精品解析：浙江省湖州市吴兴区2025-2026学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

九年级数学素养卷 考生须知： 1．试卷分为试题卷和答题卷两部分，满分为120分，时间为120分钟． 2．必须在答题卷的对应答题位置答题． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了三个安检通道，甲从通道进入体育比赛馆的概率是（　　） A. B. C. D. 1 3. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知⊙O半径为6，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A. 点P⊙O内 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 不能确定 5. 如图，内接于圆，，的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（ ） A 3.82 B. 4.82 C. 6.18 D. 6.28 8. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，则时，x的取值范围是（ ） x …… 0 1 …… …… 3 3 …… A. B. C. 或 D. 9. 如图，在中，，G是的重心，点D在边上，，如果，则值是（ ） A. B. C. D. 10. 有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中（如图1），在某一时刻观测到了一座灯塔，10分钟后测得灯塔位于船的北偏东方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里．经过持续测量船只与灯塔之间距离d（海里），发现与船行路程x（海里）之间满足二次函数的数量关系（如图2），其中最低点为点B，以下说法正确的是（ ） A. B. 点在函数图象上 C. 船行速度为25海里/小时 D. 船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时 卷Ⅱ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 写出一个开口向上的二次函数表达式______： 12. 若，则______． 13. 小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表： 投篮次数 20 40 60 80 120 150 200 投中次数 15 33 47 65 95 120 160 投中频率 0.75 0.83 0.78 0.81 0.79 0.80 0.80 估计小萌投一次篮，投中的概率是______．（结果精确到0.01） 14. 如果两个相似三角形的周长之比是，那么它们的对应边上的高线之比是______． 15. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则______． 16. 如图，已知正方形的边长是4，点E、N分别是边和上的一点，，且，连接，交于点P．以为边长作正方形，交于点H，连接，交于点Q，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 计算：． 18. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）若不同两点均在抛物线上，求的值． 19. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．如图是小吴收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为A，B，C），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后放好． （1）若小吴随机抽取一个文件袋，则抽到C（空中无人作战方队）图片的概率为______； （2）若小吴先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小兴再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的概率． 20. 如图，中，，． （1）求的度数； （2）求图中阴影的面积． 21. 2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．图2是其动作1的示意图，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，手绢与手臂始终保持垂直． （1）若肘关节点B与肩关节点A之间竖直高度为，即，求肘关节角的度数． （2）如图3，机器人手臂绕肩关节点A向下旋转，即，同时调节肘关节角，完成动作2．问此时手绢端点与机器人身体的水平距离，即的长度为多少？ （参考数据：，，，．） 22. 某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论： 甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形． 乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形． （1）判断甲乙两位同学的结论（ ） A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．两位同学都正确 D．两位同学都错误 （2）如图1，的半径为3，矩形内接于圆O．丙同学发现圆内接矩形有无数个，并进一步发现：当该矩形为正方形时，其面积最大．以下是他的证明思路： 矩形面积最大 → 面积最大 → 当是______三角形时，面积最大 → 圆内接矩形是正方形 根据丙同学的思路，当圆内接矩形面积最大时，请你判断的形状，并求出圆内接矩形的最大面积是多少？ （3）如图2，这两个圆都是以点O为圆心的同心圆，，，矩形的两边和分别为同心圆的两条弦．请你求出矩形面积的最大值，并求出此时矩形的周长是多少？ 23. 小吴利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图1所示，输入x的值为时，输出y的值为；输入x的值为1时，输出y的值为1；输入x的值为6时，输出y的值为3． （1）根据题意，填空：______，______,______． （2）小吴在平面直角坐标系中画出了函数y关于x的大致图象，如图2所示． ①若关于每一个输出的y值，可以找到两个不同的x的值与其对应，求出所有符合要求的y的值． ②若在函数图象上有P,Q两点（P在Q的左侧）．P的横坐标为t，Q的横坐标为．小吴对P,Q之间（含P,Q两点）的图象进行了研究，当此函数的最大值m与最小值n的差是一个定值时，请直接写出t的取值范围． 24. 如图1，在中，，为的直径，连接并延长至点D，使得．连接并延长交于点E，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点P，若，，求的长度； （3）如图3，连接，分别交，于点Q，M，过点M作于点N．若，． ①用含有a，b的代数式表示； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学素养卷 考生须知： 1．试卷分为试题卷和答题卷两部分，满分为120分，时间为120分钟． 2．必须在答题卷的对应答题位置答题． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可解答． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是． 故选：D． 2. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了三个安检通道，甲从通道进入体育比赛馆的概率是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．直接利用概率公式可得答案． 【详解】解：体育比赛馆开设了，，三个安检通道， 甲从通道进入体育比赛馆的概率为． 故选：B． 3. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，直角三角形中，一个锐角的正切值等于该锐角所对的直角边的长与另外一条直角边的长的比值，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：A． 4. 已知⊙O半径为6，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题应先由勾股定理求得点P到圆心O的距离，再根据点P与圆心的距离与半径的大小关系，来判断出点P与⊙O的位置关系．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【详解】点P的坐标为（3，4）， 点P在⊙O内 故选A 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：①点P在⊙O上；②点P在⊙O内；③点P在⊙O外，求得点到圆心的距离是解题的关键． 5. 如图，内接于圆，，的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆心角与弧之间的关系，等边对等角和三角形内角和定理，设圆心为O，连接，则，根据圆周角定理得到的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，设圆心为O，连接， ∵的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，已知，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∴， ∴只有D选项中的结论错误，符合题意， 故选：D． 7. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（ ） A. 3.82 B. 4.82 C. 6.18 D. 6.28 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，结合求解，即可解题． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴， ∴， 故选：A． 8. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，则时，x的取值范围是（ ） x …… 0 1 …… …… 3 3 …… A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，通过表格数据点确定二次函数的对称轴和开口方向，利用对称性找到二次函数与直线的交点的横坐标，从而得出x的取值范围． 【详解】解：∵当时的函数值和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时，， ∴时， 由表格中的数据可知在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∴函数图象开口向下， ∴离对称轴越近，函数值越大， ∴时，x的取值范围是， 故选：A． 9. 如图，在中，，G是的重心，点D在边上，，如果，则值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，重心的定义，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，根据重心的定义可得都是的中线，则由三角形中位线定理可得，证明得到，设，则，设，则，证明求出a与b的关系即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接， ∵G是的重心， ∴都是的中线， ∴为的中位线， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴可设，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故选：D． 10. 有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中（如图1），在某一时刻观测到了一座灯塔，10分钟后测得灯塔位于船的北偏东方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里．经过持续测量船只与灯塔之间距离d（海里），发现与船行路程x（海里）之间满足二次函数的数量关系（如图2），其中最低点为点B，以下说法正确的是（ ） A. B. 点在函数图象上 C. 船行速度为25海里/小时 D. 船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质与判定，由点A的坐标和点B的坐标可得这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里，当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里，利用勾股定理即可判断A；当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里，利用勾股定理求出即可判断B；求出航行10分钟时这艘船的路程，即可判断C；根据对称性可求出这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔，据此可判断D． 【详解】解：∵在该函数图象上， ∴当时，，即或（舍去）； ∴当时，这艘船与灯塔的距离为20海里，即这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里， ∵二次函数的最低点B的坐标为， ∴这艘船航行距离为m海里时，该船与灯塔的距离最近，且为海里， ∴当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里， 如图所示，设灯塔的位置用点E表示，船的初始位置用点O表示， 过点E作船行进路线所在的直线的垂线，垂足为H，则海里，海里， ∴由勾股定理得，即，故A说法错误； 当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里， ∴海里， ∴， ∴点在函数图象上，故B说法正确； 设10分钟后这艘船的位置用G点表示，连接，则， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∴海里， ∴船行速度为海里/小时，故C说法错误； 由点B的坐标可知，对称轴为直线， ∴由对称性可知点在函数图象上， ∴这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔， ∴船只可以观测到灯塔的持续时间可达小时，故D说法错误； 故选：B． 卷Ⅱ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 写出一个开口向上的二次函数表达式______： 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，熟记二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是解答本题的关键，“对于二次函数，当时，其图象开口向上，当时，其图象开口向下”，本题是一道开放性题，所以只要写一个二次项系数大于零的二次函数即可． 【详解】因为开口向上的二次函数的二次项系数是正数，所以满足题意的二次函数表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质．由比例式，整理得，将其代入中整理化简即可解题． 详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：． 13. 小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表： 投篮次数 20 40 60 80 120 150 200 投中次数 15 33 47 65 95 120 160 投中的频率 0.75 0.83 0.78 0.81 0.79 0.80 0.80 估计小萌投一次篮，投中的概率是______．（结果精确到0.01） 【答案】0.80 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据频率估计概率的原理，当试验次数大量重复时，事件发生的频率会稳定在概率附近，观察投中的频率数据，发现随着投篮次数增加，频率在0.80附近波动并稳定，因此估计投中的概率为0.80． 【详解】解：由频数表可知，投篮次数从20次增加到200次时，投中的频率分别为0.75、0.83、0.78、0.81、0.79、0.80、0.80，当投篮次数较大时（如150次和200次），频率稳定在0.80附近，且其他频率值也接近0.80，可估计小萌投一次篮投中的概率为0.80． 故答案为：0.80． 14. 如果两个相似三角形的周长之比是，那么它们的对应边上的高线之比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据“两个相似三角形的相似比等于它们的周长比，也等于它们的高线比，”进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴它们的对应边上的高线之比为， 故答案为：． 15. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知正方形的边长是4，点E、N分别是边和上的一点，，且，连接，交于点P．以为边长作正方形，交于点H，连接，交于点Q，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先求得，，，证明，求得，推出，利用等积法求得，利用勾股定理求得的长，证明，求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵正方形边长是4，且， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算乘方，代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，最后再计算加减法即可． 【详解】解： 18. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）若不同两点均在抛物线上，求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了将函数解析式化成顶点式、二次函数与一元二次方程、根与系数的关系等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用配方法将抛物线的解析式化成顶点式即可； （2）令得到关于x的方程，然后根据根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：，即． 【小问2详解】 解：令，则， ∵不同两点均在抛物线上， ∴m、n是方程的根，即m、n是方程的根， ∴． 19. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．如图是小吴收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为A，B，C），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后放好． （1）若小吴随机抽取一个文件袋，则抽到C（空中无人作战方队）图片的概率为______； （2）若小吴先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小兴再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有三个文件袋，且每个文件袋被抽到的概率相同， ∴小吴随机抽取一个文件袋，则抽到C（空中无人作战方队）图片的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 小吴 小兴 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的结果数有4种， ∴恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的概率为． 20. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）求图中阴影的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案； （2）过点O作于点H，连接，可证明是等边三角形，得到，由垂径定理得到；可证明，则可求出的长，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点O作于点H，连接， 由（1）得， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，求不规则图形的面积，熟知垂径定理和扇形面积公式是解题的关键． 21. 2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．图2是其动作1的示意图，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，手绢与手臂始终保持垂直． （1）若肘关节点B与肩关节点A之间的竖直高度为，即，求肘关节角的度数． （2）如图3，机器人手臂绕肩关节点A向下旋转，即，同时调节肘关节角，完成动作2．问此时手绢端点与机器人身体的水平距离，即的长度为多少？ （参考数据：，，，．） 【答案】（1）； （2）的长度为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的判定和性质． （1）在中，利用余切函数的定义求解即可； （2）作出如图所示的辅助线，求得，根据，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作直线的垂线于点，过点作直线的垂线于点，过点作直线的垂线于点，交于点， ∴四边形是矩形， 如图，由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∴的长度为． 22. 某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论： 甲同学：我发现圆内接平行四边形一定矩形． 乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形． （1）判断甲乙两位同学的结论（ ） A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．两位同学都正确 D．两位同学都错误 （2）如图1，的半径为3，矩形内接于圆O．丙同学发现圆内接矩形有无数个，并进一步发现：当该矩形为正方形时，其面积最大．以下是他的证明思路： 矩形面积最大 → 面积最大 → 当是______三角形时，面积最大 → 圆内接矩形是正方形 根据丙同学的思路，当圆内接矩形面积最大时，请你判断的形状，并求出圆内接矩形的最大面积是多少？ （3）如图2，这两个圆都是以点O为圆心的同心圆，，，矩形的两边和分别为同心圆的两条弦．请你求出矩形面积的最大值，并求出此时矩形的周长是多少？ 【答案】（1）A； （2）是等腰直角三角形，圆内接矩形的最大面积是； （3）矩形面积的最大值为，矩形的周长． 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，矩形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的对角互补及对角互补的平行四边形是矩形作答即可； （2）连接，作，，可知是直径，则，根据矩形的性质可知，即当面积最大时，矩形面积最大，由，，，可知面积最大，矩形面积最大，此时为半径，即与重合，即可得到的形状； （3）过作于于，判定四边形是矩形，得到，由垂径定理推出，求出的面积，得到，因此当的面积最大时，矩形的面积最大，当时，的面积最大，进而根据矩形的性质及勾股定理作答即可． 【小问1详解】 解：圆内接四边形的对角互补，对角互补的平行四边形是矩形； 即甲正确，乙错误． 故选：A； 【小问2详解】 解：如图，已知矩形内接于圆O，连接，作，， ∵， ∴是直径， ∴， ∴ ∵矩形， ∴， 即当面积最大时，矩形面积最大， ∵，，， ∴面积最大，矩形面积最大，此时半径，即与重合， ∵，， ∴是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：过作于于， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ∴的面积， ∵矩形的面积， ∴， ∴当的面积最大时，矩形的面积最大， 为两圆的半径，值恒定，以为底时，的高， ∴当时，的面积最大， 此时，，， 当时，的面积， ， ， ， ∴此时矩形的周长． 23. 小吴利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图1所示，输入x的值为时，输出y的值为；输入x的值为1时，输出y的值为1；输入x的值为6时，输出y的值为3． （1）根据题意，填空：______，______,______． （2）小吴在平面直角坐标系中画出了函数y关于x的大致图象，如图2所示． ①若关于每一个输出的y值，可以找到两个不同的x的值与其对应，求出所有符合要求的y的值． ②若在函数图象上有P,Q两点（P在Q的左侧）．P的横坐标为t，Q的横坐标为．小吴对P,Q之间（含P,Q两点）的图象进行了研究，当此函数的最大值m与最小值n的差是一个定值时，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1），， （2）①所有符合要求的y的值为或；②． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式中解方程或方程组即可； （2）①把问题转化为经过点或且平行于x轴的直线，据此求解即可； ②可求，分三种情况讨论，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴将，和，分别代入， 得：， 解得：； ∵， ∴将，代入， 得， 解得：， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：①由（1）得， 当时，，顶点坐标为； 当时，，即点坐标为； 如图，当经过点或且平行于x轴的直线，每一个输出的y值，可以找到两个不同的x的值与其对应， ∴所有符合要求的y的值为或； ②∵，，且P在Q的左侧， ∴，解得， 解方程得或， 解方程得或， 解方程得， 解方程得， ∵， ∴， 分情况讨论， 当时，则， ∴， 由图象得，当时取得最大值，为， 当时取得最小值，为， ∴ ，不是定值，不符合题意； 当时，则， ∴， 由图象得， 当时取得最大值，为，当时取得最小值，为， ∴，是定值，符合题意； 当时，则， ∴， 由图象得，当时取得最大值，为， 当时取得最小值，为， ∴，不是定值，不符合题意； 综上，． 24. 如图1，在中，，为的直径，连接并延长至点D，使得．连接并延长交于点E，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点P，若，，求的长度； （3）如图3，连接，分别交，于点Q，M，过点M作于点N．若，． ①用含有a，b的代数式表示； ②求证：． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）①；②见解析 【解析】 【分析】（1）证明是的中位线，求得，推出，即可证明结论成立； （2）设，则，利用勾股定理列式计算求得，，再证明，同理求得，则，根据，代入数据即可求解； （3）①证明，求得，利用勾股定理求得，再求得，在中，利用正弦函数的定义即可求解； ②利用倒推法结合完全平方公式即可证明结论成立． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，则， ∴； 【小问3详解】 ①解：∵， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴； ②证明：要证明， 则要证明， 即要证明， ∵， ∴，即成立， ∴成立． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $