数学一模提分卷04（天津专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件对不等式进行求解，再根据集合交集的性质即可判断选项. 【详解】由解得，结合得， 由解得或，所以 所以. 故选：A 2．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据分数指数幂与根式的互化公式分析充分性，结合充分不必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以由，所以充分性成立； 当，显然，但是，所以必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性和特殊点的函数值符号，可排除干扰项. 【详解】由可知，，即，，显然该函数定义域关于原点对称， 由可知，函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除BD两项； 又，所以排除A. 又C选项的图象满足函数的性质． 故选：C 4．（热点题）一组样本数据.其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为.对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为. ，分布如图所示，且，则下列说法错误的是（    ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 【答案】C 【分析】利用回归方程系数判断A；利用样本中心点计算判断B；利用图像的波动性判断CD. 【详解】对于A，经验回归方程中斜率，则样本负相关，A正确； 对于B，原样本均值：， 由，得，B正确： 对于C，由图1的数据波动较大可得比更集中，则，C错误； 对于D，由图1的残差平方和较图2的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，D正确.   故选：C. 5．已知指数函数是减函数，若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用指数函数的性质得到，再利用指对数函数的性质可得，，即可求解. 【详解】因为指数函数是减函数，则， 所以，即， 又，，所以， 故选：B. 6．已知函数恒成立，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，是函数的最大值，由正弦函数的图像与性质求解即可. 【详解】由题意得，是函数的最大值， ,得， ，又． 故选：A 7．如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可得出，即可求出体积. 【详解】连接，因为线段的中点，，则， 又为线段的中点，，，则， 则， 则该四面体的外接球球心为，半径为，体积为. 故选：C 8．设，分别为双曲线（）的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，若，则双曲线的离心率可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】，结合条件，利用双曲线的定义可得，，由构成三角形的条件可得，即可求解. 【详解】如图，设， 由双曲线的定义知，所以，又，所以 又，，则，在中，， 由，得到，又，所以， 结合各个选项，A正确，B、C、D错误， 故选：A. 9．等比数列满足，，记的前项和为，则（   ） A．510 B． C．或264 D．510或 【答案】D 【分析】由对数的计算解得，由等比数列的项的关系解得，讨论的值，由等比数列前项和公式求得 【详解】等比数列满足，即， ∴， 即，∴， 当时，. 当时，. 所以或. 故选：D. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则 . 【答案】 【分析】先通过复数的运算法则将给定的复数化简，再根据纯虚数的定义来确定参数的值. 【详解】因为为纯虚数， 所以且，解得. 故答案为： 11．若的展开式中的系数为231，则 . 【答案】2 【分析】求出展开式的通项公式，令的次幂为求出，然后利用系数列方程即可求解. 【详解】的展开式的通项，. 令，解得，则，解得. 故答案为：2. 12．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，联立直线与抛物线的方程，求出圆的方程，进而求出弦长. 【详解】由抛物线的焦点为，得抛物线的方程为， 直线方程为，由，消去得，设， 则，线段中点， ，则以AB为直径的圆为， 令，得，所以该圆被y轴截得的弦长为. 故答案为： 13．某校元旦联欢晚会的最后一个环节是一个抽奖游戏，主持人从编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将三个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ． 【答案】 /0.5； . 【分析】根据条件概率的定义结合古典概型概率公式可求，分奖品在1号箱，奖品不在1号箱，两种情况讨论，结合独立事件的概率公式可得抽奖人更改了选择并中奖的概率. 【详解】奖品在1号箱，甲选择了1号箱，主持人可从2，3号箱中打开一个，则； 若奖品在1号箱，其概率为，抽奖人更改了选择，则其选中奖品所在箱子的概率为0； 若奖品不在1号箱，其概率为，主持人随机打开不含奖品的那个箱子， 若此时抽奖人更改选择，其选中奖品所在箱子的概率为1. 所以若抽奖人更改选择，其中奖的概率为. 故答案为：；. 14．在平行四边形中，，．若为的中点，则向量在向量上的投影向量为 （用表示）；若，点在边上，满足，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据投影向量定义以及模长和夹角计算可得出投影向量，建立平面直角坐标系将数量积坐标化，得出的表达式并根据二次函数性质计算可得其最小值. 【详解】依题意可知， 又，， 所以 则向量在向量上的投影向量为； 以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示： 由，可得，且， 所以， 又，所以； 设，所以，由可得； 又，所以； 因此； 可得， 显然当时取得最小值，最小值为. 故答案为：； 15．设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据对称性，周期性画出函数在区间的图象，再在同一坐标系下作出函数的图象，由函数的零点个数，转化为两个函数图象的交点个数，列式求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 则， 函数图象关于轴对称， 且， 即的周期为4. 作出函数在上的图象， 根据的对称性及周期性， 可得出在上的图象， 若函数在左开右闭区间上恰有3个不同的零点， 则在区间上关于的方程恰有 3 个不同的实数根， 则函数与函数在上恰有 3 个不同的交点； 所以，解得. 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，的面积为，． (1)求A的值； (2)求b的值； (3)求的值． 16. 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化及三角恒等变形化简得，结合三角形内角即可求A的值； （2）由面积公式可得，利用余弦定理得，结合即可求b的值； （3）由（2）知，利用余弦定理的推论可求，根据倍角公式求出，最后用和差公式求值即可． 【详解】（1）由正弦定理得，（1分） ，（2分） ，，（3分） 又，所以．（4分） （2），即①，（5分） 又，即②，（6分） 由①②解得或，（8分） 又， 所以b的值为8．（9分） （3）由（2）知， 所以，（10分） ，（11分） 又，所以，， 则，（12分） 所以 ，（14分） 即的值为． 17．（15分）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，. (1)求证：平面； (2)若. （i）求三棱柱的体积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理，结合勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直的判定推理得证. （2）（i）由（1）的信息，结合三棱锥的体积公式求解；（ii）建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在中，由， 得，（1分） 则， ，（2分） 由四边形是矩形，得，（3分） 又平面，且，（4分） 所以平面.（5分） （2）（i）由（1）知平面，又平面平面， 则平面平面，（6分） 而，则，（7分） 由，得，即有，（8分） 取中点，连接，则，又，则， 所以.（10分） （ii）以点为原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，（11分） ， 设平面的法向量，则，取，得，（13分） 设平面的法向量为，则，取，得，（14分） 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 18．（15分）已知椭圆：的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为的斜率为，求证：为定值． 18. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率和，联立即可求解得椭圆方程， （2）联立直线与椭圆方程可得，联立两直线方程可求解，进而根据三点共线的向量坐标关系可求解，即可由斜率公式求解. 【详解】（1）因为，故，所以．（1分） 由，得．（3分） 所以椭圆的方程为．（4分） （2）因为不为椭圆顶点，则的方程为且．①（5分） 将①代入，，（7分） 故，解得，故．（8分） 又直线的方程为．②（9分） ①与②联立解得．（10分） 由得,（11分） 由三点共线可得，（12分） 求得．（13分） 所以的斜率，则（定值）．（15分） 19．（15分）（热点题）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． (1)若数列为数列的偶数列，求． (2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． (3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和． 19.【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）列出在区间内的偶数，再利用偶数列的定义求出. （2）求出在区间内的偶数个数，进而求出数列的通项公式，再利用等比数列的定义证明. （3）利用等差数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法及错位相减法求解. 【详解】（1）在区间内的偶数为，共13个， 所以.（2分） （2）在区间内的偶数为，则．（4分） 于是，，（5分） 所以是首项为2，公比为2的等比数列.（6分） （3）依题意，等差数列的公差， 则，，（8分） 由（2）知，，则，（9分） 令数列的前项和为，则，（10分） 于是，（11分） 两式相减得：，（12分） ，（13分） 因此，而数列前项和为，（14分） 所以.（15分） 20．（16分）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 20. 【答案】(1)； (2)； (3) 证明见解析. 【分析】（1）求出及，由点斜式求得切线方程； （2）由分析需满足条件，得到，再说明时不满足条件； （3）由（2）得，令可得，累加证明. 【详解】（1）当时，，，即切点坐标为，（1分） 又可得，即切线斜率为，（3分） 所以曲线在处的切线方程为，即；（4分） （2） 当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立，（5分） 所以 设，（6分） 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以，（7分） 所以，得；（8分） 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件，（10分） 综上可知，实数的取值范围为.（11分） （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即，（12分） 令，则，所以，（13分） 即，（14分） 所以 .（16分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A A C C B A C A D 第二部分（非选择题 共105分） 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11．2 12． 13. /0.5； . 14. 15. 四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化及三角恒等变形化简得，结合三角形内角即可求A的值； （2）由面积公式可得，利用余弦定理得，结合即可求b的值； （3）由（2）知，利用余弦定理的推论可求，根据倍角公式求出，最后用和差公式求值即可． 【详解】（1）由正弦定理得，（1分） ，（2分） ，，（3分） 又，所以．（4分） （2），即①，（5分） 又，即②，（6分） 由①②解得或，（8分） 又， 所以b的值为8．（9分） （3）由（2）知， 所以，（10分） ，（11分） 又，所以，， 则，（12分） 所以 ，（14分） 即的值为． 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理，结合勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直的判定推理得证. （2）（i）由（1）的信息，结合三棱锥的体积公式求解；（ii）建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在中，由， 得，（1分） 则， ，（2分） 由四边形是矩形，得，（3分） 又平面，且，（4分） 所以平面.（5分） （2）（i）由（1）知平面，又平面平面， 则平面平面，（6分） 而，则，（7分） 由，得，即有，（8分） 取中点，连接，则，又，则， 所以.（10分） （ii）以点为原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，（11分） ， 设平面的法向量，则，取，得，（13分） 设平面的法向量为，则，取，得，（14分） 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 18．（15分） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率和，联立即可求解得椭圆方程， （2）联立直线与椭圆方程可得，联立两直线方程可求解，进而根据三点共线的向量坐标关系可求解，即可由斜率公式求解. 【详解】（1）因为，故，所以．（1分） 由，得．（3分） 所以椭圆的方程为．（4分） （2）因为不为椭圆顶点，则的方程为且．①（5分） 将①代入，，（7分） 故，解得，故．（8分） 又直线的方程为．②（9分） ①与②联立解得．（10分） 由得,（11分） 由三点共线可得，（12分） 求得．（13分） 所以的斜率，则（定值）．（15分） 19.（15分） 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）列出在区间内的偶数，再利用偶数列的定义求出. （2）求出在区间内的偶数个数，进而求出数列的通项公式，再利用等比数列的定义证明. （3）利用等差数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法及错位相减法求解. 【详解】（1）在区间内的偶数为，共13个， 所以.（2分） （2）在区间内的偶数为，则．（4分） 于是，，（5分） 所以是首项为2，公比为2的等比数列.（6分） （3）依题意，等差数列的公差， 则，，（8分） 由（2）知，，则，（9分） 令数列的前项和为，则，（10分） 于是，（11分） 两式相减得：，（12分） ，（13分） 因此，而数列前项和为，（14分） 所以.（15分） 20．（16分） 【答案】(1)； (2)； (3) 证明见解析. 【分析】（1）求出及，由点斜式求得切线方程； （2）由分析需满足条件，得到，再说明时不满足条件； （3）由（2）得，令可得，累加证明. 【详解】（1）当时，，，即切点坐标为，（1分） 又可得，即切线斜率为，（3分） 所以曲线在处的切线方程为，即；（4分） （2） 当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立，（5分） 所以 设，（6分） 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以，（7分） 所以，得；（8分） 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件，（10分） 综上可知，实数的取值范围为.（11分） （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即，（12分） 令，则，所以，（13分） 即，（14分） 所以 .（16分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共30分） 10．______________________ 11．______________________ 12．______________________ 13．__________，__________ 14．_________，___________ 15．______________________ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 非 作 答 区 域 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][B][C[D] 4[A][B][CD] 7[A][B][C[D] 2[A[B][C[D] 5[A]B][CD] 8[A[B][CD] 3[A]B][C][D] 6[A][B][C]D] 9[A[B][C[D] 双阙 三、填空题（每小题5分，共30分） 10. 11. 12 13. 14 15 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) A A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 非 作 答 区 域 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．（热点题）一组样本数据.其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为.对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为. ，分布如图所示，且，则下列说法错误的是（    ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 5．已知指数函数是减函数，若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数恒成立，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 8．设，分别为双曲线（）的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，若，则双曲线的离心率可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．等比数列满足，，记的前项和为，则（   ） A．510 B． C．或264 D．510或 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则 . 11．若的展开式中的系数为231，则 . 12．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为 ． 13．某校元旦联欢晚会的最后一个环节是一个抽奖游戏，主持人从编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将三个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ． 14．在平行四边形中，，．若为的中点，则向量在向量上的投影向量为 （用表示）；若，点在边上，满足，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 15．设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，的面积为，． (1)求A的值； (2)求b的值； (3)求的值． 17．（15分）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，. (1)求证：平面； (2)若. （i）求三棱柱的体积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（15分）已知椭圆：的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为的斜率为，求证：为定值． 19．（15分）（热点题）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． (1)若数列为数列的偶数列，求． (2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． (3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和． 20．（16分）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．（热点题）一组样本数据.其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为.对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为. ，分布如图所示，且，则下列说法错误的是（    ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 5．已知指数函数是减函数，若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数恒成立，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 8．设，分别为双曲线（）的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，若，则双曲线的离心率可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．等比数列满足，，记的前项和为，则（   ） A．510 B． C．或264 D．510或 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则 . 11．若的展开式中的系数为231，则 . 12．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为 ． 13．某校元旦联欢晚会的最后一个环节是一个抽奖游戏，主持人从编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将三个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ． 14．在平行四边形中，，．若为的中点，则向量在向量上的投影向量为 （用表示）；若，点在边上，满足，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为 ． 15．设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，的面积为，． (1)求A的值； (2)求b的值； (3)求的值． 17．（15分）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，. (1)求证：平面； (2)若. （i）求三棱柱的体积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（15分）已知椭圆：的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为的斜率为，求证：为定值． 19．（15分）（热点题）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． (1)若数列为数列的偶数列，求． (2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． (3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和． 20．（16分）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． / 学科网（北京）股份有限公司 $