， 所以平面 与平面所成角的余弦值的大小为 18. 已知双曲线 . （1）若双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，求 的值； （2）在(1)的条件下，若过点 且斜率为 的直线与双曲线 有且只有一个公共点，求 的值； （3）若双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，过点 的直线 交双曲线 于不同的两点 、 ，连接 并延长交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 或 （3） 【解析】 【分析】(1)根据双曲线的渐近线方程相同，结合 的值，即可得出 的值； (2)由题意可知直线的方程为 ，联立双曲线方程，可得 ， 分 两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于 的等式，即可求得 的值; (3)分析可知直线 的斜率不为零，可设直线 的方程为 ，联立双曲线方程，设点 、 ，则 ，列出韦达定理，根据 结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出 ，结合 以及 与 可求出 的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得双曲线 的渐近线方程为 ， 又双曲线 的渐近线方程为 ， 则 . 【小问2详解】 当 时，双曲线的方程为 ， 由题意可知，直线的方程为 ， 联立 ，得 ， 当 ，即 时，方程(*)即为 ，该方程只有一个解，合乎题意； 当 ，即时，则 ， 解得 . 综上所述， 或 . 【小问3详解】 由题知 、 ， 当直线 的斜率为 0 时，此时 ，不合题意， 则直线 的斜率不为 0， 设直线 的方程为 ， ， 根据 延长线交双曲线 于点 ，由双曲线对称性知 ， 联立有 ， 显然二次项系数 ，其中 ， 由韦达定理可得 ①， ②， ，则 ， 因为 在直线 上，则 ， 即 ，即 ， 将①②代入有 ， 即 ，化简得 ， 所以 ，代入 ，得 ， 所以 ，且 ，解得 ， 由 ， 把 代入，解得 ，又 ，则 ， 综上， . 19. 集合 满足下列条件，则被称为 “好集”. ① ，且对任意的 ，其中 且为整数; ②每个集合 中存在一个元素等于 中其他元素的和. 若集合 为 “好集”，我们定义集合 中最大的元素为集合 的一个主元， 所有的主元构成的集合称为 的 “主元子集”. （1）判断集合 是否为“好集”，若是“好集”，写出它的主元子集，若不是，说明理由. （2）设 、 为正整数，若集合 为“好集”. ( i ) 证明: ; (ii) 证明: .并写出等号成立时， 的一个“主元子集”. 【答案】（1）是“好集”，它的主元子集为 （2）设集合 被分拆为 个不相交的子集 ， ， ，满足题目的要求. ( i )因为在任何一个子集中，元素均不同，且其中总有一个主元， 所以，每个子集中均至少含有三个元素. 又集合 中总共有 个元素，则 . (ii) 集合 中所有元素之和为 ， 考虑每个子集中元素的和， 若为子集 的主元，则的所有元素和就是， 显然，所有子集的元素之和小于或等于 ， 最后一个不等式成立是因为 . 故 ， 下表为 时，满足题目要求的一个分拆. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6n-4 6n -5 6n-6 ... 5n-3 5n-5 ... 5n-4 5n-6 5n-8 ... ... ... 故 的一个主元子集为 。 【解析】 【分析】(1)根据“好集”对集合 进行分拆即可求解； (2)( i )因为在任何一个子集中，元素均不同，且其中总有一个主元，所以，每个子集中均至少含有三个元素,从而可得结论. (ii) 由题可得集合 中所有元素之和为 ，若 为子集 的主元，则 的所有元素和就是 ，所有子集的元素之和小于或等于 ，结合，可得，化简即可证明，结合“好集”的定义，当 时，满足题目要求的一个分拆进行列举即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 故它是“好集”，它的主元子集为 . 【小问2详解】 (i)略 (ii)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年元月高三素质检测考试 数学试题 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 设集合 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 （ ） A. 1 B. C. D. 3. 在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 4. 甲、乙、丙三位同学从 7 处不同的景点中各自选 2 处旅游，则三人恰好选择一个相同的景点，且他们各自选择的另一个景点互不相同的选法共有（ ） A. 840 种 B. 420 种 C. 210 种 D. 140 种 5. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于对称，则 （ ） A. B. C. D. 6. 在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 是棱 的中点， 是侧面 内任意一点 (包含边界)，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图，是圆上一动点，在轴上的投影为，则满足的动点的轨迹是椭圆.若椭圆的离心率，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为函数，满足，，其中是的导函数，若为偶函数，则（ ） A. 74 B. 72 C. 70 D. 68 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则 10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. 当 时，函数 的单调递增区间为 B. 若函数 无最小值，则 的取值范围为 C. 对于任意实数 都存在非零实数 ，使得 D. 当 时，若方程 恰有 3 个根，则 的取值范围为 11. 数学中有许多与圆相关的优美的曲线，并由此衍生了很多有趣的数学问题.给出的下列四个结论中，正确结论的选项是（ ） A. 曲线 上任意两点的距离都不超过 B. 曲线 与曲线 围成的封闭区域包含 6 个整点 (即横纵坐标均为整数的点) C. 直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 D. 曲线 上点 所组成的图形的面积为 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知抛物线的焦点为，过定点的直线与交于两点，则的最小值为_____. 13. 设数列的前项和为，则 _____. 14. 在 中， 的角平分线 交 于点 ，且 ，则 _____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围. 16. 某中学为了提升课堂教学效果，提出了“学为中心”的理念，同时提出了新的公开课评价标准，为了得到高一年级位教师对新评价标准是否赞同的真实反馈，学校教研处利用“西蒙斯模型”进行网上问卷调查:在微信中开发了一个随机数模拟小程序，当教师点击 “抽取” 键，手机屏幕将出现数字的快速随机滚动，并最终等可能的生成当中的一个数，每个教师抽取两次.规定“若抽取的两个数奇偶性不同， 则按方案 填写问卷，否则按方案 填写问卷”. 方案 :若第一次抽到的是偶数且第二次抽到的是奇数，则在问卷中填“”，否则填“”； 方案 :若对新评价标准赞同，则在问卷中填“”，否则填“”. 当所有教师完成问卷调查后，统计填“”与填“”的比例.用频率估计概率，即可得到高一年级位教师对新评价标准赞同比例的估计值. （1）若用表示按方案 填写问卷的人数，求的数学期望； （2）若所有调查问卷中，填“”的问卷有 份，试估计高一年级位教师对新评价标准的赞同比例(用分数表示). 17. 如图1，在梯形中， ，为 的中点， ，， ，将 沿折叠，得到图2所示的四棱锥，且使得二面角的大小为，点为棱上一点. （1）若为的中点，证明:平面 ； （2）求平面 与平面所成的锐二面角的余弦值的大小. 18. 已知双曲线 . （1）若双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，求 的值； （2）在(1)的条件下，若过点 且斜率为 的直线与双曲线 有且只有一个公共点，求 的值； （3）若双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，过点 的直线 交双曲线 于不同的两点 、 ，连接 并延长交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围. 19. 集合 满足下列条件，则被称为 “好集”. ① ，且对任意的 ，其中 且为整数; ②每个集合 中存在一个元素等于 中其他元素的和. 若集合 为 “好集”，我们定义集合 中最大的元素为集合 的一个主元， 所有的主元构成的集合称为 的 “主元子集”. （1）判断集合 是否为“好集”，若是“好集”，写出它的主元子集，若不是，说明理由. （2）设 、 为正整数，若集合 为“好集”. ( i ) 证明: ; (ii) 证明: .并写出等号成立时， 的一个“主元子集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $