10.1 两角和与差的三角函数（3知识点+9题型+过关检测）（预习讲义）高一数学苏教版

10.1 两角和与差的三角函数 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1： 两角和与差的余弦公式 1、 已知角值或者其三角函数值，直接可以套用公式求两角和跟差。 2、 可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 3、 两角和与差的公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式。 注意： 1、注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。 2、在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 （25-26高三上·北京·月考）若，且．则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系和余弦的两角和公式求解即可. 【详解】由题意，且，故， 所以. 故答案为： 知识点2 ： 两角和与差的正弦公式 1、 已知角值或者其三角函数值，直接可以套用公式求两角和跟差。 2、 可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 3、 两角和与差的公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式。 注意： 1、 注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。 2、在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 （24-25高一下·甘肃兰州·期中）若，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】求出、的值，然后利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，，则， 所以， ， 因此， . 故答案为：. 知识点3： 两角和与差的正切公式 1、 ； 2、 对于两角和差的正切公式的逆用: 3、 对于正切与正余弦的关系，当遇到正余弦的齐次式的时候，都可以考虑看能不能化成正切来出来。 注意： 在正切求值与化简的问题中，经常会用到两角和与差的正切公式的逆用，当题目中遇到正切和或差以及两角或者三角正切乘积时，考虑是不是两角和与差的正切公式。 （24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】因为，则. 故选：B. ：两角和与差的余弦公式正用 例1． （24-25高一下·广东汕尾·期末）已知，是第四象限角，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用诱导公式结合正弦的差角公式，求得，再利用平方关系，求出，再利用余弦的和角公式，即可求解. 【详解】由得， 即，所以 ∵是第四象限角，∴. 所以. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高三上·湖北·月考）已知，，，，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，，进一步得的值为. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以 ， 所以的值为. 故选：B. 【变式1-2】已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角关系，结合余弦的和角公式即可代入求解. 【详解】由可得，， 由，得，， 故， 故选：C 【变式1-3】（24-25高一下·山东东营·期末）已知，且，则 . 【答案】/ 【分析】由同角三角函数基本关系式求出，再根据两角差的余弦公式即可得结果. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 故的值为. 故答案为： ：两角和与差的余弦公式逆用 例2．（24-25高一下·四川成都·期末）的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】直接运用两角差的余弦公式 【详解】. 故选：D. 【变式2-1】（25-26高二上·吉林白城·月考）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式以及两角差的余弦公式化简计算即可得出结果. 【详解】易知. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高三上·重庆·月考）（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用诱导公式变形，再根据余弦差角公式和特殊角三角函数值得到答案. 【详解】 . 故选：A 【变式1-3】（2025·北京海淀·三模）在中，“”是“为锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用和角的余弦公式，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，， 因此是钝角，是锐角，没有条件判断都是锐角，则不能确定为锐角三角形； 反之，为锐角三角形，则是锐角，是钝角，成立， 所以“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件. 故选：B ：两角和与差的正弦公式正用 例3．（2025高三上·江苏·学业考试）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合两角和的正弦公式可得出的值. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，进而根据计算即可. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以 . 故选：D 【变式3-2】（2025·广东深圳·二模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以， 因此 . 故选：A. 【变式3-3】（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）已知角，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平方关系求得，，再结合两角差的正弦公式求解即可. 【详解】由，，则， 则， ， 所以 . 故选：B. ：两角和与差的正弦公式逆用 例4．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用诱导公式化简然后用两角和的正弦公式合并，然后由特殊角的三角函数求其值，即可解答. 【详解】 . 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二下·云南昭通·期中）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式求出结果. 【详解】由诱导公式可知， 所以， 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一下·四川泸州·期中） ． 【答案】/ 【分析】由已知结合两角和的余弦公式进行化简即可求解． 【详解】原式． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25高二下·浙江温州·期末）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦的两角差公式和诱导公式化简可得. 【详解】由和差公式和诱导公式可得： . 故选：B ：两角和与差的正切公式正用 例5． （2025高三·全国·专题练习）已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由两角和的正切公式分别求出，，再判断角的范围即可求解． 【详解】由题可知， ， 由于均为锐角，且，故， 同理有， 故，所以， 故选：A． 【变式5-1】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则 . 【答案】7. 【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解. 【详解】已知， 则， 即， 则， 则， 则. 故答案为：7. 【变式5-2】（24-25高三上·上海·期中）已知，，则的值为 . 【答案】3 【分析】根据正弦以及角的范围，先求出余弦，得到正切，再根据两角和的正切公式，即可求出结果. 【详解】因为，，所以，则， 所以. 故答案为：3 【变式5-3】（24-25高一下·安徽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出，再利用两角和差的正切公式求值即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B ：两角和与差的正切公式逆用 例6．（25-26高三上·河南南阳·期中）tan（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用两角和的正切公式，进行化简求值，即可得到答案. 【详解】由， ， 所以，原式． 故选：B． 【变式6-1】（24-25高二下·河北唐山·期末）若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】按照两角和的正切公式化简计算即可. 【详解】， . 故选：D 【变式6-2】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和的正切公式可得出，结合题中等式化简得出的值，结合可得出角的值. 【详解】因为满足， 所以， 因为， 故， 故， 因此，. 故选：B. 【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要涉及三角函数的两角和正切公式 及其变形的应用,对于第一小问，需要利用和，和等角度和为的关系进行化简；对于第二小问，直接利用两角和正切公式的变形来求解. 【详解】（1）解法1：由， 同理得，… ， 以上各式相乘得原式． 解法2：用倒序积求解． 设， ， 从而， 所以． （2）解法1：因为， 所以， 所以． 解法2： ． ：根据正余弦乘积求两角和与差的正余弦 例7．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由得，又由得，最后由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有：， 又，所以， 所以， 故选：B. 【变式7-1】（多选）（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，由两角和的余弦公式、商数关系即可验算；对于B，直接由两角差的余弦公式验算即可；对于C，首先得，，然后直接验算即可；对于D，由，即可得解. 【详解】对于A，因为，， 所以， 解得，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，为锐角，所以， 又因为，所以，所以， ，故C错误； 对于D，因为，为锐角，所以， 又因为，所以只能， 因为，解得，故D正确. 故选：BD. 【变式7-2】（2025·陕西渭南·三模）已知，则 . 【答案】 【分析】由两角和正弦公式及切化弦得到，进而可求解. 【详解】由， 可得， 由，可得：， 即， 联立可得：， 所以， 故答案为： 【变式7-3】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试），则 【答案】/-0.6 【分析】根据同角三角函数关系和和角的余弦公式得到方程组，联立求出，，再由差角的余弦公式得到答案. 【详解】因，则（*）， 由，可得（**）， 将（*）代入上式，，即， 代入（**），可得， 故. 故答案为： ：根据弦化切求两角和与差的正切 例8． （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再利用和差角的正余弦公式，结合齐次式法求解即得． 【详解】因为，解得， 又因为，所以 . 故答案为：. 【变式8-1】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求，再由两角和与差的余弦公式结合弦化切即可求解. 【详解】由题意有：，又，即， 所以，解得， 所以， 故选：D. 【变式8-2】（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知，，则（  ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用齐次化思想求出，再利用两角和差的正切公式即可. 【详解】因，则， 得或， 因，则，则. 故选：B 【变式8-3】（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式求得，然后利用将目标式子化弦为切，进而代入计算即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以. 故选：B ：求特殊角的函数值 例9．（25-26高一上·全国·课前预习）由和（差）角公式可知 ， ． 【答案】 ； / 【分析】由、结合两角和正弦公式、两角差正切公式即可求解. 【详解】， . 故答案为：； 【变式9-1】（24-25高二下·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将15°变成，75°变成，然后利用和差倍角的正切值进行计算. 【详解】. 所以. 故选：D. 【变式9-2】（24-25高三上·广西·月考）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由两角和差的正弦公式求出，再代入原式求解即可. 【详解】， 代入原式可得. 故选：A. 【变式9-3】 ． 【答案】/ 【分析】将拆成，利用两角差的正余弦公式，可将分子分母化简得到，再将拆成，计算即得. 【详解】. 故答案为：. 1．（25-26高三上·甘肃·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和差倍角的余弦公式进行求解计算即可. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以. 故选：C. 2．（2025高三上·重庆·专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】先求出，进而得到，然后根据两角和差的正切公式求出结果即可. 【详解】因为，，所以. 所以. 所以. 故选：C. 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知，，则 . 【答案】 【分析】根据两角差的正弦公式和同角三角函数的商关系解得，再利用两角和的正弦公式代入计算得到结果. 【详解】已知，则. 因为，则， 代入上式可得，解得， 则， 故答案为：. 4．（25-26高三上·贵州遵义·月考）设，若，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及和角的正弦公式即可求解. 【详解】， ， ， 整理得， 则. 故答案为：. 5．（25-26高三上·山东·月考）已知，，则 ． 【答案】/0.5 【分析】先将已知条件的两个等式分别平方，再相加，利用三角函数的平方关系和两角和的正弦公式化简求解. 【详解】， 整理得： 化简得：. 故答案为：. 6．（2025·广东肇庆·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数商数的关系化简，结合两角和的正切公式得，利用诱导公式即可求解. 【详解】∵，∴，∴， ∴，∴（），∴. 故选：C. 7．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，由同角三角函数的平方关系及角的范围得到；B选项，根据同角三角函数平方关系得到，去掉不合要求的解；C选项，利用凑角法求解；D选项，在C选项的基础上，得到． 【详解】A选项，由，得，故A正确； B选项，由，得， 因为，所以， 又，其中， 若，则，则，与矛盾， 所以，故B错误； C选项， ，故C正确； D选项，由及，得，故D正确． 故选：ACD 8．（24-25高一下·江苏南京·期中）若，且 ，则 . 【答案】/ 【分析】将两个式子平方得出以及的表达式，即可求出答案. 【详解】由题意， ∵，， ∴， ， 即    ，， ∴ ， 故答案为：. 9．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知 ． 【答案】 【分析】应用两角和的正切公式化简计算求解. 【详解】. 故答案为：. 10．（24-25高一下·广东江门·期中）下列选项中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，代入特殊角的三角函数计算即可；对于D，由辅助角公式验算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1 两角和与差的三角函数 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1： 两角和与差的余弦公式 1、 已知角值或者其三角函数值，直接可以套用公式求两角和跟差。 2、 可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 3、 两角和与差的公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式。 注意： 1、注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。 2、在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 （25-26高三上·北京·月考）若，且．则 ． 知识点2 ： 两角和与差的正弦公式 1、 已知角值或者其三角函数值，直接可以套用公式求两角和跟差。 2、 可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 3、 两角和与差的公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式。 注意： 1、 注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。 2、在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 （24-25高一下·甘肃兰州·期中）若，，，，则 ． 知识点3： 两角和与差的正切公式 1、 ； 2、 对于两角和差的正切公式的逆用: 3、 对于正切与正余弦的关系，当遇到正余弦的齐次式的时候，都可以考虑看能不能化成正切来出来。 注意： 在正切求值与化简的问题中，经常会用到两角和与差的正切公式的逆用，当题目中遇到正切和或差以及两角或者三角正切乘积时，考虑是不是两角和与差的正切公式。 （24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（   ） A． B． C． D． ：两角和与差的余弦公式正用 例1． （24-25高一下·广东汕尾·期末）已知，是第四象限角，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三上·湖北·月考）已知，，，，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【变式1-2】已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·山东东营·期末）已知，且，则 . ：两角和与差的余弦公式逆用 例2．（24-25高一下·四川成都·期末）的值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·吉林白城·月考）化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高三上·重庆·月考）（      ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·北京海淀·三模）在中，“”是“为锐角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ：两角和与差的正弦公式正用 例3．（2025高三上·江苏·学业考试）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·广东深圳·二模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）已知角，，，，则（    ） A． B． C． D． ：两角和与差的正弦公式逆用 例4．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·云南昭通·期中）的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·四川泸州·期中） ． 【变式4-3】（24-25高二下·浙江温州·期末）化简：（    ） A． B． C． D． ：两角和与差的正切公式正用 例5． （2025高三·全国·专题练习）已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D．或 【变式5-1】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则 . 【变式5-2】（24-25高三上·上海·期中）已知，，则的值为 . 【变式5-3】（24-25高一下·安徽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． ：两角和与差的正切公式逆用 例6．（25-26高三上·河南南阳·期中）tan（    ） A．0 B． C．2 D． 【变式6-1】（24-25高二下·河北唐山·期末）若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式6-2】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2)． ：根据正余弦乘积求两角和与差的正余弦 例7．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选）（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·陕西渭南·三模）已知，则 . 【变式7-3】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试），则 ：根据弦化切求两角和与差的正切 例8． （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）若，，则 ． 【变式8-1】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知，，则（  ） A．0 B． C． D．2 【变式8-3】（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）若，则（   ） A． B． C． D． ：求特殊角的函数值 例9．（25-26高一上·全国·课前预习）由和（差）角公式可知 ， ． 【变式9-1】（24-25高二下·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高三上·广西·月考）计算（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】 ． 1．（25-26高三上·甘肃·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·重庆·专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D．7 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知，，则 . 4．（25-26高三上·贵州遵义·月考）设，若，则 ． 5．（25-26高三上·山东·月考）已知，，则 ． 6．（2025·广东肇庆·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏南京·期中）若，且 ，则 . 9．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知 ． 10．（24-25高一下·广东江门·期中）下列选项中，值为的是（   ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $