精品解析：广东省佛山市第一中学2026-2027学年高三上学期9月阶段性诊断检测数学试卷

2026年高三9月阶段性诊断检测 数学试卷 全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 4. 已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若任意的都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 某校高二年级羽毛球社团为了解喜欢羽毛球运动是否与性别有关，随机在高二年级抽取了若干人进行调查.已知抽取的女生人数是男生人数的3倍，其中女生喜爱羽毛球运动的人数占女生人数的，男生喜爱羽毛球运动的人数占男生人数的.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为喜爱羽毛球运动与性别有关”的结论，则被调查的男生至少有（ ） 参考公式及数据：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 35人 B. 32人 C. 31人 D. 30人 8. 已知定义域为的函数满足：对任意的，有，且当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数a，b，c，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 正方体中，分别为的中点，点满足，则错误的有（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积与点的位置有关 C. 的最小值为 D. 当时，平面PEF截正方体的截面形状为五边形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式中，的系数是______． 13. 若函数，的两个零点分别为和，则______. 14. 已知，函数在上存在两个极值点，则的取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求在上的单调递减区间； （2）若，，求的值． 16. 已知函数是定义域上的奇函数，当时，的最小值为4. （1）求实数的值; （2）令，对，都有，求实数的取值范围. 17. 如图所示，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若，点是线段上的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 18. 在近期的中东冲突中，某武装力量的一种精准制导导弹的命中率为，各枚导弹是否命中相互独立． （1）若对某一处军事设施同时发射3枚导弹，记事件A为“恰有两枚导弹命中目标”，事件B为“第二枚导弹命中目标”，判断A与B是否相互独立； （2）若对某一处军事设施同时发射10枚导弹，记随机变量X为导弹命中的数量，求使取最大值时k的值； （3）现有一个敌方高防御目标需要两枚导弹命中才可以被击毁，若某指挥官制定了如下战略：恰好击毁目标即停止行动，且发射导弹总数不超过枚，记停止行动时发射的导弹数为Y，求． 19. 已知函数. （1）若，讨论函数的单调性和极值情况； （2）若，求证：当时，； （3）若，求证：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三9月阶段性诊断检测 数学试卷 全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求解集合，再求交集. 【详解】由题可知，又因为，故． 故选：B 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示求“”的充要条件，再判断. 【详解】由，， 则. 所以有， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的图象变换规律，可得的解析式． 【详解】解为了得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位得到， 即． 故选：C． 4. 已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设角的终边顺时针旋转后得到的角为，则，即， 由点在的终边上，可得， 根据三角函数的定义： ，， 所以 . 5. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，根据全概率公式得到，，再利用条件概率公式计算得到答案. 【详解】设第一次取出红球的事件为，第二次取出的球是白球的事件为， 取到甲袋，乙袋的事件分别为，， 则， ， 则. 故选：C． 6. 已知函数，若任意的都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出函数的图象，求出函数在处的切线恰过点时切线的斜率，再数形结合即可得解. 【详解】画出函数的图象如下所示： 因为任意的都有恒成立，即的图象恒在的上方（或重合）， 又表示过定点的直线， 设函数在处的切线恰过点， 由，则，所以切线方程为， 又，解得，此时切线为，切线的斜率为， 所以当时， 当时， 由图可知，即实数的取值范围为. 故选：A 7. 某校高二年级羽毛球社团为了解喜欢羽毛球运动是否与性别有关，随机在高二年级抽取了若干人进行调查.已知抽取的女生人数是男生人数的3倍，其中女生喜爱羽毛球运动的人数占女生人数的，男生喜爱羽毛球运动的人数占男生人数的.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为喜爱羽毛球运动与性别有关”的结论，则被调查的男生至少有（ ） 参考公式及数据：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 35人 B. 32人 C. 31人 D. 30人 【答案】A 【解析】 【分析】设出人数，列出列联表，由独立性检验的思想求解即可. 【详解】设男生人数为，则女生人数为， 所以其中女生喜爱羽毛球运动的人数为， 男生喜爱羽毛球运动的人数为， 所以得到的列联表为： 男生 女生 合计 喜爱羽毛球运动 不喜爱羽毛球运动 合计 解得：，再结合二联表中人数均应为整数，故被调查的男生至少有人. 故选：A. 8. 已知定义域为的函数满足：对任意的，有，且当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得函数是周期为4的周期函数，所以，令有，即可求出答案. 【详解】，用代换，有恒成立， 所以函数是周期为4的周期函数. 所以. 令有，所以. 故选：A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，不在的概率为，则，从而求得期望，方差及概率. 【详解】由，则， 则，故A正确； 不在的概率为，则， 则，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知实数a，b，c，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别在同一坐标系中画出三个函数图像，利用其函数值相等画出所有可能的自变量大小的情况，即可作出判断. 【详解】由题意可知，分别画出三个函数图像，如图所示： 当满足时，如图中细虚线所示，，即可能是A； 对于B选项，当时如上图所示，需满足，即不可能是B； 如图所示，可能是C； 如上图所示，可能是，即可能是D. 故选：ACD 11. 正方体中，分别为的中点，点满足，则错误的有（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积与点的位置有关 C. 的最小值为 D. 当时，平面PEF截正方体的截面形状为五边形 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法，证得，可判定A正确；证得平面，结合的面积为定值，可得判定B错误；利用两点间距离公式，求得的最小值，可判定C错误；连接，取中点为，当与交点为点时，利用三角形的性质，求得，可判定D正确. 【详解】对于A中，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，则， 所以，所以， 因为且平面，所以平面，所以A正确； 对于B中，因为正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，因为， 因为平面，平面，所以平面， 所以棱上的所有点到平面的距离都相等， 又因为点是棱上的动点，所以三棱锥的体积始终为定值，所以B错误； 对于C中，由， 因为，所以， 则， 可得 ， 当时，有最小值，最小值为，所以C错误； 对于D中，连接，取中点为，此时与交点为点，如图（1）所示 过点作，可得，可得，所以， 即，此时平面截正方体截面图形为四边形，所以D不正确. 故选：BCD 【点睛】方法点拨：对于立体几何中的截面问题的求解策略： 1、立体几何中的截面问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题； 2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式中，的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式得，令，解得，再将代入计算即可． 【详解】的展开式， 当时，解得，则， 所以展开式中，的系数是． 故答案为：． 13. 若函数，的两个零点分别为和，则______. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，，再利用正弦的二倍角公式求值． 【详解】函数，其中，， 由，得，而， 因此，即， 则，， 即， 故． 故答案为：． 14. 已知，函数在上存在两个极值点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】函数在上存在两个极值点，等价于在上有2个不同的实根（变号），即的图象与直线在上有2个不同的交点（变号），数形结合即可得答案. 【详解】函数在上存在两个极值点， 等价于在上有2个不同的实根（变号）， 即的图象与直线在上有2个不同的交点（变号）， 求出， 当，时，, 当，时， 所以在，上单调递增， 在，上单调递减． 可画出的草图如图： 要保证直线（）在上有2个不同的交点（变号）， 只需， 可得， 故答案为：． 【点睛】已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求在上的单调递减区间； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，然后利用整体代入法求得在上的单调递减区间； （2）先求得，然后利用三角恒等变换的知识求得的值． 【小问1详解】 ， 由，，解得，， 又，函数在上的单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知， 又，， ，， ，， ． ． 16. 已知函数是定义域上的奇函数，当时，的最小值为4. （1）求实数的值; （2）令，对，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质可得，利用基本不等式求出最小值可得； （2）利用换元法构造函数，，求得函数值域根据不等式恒成立解出实数的取值范围即可. 【小问1详解】 根据题意可知，对应定义域内任意，函数满足， 即， 即，解得； 所以， 当时，， 即，解得； 所以，. 【小问2详解】 由（1）可得， 令，，则， 易知当时，，此时函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以； 令，则可化为， 因为二次函数的对称轴为， 所以函数在上单调递增， 又对，都有，即即可； 所以， 即，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围是. 17. 如图所示，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若，点是线段上的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】（1） 取的中点，连接，，，因为为中点，为中点， 所以，在三棱柱中，， 则四边形是菱形，得，则，又， ，，平面，所以平面， 又因为，平面，所以，因为是等边三角形，为中点，所以， 又因为，，平面，所以平面，又因为平面， 所以，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）如图，由题意可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为，，所以是等边三角形，所以，又平面平面， 平面平面，平面，所以平面，得，，又， 如图，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则， ，易知平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 则，令，解得， 此时，所以线段. 18. 在近期的中东冲突中，某武装力量的一种精准制导导弹的命中率为，各枚导弹是否命中相互独立． （1）若对某一处军事设施同时发射3枚导弹，记事件A为“恰有两枚导弹命中目标”，事件B为“第二枚导弹命中目标”，判断A与B是否相互独立； （2）若对某一处军事设施同时发射10枚导弹，记随机变量X为导弹命中的数量，求使取最大值时k的值； （3）现有一个敌方高防御目标需要两枚导弹命中才可以被击毁，若某指挥官制定了如下战略：恰好击毁目标即停止行动，且发射导弹总数不超过枚，记停止行动时发射的导弹数为Y，求． 【答案】（1）与不相互独立 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）先分别计算，再验证是否满足； （2）利用二项分布的概率公式列出与的比值，通过判断比值与1的大小关系确定的最大值点； （3）先确定的所有可能取值，再分和两种情况计算，最后利用期望公式计算期望. 【小问1详解】 由题意得， 因为，， 所以，所以与不相互独立． 【小问2详解】 由题意可得，，所以， 令， 即，解得， 所以， 又因为且 所以当时，有最大值． 【小问3详解】 由题意可知，， ①当时，实际情况为前次发射的导弹恰有一枚击中目标，且第次发射的导弹击中目标，； ②当时，实际情况为两种，第一种为前次发射的导弹都没击中目标，第二种为前次发射的导弹恰有一枚击中目标， 所以， 所以， 记，记， 不妨令， 可设， 对比系数得，解得，所以， 故， 所以. 19. 已知函数. （1）若，讨论函数的单调性和极值情况； （2）若，求证：当时，； （3）若，求证：当时，. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值 （2） 证明：当时，因为， 令，则， 故在单调递增. 当时，， 故在单调递增，则. （3） 证明：由（2）可知在上单调递增，. ①当时，， 故在单调递增， 所以； ②当时，. 因为， 故存在使得（*）. 又因为在单调递增， 所以当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故. 由（*）得，代入上式， 得. 因为，令， 所以，. 当时，， 所以在上单调递增， 所以， 所以，则， 所以当时，，即得证. 【解析】 【分析】（1）求出的导数，判断导数取值范围进而确定的单调性，进而可求极值； （2）求出二次导数，判断出单调递增，代入求出在的取值范围，以此找出的最小值即可； （3）在（2）的基础上讨论的取值范围，将a进行分类讨论，判断出的单调区间，找出最小值即可. 【小问1详解】 ，则. 令，则. 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：函数零点与参数的变换. 在此题中，当函数的导数存在零点时，函数最小值会随着参数的变化而变化，此时函数中存在两个变量，不易判断出函数的最小值.解决此问题的方法为假设函数最小值点，也就是假设导函数的零点，在导函数中代入零点构造方程即可将参数用零点表示出来，再代回原式即可得到只有一个变量的函数解析式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $