精品解析：北京市一零一中2025-2026学年高三上学期统练八数学试卷

北京一零一中2025-2026学年度第一学期高三数学统练八 一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设全集，，．如图所示，阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是，则的模是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 3. 若，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图F1、F2是椭圆C1：与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　） A. B. C. D. 6. 某小区的公共交流充电桩每小时的充电量为，收费标准如下表所示： 时间段 00：00—07：00 07：00—10：00 10：00—15：00 15：00—18：00 18：00—21：00 21：00—23：00 23：00—24：00 收费（元/） 1.2 1.4 1.6 1.4 1.6 1.4 1.2 小王的新能源汽车于17：30开始在该小区的公共交流充电桩充电，当天21：00还未充满，21：30来查看，发现已充满，则小王应缴纳的充电费可能为（ ） A. 31.5元 B. 37.5元 C. 45.3元 D. 51.1元 7. 已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 8. 在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”.已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（ ） A. B. 可能不是等比数列 C. D. 9. 已知函数，则（ ） A. B. 不是周期函数 C. 在区间上存在极值 D. 在区间内有且只有一个零点 10. 如图，在正方体中，，为的中点，为棱（含端点）上的动点，给出下列四个结论： ①存在，使得； ②存在，使得平面； ③当为线段中点时，三棱锥的体积最小； ④当与重合时，直线与直线所成角的余弦值最小. 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题共5小题. 11. 在的展开式中，的系数为10，则的值为_______. 12. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______． 13. 已知的图象向右平移个单位后得到的图象，则函数的最大值为_________；若的值域为，则a的最小值为_________． 14. 已知函数 ，若函数有且只有个零点，则实数的取值范围是________. 15. 已知曲线，给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②当时，曲线上任意一点到点，的距离均不超过； ③曲线与直线围成图形的面积小于5； ④经过点且与平行的直线与曲线的所有交点的横、纵坐标均为有理数． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分分） 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，且． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若=1，求△ABC的周长l的取值范围． 17. 如图，在多面体中，为等边三角形，，.点为的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知. （1）求证：平面； （2）设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 18. 某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照，，，分组，绘制成评分频率分布直方图如下： （1）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率； （2）从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X，求X的分布列和数学期望； （3）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明） 19. 已知两点，曲线上的动点满足，直线与曲线交于另一点． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与轴的交点分别为（点在点的左侧，且不与重合），直线与直线交于点．当点为线段的中点时，求点的横坐标． 20. 已知函数. （1）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：； （2）若函数的极大值大于0，求a的取值范围. 21. 已知有限数列满足.对于给定的，若中存在项满足，则称有项递增子列；若中存在项满足，则称有项递减子列.当既有项递增子列又有项递减子列时，称具有性质. （1）判断下列数列是否具有性质； ①； ②. （2）若数列中有，证明：数列不具有性质； （3）当数列具有性质时，若中任意连续的项中都包含项递增子列，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一零一中2025-2026学年度第一学期高三数学统练八 一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设全集，，．如图所示，阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】图中阴影部分所表示的集合为，根据并集、补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以图中阴影部分所表示的集合为. 故选：A 2. 在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是，则的模是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算及模长公式即可求解. 【详解】由题意知，，，所以 所以， 故选：D. 3. 若，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据指数、对数的运算法则及指数函数和对数函数的性质，考虑与“0、1”比较即可. 【详解】因为，所以， ，，， ，所以. 故选:B 【点睛】此题考查对数指数函数的性质，属于基础题. 4. 已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得函数是R上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得. 【详解】由函数满足，得函数是R上的偶函数，而在上单调递减， 因此， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 如图F1、F2是椭圆C1：与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，结合离心率求解的方法求解即可. 【详解】设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：上的点， ∴2a=4，b=1，c=； ∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF1BF2为矩形， ∴，即x2+y2=（2c）2==12，② 由①②得：，解得x=2-，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c， 则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2， ∴双曲线C2的离心率 故选:D． 6. 某小区的公共交流充电桩每小时的充电量为，收费标准如下表所示： 时间段 00：00—07：00 07：00—10：00 10：00—15：00 15：00—18：00 18：00—21：00 21：00—23：00 23：00—24：00 收费（元/） 1.2 1.4 1.6 1.4 1.6 1.4 1.2 小王的新能源汽车于17：30开始在该小区的公共交流充电桩充电，当天21：00还未充满，21：30来查看，发现已充满，则小王应缴纳的充电费可能为（ ） A. 31.5元 B. 37.5元 C. 45.3元 D. 51.1元 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意算出各时间段的充电费用即可判断选项. 【详解】由题知，小王在15：00—18：00时段充电0.5小时，费用为元； 在18：00—21：00时段充电3小时，费用为元； 记在21：00—23：00时段充电时间为x小时，费用为元. 综上，小王应缴纳的充电费， 因为，所以. 故选：B 7. 已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分析易得在的延长线上，且在圆上时，面积最大，进而求解即可. 【详解】由：，即， 则圆心，半径为， 因为，，则，， 又，则，即， 要使面积最大，则在延长线上，且在圆上，如图， 此时， 则面积的最大值为. 故选：B. 8. 在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”.已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（ ） A. B. 可能不是等比数列 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差前n项和公式，计算出公差，然后再根据等比定义和等差中项判断其它选项. 【详解】由题意知是等差数列且， 所以，解得. . ， 所以是等比数列，故B不正确. ，故A不正确. ，故C不正确. ， ， ，故D正确. 故选：D. 9. 已知函数，则（ ） A. B. 不是周期函数 C. 在区间上存在极值 D. 在区间内有且只有一个零点 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由诱导公式即可判断；对于B，由三角函数周期可得，由此即可判断；对于C，由复合函数单调性即可判断；对于D，令，解方程即可得解. 【详解】对于A，， 所以，故A错误； 对于B，，所以是以为周期的函数，故B错误； 对于C，由复合函数单调性可知在区间上分别单调递增、单调递减， 所以在区间上单调递增，所以不存在极值，故C错误； 对于D，令，得，所以，即该方程有唯一解（函数在内有唯一零点），故D正确. 故选：D. 10. 如图，在正方体中，，为的中点，为棱（含端点）上的动点，给出下列四个结论： ①存在，使得； ②存在，使得平面； ③当为线段中点时，三棱锥的体积最小； ④当与重合时，直线与直线所成角的余弦值最小. 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先建立合适空间直角坐标系，设， 对于①：根据求得的值并判断是否正确； 对于②：考虑与重合时的情况，结合线面平行的判定定理进行判断即可； 对于③：根据，分析的最小值即可判断； 对于④：利用向量法先表示出，然后结合换元法和二次函数性质求解出最小值并判断. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系设， ①：因为， 所以， 当时，，解得，不符合题意，故①错误； ②：当与重合时， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面，故②正确； ③：设到平面的距离为， 所以，且为定值， 所以当最小时，三棱锥的体积最小， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 所以，所以，取，所以， 又，所以， 当时有最小值，故③错误； ④：设直线与直线所成角为， 因为， 所以， 令，所以，所以， 因为，所以时取最大值，此时取最小值， 此时，即与重合，故④正确， 因此正确结论的个数是. 故选：C 二、填空题共5小题. 11. 在的展开式中，的系数为10，则的值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】写出的二项式展开通项，得到项的系数，根据题意，可得的方程，即可求解. 【详解】二项式的展开式的第项为， 令，解得， 所以的系数为，解得. 故答案为：. 12. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量垂直及向量数量积的运算律可得，结合已知及向量数量积的定义即可求与的夹角. 【详解】由题设，，又， ∴，且，为非零向量， ∴，又， ∴. 故答案为： 13. 已知的图象向右平移个单位后得到的图象，则函数的最大值为_________；若的值域为，则a的最小值为_________． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】第一空：先由辅助角公式写出，再结合平移变换写出，即可求得最大值；第二空：由值域为得恒成立，结合诱导公式可得，结合求出a的最小值即可. 【详解】第一空：由可得，易得的最大值为； 第二空：若的值域为，则恒成立， 即，又，故， 解得，又，故当时，a的最小值为. 故答案为：；. 14. 已知函数 ，若函数有且只有个零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数图像，的图像是在轴下方的部分向上翻折形成，考虑，，三种情况，根据相切计算斜率，结合图像得到答案. 【详解】的图像是在轴下方的部分向上翻折形成， 画出函数图像，如图所示： 当时，，有两个零点，不满足； 当时，过点，与相切与点，，故，即，解得，，根据图像知当时，有且只有个零点； 当时，，过点，与相切与点，，故，即，解得，，根据图像知，当，即时，有且只有个零点； 综上所述：当时，有且只有个零点. 故答案为： 15. 已知曲线，给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②当时，曲线上任意一点到点，的距离均不超过； ③曲线与直线围成图形的面积小于5； ④经过点且与平行的直线与曲线的所有交点的横、纵坐标均为有理数． 其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】用代换方程中的，方程不变，可判定①正确；设曲线上的一点，求得点到点的距离为，可判定②不正确；当和时，求得交点坐标，结合梯形的面积为，可得判定③正确；求得直线，联立方程组，求得方程组的解，可判定④正确． 【详解】由曲线， 用代换方程中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，所以①正确； 设曲线上的一点，其中， 则点到点的距离为， 当时，可得， 所以点到点的距离可以超过，所以②不正确； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 令，可得，所以为增函数， 令，可得，所以为单调递增函数， 所以的增长趋势越来越快，可得曲线大致图象如图所示， 可得梯形的面积为， 所以曲线与直线围成图形的面积小于5，所以③正确； 过点且与直线平行的直线方程为， 联立方程组，整理得， 整理得，解得或， 当时，可得；当时，可得， 所以经过点且与平行的直线与曲线的所有交点的横、纵坐标均为有理数，所以④正确． 故答案为：①③④. 三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分分） 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，且． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若=1，求△ABC的周长l的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】本试题主要是考查了解三角形中边角的转化，以及正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数性质的值域问题等等的知识点． （1）利用正弦定理化变为角，得到关于角A的关系式，然后利用三角方程求解得到 （2）利用正弦定理表示各个边，然后利用周长公式得到关于角的三角函数关系式借助于值域来求解得到范围． 解：（Ⅰ）由得 又 ，，， 又 …………………………………………6分 （Ⅱ）由正弦定理得：, 故的周长的取值范围为. …………………………………12分 （Ⅱ）另解：周长 由（Ⅰ）及余弦定理 所以 又 即的周长的取值范围为. …………………………………12分 17. 如图，在多面体中，为等边三角形，，.点为的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知. （1）求证：平面； （2）设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）选条件①：平面平面， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面， 所以. 因为为等边三角形，点为的中点， 所以，因为平面平面， 所以平面. 选条件②： 因为，为等边三角形，所以， 因为，则， 所以为直角三角形，所以， 因为平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为为等边三角形，点为的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）选条件①，根据面面垂直的性质推出平面，继而推出，再结合题意，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；选条件②，根据勾股定理逆定理证明，可得平面，继而推出，再结合题意，根据线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）由（1）可得平面，则可得平面，由此建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，由（1）知平面， 所以平面. 如图，以点为原点，过点A在平面ABC内作AC的垂线作为x轴， 分别以所在直线为轴､轴建立空间直角坐标系， 所以， 所以. 因为点为上一点，设， 所以. 因为，则，所以， 所以，所以，所以. 设平面的法向量为，所以， 所以，令，得， 所以. 设直线与平面所成角为，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照，，，分组，绘制成评分频率分布直方图如下： （1）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率； （2）从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X，求X的分布列和数学期望； （3）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）0.6 （2）的分布列为： 0 1 2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图即可求解； （2）先求出地区评分不低于80分的人数，再分别计算为0,1,2的概率，列出分布列计算期望即可； （3）由每组区间的中点值乘对应的频率再求和得到，再由求得，比较大小即可． 【小问1详解】 对于该公司产品评分不低于60分的频率为， 由频率估计概率可得对该公司产品的评分不低于60分的概率为0.6． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，评分不低于80分的人数为人， 的可能取值为0,1,2， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 则数学期望． 【小问3详解】 由频率分布直方图可得，， ， 则， 又地区和地区抽取用户人数之比为，地区抽取用户人数占总数的，地区抽取用户人数占总数的， 所以两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为， 所以． 19. 已知两点，曲线上的动点满足，直线与曲线交于另一点． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与轴的交点分别为（点在点的左侧，且不与重合），直线与直线交于点．当点为线段的中点时，求点的横坐标． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解， （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据中点关系以及向量共线得，代入韦达定理中即可求解，进而可求解. 【小问1详解】 由于， 所以是以为焦点，以为长轴长的椭圆， 故， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 由于斜率不为0，故设直线方程为：， 联立， 设,则， , 由于点为线段的中点，则， 又是直线与直线的交点，所以 , ,故， ， 将代入可得， 故，解得， 故，由可得， 故点的横坐标为0. 20. 已知函数. （1）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：； （2）若函数的极大值大于0，求a的取值范围. 【答案】（1）（i） ； （ii）证明： 令 ，则 ，当时 单调递减， 当时单调递增，在处取得最大值 ， ； （2）. 【解析】 【分析】(1)（i）求导，根据点斜式直线方程求解；（ii）构造函数，求的最大值即可； (2) 函数，求出的最大值，并对最大值做讨论即可. 【小问1详解】 ， ，， （i）在处的切线方程为； （ii）略； 【小问2详解】 由题可知 ，则 ， ， ，令 ， 当 时是减函数，当 时是增函数， 处取得极大值，也是最大值， ， 令 ，显然是增函数，欲使得 ， ，即 ，解得 ， 所以a的取值范围是 . 21. 已知有限数列满足.对于给定的，若中存在项满足，则称有项递增子列；若中存在项满足，则称有项递减子列.当既有项递增子列又有项递减子列时，称具有性质. （1）判断下列数列是否具有性质； ①； ②. （2）若数列中有，证明：数列不具有性质； （3）当数列具有性质时，若中任意连续的项中都包含项递增子列，求的最大值. 【答案】（1）数列①具有性质，数列②不具有性质 （2） 假设数列具有性质，则数列中存在项递增的数列和项递减数列， 因为，所以为，为， 所以对任意的，在中至少存在一项， 因为中有项，所以存在在中恰出现一次，不妨记为， 记，则必有， 因为递增，递减， 所以，数列中排在前面的项至少有，共项， 排在后面的项至少有，共项， 因为数列中有项，所以是第项，即. 这与题设矛盾，所以假设不成立，即数列不具有性质. （3） 【解析】 【分析】（1）根据性质判断即可； （2）利用反证法，假设数列具有性质，则数列中存在项递增的数列和项递减数列，分析可知，存在在中恰出现一次，不妨记为， 记，则必有，再根据数列递增，递减，推导出，推出矛盾，从而说明结论成立； （3）由（2）知，数列中恰有一项既是的项，也是的项，记，所以，，对数列项数最多的子列进行分析，可知递增子列的项数最多为，所以，，然后对为奇数和偶数进行分类讨论，求出的最大值，并通过构造数列确定的最大值能取到，由此可得出结果. 【小问1详解】 数列①：具有性质；数列②：不具有性质.理由如下： 对数列①，记该数列为， 该数列有项递增子列：， 该数列有项递减子列：，故数列①具有性质； 对于数列②，记该数列为， 该数列有项递增子列：，该数列没有项递减子列， 故数列②不具有性质. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当数列具有性质时， 记数列的项递增子列为为和项递减子列为， 由（2）知，数列中恰有一项既是的项，也是的项， 记，所以，， 所以数列的前项由组成， 因为， 所以项数最多的递增子列只能是或， 所以递增子列的项数最多为， 数列的后项由组成， 所以项数最多的递增子列是或， 所以递增子列的项数最多为，所以，， 因为，所以 当为奇数，时，有最大值，所以， 构造数列， 该数列具有性质，且满足任意连续的项中，都包含项的递增子列； 当为偶数，时，有最大值，所以， 构造数列， 该数列具有性质，且满足任意连续的项中，都包含项的递增子列， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $