精品解析：广东省惠州市第一中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

2028届高一·一月月考 数学科 试题 (满分150分．考试时间120分钟．) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则等于（ ）． A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（ ） A. 2 B. 4 C. 0.5 D. 0.25 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知角A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：） A. 72 B. 74 C. 76 D. 78 8. 定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若角的终边经过点， 则 B. 若 ，则 C. 若函数 的单调递减区间为 D. 函数的单调递减区间为 10. 如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量与净化时间（月）的近似函数关系：且的图象.以下说法中正确的是（ ） A. B. 第4个月时，剩留量就会低于； C. 每月减少的有害物质质量都相等; D. 剩留量为时，所经过的时间分别是，则. 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：（1）____________；（2）____________． 13. 已知那么___________ 14. 已知函数，若实数，满足，则的最大值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在上的值域； 16. 已知 （1）化简; （2）若，求的值． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）求满足不等式的t的取值范围. 18. 已知， 函数 （1）当时， 解不等式； （2）设， 若对任意函数f(x)在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． （3）若关于的方程 的解集中恰有一个元素，且还满足不等式 求的值． 19. 若函数满足：对任意的正数，，都有，则称函数为“函数”. （1）分别判断函数和函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数为“函数”，，且当时，，证明： （i），； （ii），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一·一月月考 数学科 试题 (满分150分．考试时间120分钟．) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合M，再求对数型复合函数定义域求出集合，再根据补集和交集运算求解即可. 【详解】， 所以或， 又， 所以. 故选：D 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将选项中区间左右端点代入函数解析式，若发现两端函数值异号，则零点就在该区间. 【详解】因为，而 则，根据零点存在性定理可知 函数零点所在区间为：. 故选：C. 【点睛】本题考查函数零点所在区间的确定，判断依据是零点存在性定理. 3. 已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（ ） A. 2 B. 4 C. 0.5 D. 0.25 【答案】A 【解析】 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，结合扇形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大. 故选：A 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】因为， 所以，解得. 所以， 故 “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知角A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合利用诱导公式判断AB；利用锐角三角形的性质及正弦函数的单调性、诱导公式判断CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于CD，在锐角三角形ABC中，，则， 而函数在上单调递增， 所以，同理可得，故C错误，D正确. 故选：C 6. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案. 【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除AB； 根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除C. 故选：D 7. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：） A. 72 B. 74 C. 76 D. 78 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则， 由， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为74次． 故选：B 8. 定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】分析出函数的图象关于直线对称，分析可知为关于的方程的一根，求出的值，即可得解. 【详解】令，作出函数的大致图象， 当时，， 故函数的图象关于直线对称， 因为关于的方程恰有个不同的实数根， 则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设， 设方程的两根分别为、，且，则， 所以，，， 因此，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 若角的终边经过点， 则 B. 若 ，则 C. 若函数 的单调递减区间为 D. 函数的单调递减区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数的定义、正弦函数的单调性、对数函数的单调性等逐项判断计算即可. 【详解】对于A：因为角的终边经过点， 根据三角函数的定义可得，A正确； 对于B：因为 ，所以，所以. 若，则，所以，那么， 此时，与矛盾，所以B错误； 对于C：因为，所以， 在内，函数的单调递减区间为，此时，C正确； 对于D：因为是单调递增函数，所以要求函数的单调递减区间， 即是求的单调递减区间，因为，时或. 所以的单调递减区间为，所以函数的单调递减区间为，D错误. 故选：AC. 10. 