期末复习-专题01 整式的乘除与因式分解（考点清单+分层训练）-2025-2026学年人教版八年级上册数学《解锁期末满分 期末冲刺密卷》

期末复习-专题01 整式的乘除与因式分解 （考点清单+分层训练） 考点1：幂运算 1.幂的乘法运算 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2.幂的乘方运算 (m,n都为正整数) 3.积的乘方运算 （m,n为正整数） 4.幂的除法运算 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 考点2：整式的乘法运算 ①单项式 × 单项式：系数相乘，同底数幂分别相乘 ② 单项式 × 多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc（分配律） ③ 多项式 × 多项式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 考点3：平方差公式 平方差公式： 考点4;完全平方公式 完全平方公式： 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 考点5：因式分解 1.概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，是整式乘法的逆运算（结果必须是“整式积”的形式，区别于整式乘法）。 2. 基本方法 （1）提公因式法（首选方法）： 公因式：多项式各项都含有的公共因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，符号取各项系数的共同符号）。 步骤：找出公因式→提取公因式→剩余项整理（如2x²y - 4xy² = 2xy(x - 2y)）。 （2）公式法： 平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)（适用：两项式，且为平方差形式）。 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a±b)²（适用：三项式，且为完全平方形式）。 （3）十字相乘法： 适用：二次三项式ax²+bx+c（重点考查a=1的情况）。 步骤（a=1时）：把常数项c拆成两个数p、q的积，且p+q = b，则x²+bx+c = (x+p)(x+q)（如x²+3x+2 = (x+1)(x+2)，x²-2x-3 = (x-3)(x+1)）。 3. 因式分解的一般步骤：提（提公因式）→二套（套公式或十字相乘法）→三查（查是否分解彻底，结果不能再分解）。 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．的运算结果是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如果，，则的值是（   ） A．12 B．14 C．36 D．72 5．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．若，则代数式的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．若是一个完全平方式，则常数k的值为（   ） A． B． C． D． 9．若且，则式子的值等于（   ） A． B． C． D． 10．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 12．若，则k的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 13．计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D． 14．分解因式：（    ） A． B． C． D． 15．已知，则的值为（   ） A． B．12 C． D．24 16．如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是（    ） A． B． C．4 D． 17．若，，则代数式的值是（      ） A．1 B． C．6 D． 18．已知一个三角形的面积为，一条边长为，则这条边上的高为 19．计算： ； ． 20．计算： (1)； (2)． 1．已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 2．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要C类卡片张数为（    ）． A．7 B．6 C．3 D．2 3．已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．128 5．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．若的展开式中不含有的项，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 7.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数，恰好对应着展开式中各项的系数等等． 则展开式中的第三项是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，将一个边长为的正方形减去一个边长为的小正方形，将剩余部分（阴影部分）对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一个等腰梯形．利用图形的面积关系可以得到一个等式是（   ） A． B． C． D． 9．若 ，则 （     ） A．9 B．12 C．27 D．81 10．我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（   ） A． B． C． D． 11．如果，那么的结果是 ． 12．观察下列各式： ； ； ； ； …… 则的结果为 ． 13．已知是一个多项式的平方，则 ． 14．计算所得结果个位数字是 ． 15．先化简，再求值：，其中，． 16．因式分解： (1)； (2)． 17．先化简，再求值：，其中． 18．【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ． 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图3的正方形． （1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； （2）若，，求的值． 【解决问题】如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 19．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观、形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： 【类比】 （1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式： _______； 【应用】 （2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值． 【拓展】 （3）已知：，求的值． 20．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式：_______． (2)利用你得到的公式，计算：． (3)计算：． 21．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1用配方法因式分解：． 原式． 例2若，利用配方法求M的最小值；； ∵， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 22．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 1．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含x2015项的系数是 ． 2．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ． 3．已知实数m，n满足，则的最小值为 ． 4．观察下列等式： … 根据以上规律，解决下列问题： (1)填空： ； (2)试说明：比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除． 5．利用因式分解说明：当n为自然数时，能被24整除． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习-专题01 整式的乘除与因式分解 （考点清单+分层训练） 考点1：幂运算 1.幂的乘法运算 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2.幂的乘方运算 (m,n都为正整数) 3.积的乘方运算 （m,n为正整数） 4.幂的除法运算 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 考点2：整式的乘法运算 ①单项式 × 单项式：系数相乘，同底数幂分别相乘 ② 单项式 × 多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc（分配律） ③ 多项式 × 多项式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 考点3：平方差公式 平方差公式： 考点4;完全平方公式 完全平方公式： 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 考点5：因式分解 1.概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，是整式乘法的逆运算（结果必须是“整式积”的形式，区别于整式乘法）。 2. 基本方法 （1）提公因式法（首选方法）： 公因式：多项式各项都含有的公共因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，符号取各项系数的共同符号）。 步骤：找出公因式→提取公因式→剩余项整理（如2x²y - 4xy² = 2xy(x - 2y)）。 （2）公式法： 平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)（适用：两项式，且为平方差形式）。 完全平方公式：a² ± 2ab + b² = (a±b)²（适用：三项式，且为完全平方形式）。 （3）十字相乘法： 适用：二次三项式ax²+bx+c（重点考查a=1的情况）。 步骤（a=1时）：把常数项c拆成两个数p、q的积，且p+q = b，则x²+bx+c = (x+p)(x+q)（如x²+3x+2 = (x+1)(x+2)，x²-2x-3 = (x-3)(x+1)）。 3. 因式分解的一般步骤：提（提公因式）→二套（套公式或十字相乘法）→三查（查是否分解彻底，结果不能再分解）。 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，直接计算即可． 【详解】∵ ， ∴ 结果为 ． 故选D． 2．的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则：系数相除，同底数幂的指数相减，保留独有因式，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘除法运算法则，积的乘方运算法则，幂的乘方，熟练计算是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法运算法则，积的乘方运算法则，幂的乘方进行计算即可． 【详解】解： 选项A、，故A错误，不符合题意； 选项B、，故B错误，不符合题意； 选项C、，故C错误，不符合题意； 选项D、，故D正确，符合题意， 故选：D． 4．如果，，则的值是（   ） A．12 B．14 C．36 D．72 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算性质，熟练掌握“幂的乘方公式、同底数幂的乘法公式”是解题的关键．利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算性质，将转化为含、的形式，再代入求值． 【详解】∵， ， ∴， 故选：D． 5．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 6．已知，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的性质．， 根据已知可得，即可得的值． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， 解得 ． 故选：B． 7．若，则代数式的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值． 根据多项式乘以多项式的计算法则得到，据此得到，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．若是一个完全平方式，则常数k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可确定两平方项为，则可确定一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴， 故选：B． 9．若且，则式子的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式化简求值，先将式子 展开，再把已知条件代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴原式， 故选：． 10．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式求得，再根据多项式相等的条件求出的值即可掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 比较一次项系数，得， 即， 故选：． 11．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，正确识别平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式中的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数即可求解． 【详解】解：平方差公式的形式为， 选项A： ，相同项x，相反项a 和，故选项A符合公式； 选项B： ，没有相同项，故选项B不符合公式； 选项C： ，相同项，相反项和x，故选项C符合公式； 选项D： ，相同项m，相反项b 和，故选项D符合公式． 故选：B． 12．若，则k的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 展开右边的完全平方式，与左边多项式比较系数求k． 【详解】解：∵， 又∵=， ∴， 比较x项系数得：， 故选：C． 13．计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． 逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选C． 14．分解因式：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式，将表达式写成两数平方差的形式，再进行因式分解． 【详解】解：． 故选：B． 15．已知，则的值为（   ） A． B．12 C． D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，积的乘方的逆运算，先求出的值，再将原式因式分解为，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴ ， 故选：B． 16．如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．由图1可得剩余部分的面积，由图2可求得长方形的面积，结合两部分面积相等即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分的面积为：， 图2长方形的面积为， 根据两者面积相等，可得， 故选：A． 17．若，，则代数式的值是（      ） A．1 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，平方差公式，利用平方差公式直接代入已知条件计算． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 18．已知一个三角形的面积为，一条边长为，则这条边上的高为 【答案】/ 【分析】本题考查多项式除以单项式，根据三角形的面积公式列出式子，然后进行计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的面积为，一条边长为， ∴这条边上的高为， 故答案为：． 19．计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式．第一个表达式使用平方差公式计算；第二个表达式使用完全平方公式计算，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：，， 故答案为：，． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，多项式乘多项式，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先进行积的乘方，再利用单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 1．已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 展开得：， 即， 移项：， 两边除以2：， 又∵， ∴． 故选：C． 2．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要C类卡片张数为（    ）． A．7 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的乘法，数形结合的思想，掌握多项式乘多项式法则及矩形的面积公式是解决本题的关键．先计算拼成图形的面积和长方形的面积，根据计算结果确定需要的张数． 【详解】解： ； 长方形的面积是， 需要类7张． 故选：A． 3．已知，，，那么a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较底数大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 即， 故选：D． 4．已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．128 【答案】B 【分析】本题考查指数运算，由方程可得，将和化为以2为底的幂形式，利用指数运算法则计算表达式值，关键是将底数统一为 2，利用已知条件代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，利用完全平方公式，将 表示为 ，然后代入已知值计算． 【详解】解： , ， . 故选：A． 6．若的展开式中不含有的项，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先展开多项式，找到项的系数并令其为零，解出a的值． 【详解】解： ， ∵展开式中不含有项， ∴， ∴． 故选：B． 7.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数，恰好对应着展开式中各项的系数等等． 则展开式中的第三项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，熟知“杨辉三角”中每行数与展开式中各项系数之间的对应关系是解题的关键．根据所给“杨辉三角”中每行数与展开式中各项系数之间的对应关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 展开式中各项的系数依次为1，7，21，35，35，21，7，1， 所以展开式中的第三项是． 故选：． 8．如图所示，将一个边长为的正方形减去一个边长为的小正方形，将剩余部分（阴影部分）对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一个等腰梯形．利用图形的面积关系可以得到一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于的恒等式． 【详解】解:正方形中，， 拼接后等腰梯形的面积， ∵面积相等， ∴． 故选：D． 9．若 ，则 （     ） A．9 B．12 C．27 D．81 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂除法逆运算，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行计算； 由已知方程可得的值，再将所求表达式化为同底数幂的形式，代入计算． 【详解】解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴故选：D. 10．我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出展开式中各项系数之和为是解题的关键． 根据题意，依次求出展开式中各项系数之和，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 展开式中各项系数之和为2； 展开式中各项系数之和为4； 展开式中各项系数之和为8； …， 所以展开式中各项系数之和为 当时， 展开式中各项系数之和是 故选：C． 11．如果，那么的结果是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而根据，即，代入可得答案． 【详解】解：， ， 由得， ∴原式． 故答案为：6． 12．观察下列各式： ； ； ； ； …… 则的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及多项式乘多项式，根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， ； ； ； ； …… 所以用含n的等式可表示为：． 令，得， 所以， ， 故答案为：． 13．已知是一个多项式的平方，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方式，根据并结合完全平方式的特征计算即可得出结果，熟练掌握完全平方式是解此题的关键． 【详解】解：∵是一个多项式的平方，且， ∴， 当时，解得：， 当时，解得：， 综上所述，或， 故答案为：或． 14．计算所得结果个位数字是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了平方差公式，掌握两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差是解题的关键． 先变形为原式，再依次利用平方差公式计算得到原式，然后找个位数的规律即可解答． 【详解】解： ； 的个位数为3，的个位数为1； 的个位数为9，的个位数为4； 的个位数为7，的个位数为3； 的个位数为1，的个位数为0； 的个位数为3，的个位数为1； ∵， 所得结果个位数字是0． 故答案为0． 15．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 16．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式提取公因式后再运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）原式提取公因式后，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及完全平方公式、多项式乘多项式等知识，熟练掌握其运算法则是解题关键．先利用完全平方公式、多项式乘多项式的法则展开括号，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式 ． 18．【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ． 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图3的正方形． （1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； （2）若，，求的值． 【解决问题】如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【答案】知识回顾：，；拓展探究：（1）；（2）；解决问题：4 【分析】本题考查了完全平方公式，图形面积，平方根，熟练掌握以上知识是解题的关键． 知识回顾：根据图1和图2中阴影部分面积的两种计算方法即可得出结论； 拓展探究：（1）根据图3中阴影部分的面积的两种计算方法：方式一：直接求阴影部分面积为；方式二：大正方形减去四个小长方形的面积为，即可得出三个代数式，，之间的等量关系； （2）根据（1）的结论可求出的值，再计算平方根即可得； 解决问题：设正方形和的边长分别为和，再根据，两正方形的面积和为20，可得，，然后利用完全平方公式求出的值，利用直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：知识回顾：图1的阴影部分面积计算有两种方式： 方式一：大正方形面积为；方式二：两个小正方形和两个小长方形面积之和为； 所以图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 图2的阴影部分面积计算有两种方式： 方式一：直接求阴影部分面积为；方式二：用大正方形减去两个小长方形的面积，再加上一个小正方形的面积为； 所以图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 故填：，； 拓展探究：（1）图3的阴影部分面积计算有两种方式： 方式一：直接求阴影部分面积为；方式二：大正方形减去四个小长方形的面积为； 所以图3中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； （2），， ， ， ， ． ， ． 解决问题：设正方形和的边长分别为和， ，两正方形的面积和为20， ，． ， ， ， ． 19．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观、形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：，基于此，请回答下列问题： 【类比】 （1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式： _______； 【应用】 （2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形，求的值． 【拓展】 （3）已知：，求的值． 【答案】（1）（2）16；（3） 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，多项式乘多项式与几何图形的面积，完全平方公式的应用： （1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论； （2）计算多项式乘以多项式，进而求得x、y、z的值，代入所求代数式求解即可； （3）设，，利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：（1）根据图形可得：， 故答案为：； （2）∵， ∴可以用图3中的2张边长为a的正方形，7张边长为a、b的长方形，3张边长为b的正方形，拼出一个面积为的长方形， ∴，，， ∴； （3）设，， ∴， 由得：； ∴， ∴． 20．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作可以得到一个公式：_______． (2)利用你得到的公式，计算：． (3)计算：． 【答案】(1) (2)1 (3)2026 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是解题的关键． （1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，因此面积为，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式； （2）将写为，利用平方差公式即可求解； （3）根据把所求式子先裂项，再计算求解即可． 【详解】（1）解： 由题意可得：图2中长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为， ∵图1中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积， ∴图1中阴影部分的面积为， ∵图1和图2阴影部分的面积相等， ∴． 故答案为：． （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 21．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1用配方法因式分解：． 原式． 例2若，利用配方法求M的最小值；； ∵， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3) 【分析】本题考查配方法的应用，涉及平方差公式、完全平方公式及非负数和为零的条件等知识，熟记配方法及相关公式是解决问题的关键 （1）按照阅读材料中的方法直接变形求解即可得到答案； （2）利用配方法恒等变形，再由平方的非负性求解即可得到答案； （3）先利用配方法变形，再由非负数和为零的条件求解，最后由三角形周长公式代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴的最小值为， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ， ， ， 解得， ， 的值满足三角形三边关系， ∴的周长为． 22．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)5 (3)时，最大值为16． 【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值； （3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值； 【详解】（1）解：原式 =； 故答案为： （2）， ， ， 解得：， 、、是 的三边长， ， 又是整数，； 边长的最小值是5； （3） ， ，； ， 当 时, 即 时，取得最大值为16． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 1．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，34…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含x2015项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法运算、杨辉三角，规律探究等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题，属于中考常考题型． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【详解】解：展开式中含项的系数， 由 可知，展开式中第二项为， 展开式中含项的系数是， 故答案为：． 2．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ． 【答案】2701 【分析】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设两个数分别为，k，其中，且k为整数，即智慧数，因为k为正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解：设两个数分别为，k，其中，且k为整数．则． 设两个数分别为和，其中，且k为整数．则，时，， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴（且k为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下： ∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得， ∴， ∵和这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又∵， ∴第2024个智慧数在（组），并且是第1个数，即． 故答案为：2701． 3．已知实数m，n满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算和完全平方的非负性，及不等式的基本性质． 先将整理成，然后将已知条件所给的式子整体代入得结果为．根据和，求出的取值范围，即可求出的最小值，即的最小值． 熟练掌握完全平方的非负性，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】∵， ∴ ． ， ． ， ， ， ， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 4．观察下列等式： … 根据以上规律，解决下列问题： (1)填空： ； (2)试说明：比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了规律问题，因式分解的应用． （1）直接根据题干等式作答即可； （2）设这个偶数为（n是整数），则比它大5的数为，求出，即可证明能被5整除，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：设这个偶数为（n是整数），则比它大5的数为， 由（1）可知 ， 能被5整除， 即能被5整除， 比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除． 5．利用因式分解说明：当n为自然数时，能被24整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了用平方差公式进行因式分解，将和分别看做整体，用平方差公式进行因式分解，所得的结果中含有因式24，即可求证，熟练掌握平方差公式是解决此题的关键． 【详解】 ， 当为自然数时，能被24整除． 1 学科网（北京）股份有限公司 $