期末复习-专题04 分式及分式方程（考点清单+分层训练）-2025-2026学年人教版八年级上册数学《解锁期末满分 期末冲刺密卷》

期末复习-专题04 分式及分式方程 （考点清单+分层训练） 考点1：分式的定义 ①理解分式的概念：形如（A,B是整式，B中含字母且B≠0）； ②能区分分式与整式； ③掌握分式有意义、无意义、值为 0 的条件 考点2：分式的基本性质 ①掌握性质：； ②能利用性质进行约分、通分 考点3：分式的四则运算 ①分式的乘除：，能先因式分解再约分； ②分式的加减：同分母BA​±BC​=BA±C​，异分母先通分再加减； ③能进行分式的混合运算（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内） 考点4：分式方程的定义与解法 ①识别分式方程（分母含未知数的方程）； ②掌握解法：去分母转化为整式方程→解整式方程→验根（代入最简公分母，判断是否为 0）；③理解增根的概念：使最简公分母为 0 的根，增根需舍去 考点5：分式方程的实际应用 能解决工程问题、行程问题、销售问题等，步骤：设未知数→找等量关系→列分式方程→解方程→验根（既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际意义）→写答案 考点6：含 30° 角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 1．下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的定义，准确把握“分母中含有字母”这一核心特征是解题的关键．根据分式的定义，判断各式分母是否含有字母，进而确定哪个选项是分式． 【详解】分式定义要求分母中含有字母， 选项分母为（常数），不是分式；选项分母为（常数），不是分式；选项分母为（为常数），不是分式；选项分母为（含字母和），是分式． 故选：． 2．若分式无意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式无意义即分母为零，即． 【详解】解：∵ 分式无意义， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 3．如果把分式中的，都变为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．变为原来的 【答案】A 【分析】本题考查分式的性质．先将，都变为原来的2倍，然后根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】解：中的，都变为原来的2倍，得： ， 这个分式的值不变，故A正确． 故选：A． 4．碳化硅（）是一种新型超级材料，它在微芯片传感器中起着非常重要的作用．碳化硅每两个相邻碳原子间的键长，将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：C． 5．计算 的结果是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，根据同分母分式减法法则计算，再对分子进行因式分解并化简即可． 【详解】解：原式． 故选：D． 6．分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，分式的变形，掌握分式的性质是解题的关键． 根据分式的性质变形即可求解． 【详解】解：， 故符合的只有B选项， 故选：B． 7．下列各分式中，是最简分式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简分式的定义，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式． 通过因式分解和约分检查每个选项，选项A、B、D均可约分，选项C无公因式． 【详解】解：．，可约分，不是最简分式，不符合题意； B． ，可约分，不是最简分式，不符合题意； C．，分子和分母无公因式，是最简分式，符合题意； D． ，可约分，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 8．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、代数式求值等知识点，掌握分式的加减运算是解题的关键． 先根据分式的加减运算将原式拆解，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选B． 9．A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用的时间与B型机器人搬运所用的时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？设A型机器人每小时搬运化工原料，根据题意列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列分式方程的应用，找准关系是解题的关键． 设A型机器人每小时搬运，则B型机器人每小时搬运，根据时间相等列方程即可． 【详解】解：设A型机器人每小时搬运，则B型机器人每小时搬运， 则A型机器人搬运所用时间为， B型机器人搬运所用时间为，且时间相等， 所以． 故选：B． 10．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程．先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可． 【详解】解：等式两边同时乘以得，， 故选：C． 11．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘法公式，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案；通过合并同分母分式，并利用平方差公式简化表达式． 【详解】解：∵ 又∵ ∴ （其中 ） 因此，结果为， 故项：C. 12．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，方程两边同时乘，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出的值，再检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入，， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算和因式分解，解题的关键是将除法转化为乘法，并对分式的分母进行因式分解． 先将分式除法转化为乘法（乘以除数的倒数），再对分母因式分解为，最后约分得到结果． 【详解】解；原式= = = = =． 14．某校组织八年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意，大巴车和小车行驶距离相同，但小车速度更快且晚出发，利用时间关系列方程即可． 【详解】解：设大巴车的平均速度为千米/时，则小车的平均速度为千米/时．大巴车行驶时间为小时，小车行驶时间为小时．老师晚出发10分钟，即小时，由于同时到达，因此大巴车行驶时间等于小车行驶时间加上晚出发时间，即． 故答案为：． 15．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是求解绝对值，零次幂，负整数指数幂的含义，先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解： 16．解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【分析】将分式方程去分母化为一元一次方程求解并检验根是否为增根即可．本题考查可化为一元一次方程的分式方程的求解，掌握分式方程解法是求解的关键． 【详解】 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 检验： 当时，， 是增根，舍去， 原分式方程无解． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查分式的化简求值，分式的加减乘除混合运算，先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 1．下列从左到右的分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，即分子分母同乘或同除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A． ，原变形错误； B．当时，无意义，原变形错误； C． ，原变形正确； D． 无法通过分式的基本性质变为，原变形错误； 故选：C． 2．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，同时考虑解的非负性和分母不为零的限制条件是解题的关键． 解分式方程，得到，根据解为非负数和分母不为零的条件，得到且． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 整理得， ∴(其中)， ∵方程的解为非负数， ∴，即， ∴，解得， ∵分母， ∴，即，解得， ∴且． 故选：D． 3．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，解一元一次不等式，先通过去分母求解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为正数且分母不为零的条件，列不等式求参数范围． 【详解】解：， 去分母，得， 解得：； ∵分式方程的解为正数， ∴， 即， 在分式方程中，分母，， 即， 故，得出， 综上，的取值范围是且， 故选：D． 4．若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，把变形得，然后代入表达式 中计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 5．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是关键；根据题意，慢马送信时间为天，速度为里/天；快马送信时间为天，速度为里/天.快马速度是慢马速度的倍，由此列出方程. 【详解】设规定时间为x天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天， ∵ 慢马速度为，快马速度为， 且快马速度是慢马速度的倍， ∴ ， 故选A 6．已知，其中A、B为常数，则的值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，异分母分式加减法，构造二元一次方程组求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将等式右边通分，根据等式两边相等，得到关于A、B的方程组求解，再代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 7．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．－1 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 本题将变形为，再代入运算即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 故选：B． 8．若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：原方程可化为，即， 由分式值为零的条件，分子为零且分母不为零，得且， 即 且， 当时，分母为零，为增根，代入得， 解得，此时方程无解． 故答案为：6． 9．若，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在段 处（请从①②③④中选择正确答案填在横线上） 【答案】② 【分析】本题考查了分式的化简求值．把变形得，代入即可求出分式的值，再看该值的点落在的位置． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴表示的点落在段②处， 故答案为：②． 10．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如：，所以分式与互为“3阶分式”． （1）分式与 互为“4阶分式”； （2）若分式与互为“1阶分式”，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，解分式方程，理解“n阶分式”的定义是解此题的关键． （1）根据“n阶分式”的定义，分式 的“4阶分式”为，通过分式减法计算即可； （2）根据“1阶分式”的定义，分式与的和为1，列出方程求解，注意分母不为零． 【详解】解：（1） 设另一个分式为， 则：， 故分式与互为“4阶分式”； （2）由定义得：， 去分母可得：， 解得：， 当时，，满足题意 ∴． 11．若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解一元一次不等式，解分式方程等知识点，正确求出一元一次不等式组的解集和分式方程的解是解题的关键． 根据关于x的不等式组恰有两个整数解得到，求出的范围，再解分式方程得到，然后结合分式方程的增根问题，得到且，即可求解整数． 【详解】解：， 由①得； 由②得， ∵关于x的不等式组恰有两个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得， ∵解为正数， ∴， ∴， 当时，解得， 那么时，方程有增根， ∴且， ∴整数a的值为或， 故答案为：或． 12．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）（2）把方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解： 方程两边同时乘以得， 整理得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 13．先化简，再求值： 请从，，1，2 四个数中选取一个你喜欢的a代入求值． 【答案】；当时，值为；当时，值为 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号里面的，再把括号外面的除法转化成乘法，然后约分计算，最后再根据分式有意义的条件选择合适的数值代入计算即可得出答案． 【详解】解： 当或时，分式无意义， 故当时，原式， 当时，原式． 14．在除夕夜前夕，某店购进花灯和福字两种装饰物，销售过程中发现福字比花灯销量大，店主决定将花灯每个降价5元促销，降价后300元可购买花灯的数量是原来可购买花灯数量的1.5倍． (1)求降价后每个花灯的售价是多少元？ (2)店主用不多于5400元的资金再次购进两种装饰物共1000个，福字进价为6元／个，花灯进价为5元／个，问至少购进花灯多少个？ 【答案】(1)降价后每个花灯的售价是10元 (2)至少购进花灯600个 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意建立方程或不等式求解． （1）通过设降价后售价为未知数，根据数量关系建立分式方程求解； （2）通过设购进花灯数量为未知数，根据总资金限制建立不等式求解． 【详解】（1）解：设降价后每个花灯的售价是元，则降价前每个花灯的售价为元， 由题意得，， 化简得，， 整理得，， 解得， 经检验是原方程的根，且符合题意， 答：降价后每个花灯的售价是10元； （2）解： 设购进花灯个，则购进福字个， 由题意得，， 解得， 答：至少购进花灯600个． 15．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完． (1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？ (2)超市销售这种干果共盈利多少元？ 【答案】(1)该种干果的第一次进价是每千克5元 (2)超市销售这种干果共盈利5820元 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系列出相应的方程求解． （1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解； （2）根据利润=售价−进价，可求出结果． 【详解】（1）解：设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该种干果的第一次进价是每千克5元． （2）解：第一次购进（千克）， 第二次购进（千克）． 总购进量为（千克）， 按原价销售量为（千克）， （元）． 答：超市销售这种干果共盈利5820元． 16．阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则， 对于任意x，上述等式均成立，， ， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 根据材料解答下列问题． (1)若（是常数），则________，________． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)试说明当时，的最小值为8． 【答案】(1)，； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键． （1）先计算的值，进而求解即可； （2）参照例题材料，设，然后求出m、n的值，从而即可得出答案； （3）由得到，进而，，即可解答． 【详解】（1）解： ， 即，． 故答案为：，； （2）解：由分母为，设， 则 ， 对于任意，上述等式均成立， ， ，， ； （3）解：由（2）得， 当时，， ∴，， ∴当且仅当时，和同时取得最小值， ∴， 即， ∴的最小值为8． 17．《花卉装点校园》项目学习方案： 项目情景 为了装扮校园，某中学计划购买花卉．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉贵4元，用480元购买的A种花卉数量为用200元购买的B种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设①_______的单价为x元，由题意得方程： 小组成员乙设购买B种花卉的数量为y枝，由题意得方程：②_______， 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成a盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成32盆小盆栽所用时间与完成16盆大盆栽的时间相同． 任务二 求a的值． (1)任务一中横线①处应填_______，横线②处应填________；B种花卉每枝________元； (2)列出关于a的方程，并完成任务二，求出a的值． 【答案】(1)种花卉；；20 (2)； 【分析】本题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程是解题的关键： （1）任务一：由题意，可知：表示用480元购买的A种花卉数量，表示用200元购买的B种花卉数量，可得①处的答案；根据小组成员乙设购买B种花卉的数量为y枝，结合单价之间的数量关系可得方程，可得②处的答案，再求解即可； （2）任务二：根据完成32盆小盆栽所用时间与完成16盆大盆栽的时间相同，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，表示用480元购买的A种花卉数量为用200元购买的B种花卉数量的2倍， ∴表示用480元购买的A种花卉数量，表示用200元购买的B种花卉数量， ∴小组成员甲设的是种花卉的单价为元； ∴①处填种花卉； 小组成员乙设购买B种花卉的数量为y枝，由题意得方程： ； ∴②处填：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 种花卉的单价为（元）； 故答案为：种花卉；；20； （2）解：由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴． 18．年月日，国务院印发“关于消费品以旧换新”的行动方案，要求在全国范围内开展“推动汽车换能，家电换智，家装厨卫焕新”的活动． 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池电量：千瓦时 油价：元升 电价：元千瓦时 续航里程：千米 续航里程：千米 刘老师近期准备换车，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多元，请根据以上信息解决下列问题： (1)分别求出这两款车平均每千米的行驶费用． (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用年行驶费用年其他费用） 【答案】(1)燃油车平均每千米的行驶费用为元，新能源车平均每千米的行驶费用为元 (2)每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）由“燃油车每千米行驶费用比新能源车多元”可得，解方程即可求出的值，进而可求出燃油车和新能源车的每千米行驶费用； （2）设每年行驶里程为千米时买新能源车的年费用更低，由题意得，解不等式即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 所以（元），（元）， 所以燃油车平均每千米的行驶费用为元，新能源车平均每千米的行驶费用为元． （2）解：设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意，得． 解得． 所以每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低． 19．探索规律： (1)直接写出计算结果： = ． (2)仿照（1）的方法探究可知， 可变形为 ． (3)运用规律解方程： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的裂项相消法及分式方程的求解，解题的关键是掌握裂项公式，并利用其化简计算． （1）利用裂项相消法，将每一项拆分为两个分数的差，再抵消中间项计算； （2）仿照（1）的方法探究可得出的变形形式； （3）先利用裂项相消法化简方程左边，再解分式方程并检验． 【详解】（1）解：原式 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解：原方程可化为 ， 即， ∴， 即． 两边同乘（)得，， 解得． 检验：当时，原方程各分母均不为0，故是原方程的解． 答：原方程的解为． 20．定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式B的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求x的值． 【答案】(1)1 (2)或． 【分析】本题主要考查了“阶差分式”，分式的加减混合计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）只需要计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得，则，再由是正整数，且x取正整数讨论即可． 【详解】（1）解；∵， ∴分式是分式的“1阶差分式”； 故答案为：1； （2）解：∵分式是分式的“2阶差分式”， ∴， ∴， ∵是正整数，且x取正整数， ∴也是正整数， ∴或． 1．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ） A．8 B．10 C．16 D．18 【答案】C 【分析】先由不等式组无解，求解，再求解分式方程的解，由方程的解为非负整数，求解且，再逐一确定的值，从而可得答案． 【详解】解： 由①得：， ∴， 由②得：， ∴， ∵关于x的不等式组无解， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于y的分式方程有非负整数解， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或或或． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的由不等式组无解求解字母系数的范围，分式方程的非负整数解，熟练掌握解不等式组的方法和解分式方程是解题关键，解题时要注意分式方程的解得到y≠2这一隐含条件． 2．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 【答案】(1)①真；②， (2)，或或或 (3)36 【分析】（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值； （3）设三位数的百位数字为，十位数字为，然后表示出，的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可． 【详解】（1）解：①的分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式， 故答案为：真； ②， 故答案为：，； （2）解： 若这个分式的值为整数， 则或或或， ∴或或或； （3）解：设三位数的百位数字为，十位数字为， 则个位数字为，，， ， ， ， ， ， 当时， 为正整数， ， 当时，且为正整数， 不可能为整数， ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习-专题04 分式及分式方程 （考点清单+分层训练） 考点1：分式的定义 ①理解分式的概念：形如（A,B是整式，B中含字母且B≠0）； ②能区分分式与整式； ③掌握分式有意义、无意义、值为 0 的条件 考点2：分式的基本性质 ①掌握性质：； ②能利用性质进行约分、通分 考点3：分式的四则运算 ①分式的乘除：，能先因式分解再约分； ②分式的加减：同分母BA​±BC​=BA±C​，异分母先通分再加减； ③能进行分式的混合运算（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内） 考点4：分式方程的定义与解法 ①识别分式方程（分母含未知数的方程）； ②掌握解法：去分母转化为整式方程→解整式方程→验根（代入最简公分母，判断是否为 0）；③理解增根的概念：使最简公分母为 0 的根，增根需舍去 考点5：分式方程的实际应用 能解决工程问题、行程问题、销售问题等，步骤：设未知数→找等量关系→列分式方程→解方程→验根（既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际意义）→写答案 考点6：含 30° 角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 1．下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．若分式无意义，则x满足的条件是（   ） A． B． C． D． 3．如果把分式中的，都变为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．变为原来的 4．碳化硅（）是一种新型超级材料，它在微芯片传感器中起着非常重要的作用．碳化硅每两个相邻碳原子间的键长，将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．计算 的结果是（   ） A． B． C． D．2 6．分式可变形为（    ） A． B． C． D． 7．下列各分式中，是最简分式的是（ ） A． B． C． D． 8．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用的时间与B型机器人搬运所用的时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？设A型机器人每小时搬运化工原料，根据题意列方程得（   ） A． B． C． D． 10．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 11．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 12．分式方程的解是 ． 13．计算： ． 14．某校组织八年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为 ． 15．计算：． 16．解分式方程：． 17．先化简，再求值：，其中． 18．先化简，再求值：，其中． 1．下列从左到右的分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 3．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 5．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，其中A、B为常数，则的值为（    ） A．6 B．7 C． D． 7．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．－1 8．若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 9．若，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在段 处（请从①②③④中选择正确答案填在横线上） 10．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如：，所以分式与互为“3阶分式”． （1）分式与 互为“4阶分式”； （2）若分式与互为“1阶分式”，则 ． 11．若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为 ． 12．解下列分式方程： (1) (2) 13．先化简，再求值： 请从，，1，2 四个数中选取一个你喜欢的a代入求值． 14．在除夕夜前夕，某店购进花灯和福字两种装饰物，销售过程中发现福字比花灯销量大，店主决定将花灯每个降价5元促销，降价后300元可购买花灯的数量是原来可购买花灯数量的1.5倍． (1)求降价后每个花灯的售价是多少元？ (2)店主用不多于5400元的资金再次购进两种装饰物共1000个，福字进价为6元／个，花灯进价为5元／个，问至少购进花灯多少个？ 15．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完． (1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？ (2)超市销售这种干果共盈利多少元？ 16．阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则， 对于任意x，上述等式均成立，， ， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 根据材料解答下列问题． (1)若（是常数），则________，________． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)试说明当时，的最小值为8． 17．《花卉装点校园》项目学习方案： 项目情景 为了装扮校园，某中学计划购买花卉．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务． 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉贵4元，用480元购买的A种花卉数量为用200元购买的B种花卉数量的2倍． 任务一 小组成员甲设①_______的单价为x元，由题意得方程： 小组成员乙设购买B种花卉的数量为y枝，由题意得方程：②_______， 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成a盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成32盆小盆栽所用时间与完成16盆大盆栽的时间相同． 任务二 求a的值． (1)任务一中横线①处应填_______，横线②处应填________；B种花卉每枝________元； (2)列出关于a的方程，并完成任务二，求出a的值． 18．年月日，国务院印发“关于消费品以旧换新”的行动方案，要求在全国范围内开展“推动汽车换能，家电换智，家装厨卫焕新”的活动． 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池电量：千瓦时 油价：元升 电价：元千瓦时 续航里程：千米 续航里程：千米 刘老师近期准备换车，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多元，请根据以上信息解决下列问题： (1)分别求出这两款车平均每千米的行驶费用． (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用年行驶费用年其他费用） 19．探索规律： (1)直接写出计算结果： = ． (2)仿照（1）的方法探究可知， 可变形为 ． (3)运用规律解方程： 20．定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式B的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求x的值． 1．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ） A．8 B．10 C．16 D．18 2．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 1 学科网（北京）股份有限公司 $