如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量与净化时间（月）的近似函数关系：且的图象.以下说法中正确的是（ ） A. B. 第4个月时，剩留量就会低于； C. 每月减少的有害物质质量都相等; D. 剩留量为时，所经过的时间分别是，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求函数的解析式，再根据选项，代入函数值，即可判断选项. 【详解】由于函数的图象经过点，，得，故函数的关系式为.故A正确. 当时，，故B正确； 当时，，减少，当时，，减少，故每月减少有害物质质量不相等，故C不正确； 分别令，解得，，故D正确. 故选：ABD 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据的函数性质证明即可. 【详解】对于选项A，记． 因为，所以为奇函数，故选项A正确； 对于选项B，由选项A可知，从而， 所以，故选项B错误； 对于选项C，记．若为奇函数，则， ，即， 所以，即． 上式化简得，． 则必有，解得， 因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确； 对于选项D，由选项C可知，． 当时，是减函数，，所以 ， 故选项D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：（1）____________；（2）____________． 【答案】 ①. ②. ##0.5 【解析】 【分析】（1）利用幂运算法则运算即可； （2）利用对数的运算法则运算即可． 【详解】（1）； （2） ． 13. 已知那么___________ 【答案】 【解析】 【分析】令，解得，再根据解析式求解即可. 【详解】因为，故令，解得， 所以 故答案为： 14. 已知函数，若实数，满足，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用奇偶性定义和单调性的性质可得的奇偶性和单调性，由已知等式可得，利用基本不等式可求得的最大值，由此可得结果. 【详解】 ，易知， 令，而， 为定义在上的奇函数； 与均在上单调递增，在上单调递增； 由得：， 由为定义在上的奇函数可得：， ，故 （当且仅当，即，时取等号）， ，即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在上的值域； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的性质计算即可求解. （2）由的取值范围求出，再根据余弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 令，解得 因此，的单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，， 所以，所以. 因此，函数在上的值域为. 16. 已知 （1）化简; （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式直接化简即可； （2）由题知，为第一、三象限角，再结合同角三角函数关系，根据，利用诱导公式分类讨论求解即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：由得，故， 又，故， 因，故为第一、三象限角 当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，， 因为 所以， 故当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）求满足不等式的t的取值范围. 【答案】（1）； （2） 在上单调递增，证明如下， 令，则， 由，所以，即， 所以在上单调递增，由奇函数的对称性知在上单调递增， 结合（1）及已知区间解析式知：时，时， 又，则，所以在上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求区间解析式即可； （2）利用单调性定义证明在上的单调性，结合奇函数的对称性判断其在定义域上的单调性，即可证； （3）利用奇函数的性质、单调性列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由，则，所以， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，则， 由在上单调递增，则，可得， 所以. 18. 已知， 函数 （1）当时， 解不等式； （2）设， 若对任意函数f(x)在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． （3）若关于的方程 的解集中恰有一个元素，且还满足不等式 求的值． 【答案】（1）． （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性，当时，求不等式的解集即可； （2）根据题意得出，通过对数的运算转化为任意恒成立，所以只需求函数在上的最小值即可； （3）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的根的个数问题，通过讨论和即可求出答案. 【小问1详解】 当时，由解得或， 由得，，解得， 所以不等式的解集为． 【小问2详解】 由复合函数的单调性可知，在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值与最小值分别为与， 则， 即，对任意成立． 因为，对称轴， 所以关于的二次函数在区间上单调递增， 所以时，，则，得． 所以的取值范围为． 【小问3详解】 方程的解集中恰有一个元素， 等价于方程仅有一个解，即方程仅有一个解， 当时，，满足，符合题意； 当时， ①若方程有两个相等的解，则需，解得， 方程的解为，满足； ②若时，方程有两不等实根，设为，显然， 由，得， 因为，所以，即， 所以都满足，所以此时不满足题意， 综上或． 19. 若函数满足：对任意的正数，，都有，则称函数为“函数”. （1）分别判断函数和函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数为“函数”，，且当时，，证明： （i），； （ii），. 【答案】（1）不是“函数”，是“函数”，理由如下： 对于，取， 则，. 因为，不满足， 故不是“函数”； 对于，对任意的正数，， 有 ， 因为，则，所以函数是“函数”. （2） （i）令，， ， . （ii）因为当时，， 所以对任意，有， 又，则， 又， 所以， 由（i）知，则， 所以， 则， 故. 【解析】 【分析】（1）对举反例即可，利用作差法结合因式分解并利用指数函数性质即可判断； （2）（i）令，，不断迭代即可证明；（ii）根据并结合，再根据其定义性质即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是利用是令，，再通过不断迭代即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $