重庆市育才中学校2026届高三一诊模拟考试数学试题

题号 1 2 34 5 6 8 答案 A D D B B A D 题号 9 10 题号 12 13 14 答案 ABC ABD ABD 答案 3,80 15.(13分) 解：(1)记乙、丙各自发现故障为事件4,4，由于事件相互独立， 则有P(4)P(4)=名0--P叫4=房解得P(4)=号P(4)- 所以乙、丙两人各自发现故障的概率分别为，！ 93'4 (2)X的可能取值为0,1,2,3 P(x=0=xx3- 2348 pu=-2品 Px2对 1211 P(X=)=25*4五 X的分布列为 X 0 1 2 3 1 P 12 8 12 .1_17 00=0123吕 16.(15分) 解：(1)取PE中点F,并设CE与BD交于点G,连接OG,DF 由=知D为PC中点，又F为PE中点，则DF∥CE, 易知E又为BF中点，则G为BD中点 因为O为AB中点，则OG∥AD 因为AD丈平面OCE,OGC平面OCE, 则AD∥平面OCE. (2)因为C在圆周上，AB为直径，则AC⊥BC,同时，由圆锥知PO⊥平面ABC, 则以C为原点，CB、CA、过C与PO平行的直线为x轴，y轴，：轴建立空间直角坐标系O:, 因PA=AB=2BC=4, 则C(0,0,0),A0,25,0),B2,0,0),P(1,√5,25)，D0,√51,25). 故CB=(2.0.0.CP=(L525),AB=(2,-2√5.0)，BD=(1-2.V52,25), 设平面PBC的一个法向量m=(:,片，). 则@0西=0=0 m.CP=0x+V5y+2W5,=0, 不妨取y,=2,则m=(0,2,-1) 设平面ABD的一个法向量n=(2,为2,2)： 则4店=0→2-25=0 n~BD=0(2-2x3+5刚2+2552=0 不幼取与=5，则=(5) 若平面ABD⊥平面PBC,则mn=0, 即2-计1=0解得= 故：的值为号 17.(15分) 解：设AB=C,AC=b. (1)因为∠BDA为钝角，△ABD为等腰三角形，所以AD=BD=4, 又因为△4DC为等腰三角形，所以AC=4或AC=2(舍去)， △4DC中，由余弦定理知，c0sC=16+4-16-1 2×2×4=4 从而可得snC=osC=正 4 由此可得Sac--CB-CAsinC=3下 2 (2)解法1：由cos∠B4C=6得sm∠BAC= 6 6Sc=AB.4Csn∠B4C= 6 2 besin∠B4C-)BCAD,得bc65面 -AD, 再由cs∠B4C-5知，s(LABC+∠ACB=-5 6 且cos(∠ABC+∠4CB)-cos∠ABC cos∠ACB-sim∠ABCsin∠ACB=4.2-4D.4D-8-AD c b c b bc 则bc=V6(4D2-8) 所以有DAD54D-8,得D=25或AD=-45 5 (舍)· 解法2：一方面，AMC中，由余弦定理知+C-362次c5.5bc 6 3 另一方面，而亚+号c且而1函，因此可得西-网倡西+号衣0 可得6+6c-2=0.则2c-6Xc+26)=0,所以c=50, 带入+C2-365c可得6=25，c=6,可知AD=25. 3 18. 解：(1①)由椭圆的离心率为二及稀圆经过点Q回知 2, d=8 解得 2=4 因此椭圆方程为 8+1. y (2)联立 8 =1,得1+2k2)r2+4+22-8=0,设4小 4 y=女+1 由直线与椭圆相切知△=(4)°-41+2)(22-8)=0，得8-子+4=0，即1+2=兰 4 则万，乃与直线1的距离d=-2水+，4=24+ +k2 +k2 则dd,=-2+X2k+0_-41.82+4-4_40+k.4. +2+k2 1+k2 1+k2 1+k2 故d,d2是定值，为4. (3)由(2)可得x= -2k=-2h=-8 1+2= ，+1片即进》 4 因此可得-2》 B(2k+),N(-2,从+) 4k+1 因此tana=an(∠MPF-∠NPF)= (-2-2)-2-万-4(2+)+(2+)2k+(2+)r2 4 1+ k+1 (2+2)+41+42k (-2-2)1-2-) 若ma=k,则42++2+2+2+A业=k. (2+)°+4]1+4k 即(4k2+2-2+4)1=2r2-8H-8. 假设2边+4-户+4=0，因为1+22=兮，得1=2法，代入1+2=得1+0，矛盾 4 地+4-40，所=4 从有有m=图-22-2：-号，即1=2m IFMI 4 4 故存在1=-4，使得k=tana时1=2anB. 19.(17分) 解：(1)fx)=cosx-[cosx+x(←sinx]=xsinx, 当xe引时，x>0sn>了)>0，故在（引上单调递增 2)由D可知在（引上单调遥增，放当x时.f0=0, 法一：要证sinx-xcosx<-x,即证sinx-xCOSx--x<0 构造函数g(x)=sinx-xCosx-x, g'(x)=cosx-cosx+xsinx-1=xsinx-1,g"(x)=sinx+xcosx, 当x0引时，ge)=nx+osr>0,故g在x0上单调遥增， 又因为g0=-g周)受-1>0， 由零点存在定理， 存唯飞 使得g'(3)=0, 在(0，，)上，g'(x)<0,g(x)单调递减： 在（到上 g'(x)>0,g(x)单调递增 又因为g0)=0, 所以在x∈ 上，g)<0, 所以sinx-xCOx-x<0,即sinr-xCOSx<x 法二：f()<x一sinx-x0osx<x白 sinx 1+cosx 即证m<2月 构造函数g0-=21-mk（0引则g0=2 c0s220, 故：0（月单增，0>g0-0,即a<引得证 8)因为a=子 由2)可知0<a=fa,)ka,选代可知0<a≤aeN) 法：引理1：x引 inx<x 令rx)=x-sinx, 则r'(x)=1-cosx>0, 单调递增，于是r(x)>r(O)0,得证 引理2： .cosx>1- 令1(x)=cosx+ -小，则=-mx+x, 由引理1r)=-mx+x>0,故()在0，引 单调递增 所以(x)>1(0)=0,得证. 引理3：n∈N, 11.1 >3 111 (6ma.-a.cosa. 安北a≤引 由引理1和(2)，0<sima,-a.cosa.<an-a,cosa.=a,0-cosa) 1 1 (sina,-a,cosa.)a(1-cosa.)a 于是只需证 al-cosa,2>有@+0-osa,广-3<0 11 由引理2,0<1-csa,<g 2 于是只需证：(a2+列等-3<0台a+a-12<0 1=a,2e0] 即证+32-12<0. 16 构造函数：(1)=+32-12(1>0)，则h()=32+61>0,故(t)在区间(0，+o)上单调递增， 所以)≤N6】 <h)=-8<0,得证 当=1时， 中即对任意meN,有6< 故d<3 n+3 法二：先证引理： 3 VneN 111 1 a a:3 (sina-acosa.) 之>5e-6ma.-asaj>00<a,≤到 a3a+3 构造函数。()-(6知x-x0os0<x≤到引 3x2 丰换分折-(-引[后-m-时0≤司 对第个5号：茶-亏>0or(<到 当0<x≤<1时，x(x2+3)<10+3)=4<27,显然成立 对第二个括号：号-6in-o>0台mr-xmsx-号<00<≤到 构造函数：r(x)=sinx-xCOSx- 片，则r7)=xsnx-2=x(sinx- 令1)=smx-x,则r)=csx-1<0,1)在0日单调递减，)<10=0. 于是r)<0,在（引单调造减。 r(x)<r(0)=0sinx-xcosx- <00<x≤到 于是创=买-细-m>0<≤引得证 由理名引京号”号牛≥列 故G<3,即对任意meN,有6< n+3 n+3数学试题 (本试卷共150分，考试时间120分钟) 重庆市育才中学校 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号： 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效： 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁：考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.已知集合U=1,2,3,4,5,6,A={九，2,3B={3,4,则(C40∩(CB)= A.5,6 B.{L,2,4,5,6 C.{L,2,5,6 D.{3,4,5,6 2。已知为虚数单位，则复数2十在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知平面向量a=L,2),b=(-1,3),若(a+而1(a-D,则1= A.2 B封 C.t② 2 D.±√2 4.已知{a}为等差数列，其前n项和为Sn,2a,+a,=a2+a。+3,则S,= A.10 B.15 C.20 D.30 5.函数y=f(x)部分图象如图，则f(x)可能是 第5题图 A.()co B.f(x)=sin2x x2 C.f(x)=-cosx e-cx D.f(x)=x2sin2x 6.已知正方体ABCD-AB,CD,棱长为1，过点B、D的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为 A.6 B. C.√5 2 D.6 数学试题第1页，共4页 7.将函数∫)=-sinox(o>0)的图象平移得到g()=sin(ar+5)的图象，且直线x=元为曲线y=g(x)在y轴右 侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是 A.向左平移元个单位 B.向右平移兀个单位 3 C.向左平移刀个单位 D.向右平移”个单位 8.已知实数a,b均不为0，函数f(x)=alm cosx +b(x-1)在某个关于原点对称的区间上恰有两个极值点 1+sinx x,x2,则f(x)+f(x)= A.2a B.-2a C.2b D.-2b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧。已知某批次蜜柚的重 量（单位：克）X~N1500,200),P(X-1500≤200)=m,规定重量不小于1300克的蜜柚为合格品，重量 在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品.现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说法正确的是 A。该蜜柚是优等品的概率为空 B。该蜜柚是合格品的概率为m+1 2 C.若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为m D.若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为、1 2m+1 10.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为1，过F作斜率大于0的直线m与抛物线交于点A(位于第一象限)和 点B,交I于点R,AP⊥I,垂足为P,PF=AF,下列说法正确的是 A.直线m的斜率为√5 B.PF=RF C.AF=2BF D.n6 3 11,如图，已知锐二面角P-AB-Q大小为a,P为定点，N为AB上的动点，设PN=x,PN与AB所成的角 为B,PN与平面ABQ所成的角为0，PNW在平面ABO上的投影与AB所成的角为y,下列说法正确的是 N第1愿图 B A,0<B B.0≤a C.cos0-cosB的值随x增大而增大 D.当且仅当<a<受时，存在点N使得0=7 数学试题第2页，共4页 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.(2-3x)'的展开式中，各项系数的和是 13.过点(1,0)作圆x2+y2+4x-6y+4=0的切线，则切线长为 14.若keN,正整数n=a2+a12+…+a2+a,其中a=1,a-,…a,a∈{0,1}，则(aa-aao)2为n 的二进制表示.记o(n)=a+a+…+a+a.则aI1)= ；a)+02)+…+a31)=】 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率为】 乙、丙两人同时发现故障的概率是，甲、丙两人均未发现故障的概率是，且三人各自能否发现故障相互 Q 独立。 (1)求乙、丙两人各自发现故障的概率： (2)用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望E()· 16.（15分) 如图，已知圆锥P0,AB为底面圆0的直径，点C在圆0上（不同于A,B),BE=}BP,CD=1CP0<1<). (1)若=之，证明：AD/平面OCE: (2)若PA=AB=2BC=4,平面ABD⊥平面PBC,求L的值， 第16题图 数学试题第3页，共4页 17.(15分) 如图，△ABC中，D为BC上一点，BD=4,DC=2· (1)若∠BDA为钝角，△ABD与△ADC均为等腰三角形，求△ABC的面积； (2)若cos∠BAC=6 AD⊥BC,求AD. D C 第17题图 18.(17分) 如图，稀题c:号+后=a>b0的离心率为9且经过点QB同，Fc0,560是其左，右焦点 直线1：y=:+t(k>0,1>0)与C相切于点A. (1)求椭圆C的标准方程； (2)记F,F到直线I的距离分别为d,d2,请问d42是否为定值？如果为定值，求出此定值：如果不为定值，请 说明理由： (3)已知直线x=(2<-a)与x轴交于点P,与1交于点B(B在x轴上方)，过A,B分别作直线x=-C 的垂线，垂足分别为M,N,记∠MPN=a,∠PMN=B.求证：存在入，使得k=tana时，t=2tanB. y B 0 第18题图 19.(17分) 已知函数f()=simx-0,数列{a,}满足a=牙，且a=f(a,)neN). (1)判断函数了(y在区间0上的单调性： 2)证明：当xe0,时，0<f(<x (3)设6，=，证明：对任意且neN,有b,<3 +31