第06讲 幂的运算（5个知识点+14个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪科版

第06讲 幂的运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3） 概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． （4） 【即学即练】 1．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽六安·期中）已知 ，，则= ． 知识点2 ：幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 【即学即练】 3．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为 ． 4．（25-26七年级下·安徽·期中）计算： ． 知识点3 ：同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 【即学即练】 5．（25-26八年级上·新疆巴音郭楞·期末）计算 ． 6．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）已知，则的值为 ． 知识点4 ：零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 【即学即练】 7．的值为 ． 8．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）当 时，． 知识点5 ：负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 【即学即练】 9．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）计算： ． 10．（24-25七年级下·安徽六安·期中）若，则 ． 【题型1 同底数幂相乘】 例1．若，则的值为（    ） A．2 B．7 C．9 D．14 例2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．若，则 ． 变式2．计算： ． 变式3．把下列各式表示成幂的形式： (1)； (2)； (3)（m是正整数）； (4)． 【题型2 同底数幂乘法的逆用】 例1．已知，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 例2．已知，，则的值是（    ） A．1 B． C．5 D．6 变式1．若 ，其中 m 不为0 ，且 a，b 均为正整数，则的值为 变式2．若，则的值是 ． 变式3．计算： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【题型3 用科学记数法表示数的乘法】 例1．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是，则卫星绕地球运行走过的路程约是（    ）（结果用科学记数法表示） A． B． C． D． 例2．世界上最大的金字塔——胡夫金字塔，用了许多大石块，每块大石块重约，块这样的大石块总重约为（    ） A． B． C． D． 变式1．计算： （用科学记数法表示）． 变式2．光在真空中的速度约是米/秒，某天文台测出某天体射出的光到达地球大约需要秒，则该天体与地球的距离约为 米． 变式3．光年是一种长度单位，它表示光在一年中所通过的距离，已知光每秒通过的距离约为．若一年以计算，则一光年约为 ． 【题型4 幂的乘方运算】 例1．已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 例2．已知，，求的值为 ． 变式1．已知，则 ． 变式2．计算：． 变式3．计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【题型5 幂的乘方的逆用】 例1．已知，，则（    ） A．50 B．45 C．11 D．43 例2．已知，则（    ）． A．16 B．25 C．32 D．64 变式1．若，，则 ． 变式2．已知计算： (1)； (2)． 变式3．请说明能被5整除的理由． 【题型6 积的乘方运算】 例1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 例2．计算： ． 变式1．计算： ． 变式2．计算： 变式3．计算： 【题型7 积的乘方的逆用】 例1．计算：的值为（    ） A． B．6 C． D． 例2．计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D． 变式1．计算：的结果为 ． 变式2．已知，求的值． 变式3．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【题型8 零指数幂】 例1．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．若等式，则的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．以上都不对 变式1．的倒数是（    ）． A．2 B． C．1 D． 变式2．成立的的值为 ． 变式3．若无意义，则整式的值为 ． 【题型9 负整数指数幂】 例1．计算（    ） A． B．1 C． D． 例2．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式1．计算： ． 变式2．计算： 变式3．将代数式表示成只含有正整数指数幂的形式是 ． 【题型10 同底数幂的除法运算】 例1．若，则 ． 例2．已知，，则 ． 变式1．计算：． 变式2．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 变式3．代数推理是强大的抽象思维工具，下面让我们利用这一工具，根据除法的意义推导同底数幂的除法法则． 【观察、思考、发现】 因为除法是乘法的逆运算，计算（m、n为正整数，且，）实际上是要求一个式子“？”，使． 【尝试推导】 （1）假设这个式子“？”是（为正整数，待定）， 即应有，即_____， 所以__________，得_____． 因此，要求的式子“？”应是_____． 由同底数幂的乘法法则，可知（    ）_____． 【得出结论】 （2）______（m、n为正整数，且，） 【语言叙述】 （3）用语言概括（2）的结论：同底数幂相除，_____． 【题型11 同底数幂除法的逆用】 例1．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 例2．已知，，． (1)求的值； (2)写出，，之间的数量关系． 变式1．已知，，求的值． 变式2．按要求解答下列各小题． (1)已知，求的值； (2)已知，求m的值． 变式3．已知，且，． (1)求的值； (2)若，求的值． (3)用含的代数式表示． 【题型12 幂的混合运算】例1．计算： 例2．计算： (1)． (2)________． 变式1．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 变式2．计算： 变式3．计算：． 【题型13 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 例1．唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价值，某品种的牡丹花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 例2．近期，东江湖国家湿地公园陆续迎来大批越冬候鸟，其中中华秋沙鸭已连续9年来此栖息．科研人员测量发现，其羽毛上某种微生物的平均长度约为米，“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 变式1．据统计，支持北斗三号系统的芯片累计出货量已超过10亿片，其中某型号芯片的工艺尺寸为23纳米（即），用科学记数法表示0.000000023正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．红花岗区空气质量监测数据显示，平均浓度为克/立方米，用科学记数法表示为克/立方米，则 ． 变式3．某种细胞的直径约为0.00000095米，若将0.00000095这个数字用科学记数法表示，可表示为，这里的n值为 ． 【题型14 还原用科学记数法表示的小数】 例1．将写成小数的形式，则其小数点后第四位数字是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 例2．新冠病毒非常小，无孔不入，我们要“珍惜生命，讲究卫生”．新冠病毒的直径约为，若用科学记数法记作，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 变式1．的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 变式2．计算：，结果用科学记数法可以表示为 ． 变式3．下列是用科学记数法表示的数，写出其原数： （1） ； （2） ． 1．下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．下列四个算式中，正确的有（   ） ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知，，则的值（   ） A．18 B．9 C． D． 5．下列运算：①，②，③，④ ，其中结果正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．下列各式：①；②；③；④；⑤，其中运算正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（    ） A． B． C． D． 9．计算： ． 10．已知，，则 ． 11．计算： （1）已知，则的值是________． （2）若，则________． 12．若，则 ， ． 13．一批志愿者组成了一个爱心团队，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第1个月他们募集到资金1万元，随着影响力的扩大，第n（且n为整数）个月他们募集到的资金比上个月增加20%，则当某月募集的资金首次突破10万元时，相应的n的值为 （参考数据：，，）． 14．若等式成立，则的值为 ． 15．计算： (1) (2) (3) (4) 16．（1）已知，，则求的值； （2）若，，求的值． 17．已知：，，． (1)求的值． (2)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 18．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 19．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 20．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 幂的运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 【即学即练】 1．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是乘法与乘方的定义，掌握 “相同数相加” 与 “相同数相乘” 的表示方法是解题的关键．根据乘法定义，个相加可表示为；根据乘方定义，个相乘可表示为，进而得出式子的结果． 【详解】解：， ， 原式． 故选：． 2．（25-26七年级下·安徽六安·期中）已知 ，，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，逆用同底数幂相乘，底数不变，指数相加．根据逆用同底数幂乘法，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 知识点2 ：幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 【即学即练】 3．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先求出，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·安徽·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 知识点3 ：同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 【即学即练】 5．（25-26八年级上·新疆巴音郭楞·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算，（其中 ），据此求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则．利用同底数幂的除法法则，将指数相减转化为幂的除法，再代入已知值计算 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 知识点4 ：零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 【即学即练】 7．的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查零指数幂，根据零指数幂的法则，任何非零实数的零次幂都等于1，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：1． 8．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）当 时，． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂，根据零次幂的定义，底数不为零时，零次幂等于1，进行求解即可． 【详解】解：因为任何非零数的零次幂都等于1，所以当时，，即． 故答案为：． 知识点5 ：负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 【即学即练】 9．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方及负整数幂，先计算积的乘方，再利用负整数幂的运算法则化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·安徽六安·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，平方根和绝对值均为非负数，它们的和为零时，每个部分必须为零，从而得到关于和的方程组，求解后计算． 【详解】解：因为且，且它们的和为零， 所以且． 所以 所以． 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，利用算术平方根的非负性解题，绝对值非负性，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【题型1 同底数幂相乘】 例1．若，则的值为（    ） A．2 B．7 C．9 D．14 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是计算的关键． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ． 故选：C． 例2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加． 本题主要考查了同底数幂乘法的运算法则，掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：B． 变式1．若，则 ． 【答案】81 【分析】本题考查同底数幂的运算，熟练掌握幂运算的法则是关键． 利用同底数幂相乘的法则，将指数相加，再代入已知条件计算． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，， ∵ ， ∴． 故答案为：81． 变式2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 变式3．把下列各式表示成幂的形式： (1)； (2)； (3)（m是正整数）； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂乘法法则是解题关键，（1）-（4）小题均直接运用同底数幂相乘，底数不变，指数相加法则计算． 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：， （4）解：． 【题型2 同底数幂乘法的逆用】 例1．已知，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂相乘的逆用，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，利用这一法则计算即可． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ ． 故选：D． 例2．已知，，则的值是（    ） A．1 B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查指数运算的基本性质，直接应用法则即可求解.利用指数运算法则，同底数幂的乘法，底数不变，指数相加. 【详解】解：∵ ，， ∴ . 故选D. 变式1．若 ，其中 m 不为0 ，且 a，b 均为正整数，则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 变式2．若，则的值是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，直接利用同底数幂的乘法运算法则得出关于m，n的等式，进而求出答案，正确掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15 ． 变式3．计算： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)512； 【分析】（1）根据同底数幂相乘的逆用求解， （2）根据同底数幂相乘的逆用求解， 【详解】（1）， ． （2）， ． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘的逆用，解题的关键是熟练运用运算法则. 【题型3 用科学记数法表示数的乘法】 例1．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是，则卫星绕地球运行走过的路程约是（    ）（结果用科学记数法表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 例2．世界上最大的金字塔——胡夫金字塔，用了许多大石块，每块大石块重约，块这样的大石块总重约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法以及同底数幂的乘法法则进行计算和表示即可． 【详解】解：； 故选B． 变式1．计算： （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和科学记数法，先计算系数的乘积，再计算同底数幂的乘法，最后将结果化为标准科学记数法形式． 【详解】解： 由于科学记数法要求系数 满足 ，   . 故答案为： ． 变式2．光在真空中的速度约是米/秒，某天文台测出某天体射出的光到达地球大约需要秒，则该天体与地球的距离约为 米． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的实际应用，熟练掌握运算法则，根据题意列关系式是解题的关键．根据公式“距离速度时间”，然后根据同底数幂相乘等于底数不变，指数相加的原则进行计算，最终再把结果用科学记数法，其中的形式表示即可． 【详解】解：有题意可知，该天体与地球的距离为（米）． 故答案为：． 变式3．光年是一种长度单位，它表示光在一年中所通过的距离，已知光每秒通过的距离约为．若一年以计算，则一光年约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，用科学记数法表示数的乘法，先理解题意列式，再结合同底数幂相乘法则进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴一光年约为， 故答案为：． 【题型4 幂的乘方运算】 例1．已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，将4和8转化为2的幂，利用指数运算性质结合已知等式求解． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 例2．已知，，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是幂的运算性质，灵活运用积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键．根据积的乘方公式，以及幂的乘方公式，将变形为，再代入已知条件计算． 【详解】由和，得． 故答案为：． 变式1．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，将转化为，利用同底数幂相乘的法则，合并指数后代入已知条件计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以， 因此， 因为， 所以， 故答案为：． 变式2．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，幂的乘方， 先根据幂的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 变式3．计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，逐个计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【题型5 幂的乘方的逆用】 例1．已知，，则（    ） A．50 B．45 C．11 D．43 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用以及幂的乘方的逆用，解题的关键是熟练掌握运算法则． 由于，所以分解为，再代入计算即可． 【详解】解：，， ． 故选B． 例2．已知，则（    ）． A．16 B．25 C．32 D．64 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的运算，掌握好幂运算的法则是解题关键． 按照幂运算的法则，先将转化为，与合并后，将代数式整体代入即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故选：C． 变式1．若，，则 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方法则． 先根据已知条件，将所求表达式分解为已知指数的乘积形式，再代入数值计算． 【详解】解：，， ，， ． 故答案为：． 变式2．已知计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)216 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握计算公式． （1）根据逆用同底数幂的乘法得到，再代入即可求解； （2）根据逆用幂的乘方得到，再代入即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：． 变式3．请说明能被5整除的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查幂的乘方的逆用及同底数幂乘法的逆用，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据幂的乘方及同底数幂的乘法的逆用进行求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴能被5整除． 【题型6 积的乘方运算】 例1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方运算． 根据积的乘方运算法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 例2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 变式1．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，掌握这两个运算法则是关键；先计算积的乘方，再计算幂的乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方． 先计算积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 变式3．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： 【题型7 积的乘方的逆用】 例1．计算：的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方逆运算，解题的关键是逆用积的乘方公式，根据积的乘方公式，将原式转化为进行计算． 【详解】解： ， 故选：C． 例2．计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． 逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选C． 变式1．计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用．观察指数相同，利用幂的运算性质将原式化为积的乘方形式即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式2．已知，求的值． 【答案】 1 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则解题即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 变式3．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 【题型8 零指数幂】 例1．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是零指数幂，熟知非零数的零次幂等于1是解题的关键．根据零指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， 解得． 故选：B． 例2．若等式，则的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查了乘方运算，零次幂运算，先理解，再进行分类讨论，分别算出的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴当时，则， 此时， ∴，符合题意； ∴当时，则， 此时， ∴，符合题意； 当时，则， 此时， ∴，符合题意； 综上：若等式，则的值为或或0， 故选：D. 变式1．的倒数是（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查零次幂的计算、倒数的概念，解题的关键是明确，的倒数为． 由，再取倒数即可． 【详解】， 所以的倒数是1． 故选：C． 变式2．成立的的值为 ． 【答案】2025 【分析】该题考查了零指数幂，根据指数方程的性质，当底数不为0且不等于时，幂为1当且仅当指数为0． 【详解】解：因为底数是无理数与有理数的和，且， 所以，且，， 因此，当方程成立时，当且仅当指数， 解得：． 故答案为：2025． 变式3．若无意义，则整式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查零指数幂的意义及代数式求值，解题的关键是根据零指数幂无意义的条件求出的值． 先根据零指数幂无意义的条件（底数为0）求出的值，再将其代入整式计算． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【题型9 负整数指数幂】 例1．计算（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数化简．熟练掌握负整数指数的意义性质，是解题的关键． 利用负指数法则，将表达式转化为正指数的倒数形式，然后计算平方. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ . 故选：A． 例2．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂和乘方运算，分别计算 a、b、c 的值，然后比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：C． 变式1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方及负整数幂，先计算积的乘方，再利用负整数幂的运算法则化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，求一个数的算术平方根，求一个数的绝对值，解题关键是掌握运算的顺序． 先计算零次幂、绝对值、负整数指数幂、算术平方根，再计算加减． 【详解】解：原式 ． 变式3．将代数式表示成只含有正整数指数幂的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂的转化． 利用负整数指数幂法则（其中）将表达式化为只含正整数指数幂的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型10 同底数幂的除法运算】 例1．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算，负整数指数幂，根据已知条件式可推出，所求式子可变形为，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例2．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，掌握其运算法则是关键． 利用指数运算法则，将所求表达式转化为已知值的运算． 【详解】解：已知 ，， ∵，， ∴原式， 故答案为：． 变式1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，先运算积的乘方，然后运算同底数幂相乘，再运算同底数幂相除，最后合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 变式2．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法及乘方的运算法则． （1）根据同底数幂乘法法则，将变形，代入已知条件求值即可； （2）根据同底数幂的乘方和除法法则，将变形，代入已知条件求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 变式3．代数推理是强大的抽象思维工具，下面让我们利用这一工具，根据除法的意义推导同底数幂的除法法则． 【观察、思考、发现】 因为除法是乘法的逆运算，计算（m、n为正整数，且，）实际上是要求一个式子“？”，使． 【尝试推导】 （1）假设这个式子“？”是（为正整数，待定）， 即应有，即_____， 所以__________，得_____． 因此，要求的式子“？”应是_____． 由同底数幂的乘法法则，可知（    ）_____． 【得出结论】 （2）______（m、n为正整数，且，） 【语言叙述】 （3）用语言概括（2）的结论：同底数幂相除，_____． 【答案】（1）；；；；；； （2） （3）底数不变，指数相减 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则、除法与乘法的逆运算关系以及同底数幂除法法则的推导，解题的关键是利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，结合除法是乘法逆运算的性质，通过待定指数建立等式推导结果． （1）根据同底数幂乘法法则，将化为；由等式得指数相等关系，求解得，确定“？”为；再验证同底数幂乘法的结果与一致． （2）根据（1）的推导，直接得出同底数幂除法的结果． （3）将（2）的代数结论转化为文字语言，概括同底数幂除法的法则． 【详解】（1）解：根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，可得；   已知，即；   ∵同底数幂相等时，指数相等（），   ∴；   解得；   因此，要求的式子“？”应是；   由同底数幂的乘法法则，可知 故依次填：；；；；；；； （2）解：由（1）的推导可知，除法是乘法的逆运算，当时，（、为正整数，且，）．   故答案为：； （3）解：（2）中（、为正整数，且，），用语言概括为“同底数幂相除，底数不变，指数相减”．   故答案为：底数不变，指数相减． 【题型11 同底数幂除法的逆用】 例1．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算求解即可； （2）根据同底数幂乘法和除法的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：，，， ． 例2．已知，，． (1)求的值； (2)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂乘法及除法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法及除法的逆用是解题的关键； （1）根据同底数幂乘法及除法的逆用可进行求解； （2）根据同底数幂乘法的逆用可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴ ． （2）解：∵， 又， ∴， ∴． 变式1．已知，，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了同底数幂的除法．利用同底数幂除法法则对式子进行变形． 【详解】解：，， ． 变式2．按要求解答下列各小题． (1)已知，求的值； (2)已知，求m的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查同底数幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用同底数幂的除法法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂的乘方，根据同底数幂的乘法和除法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）， ， ， ， ∴， ∴． 变式3．已知，且，． (1)求的值； (2)若，求的值． (3)用含的代数式表示． 【答案】(1)9 (2)6 (3) 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法与除法的逆运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）把化为，再整体代入计算即可； （2）由可得，再整体代入进一步求解即可； （3）根据，，得出，，从而得出，，得出，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【题型12 幂的混合运算】 例1．计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式运算法则是解题的关键．先运算积和幂的乘方运算法则，再运用同底数幂相乘运算法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 例2．计算： (1)． (2)________． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了幂的混合运算和积的乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用积的乘方和同底数幂乘法计算后，再计算减法即可； （2）逆用积的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 故答案为： 变式1．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，有理数的乘方和加法运算，负整数指数幂，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法，幂的乘方计算即可； （2）先计算有理数的乘方、负整数指数幂，再进行加法计算． （3）根据积的乘方法则计算即可． （4）根据零指数幂、负整数指数幂法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 变式2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项等知识；利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可． 【详解】解： ． 变式3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，根据积的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【题型13 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 例1．唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价值，某品种的牡丹花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示形式是解题的关键． 科学记数法表示形式为，其中，为整数.对于小于的数，为负整数，其绝对值等于小数点向右移动的位数． 【详解】解：∵的小数点向右移动位得到， 且满足， ∴， 故选B. 例2．近期，东江湖国家湿地公园陆续迎来大批越冬候鸟，其中中华秋沙鸭已连续9年来此栖息．科研人员测量发现，其羽毛上某种微生物的平均长度约为米，“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的表示方法作答即可． 【详解】解：∵移动小数点5位后得到，且满足， ∴． 故选：A． 变式1．据统计，支持北斗三号系统的芯片累计出货量已超过10亿片，其中某型号芯片的工艺尺寸为23纳米（即），用科学记数法表示0.000000023正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：0.000000023用科学记数法表示为． 故选：C． 变式2．红花岗区空气质量监测数据显示，平均浓度为克/立方米，用科学记数法表示为克/立方米，则 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此求解即可． 【详解】解：， 则． 故答案为：． 变式3．某种细胞的直径约为0.00000095米，若将0.00000095这个数字用科学记数法表示，可表示为，这里的n值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：， 则， 故答案为： ． 【题型14 还原用科学记数法表示的小数】 例1．将写成小数的形式，则其小数点后第四位数字是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个非零的数字前面的0的个数所决定； 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂． 【详解】因为， 所以小数点第四位数字是0； 故选：A． 例2．新冠病毒非常小，无孔不入，我们要“珍惜生命，讲究卫生”．新冠病毒的直径约为，若用科学记数法记作，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数． 将化为，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 变式1．的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 【答案】5 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，将科学记数法表示的较小的数还原，即可得出答案． 【详解】解：， ∴的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0． 故答案为：5． 变式2．计算：，结果用科学记数法可以表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，先把科学记数法表示的数还原，再计算，再利用科学记数法表示即可． 【详解】解：， 用科学记数法可以表示为， 故答案为：． 变式3．下列是用科学记数法表示的数，写出其原数： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，则，，进行作答即可． 【详解】解：，， 故答案为：， 1．下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的运算法则，包括幂的乘方与同底数幂的乘法，同底数幂乘方的逆运算，将已知条件转化为以2为底的指数形式，利用指数运算法则求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵，且， ∴ ， ∴． ∴， 故选A． 3．下列四个算式中，正确的有（   ） ①；②；③；④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方运算法则与符号处理，掌握幂的乘方指数相乘，以及多层符号的化简规则是解题的关键． 根据指数运算法则和符号规则，逐一判断每个算式的正确性． 【详解】解：① ∵ ，而原式写为 ，错误，不符合题意； ② ∵ ，且指数相乘过程正确，正确，符合题意； ③ ∵ ，∴ ，正确，符合题意； ④ ∵ ，∴ ，错误，不符合题意； ∴正确的有②和③，共个． 故选：C． 4．已知，，则的值（   ） A．18 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相除和幂的乘方法则，逆用同底数幂相除和幂的乘方法则将变形为，然后把已知整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 5．下列运算：①，②，③，④ ，其中结果正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘除，积的乘方，利用相关知识分别计算各式即可． 【详解】解：① ∵ ，∴ 错误； ② ∵ ，∴ 错误； ③ ∵ ，∴ 正确； ④ ∵ ，∴ 错误． 综上，只有1个正确． 故选：A． 6．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算及幂的大小比较，熟练掌握“将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过指数（或底数）比较大小”是解题的关键．将、转化为同底数幂的形式，再通过比较幂的底数和指数大小，确定、、的关系． 【详解】解：∵ ，，，底数，指数均为14 ∴ ，即 ∵ 底数均为3，指数， ∴ ，即， ∴ 故选：. 7．下列各式：①；②；③；④；⑤，其中运算正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 逐一判断每个式子的正确性，基于指数运算法则和代数运算规则． 【详解】解：①∵，∴错误， ②∵是加法，不能合并指数，∴错误， ③∵，∴错误， ④∵，∴正确， ⑤∵，∴错误， 综上，只有④正确，故正确个数为1， 故选：A． 8．已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算，关键是将分解质因数后利用幂的乘方和积的乘方进行变形． 利用指数运算法则，将 分解为 ，再结合已知条件代入． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 且，， ∴． 故选：D． 9．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，通过指数分解和结合简化计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．已知，，则 ． 【答案】 71 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法的逆用， 利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知值的组合，然后代入计算． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以． 故答案为：71． 11．计算： （1）已知，则的值是________． （2）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法法则，掌握将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入求值是解题的关键． （1）利用指数运算性质，将表示为的平方，再求值； （2）将化为的立方，利用同底数幂相乘的法则，结合已知条件求值． 【详解】解：（1）， ， ，即． 故答案为：． （2）， ， ， ，即． 故答案为：． 12．若，则 ， ． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键． 通过同底数幂的乘法与积的乘方法则化简左边表达式，比较两边指数，建立方程求解即可． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， ． 解得 ，． 故答案为：，． 13．一批志愿者组成了一个爱心团队，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第1个月他们募集到资金1万元，随着影响力的扩大，第n（且n为整数）个月他们募集到的资金比上个月增加20%，则当某月募集的资金首次突破10万元时，相应的n的值为 （参考数据：，，）． 【答案】14 【分析】根据募集资金每月增长，第个月资金为万元，需解不等式，利用参考数据计算幂次，确定最小整数． 本题主要考查了增长率的问题，以及同底数幂的乘法，解题的关键是根据题意列出第个月募集到的资金，再根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：第1个月募集资金为1万元，每月增长，则第个月募集资金为万元． 由题意得． 参考数据：，，． 计算得， ， 故，． 故答案为：14． 14．若等式成立，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了零指数幂以及乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键，注意分类讨论．根据零指数幂的性质，乘方的运算法则分类讨论求解即可． 【详解】解：①当时，解得：， ∴ 此时，符合题意； ②当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； ③当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； 综上可知，x的值为或或． 故答案为：或或． 15．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算性质并正确应用符号法则． （1）先根据幂的乘方计算，再依据同底数幂乘法计算乘积． （2）分别用幂的乘方计算、积的乘方计算，再通过同底数幂乘法合并结果． （3）分别用幂的乘方计算，再进行同底数幂乘法运算． （4）分别用积的乘方计算，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．（1）已知，，则求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）72 【分析】本题考查求代数式的值，以及同底数幂的乘方、乘法计算，熟练掌握对应公式是解题的关键． （1）将代入，可求得的值，最后求出的值； （2）由变形成，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； 解：（2）∵， ∵，， ∴， ∴． 17．已知：，，． (1)求的值． (2)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查幂的运算； （1）利用同底数幂的乘法即可求解； （2）由可得，利用即可得结论. 【详解】（1）解：∵，， 又∵ ∴. （2）解：数量关系为，理由如下： ， ， 又，，， 即， . 18．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)32 (2)25 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用． （1）根据同底数幂乘法的逆用计算即可． （2）根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 19．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，变形计算即可； （2）逆向应用积的乘方解答即可． 本题考查了公式的逆向应用，熟练掌握公式是解题的关键 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解： ． 20．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 【答案】(1)3 (2)相等 (3)4 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法和除法运算等知识点． （1）先由幂的乘方得到，再由同底数幂的乘法运算法则得到，则，解方程即可； （2）将化为，再由幂的乘方化简比较即可； （3）设，则，设，则，再根据通过幂的运算性质推导求值． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：，故相等； （3）解：设，则， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 所以，即． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $