期末复习-专题02 三角形与全等三角形（考点清单+分层训练）-2025-2026学年人教版八年级上册数学《解锁期末满分 期末冲刺密卷》

期末复习-专题02 三角形与全等三角形 （考点清单+分层训练） 考点1：三角形的基本概念 ① 理解三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 ② 掌握三角形的顶点、边、内角、外角的概念，能准确识别 考点2：三角形的分类 ① 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，能根据角度判断三角形类型 ② 按边分：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形），明确等腰三角形的腰、底边、顶角、底角概念 考点3：三角形的三边关系 ① 掌握定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ② 能运用三边关系判断三条线段能否组成三角形 ③ 已知两边，能确定第三边的取值范围 考点4：三角形的内角和与外角性质 1 高：理解三角形高的定义，能画出任意三角形的三条高（锐角三角形高在内部，直角三角形两条高为直角边，钝角三角形两条高在外部） ② 中线：掌握中线定义，知道三角形三条中线交于一点（重心），重心分中线比为2:1 ③ 角平分线：掌握角平分线定义，知道三角形三条角平分线交于一点（内心） ④ 能利用中线、角平分线、高的性质解决线段相等、角度相等问题 考点5：三角形的稳定性 1 理解三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性 ② 能举例说明三角形稳定性在生活中的应用 考点6：全等三角形的定义与性质 1 理解全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 ② 掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；对应中线、对应高、对应角平分线相等；周长相等，面积相等 ③ 能准确找出全等三角形的对应边和对应角（根据对应顶点、对应角、对应边的关系） 考点7：全等三角形的判定定理 1 掌握SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等 ② 掌握SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（注意 “夹角”，SSA 不能判定全等） ③ 掌握ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ④ 掌握AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 ⑤ 掌握HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形） ⑥ 能根据已知条件选择合适的判定定理证明三角形全等 考点8：全等三角形的证明与应用 1 能结合三角形的高、中线、角平分线等条件，书写规范的全等证明步骤（已知→求证→证明） ② 能利用全等三角形的性质证明线段相等、角相等 ③ 能解决与全等三角形相关的实际问题（如测量距离） 2 考点9：角平分线的性质与判定 1 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 ② 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上 ③ 能运用角平分线的性质与判定进行证明和计算 1．下列长度的三条线段能组成三角形的为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键． 根据两条较小线段之和是否大于较长线段进行判断，即可解题． 【详解】解：、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意； 、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意； 、由于，所以能构成三角形，故本选项符合题意； 、由于，所以不能构成三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．如图，是的一个外角，若，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【详解】解：，， ． 故选：B． 3．下面四个图形中，线段是的高的图形是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，由此逐项分析即可得解，熟练掌握三角形的高的定义是解此题的关键． 【详解】解：根据三角形的高的定义可得，线段是的高的图形是 故选：D． 4．将空调安装在墙上时，采用如图所示的方法固定，这种做法的依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性的应用，掌握三角形具有稳定性的特征是解题关键． 根据三角形具有稳定性可得答案． 【详解】解：空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定， 这种方法应用的几何原理：三角形具有稳定性． 故选：D． 5．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的外角解决问题，属于中考常考题型． 连接，延长到．只要证明，即可解决问题． 【详解】解：连接，延长到． ，， ， ∵，，， ， 故选B． 6．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是△的中线， ， 与的周长差为7， ， ， ， ， 故选：B． 7．如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，即可求解． 【详解】解： ， ， 即， 故选：A． 8．如图，在和中，，，下列条件中利用“”的办法判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；根据题意，找出对应边的夹角，即可求解． 【详解】解：在与中， ， ∴． 故选：C． 9．在中，，平分，交于点，，垂足为，若，则的长为（　　） A．3 B． C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出. 【详解】解：∵，，平分， ∴， 故选：A． 10．如图，已知，，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等，可直接求解． 【详解】解： ，， ， 故选：D． 11．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等图形的定义．完全重合的两个图形叫做全等图形．根据定义，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、两个图形一个是圆形、一个是方形，不能完全重合，不是全等图形，本选项不符合题意； B、两个图形，一个是正六边形、一个是正五边形，不能完全重合，不是全等图形，本选项不符合题意； C、两个心形图案能完全重合，是全等图形，本选项符合题意； D、两个图形一大一小，不能完全重合，不是全等图形，本选项不符合题意； 故选：C． 12．如图，在中，为内一点，连接且平分，过点作，交于点，．若，，则的长为（   ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， 又， ， ，， ， ， ， 故选：D． 13．如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是熟悉三角形的判定定理，看那块可以符合全等三角形的条件． 【详解】解：两角一夹边对应相等，两个三角形全等， 带③去就可以， 故选：C． 14．如图是一个平分角的仪器，其中；将仪器上的点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，过点A，C画一条射线就是这个角的平分线．此仪器的工作原理依据的全等三角形的判定方法是（    ） A．SSS B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，直接根据判定即可． 【详解】解：在和中， ， ∴． ∴； 故选：A 15．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，尺规作图——作一个角等于已知角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由作法可得，，，再由三角形全等的判定定理分析即可得解． 【详解】解：由作法易得，，， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：B． 16．如图，在中，、分别是边、上的点，过点作交的延长线于点．若，，，则的长是（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 17．如图，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， 当添加时，由“”可判定，故选项不合题意； 当添加时，由“”可判定，故选项不合题意； 当添加时，由两边及一边的对角无法判定，故选项符合题意； 当添加时，由“”可判定，故选项不合题意； 故选：． 18．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得长为58米，则池塘两岸A，B两点的距离是 ． 【答案】58米/ 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意得到，然后利用全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 在和中， ∴， ∴， 即池塘两岸A，B两点的距离是58米． 故答案为：58米． 19．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键． 先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：135． 20．如图，在中，，，，，则的度数是 ． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，先利用判定，从而得出对应角相等，再利用角与角之间的关系从而求得所求的度数． 【详解】解：在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 21．如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意找出等量关系证明三角形全等是解题的关键． 由垂直以及直角关系，先证出，结合，，证得，由全等的性质，得出对应线段长度相等，可求出的长度，即为的长度． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：7． 22．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，找出图中的全等三角形是解题的关键． 利用网格得出，，再利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可得，，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：45． 23．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得长为58米，则池塘两岸A，B两点的距离是 ． 【答案】58米/ 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意得到，然后利用全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 在和中， ∴， ∴， 即池塘两岸A，B两点的距离是58米． 故答案为：58米． 24．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键． 先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：135． 25．如图，在中，，，，，则的度数是 ． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，先利用判定，从而得出对应角相等，再利用角与角之间的关系从而求得所求的度数． 【详解】解：在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 26．如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意找出等量关系证明三角形全等是解题的关键． 由垂直以及直角关系，先证出，结合，，证得，由全等的性质，得出对应线段长度相等，可求出的长度，即为的长度． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：7． 27．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度． 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，找出图中的全等三角形是解题的关键． 利用网格得出，，再利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可得，，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：45． 28．如图，已知，点A，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题． （1）利用“边角边”证明，可得，即可求证； （2）求出，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 1．如图，在方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，利用方格的特点和全等三角形的判定正确作图是解题的关键． 根据方格的特点和全等三角形的判定结合轴对称图形作图即可解答． 【详解】解：如图： 以为公共边可以画出三个三角形和原三角形全等； 以为公共边可以画出一个三角形和原三角形全等； 以为公共边不能画出三角形与原三角形全等， 所以一共可以画出4个三角形和原三角形全等． 故选：A． 2．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积、中线，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”得到阴影部分的面积与的面积的数量关系，从而求出的面积． 【详解】解：如图，点F是的中点， ∴的底是，的底是，即，而高相等， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴，即阴影部分的面积为． 故选：B． 3．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线，掌握三角形的中线是三角形一边的中点与对角的顶点的连线段是解题的关键． 由于是边上中线，所以，所以的周长比的周长多的部分等于，再根据即可得出的长． 【详解】解：∵是边上中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长大，且． ∴，即． 故选：A． 5．如图所示，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 平分，，， ， ， ， 故选：C． 6．如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（    ）度 A．50 B．55 C．80 D．65 【答案】C 【分析】根据角平分线定义得出，，根据三角形内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，求出，则，即可求解． 【详解】 解：平分，平分， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 8．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是 （用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是 （直接填空）． 【答案】 / 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，证明是关键． ①利用证明即可； ②根据三角形三边关系得到，由得到答案． 【详解】解：①是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ②∵， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用直角三角形全等的判定（HL）证明三角形全等，结合角度关系推导所求角． （1）通过证明，利用全等三角形的对应边相等得到； （2）结合等腰直角三角形的角度特征，再证明，通过等腰三角形的性质得到最后通过全等三角形的性质得到的度数． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)5，，． (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查非负数的性质，三角形三边关系和等边三角形的判定，结合“三角形三边关系”，判断绝对值内表达式的正负是解题关键． （1）根据非负数的性质和三角形三边关系去绝对值后计算即可； （2）根据非负数的性质可判断出，进而确定的形状． 【详解】（1）解： ， ，， 则； 根据三角形三边关系，，， 则； 且， ， ． 答：5，，． （2）解： ，且，， 可得， 解得， ，为等边三角形． 答：为等边三角形． 11．在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，试探究与的数量关系； (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． 【答案】(1) (2)； (3)或或 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可． （2）证明，可得结论． （3）首先证明，分3种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中，与的平分线相交于点， ， ， ； （2）解：；，理由如下： 理由：如图②中，外角，的角平分线交于点， ， ， ， ； （3）解：如图，延长至， 平分， ， ，， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分3种情况： ①，则，， ②，则，； ③，则， 综上所述，的度数是或或． 12．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【答案】(1)的度数是 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． （2）解： 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 13．数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质及三角形外角的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到对应边相等、对应角相等的关系，再结合三角形内角和、外角性质或平角定义推导角的数量关系． （1）由折叠的性质可得，则，再由三角形外角的性质可得； （2）先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，进而得到； （3）由折叠的性质可得，则由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由平角的定义求出，即可推出． 【详解】（1）解： 由折叠的性质可得， ， ， ，即； 故答案为： ； （2）解：， ， 由折叠的性质可得， ， ， ； （3）解： 由折叠的性质可得 ， ， ， ， ， ． 14．综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），见解析；（2）见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中，， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中，， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 15．如图，在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，试问，，之间具有怎样的数量关系，并加以证明． (3)如图3，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由垂直的定义得到，由同角的余角相等得到，即可根据“”证明；根据全等三角形的性质证明； （2）同（1）方法证明即可； （3）同（2）方法求解． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， ， ； ，， ． （2），证明如下， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即． （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即 16．如图，已知在和中，，，．交于O点， (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得到； （2）根据全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理及对顶角性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ． 17．【基础知识】（1）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中， 求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ∵（已作）， ∴______（两直线平行，内错角相等）， ______（两直线平行，同位角相等）． ∵_______（平角的定义）， ∴（等量代换）． 【实践运用】（2）如图1，线段、相交于点，连结、，试证明：． 证明： 【变化拓展】（3）①如图2，、分别平分、，若，，则的度数为______； （2）②如图3，直线平分，平分，若，，则的度数为______． 【答案】（1），，；（2）见解析；（3）①26；②26 【分析】（1）根据平行线的性质和平角定义补充即可； （2）根据三角形的内角和180°和对顶角相等证明即可； （3）①利用角平分线的定义和（2）中结论证得∠P=（∠B+∠D）即可；②取PA延长线上一点M，同样方法利用角平分线的定义和（2）中结论证得∠P=（∠B+∠D）即可． 【详解】（1）证明：延长线段至点，并过点作． ∵（已作）， ∴ （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）①如图2， ∵、分别平分、， ∴∠BAP=∠PAD=∠BAD，∠BCP=∠PCD=∠BCD， 由（2）中结论可知， ∠BAP+∠B=∠BCP+∠P， ∠BAD+∠B=∠BCD+∠D， ∴∠P=（∠B+∠D）=（36°+16°）=26°， 故答案为：26； ②如图2，取PA延长线上一点M， ∵直线平分，平分， ∴∠FAM=∠DAM=∠FAD，∠BCP=∠ECP=∠BCE， 设∠PAB=∠FAM=x，∠BCP=y， 由（2）知x+∠P=y+∠B， 180°﹣2x+∠B=180°﹣2y+∠D， ∴∠P=（∠B+∠D）=（36°+16°）=26°， 故答案为：26． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、对顶角相等、平角定义、角的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，a，b满足，连接，过点A作，且，连接． (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，点D的坐标为，在（1）的条件下作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，若点N的坐标是，点P在第二象限，且P，N，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点P坐标为或或， 【分析】（1）先利用非负数的性质求出A点的坐标为，B点的坐标为，得到，，过点C作轴于H，证明，则，，则，即可得到点C的坐标； （2）过点E作轴于点G，证明，则，得到，则，即可得到求点M的坐标． （3）分三种情况分别作出辅助线，构造全等三角形，分别进行求解即可． 此题考查了坐标与图形、三角形的全等和判定等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴A点的坐标为，B点的坐标为， ∴，， 如图1，过点C作轴于H， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点； （2）解：如图2，过点E作轴于点G， 同（1）理可证：， ∴，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：点P坐标为或或， 如图3，当，时，过点N作轴于Q，过点P作于F， ∵，，， ∴，，， 同理可证， ∴，， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴点； 如图4，当，时，过点P作轴于R，过点N作轴于L， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴点； 如图5，当，时，过点P作轴于T，过点M作于S，过点N作于W， 同理可证， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点， 综上所述：点P坐标为或或． 19．综合与探究 【教材呈现】用全等三角形研究“筝形”． 研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法． 在人教版八年级上册数学教材 的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，． 我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 请结合教材内容，解决下面问题： (1)【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有 ．（填序号）． (2)【性质应用】如图2，在筝形中，，点P是对角线上一点，过点 P分别作的垂线，垂足分别为点 M，N．求证：四边形 是筝形． (3)【拓展应用】如图3，在中，，点 D、E分别是线段 上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)③④⑤ (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的内角和逐一判断即可； （2）根据“筝形”的性质同（1）得∶得出，由角平分线的性质定理得出，再通过证明可得，再结合运用“筝形”即可证明结论； （3）分“筝形”两种情况，分别根据“筝形”的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵“筝形”， ∴①不一定成立；②不一定成立；故①②都是错误的； ∵， ∴垂直平分，故③是正确的； 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分和，即④正确； ∵， ∴，故⑤是正确的． 故答案为：③④⑤． （2）证明：在筝形中，， 同（1）得：， ∴， 依题意知：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是筝形． （3）解：分两种情况∶ ①如图：当四边形是筝形且时， ∴； ②如图：当四边形是筝形时且时， 则， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了新定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识点，灵活运用相关知识以及掌握分类讨论是解题的关键． 1．如图，已知中，，如图：设的两条三等分角线分别对应交于则 ；请你猜想，当同时n等分时，条等分角线分别对应交于，则 （用含n和的代数式表示）． 【答案】 60°+α 【分析】根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据三等分的定义求出（∠O2BC+∠O2CB），在△O2BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解；根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据n等分的定义求出（∠On-1BC+∠On-1CB），在△On-1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：在△ABC中，∵∠A=α， ∴∠ABC+∠ACB=180°-α， ∵O2B和O2C分别是∠B、∠C的三等分线， ∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=120°-α； ∴∠BO2C=180°-（∠O2BC+∠O2CB）=180°-（120°-α）=60°+α； 在△ABC中，∵∠A=α， ∴∠ABC+∠ACB=180°-α， ∵On-1B和On-1C分别是∠B、∠C的n等分线， ∴∠On-1BC+∠On-1CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=， ∴∠BOn-1C=180°-（∠On-1BC+∠On-1CB）=180°-（）=， 故答案为：60°+α，． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 2．如图，在中，，、、分别平分的外角，内角，外角，以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【答案】①③④ 【分析】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②不符合题意； ③在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案是：①③④． 3．如图1，已知，A、B两点同时从点出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连结、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连结并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3)为或或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． （1）先根据三角形的内角和定理求出的角度，再根据角平分线得到，，最后根据，即可解答； （2）根据题意，则，，再根据三角形的内角和，，即可解答； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 点为三条内角平分线交点， ，， （2）解：不变，理由如下： 点为三条内角平分线交点， ，， ； （3）解：设， ， ， ∵平分， ， ∵平分， ∴， ， ， ，， ， ． 在中有一个角是另一个角的2倍， ①若，则 解得： ②若，则，解得： ③若，则，解得：， ④若，则，解得： 在中有一个角是另一个角的2倍时，为或或． 4．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 当时， ∴，， ∴点的运动时间， ∴点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 当时， ∴，， ∴点的运动时间， ∴点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 5．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】(1)点到直线的距离为1； (2)证明见解析； (3)或6． 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动， 下面分2类情况讨论： ①若在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ②若在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习-专题02 三角形与全等三角形 （考点清单+分层训练） 考点1：三角形的基本概念 ① 理解三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 ② 掌握三角形的顶点、边、内角、外角的概念，能准确识别 考点2：三角形的分类 ① 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，能根据角度判断三角形类型 ② 按边分：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形），明确等腰三角形的腰、底边、顶角、底角概念 考点3：三角形的三边关系 ① 掌握定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ② 能运用三边关系判断三条线段能否组成三角形 ③ 已知两边，能确定第三边的取值范围 考点4：三角形的内角和与外角性质 1 高：理解三角形高的定义，能画出任意三角形的三条高（锐角三角形高在内部，直角三角形两条高为直角边，钝角三角形两条高在外部） ② 中线：掌握中线定义，知道三角形三条中线交于一点（重心），重心分中线比为2:1 ③ 角平分线：掌握角平分线定义，知道三角形三条角平分线交于一点（内心） ④ 能利用中线、角平分线、高的性质解决线段相等、角度相等问题 考点5：三角形的稳定性 1 理解三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性 ② 能举例说明三角形稳定性在生活中的应用 考点6：全等三角形的定义与性质 1 理解全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 ② 掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；对应中线、对应高、对应角平分线相等；周长相等，面积相等 ③ 能准确找出全等三角形的对应边和对应角（根据对应顶点、对应角、对应边的关系） 考点7：全等三角形的判定定理 1 掌握SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等 ② 掌握SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（注意 “夹角”，SSA 不能判定全等） ③ 掌握ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ④ 掌握AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 ⑤ 掌握HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形） ⑥ 能根据已知条件选择合适的判定定理证明三角形全等 考点8：全等三角形的证明与应用 1 能结合三角形的高、中线、角平分线等条件，书写规范的全等证明步骤（已知→求证→证明） ② 能利用全等三角形的性质证明线段相等、角相等 ③ 能解决与全等三角形相关的实际问题（如测量距离） 2 考点9：角平分线的性质与判定 1 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 ② 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上 ③ 能运用角平分线的性质与判定进行证明和计算 1．下列长度的三条线段能组成三角形的为（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，是的一个外角，若，，则的度数（   ） A． B． C． D． 3．下面四个图形中，线段是的高的图形是（   ） A．B．C．D． 4．将空调安装在墙上时，采用如图所示的方法固定，这种做法的依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 5．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 7．如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在和中，，，下列条件中利用“”的办法判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 9．在中，，平分，交于点，，垂足为，若，则的长为（　　） A．3 B． C．2 D．6 10．如图，已知，，，那么（   ） A． B． C． D． 11．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（   ） A．B．C． D． 12．如图，在中，为内一点，连接且平分，过点作，交于点，．若，，则的长为（   ） A．3 B．1 C．2 D． 13．如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（   ） A． B． C． D．无法确定 14．如图是一个平分角的仪器，其中；将仪器上的点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，过点A，C画一条射线就是这个角的平分线．此仪器的工作原理依据的全等三角形的判定方法是（    ） A．SSS B． C． D． 15．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（   ）． A． B． C． D． 16．如图，在中，、分别是边、上的点，过点作交的延长线于点．若，，，则的长是（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 17．如图，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 18．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得长为58米，则池塘两岸A，B两点的距离是 ． 19．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 20．如图，在中，，，，，则的度数是 ． 21．如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 22．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度． 23．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得长为58米，则池塘两岸A，B两点的距离是 ． 24．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ． 25．如图，在中，，，，，则的度数是 ． 26．如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ． 27．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度． 28．如图，已知，点A，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1．如图，在方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 6．如图：三角形中，两个外角的平分线交于点D，度，则的度数是（    ）度 A．50 B．55 C．80 D．65 7．如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 ． 8．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是 （用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是 （直接填空）． 9．如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 10．已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 11．在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，试探究与的数量关系； (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． 12．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 13．数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． (1)若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； (2)若如图2所示，点D在内部，，求的度数； (3)若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 14．综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 15．如图，在中，，直线经过点，且于点，于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，试问，，之间具有怎样的数量关系，并加以证明． (3)如图3，请直接写出，，之间的数量关系． 16．如图，已知在和中，，，．交于O点， (1)求证：； (2)当时，求的度数． 17．【基础知识】（1）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中， 求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ∵（已作）， ∴______（两直线平行，内错角相等）， ______（两直线平行，同位角相等）． ∵_______（平角的定义）， ∴（等量代换）． 【实践运用】（2）如图1，线段、相交于点，连结、，试证明：． 证明： 【变化拓展】（3）①如图2，、分别平分、，若，，则的度数为______； （2）②如图3，直线平分，平分，若，，则的度数为______． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，a，b满足，连接，过点A作，且，连接． (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，点D的坐标为，在（1）的条件下作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，若点N的坐标是，点P在第二象限，且P，N，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 19．综合与探究 【教材呈现】用全等三角形研究“筝形”． 研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法． 在人教版八年级上册数学教材 的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，． 我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 请结合教材内容，解决下面问题： (1)【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有 ．（填序号）． (2)【性质应用】如图2，在筝形中，，点P是对角线上一点，过点 P分别作的垂线，垂足分别为点 M，N．求证：四边形 是筝形． (3)【拓展应用】如图3，在中，，点 D、E分别是线段 上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 1．如图，已知中，，如图：设的两条三等分角线分别对应交于则 ；请你猜想，当同时n等分时，条等分角线分别对应交于，则 （用含n和的代数式表示）． 2．如图，在中，，、、分别平分的外角，内角，外角，以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 3．如图1，已知，A、B两点同时从点出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连结、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连结并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 4．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 5．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $