精品解析：吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第三中学2024-2025学年上学期九年级期末跟踪测试数学试卷（二）

跟踪测试卷 九上综合测试（二） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】观察顶点式解析式即可解答． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了顶点式，熟知的顶点为是解题的关键． 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 太阳从南方升起 B. 短跑运动员1秒跑完100米 C. 买一张电影票，座位号是奇数号 D. 温度降到以下，纯净水结冰 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查随机事件的定义；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，据此判断选项即可． 【详解】解：A、太阳从南方升起不可能发生，为不可能事件，故A不符合题意； B、短跑运动员1秒跑完100米不可能，为不可能事件，故B不符合题意； C、买电影票时座位号可能是奇数或偶数，结果不确定，为随机事件，故C符合题意； D、水在以下结冰必然发生，为必然事件，故D不符合题意． 故选：C． 3. 剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产”，如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度不可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用旋转变换的性质判断即可． 【详解】解：由图形知，该图形是旋转对称图形， 则旋转都可以与自身重合， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转对称图形的特征，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键． 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 5. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 6. 如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则的度数为（ ） A. 60° B. 72° C. 144° D. 随着点的变化而变化 【答案】B 【解析】 【分析】求出正五边形每条边所对的圆心角的度数，再根据圆心角和圆周角的数量关系式即可求得． 【详解】连接、， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了正多边形和圆，解题的关键是熟悉正多边形和圆的性质． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在个英文字母、、、、中，是中心对称图形的是________． 【答案】、、 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：在5个英文字母H、K、N、S、T中，是中心对称图形的是H、N、S． 故答案为H、N、S． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质，掌握好中心对称与轴对称的概念．中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 8. 对1000件某品牌毛衣进行抽检，统计合格毛衣的件数．在相同条件下，经过大量的重复抽检，发现一件合格毛衣的频率稳定在，则这1000件毛衣中合格的件数大约是____件． 【答案】950 【解析】 【分析】用总件数乘以合格毛衣的频率即可得出答案． 【详解】解：（件）， 故答案为：950． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_________. 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，根据一元二次方程的根与的关系列出不等式即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得且． 故答案为：且． 10. 如图，已知是的弦，点C在弦上，，，，则圆心O到的距离为_____________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，掌握这两个定理是关键；过点O作于点E，则，，由勾股定理即可求得，从而求得结果． 【详解】解：如图，过点O作于点E， 则， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即圆心O到的距离为； 故答案为：12． 11. 如图是抛物线的部分图象，若，则自变量的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为，从而可判断时对应自变量取值范围． 【详解】解：观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为， 抛物线与轴另一个交点为， 当时，自变量的范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点灵活选取解一元二次方程的方法是解题的关键；利用公式法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，． 13. 若关于x的二次函数的图象经过原点，且有最大值，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键；由题意得，求得m的值，再根据二次函数有最大值则可得为负数，最后可确定m的值． 【详解】解：∵关于x的二次函数的图象经过原点， ∴， 即， 解得：； ∵二次函数有最大值， ∴， 即， ∴． 14. 如图将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求BD的长． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质得，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】由旋转的性质得：，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 15. 一个不透明的口袋中有个大小相同的小球，球面上分别写有数字，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球． （1）求第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是_________； （2）请用树状图或列表法的一种，求两次摸出球上的数字的积为奇数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，中只有2是偶数，则求第一次摸出一个球，球上数字是偶数的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 依题意，列表如下， 共有9种等可能结果，其中摸出球上的数字的积为奇数有4种可能， ∴摸出球上的数字的积为奇数的概率为． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 16. 如图，已知在由边长为1的小等边三角形构成的网格中，每个小等边三角形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，为格点三角形，请解答以下问题． （1）画出绕点A顺时针旋转后得到的； （2）计算点B在旋转过程中经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了画旋转图形，求点的弧形运动路径长． （1）找到绕点A顺时针旋转后的对应点，再依次连接即可； （2）利用弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：绕点A顺时针旋转后得到如图； 【小问2详解】 解：点B在旋转过程中经过的路径长为． 17. 如图，在中，，为上一点，以为直径的半圆与交于点，且切于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，推出，由平行线的性质以及半径相等即可推得结论； （2）连接，根据等边三角形的判定与性质以及含30度角的直角三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵切于点， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴、都为等边三角形，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 18. 用长为6米的铅合金条制成如图所示的矩形窗框，其中////，设窗框的高度为米． （1）设窗框宽度为米，则______米（用含的代数式表示）； （2）当窗户的透光面积为1.5平方米时，请你计算出窗框的高和宽分别是多少米（铝合金条的宽度忽略不计） 【答案】（1） （2）窗框的高是１米，宽是1.5米． 【解析】 【分析】（1）根据图形可知铝合金的长度=3高+2宽，再根据等式的性质即可表示； （2）根据矩形的面积计算公式列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵是矩形窗框，////， ∴AD=EF=DC=x米，AB=DC=y米， ∴， 解得， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵窗户的透光面积为1.5平方米， ∴， 整理得：, 解得， ∴窗框的高是1米，宽是1.5米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，列代数式，矩形的性质．解决本题的关键是正确表示窗框宽度． 19. 如图，为的直径，，为弦，，为延长线上的点，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用已知得出，进而得出答案； （2）直接利用的面积减去扇形的面积进而得出答案． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， 即， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：在中，，， ，， 图中阴影部分的面积 ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定以及扇形面积求法，正确掌握切线的性质与判定方法是解题关键． 20. 如图，在中，，，，线段上有一动点D，以的速度从点A出发向终点B运动．过点D作，交折线于点E，将绕点E逆时针旋转得到线段，将绕点F逆时针旋转得到线段．设点D运动的时间为，四边形与重叠部分的面积为． （1）四边形的形状是_____________（不用证明）； （2）当点F在上时，求x的值； （3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）正方形 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转性质及正方形判定即可判断为正方形； （2）由等腰三角形的性质与判定、正方形的性质得，结合即可求得x的值； （3）分三种情况：当时；当时；当时；分别计算出重合部分的面积即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 则四边形是矩形， 由旋转知，， ∴四边形是正方形； 故答案为：正方形； 【小问2详解】 解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：当时，如图； 此时，重合部分为正方形， 由（2）知， ∴； 当时，如图； 此时重合部分为五边形， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； 当时，如图； 此时两点重合，重合部分为，， ∴； 综上，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，求动点问题的函数等知识，注意分类讨论． 21. 综合与实践 某兴趣小组成员选取了两个完全相同的含角的三角尺如图①摆放，其中，，．保持不动，将绕着直角顶点C顺时针旋转一个角度． （1）如图②，边与边交于点D． ①当时，判断此时的形状并证明； ②当时，若是等腰三角形，则_____________； （2）如图③，当继续旋转至点、、B在同一条直线上时，连接，直接写出的长． 【答案】（1）①是等边三角形，理由见解析；②或 （2） 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质； （1）①当时，，即可判定是等边三角形； ②分类讨论：当时，；当时，； （2）延长交于，利用含角直角三角形的性质可得，，再利用勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：（1）①当时，是等边三角形，理由如下： ∵，即， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． ②∵， ∴若是等腰三角形，则只有或， 当时，， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴． 故答案为：或． 【小问2详解】 解：延长交于， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，抛物线与x轴交于点和点．点C是抛物线上的一个动点，抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方抛物线对称轴上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点C的纵坐标是3，求点C的坐标； （3）若点C在对称轴的右侧，且轴，连接、，当四边形是平行四边形时，求点C的坐标； （4）在（3）的条件下，连接，在x轴上方的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3） （4）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查用待定系数求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定； （1）将点和点代入抛物线解析式，即可求解； （2）点C的纵坐标是3，令，求解即可； （3）由抛物线的解析式可得对称轴为，再由平行四边形的性质可得点C的横坐标为，令，，即可求出点C的坐标； （4）分类讨论：当时，过点C作轴，证明可得，可求出点P的坐标；当时，证明可得，可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：将点和点代入抛物线解析式得： ，解得：， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：∵点C的纵坐标是3， 令，解得：或， ∴或． 【小问3详解】 解：若点C在对称轴的右侧，且轴，连接、，当四边形是平行四边形时，如图所示： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点C的横坐标为， 令，， ∴． 【小问4详解】 解：当时，过点C作轴，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 综上：存在，点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 跟踪测试卷 九上综合测试（二） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 抛物线的顶点坐标为（ ） A B. C. D. 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 太阳从南方升起 B. 短跑运动员1秒跑完100米 C. 买一张电影票，座位号是奇数号 D. 温度降到以下，纯净水结冰 3. 剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产”，如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度不可以是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. 5 B. C. 4 D. 5. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则的度数为（ ） A. 60° B. 72° C. 144° D. 随着点的变化而变化 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在个英文字母、、、、中，是中心对称图形的是________． 8. 对1000件某品牌毛衣进行抽检，统计合格毛衣的件数．在相同条件下，经过大量的重复抽检，发现一件合格毛衣的频率稳定在，则这1000件毛衣中合格的件数大约是____件． 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_________. 10. 如图，已知是的弦，点C在弦上，，，，则圆心O到的距离为_____________． 11. 如图是抛物线的部分图象，若，则自变量的取值范围是_____________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 13. 若关于x二次函数的图象经过原点，且有最大值，求m的值． 14. 如图将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求BD的长． 15. 一个不透明的口袋中有个大小相同的小球，球面上分别写有数字，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球． （1）求第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是_________； （2）请用树状图或列表法的一种，求两次摸出球上的数字的积为奇数的概率． 16. 如图，已知在由边长为1的小等边三角形构成的网格中，每个小等边三角形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，为格点三角形，请解答以下问题． （1）画出绕点A顺时针旋转后得到的； （2）计算点B在旋转过程中经过的路径长（结果保留）． 17. 如图，在中，，为上一点，以为直径的半圆与交于点，且切于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 用长为6米的铅合金条制成如图所示的矩形窗框，其中////，设窗框的高度为米． （1）设窗框宽度为米，则______米（用含的代数式表示）； （2）当窗户的透光面积为1.5平方米时，请你计算出窗框的高和宽分别是多少米（铝合金条的宽度忽略不计） 19. 如图，为的直径，，为弦，，为延长线上的点，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，求图中阴影部分的面积． 20. 如图，在中，，，，线段上有一动点D，以的速度从点A出发向终点B运动．过点D作，交折线于点E，将绕点E逆时针旋转得到线段，将绕点F逆时针旋转得到线段．设点D运动的时间为，四边形与重叠部分的面积为． （1）四边形的形状是_____________（不用证明）； （2）当点F在上时，求x的值； （3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 21. 综合与实践 某兴趣小组成员选取了两个完全相同含角的三角尺如图①摆放，其中，，．保持不动，将绕着直角顶点C顺时针旋转一个角度． （1）如图②，边与边交于点D． ①当时，判断此时的形状并证明； ②当时，若是等腰三角形，则_____________； （2）如图③，当继续旋转至点、、B在同一条直线上时，连接，直接写出的长． 22. 如图，抛物线与x轴交于点和点．点C是抛物线上的一个动点，抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方抛物线对称轴上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点C的纵坐标是3，求点C的坐标； （3）若点C在对称轴的右侧，且轴，连接、，当四边形是平行四边形时，求点C的坐标； （4）在（3）的条件下，连接，在x轴上方的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $