精品解析：江苏省泰州市姜堰区城西实验学校2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题

八年级数学独立作业 一、选择题 1. 在3.14、、，、0.2020020002……这5个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，，，点、在上，那么添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线和交于点，根据图象可知的解集为（　　） A B. C. D. 5. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题 7. 25的算术平方根是 _______ . 8. 已知等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的底角的度数为_____； 9. 已知点在一次函数的图像上，则代数式的值为__________． 10. 写出一个经过第四象限的一次函数，满足：y的值随着x的值增大而增大，___． 11. 若一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是___． 12. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则的值为_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点．则的面积为______． 14. 如图，过点A的直线轴，点B在x轴的正半轴上，平分交于点， 则A的坐标是______． 15. 甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是__________． 16. 如图，在直角坐标系中，已知轴，，，，．现在为方便居民生活，政府决定在一条笔直的公路边上新建一个燃气站P，该公路的函数表达式是直线，从燃气站P向C、D两个中转站分别铺设管道，输送燃气．C、D两个中转站点之间有一个古建筑区，燃气管道不能穿过该区域，为使铺设管道的路线最短，则燃气站P的坐标是______． 三、简答题 17. （1）计算： （2）求的值：． 18. 因式分解： （1） （2） 19. 已知与x成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数关系式； （2）点P1(m，y1)、P2(m+1，y2)在（1）中函数图象上，比较y1与y2的大小． 20. 完成如下项目式学习表： 课题任务 代数推理 人员／日期 七（4）班张瑾峣，李一飞，李远航2025年6月3日 观察 ；． 猜想 比任意一个奇数大7的数与此奇数的平方差能被7整除． 求索 （1）______； 论证 （2）设奇数为（为整数），试说明比大7的数与的平方差能被7整除； 延伸 （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是几？请说明理由． 21. 如图，在四边形中，点E，F分别在边，上，连接． （1）从①；②；③平分这三个信息中，选择两个作为条件，剩余的一个作为结论构成一个命题．试写出你所构造的命题，判断命题是否正确，并说明理由； 你选择条件是______，______；结论是______．（只要填写序号） （2）在（1）条件下，若，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 22. 如图，在长方形电子广告屏中，，．动态效果设计如下：动点P从点A出发沿长方形的边，以的速度向点C运动，逐渐展开主体广告画面． （1）写出屏幕展开面积关于点P的运动时间的函数表达式； （2）画出上述函数的图象． （3）当屏幕展开面积达到电子广告屏的三分之一时开始播放广告语，播放时间持续钟，求播放结束时电子屏幕未展开面积． 23. 如图，在中，点D是边上的中点，，垂足为点E． （1）只使用无刻度的直尺和圆规各1次，作出边上的高（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B． （1）如图，若点，点B关于y轴的对称点为点，求直线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，点C是线段上不与点B、重合的一个动点．点D是线段上的一点，且满足．当为等腰三角形时，求点C的坐标； （3）如图2， 若， 动点C在线段上， 将线段绕点A顺时针旋转， 得到线段，连接、，请直接写出线段长度的最小值． 25. 在平面直角坐标系中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中，．若有，则称点Q为点P的“两倍差点”， （1）在点、、、中，点_____是点的“两倍差点”； （2）已知点M的坐标为， ①若点N是直线上一点，且点M是点N的“两倍差点”；求点N的坐标； ②若点H的坐标为，点T是点M的“两倍差点”，当线段距离最小时，点T的坐标为______； （3）若将直线在y轴左侧的图象沿x轴翻折，其余图像保持不变，所形成的新的图象记为图形W，若图形W上恰好有点的两个“两倍差点”，请求出m的取值范围． 26. 综合与实践： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为） （1）小明发现无论怎样画，这样的三角形形状大小都是一样的，这个结论的依据是______ （2）图2是一个的正方形网格．利用构图法在图中画出格点，使，，；直接写出的面积______ （3）如图，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接，与面积之间的关系为______； （4）请利用以上的解题方法求出图中六边形花坛的面积（正方形面积为；正方形面积为，正方形面积为）为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学独立作业 一、选择题 1. 在3.14、、，、0.2020020002……这5个数中，无理数有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握“无理数是无限不循环小数”是解题的关键．先明确无理数定义（无限不循环小数），再逐一判断这五个数是否符合该定义． 【详解】解：∵3.14是有限小数， ∴3.14是有理数； ∵是无限不循环小数， ∴是无理数； ∵，是无限不循环小数， ∴是无理数； ∵是无限不循环小数， ∴是无理数； ∵是无限不循环小数， ∴是无理数； ∴无理数有4个． 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据偶次方的非负性判断的正负，然后根据点的坐标正负判断点的位置即可．本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中各个象限点的坐标特征． 【详解】解：∵， ∴， ∴点一定在第二象限， 故选：B． 3. 如图，，，点、在上，那么添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐项分析即可． 详解】解：∵， ∴， A、若添加，则， ∴，故不符合题意； B、若添加， ∴，故不符合题意； C、若添加，则， ∴，故不符合题意； D、若添加，不符合全等三角形的判定方法，故符合题意； 故选：D． 4. 如图，直线和交于点，根据图象可知的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象即可求解． 【详解】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象下方， 表明当时，； 即不等式的解集为：； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的交点与一元一次不等式的关系，数形结合是本题的最大特点． 5. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义和识别．因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式．根据定义逐一判断各选项，即可得答案． 【详解】解：A．是整式乘法，不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意； B．选项左边是多项式，右边是与的积，符合因式分解的定义，故该选项符合题意； C．选项右边不是积的形式，不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意； D．，选项等式不成立，不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意． 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由于无论x取何值始终有，且和均为一次函数，故两直线必须平行，得到，再根据恒成立求m的取值范围即可． 【详解】解：∵，， 且无论x取何值始终有， ∴两直线平行，即， ∴， ∵恒成立， ∴，解得， 又∵， ∴且； 故选：D． 二、填空题 7. 25的算术平方根是 _______ . 【答案】5 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根． 【详解】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键． 8. 已知等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的底角的度数为_____； 【答案】##40度 【解析】 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解． 【详解】解：①当这个角是顶角时，底角； ②当这个角是底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理，所以舍去． 故答案为． 9. 已知点在一次函数的图像上，则代数式的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．先把点代入一次函数，求出，再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：点在一次函数的图像上， ，即， 故答案为：3． 10. 写出一个经过第四象限的一次函数，满足：y的值随着x的值增大而增大，___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据函数的增减性和象限确定函数解析式参数，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 一次函数中，随增大而增大需，经过第四象限需，据此求解即可． 【详解】解：设一次函数表达式为， ∵的值随着的值增大而增大， ∴， ∵经过第四象限， ∴，取，，得函数，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 11. 若一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数之间的关系，两直线的交点即是二元一次方程组的解．根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标即可得． 【详解】解：∵两直线的交点， ∴关于、的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 12. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，列出二次一次方程组，求出的值，进而求出代数式的值． 【详解】解：点关于轴对称， 解得 ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点．则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点坐标，根据计算求解即可． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， ， 直线的解析式为； 在中，当时，， ， ． 故答案为：6． 14. 如图，过点A的直线轴，点B在x轴的正半轴上，平分交于点， 则A的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理，坐标与图形等，利用数形结合的思想解决问题是关键．令直线与轴的交点为，根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，进而推出，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，令直线与轴的交点为， 直线轴， ， 平分， ， ， ， ， ，， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， A的坐标是， 故答案为：． 15. 甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象求出甲车的速度是本题的关键．根据图象，求出甲车的速度，设甲车出发t min后乙车追上甲车，根据两车与A地距离相等列等式，用t将v表示出来，根据t的取值范围，求出v的最小值即可． 【详解】解：由函数图象可知甲的速度为（km/min）， 追及的路程为（km）， 时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min）， 时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min）， 所以乙车的速度v的取值范围是． 故答案为：． 16. 如图，在直角坐标系中，已知轴，，，，．现在为方便居民生活，政府决定在一条笔直的公路边上新建一个燃气站P，该公路的函数表达式是直线，从燃气站P向C、D两个中转站分别铺设管道，输送燃气．C、D两个中转站点之间有一个古建筑区，燃气管道不能穿过该区域，为使铺设管道的路线最短，则燃气站P的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、轴对称—最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和两个一次函数交点联立方程组． 为了使铺设管道的路线最短，燃气站应建在点关于直线的对称点与点连线与直线的交点处，先求出点的坐标，联立方程组，即可求得燃气站P的坐标． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，因为燃气管道不穿过，所以连接，此时管道路线最短，设交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，如图所示， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 令得，， 令得，解得，， 又， 在中， ， 在中，， 由、对称可知，，， ， ，，， ，， ， ， ， 设直线的解析式为：，代入点、的坐标， 可得 解得， 直线的解析式为：， 解得 ． 故答案为：． 三、简答题 17. （1）计算： （2）求的值：． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，利用立方根的含义解方程. （1）按照实数的运算顺序运算即可. （2）根据立方根进行运算即可. 【详解】解：（1）原式. （2）， ∴， 解得：. 18. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 已知与x成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数关系式； （2）点P1(m，y1)、P2(m+1，y2)在（1）中函数的图象上，比较y1与y2的大小． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据正比例函数的定义设，将的值代入求解即可； （2）根据，随的增大而减小，即可判断的大小关系． 【详解】（1）与x成正比例， 设 当时，． 解得 （2）点P1(m，y1)、P2(m+1，y2)在的图象上， 随的增大而减小， 【点睛】本题考查了正比例函数的定义和一次函数的性质，熟练掌握一次函数的基本知识是解题关键． 20. 完成如下项目式学习表： 课题任务 代数推理 人员／日期 七（4）班张瑾峣，李一飞，李远航2025年6月3日 观察 ；． 猜想 比任意一个奇数大7的数与此奇数的平方差能被7整除． 求索 （1）______； 论证 （2）设奇数为（为整数），试说明比大7的数与的平方差能被7整除； 延伸 （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是几？请说明理由． 【答案】（1）17；（2）见解析；（3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数为7，理由见解析 【解析】 【分析】（1）​先观察给定的等式规律：和，再将规律中的数字替换为题目要求的 5，直接计算 的值，最后将结果除以 7，即可求得结果； ​​（2）​先设任意奇数为（m 为整数），则比它大 7 的数为，​再计算平方差：，利用平方差公式展开并化简，​最后提取公因数 7，说明结果为 7 的整数倍． ​​（3）​先设任意整数为 n，则比它大 7 的数为，​再计算平方差：，展开后化简，​最后将结果表示为 的形式（r 为余数），确定余数 r． 【详解】解：（1）， 故答案为：17； （2）根据题意可知，比奇数大7的数为， ． 为整数， 能被7整除． （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数为7． 理由如下：根据题意设这个数为，比大7的数为， ， 比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数为7． 【点睛】本题综合考查代数推理能力，核心在于掌握平方差公式和整式变形技巧，体现数学建模思想，通过代数方法将具体问题一般化是解题的关键． 21. 如图，在四边形中，点E，F分别在边，上，连接． （1）从①；②；③平分这三个信息中，选择两个作为条件，剩余的一个作为结论构成一个命题．试写出你所构造的命题，判断命题是否正确，并说明理由； 你选择的条件是______，______；结论是______．（只要填写序号） （2）在（1）的条件下，若，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）①，②，③，或①，③；②；（答案不唯一）命题正确，理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，命题与定理，及三角形的外角性质， ①选择的条件是①，②；利用即可证明≌，则，即有平分；②选择的条件是①，③；结论是②；根据角平分线得，利用证明≌，则有； 由知≌，有，则和，即有，结合三角形外角得，那么 【小问1详解】 解：①选择的条件是①，②；结论是③；或①，③；②；（答案不唯一）命题正确；理由如下： 在和中， ， ≌， ， 平分， ②选择的条件是①，③；结论是②；命题正确；理由如下： 平分， 在和中， ， ≌， ∴ 故答案为：①，②；③；或①，③；②；（答案不唯一） 【小问2详解】 ，理由如下： 由知， ， ， ， ∴， ， ， 22. 如图，在长方形电子广告屏中，，．动态效果设计如下：动点P从点A出发沿长方形的边，以的速度向点C运动，逐渐展开主体广告画面． （1）写出屏幕展开面积关于点P的运动时间的函数表达式； （2）画出上述函数的图象． （3）当屏幕展开面积达到电子广告屏的三分之一时开始播放广告语，播放时间持续钟，求播放结束时电子屏幕未展开面积． 【答案】（1） （2）图见解析 （3）电子屏幕未展开面积为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，求函数解析式以及画函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）分类讨论，根据三角形的面积公式即可建立函数解析式； （2）描点，连线即可作图； （3）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积，再代入（1）中的关系式可得的值，计算3秒后展开的面积，进而即可解答． 【小问1详解】 解：当点在边上运动时，此时的范围是， 则 ， ； 当点在边上运动时，此时的范围是， ∴， ∴ ， ， 综上所述，； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示， 【小问3详解】 解：由题意得，广告屏总面积：， ∴三分之一面积为， 当时，代入，得， ∴播放结束的时间为，， ∴此时展开面积： ， ∴未展开面积：， 答：播放结束时未展开的画面面积是． 23. 如图，在中，点D是边上的中点，，垂足为点E． （1）只使用无刻度的直尺和圆规各1次，作出边上的高（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）图见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键； （1）以D为圆心以长为半径画弧交于点F，连接，则为边上的高； （2）连接，由题意易得，，则有，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：以D为圆心以长为半径画弧交于点F，连接，则为边上的高． 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵点D是边上的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B． （1）如图，若点，点B关于y轴的对称点为点，求直线的函数表达式； （2）在（1）条件下，点C是线段上不与点B、重合的一个动点．点D是线段上的一点，且满足．当为等腰三角形时，求点C的坐标； （3）如图2， 若， 动点C在线段上， 将线段绕点A顺时针旋转， 得到线段，连接、，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入，求出直线的函数表达式，进而得到点的坐标，根据轴对称的性质，得到点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据坐标可得，再结合等边对等角，推出，根据坐标可得，再结合等边对等角，推出，若为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别求解即可； （3）取的中点，连接，根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，由旋转的性质可知，，，证明，得到，当轴时，的长度最小，此时的长度最小，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入，得 ，解得：， ， 令，则， ， 点B关于y轴的对称点为点， ， 设直线的函数表达式为， 则，解得：， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：，，， ，，， ， ， ， 若为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，， ， ， 中，， ， 解得：， 点C的坐标为； ②当时，， ，，， ， ， ， 点C的坐标为 ③当时，， ，即点与点重合， ， ，此时点C与点B或重合，不符合题意； 综上可知，点C的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接， ，， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ，即， ， ， 当轴时，的长度最小，此时的长度最小， 在中，， ， 线段长度的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，坐标与图形，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，旋转的性质等，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 25. 在平面直角坐标系中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中，．若有，则称点Q为点P的“两倍差点”， （1）在点、、、中，点_____是点的“两倍差点”； （2）已知点M的坐标为， ①若点N是直线上一点，且点M是点N的“两倍差点”；求点N的坐标； ②若点H的坐标为，点T是点M的“两倍差点”，当线段距离最小时，点T的坐标为______； （3）若将直线在y轴左侧的图象沿x轴翻折，其余图像保持不变，所形成的新的图象记为图形W，若图形W上恰好有点的两个“两倍差点”，请求出m的取值范围． 【答案】（1） （2）①② （3） 【解析】 【分析】本题在新定义的基础上，考查了一次函数及其图象的性质，解一元一次不等式组，等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是对新定义的理解． （1）根据定义得，进一步得到结论； （2）①设，根据M是点N的“两倍差点”可得出结果； ②设，根据定义得出，从而，T在直线上运动，当时，最小，进一步得出结果； （3）可得出图形W的函数解析式为，设图象上的点Q和图象上的点F分别是点P的“两倍差点”，根据“两倍差点”定义得出不等式，进一步求得m的范围． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ，， ∴C和D是点E的“两倍差点”； 故答案为：C，D； 【小问2详解】 ①设， ， ， ， ； ②如图1， 设， ∴， ∴， 如图1， T在直线上运动， 当时，最小， 设l交x轴于，交y轴于，作， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ； 故答案为：； 【小问3详解】 如图2， 直线在y轴左侧的图象沿x轴翻折的图象的解析式为， 图形W的函数解析式为 设图象上的点是点P的“两倍差点”， 则， ， ， ， ， 设图象上的点是点P的“两倍差点”， 则， ， ， ， ， ． 26. 综合与实践： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为） （1）小明发现无论怎样画，这样的三角形形状大小都是一样的，这个结论的依据是______ （2）图2是一个的正方形网格．利用构图法在图中画出格点，使，，；直接写出的面积______ （3）如图，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接，与面积之间的关系为______； （4）请利用以上的解题方法求出图中六边形花坛的面积（正方形面积为；正方形面积为，正方形面积为）为______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定方法及勾股定理与网格问题，熟练掌握网格特征及勾股定理是解题关键． （1）根据三边长一定，利用可证明三角形都全等即可得答案； （2）把、、表示为两个正整数的平方和的形式，利用勾股定理在网格中画出图形，用三角形所在长方形的面积减去三个小三角形的面积，即可求出的面积； （3）利用网格分别求出两个三角形的面积，比较即可得答案； （4）把、、表示为两个正整数的平方和的形式，利用勾股定理，把图中六边形花坛在边长为的网格中画出，利用网格特征求出四个三角形的面积，再求四个三角形与三个正方形的面积和即可得答案． 【小问1详解】 解：∵，，三边的长分别为、、，三边长一定， ∴根据，无论怎样画，这样的三角形都与全等， ∴这样的三角形形状大小都是一样的． 故答案为： 【小问2详解】 解：如图所示： 由勾股定理可知，，， ∴． 故答案为： 【小问3详解】 解：由图可知： ∴，， ∴． 故答案为： 【小问4详解】 解：∵正方形面积为；正方形面积为，正方形面积为9， ∴，，， ∴把图中六边形花坛在边长为的网格中画出，如图所示： ∴， ， ， ， ∴六边形花坛的面积． 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $