精品解析：河南省信阳市羊山中学2025-2026学年九年级上学期第五次适应性训练数学试卷

九上第五次适应性训练数学试题 一．选择题（共30分） 1. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 掷一次骰子，向上一面的点数为6 C. 一个标准大气压下，水加热到时会沸腾 D. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 5. 关于的方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 6. 如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上．已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　） A. 图象必经过点 B. 图象过第一、三象限 C. 若，则 D. 点、是图象上的两点，，则 9. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴，y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D，若的半径为3，点B的坐标是，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ） A. 在一定范围内，越小越大 B. 当时，的阻值为 C. 当踏板上人的质量为时， D. 若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 二．填空题（共15分） 11. 写出一个抛物线的解析式，使这个抛物线的对称轴为直线，______． 12. 如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是_________（结果用含的式子表示）． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，则的值为______． 14. 如图，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．若，则阴影部分的面积为_____． 15. 如图①，在中，，，点是的中点，交于点．将绕点旋转，点，的对应点分别为，．连接，，如图②．当时，的长度为_____． 三．解答题（共8小题） 16. 如图，已知在平面直角坐标系中． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标． （2）画出绕原点顺时针旋转后的． （3）计算点旋转到的弧长． 17. （1）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． （2）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． ①求密度关于体积的函数解析式； ②若，则二氧化碳密度的变化范围为______． 18. 如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、． （1）求证：； （2）若，，求弦的长． 19. 模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得，即；由周长为m，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第　 　象限内交点的坐标． （2）画出函数图象 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线． （3）平移直线，观察函数图象 ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长m的值为　 　； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围． （4）得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为　 　． 20. 二次函数的图象经过，两点，顶点为． （1）求二次函数的表达式和顶点的坐标． （2）如图1，将二次函数的图象沿轴方向向左平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最小值是，求的值． 21. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）根据图1直接写出不等式的解集为______． （4）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，则点的坐标为______． 22. 材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 23. 综合与实践：如图，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】现将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，连接． 第二步：将沿折痕展开，然后将绕着点顺时针方向旋转得到，点的对应点分别是点，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点． 【数学思考】（1）折痕的长为______． （2）将绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论． 【数学探究】 （3）将绕点旋转至图2所示位置，当直线经过点时，求的长． 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上第五次适应性训练数学试题 一．选择题（共30分） 1. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标变化规律，解题的关键是熟练掌握关于原点对称点的横纵坐标均互为相反数．根据关于原点对称的点的坐标性质，点的横坐标和纵坐标都变为相反数，进行求解即可． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴关于原点对称的点的坐标为． 故选：C． 2. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质，是解答本题的关键． 根据中心对称图形的性质，找到对称中心，绕中心旋转后与自身重合，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项是中心对称图形，故本选项符合题意； 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆心的距离与半径的关系进行判断. 【详解】解：∵点到圆心的距离＞半径，即OP＞r， ∴点P在圆外． 故选C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 4. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 掷一次骰子，向上一面的点数为6 C. 一个标准大气压下，水加热到时会沸腾 D. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查必然事件的定义，需区分必然事件与随机事件．必然事件是指在一定条件下必然发生的事件．选项C描述的是在标准大气压下，水加热到时沸腾，这是必然发生的科学现象，因此是必然事件． 【详解】解：A．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不一定发生，故A不符合题意； B．掷一次骰子，向上一面的点数为6，是随机事件，不一定发生，故B不符合题意； C．一个标准大气压下水加热到时会沸腾，是必然事件，一定发生，故C符合题意； D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不一定发生，故D不符合题意． 故选：C． 5. 关于的方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上．已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，由切线的性质得，即可计算，再由圆周角定理可得出的大小． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 7. 如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，由旋转的性质可得，，，求出是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选C． 8. 已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　） A. 图象必经过点 B. 图象过第一、三象限 C. 若，则 D. 点、是图象上的两点，，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数（为常数，）的图象与性质，包括图象经过的点、所在象限、函数的单调性等．根据反比例函数性质逐个选项分析即可． 【详解】A．当时，，所以图象必经过点，正确，故本选项不符合题意； B．，，所以图象过第一、三象限，正确，故本选项不符合题意； C．当时，，因为反比例函数图象在每一个象限内随的增大而减小，所以若，则，错误，故本选项符合题意； D．，，所以图象过第一、三象限，即、同号，所以，则，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴，y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D，若的半径为3，点B的坐标是，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，垂径定理等，连接，设与y轴的切点为F，与x轴的切点为E，连接并延长与交于点G，连接，可得四边形、四边形和四边形都是矩形，即得，进而得到，即得，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与y轴的切点为F，与x轴的切点为E，连接并延长，与交于点G，连接， 则， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形和四边形是矩形， ， ， ， ， 半径为3， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10. 某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ） A. 在一定范围内，越小越大 B. 当时，的阻值为 C. 当踏板上人的质量为时， D. 若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越小，越大，原说法正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意； C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法正确，不符合题意； D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为，由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值，，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法错误，符合题意； 故选：D． 二．填空题（共15分） 11. 写出一个抛物线的解析式，使这个抛物线的对称轴为直线，______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是，对称轴是直线． 根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴其解析式可表示为（其中）． 取，，得． 故答案为（答案不唯一）． 12. 如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是_________（结果用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵底面半径为， ∴圆锥底面圆的周长为， 即扇形纸片的弧长为， ∵母线长为， ∴圆锥的侧面积． 故答案为： 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及菱形的性质，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数的关系式．根据题意得出点坐标是解题的关键． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形为菱形， ，， 点坐标为． 点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 14. 如图，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．若，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积与扇形OBC的面积之和再减去的面积，本题得以解决． 【详解】 解：作于点F， 在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．， ，，， ， ，，，， ， 阴影部分的面积是：， 故答案为． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15. 如图①，在中，，，点是的中点，交于点．将绕点旋转，点，的对应点分别为，．连接，，如图②．当时，的长度为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先求得，根据题意得出的长，进而分两种情况讨论，当在的上方时，当在的下方时，分别根据相似三角形的性质以及解直角三角形，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵点是的中点，交于点． ∴ ∴ ∴ ∵旋转， ∴ ∵ ∴， ∴ 如图，当在的上方时， 设交于点，过点作于点， 设， ∵，则 ∴ ∴ 解得： ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，又 ∴ ∴， ∴ 当在的下方时，如图，过点作于点， ∵， ∴四点共圆， ∴ 在中，， ∴， 综上所述， 或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，解直角三角形，直角所对的弦是直径，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； 三．解答题（共8小题） 16. 如图，已知在平面直角坐标系中． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标． （2）画出绕原点顺时针旋转后的． （3）计算点旋转到的弧长． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中的中心对称，图形的旋转变换，弧长的计算，掌握弧长公式是解题关键． （1）“关于原点对称的点，横、纵坐标互为相反数”，据此确定、、的坐标，然后依次连接即可； （2）“点绕原点顺时针旋转后，坐标变为”，据此确定、、的坐标，然后依次连接即可； （3）先通过勾股定理求出旋转半径，再确定旋转的圆心角，最后代入弧长公式计算． 【小问1详解】 解：如图为． 据图可知，的坐标为． 【小问2详解】 解： 如图为． 【小问3详解】 解：点的坐标为， ， 绕原点顺时针旋转后得到， ， 圆心角，半径， 则． 故：． 17. （1）京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有张不透明卡片，正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案外其余都相同．将这张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张，再从剩下的张中随机抽取一张．利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率． （2）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． ①求密度关于体积的函数解析式； ②若，则二氧化碳密度的变化范围为______． 【答案】（1）　（2）①　② 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，反比例函数的解析式求解，反比例函数的性质，通过掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）先通过树状图列出“第一次抽张、第二次抽剩余张”的所有等可能结果，再从结果中数出包含“生”的结果数，最后用“含‘生’的结果数总结果数”算出概率； （2）①根据“与是反比例函数关系”，设解析式为，代入已知点求出，进而得到解析式​； ②根据“时，在每个象限内，随增大而减小”，分别代入和算出对应的值，进而得到变化范围． 【详解】（1）解：作树状图如下． 由图可知共有种等可能的结果，其中两张卡片里含有“生”的结果有种， 则抽取两张卡片里含有“生”的概率为． （2）解：①设函数解析式为，代入点， ，即， 故密度关于体积的函数解析式为． ②，， 当，随的增大而减小， 当，；当，， 的变化范围为． 故答案为：． 18. 如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、． （1）求证：； （2）若，，求弦的长． 【答案】（1） 证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； （1）先根据圆周角定理得到，再利用等角的余角相等得到，然后利用即可得到结论； （2）先根据垂径定理得到，再计算出，然后利用勾股定理可计算出，从而得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 在中， ， ． 19. 模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得，即；由周长为m，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第　 　象限内交点的坐标． （2）画出函数图象 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线． （3）平移直线，观察函数图象 ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长m的值为　 　； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围． （4）得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为　 　． 【答案】（1）一 （2）图象如下所示： （3）①②； （4） 【解析】 【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解； （2）直接画出图象即可； （3）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解； （4）运用（3）的相关结论即可． 【详解】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数， 故点在第一象限， 答案为：一； （2）略 （3）①把点代入得： ，解得：； ②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况， 联立和并整理得：， 时，两个函数有交点， 解得：； （4）由（3）得：． 【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大． 20. 二次函数的图象经过，两点，顶点为． （1）求二次函数的表达式和顶点的坐标． （2）如图1，将二次函数的图象沿轴方向向左平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最小值是，求的值． 【答案】（1），顶点G的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及平移规律． （1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）根据平移规律可得新抛物线解析式为，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系讨论即可． 【小问1详解】 解：将，代入， 则， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． 【小问2详解】 解：根据平移规律可得新抛物线解析式为：， ∴对称轴为直线，最小值为， ， ， 新函数的最小值是， ∴，即， ∴当时，y取最小值是，代入解析式得：， 解得：（舍去），， 综上可知，． 21. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）根据图1直接写出不等式的解集为______． （4）如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，则点的坐标为______． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2）的面积为 （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得的值，再将代入，可求出的值，最后结合点、的坐标求出一次函数表达式即可； （2）先求出点的坐标，利用，即可求解； （3）直接观察图像即可得出答案； （3）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数上， 代入得，解得， 故反比例函数表达式为， ∵点也在反比例函数上， ∴，解得， 故点， 将点，代入一次函数， 得，解得， ∴一次函数表达式为， 故反比例函数表达式为，一次函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数表达式为， ∴点， ∴， （式中、表示点、到轴的距离） 故的面积为． 【小问3详解】 解：直接观察图象即可， 当或时，， 故答案为或． 【小问4详解】 解：过点作轴的平行线，分别过点和点作的垂线，垂足分别为和，如下图所示： 由旋转的性质可知： ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 令点坐标为， ∴， ， 故得点的坐标为， ∵点在反比例函数上， ∴， 解得或（舍去） ∴点的坐标为， 故答案为：． 22. 材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【答案】（1） 即为所求； （2）变强 （3），理由如下： 连接，则：， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵水滴弧的长度为：， ∴， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解题的关键． （1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接，分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心，连接，过点作，则为圆的切线，即为所求； （2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可； （3）连接，等边对等角，得到，切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可； （4）可以根据，进行判断，根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可． 【详解】解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接； ②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心； ③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强， 故材料的疏水性随着接触角的变大而变强； 故答案为：变强； （3）略 （4）略 23. 综合与实践：如图，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】现将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，连接． 第二步：将沿折痕展开，然后将绕着点顺时针方向旋转得到，点的对应点分别是点，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点． 【数学思考】（1）折痕的长为______． （2）将绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论． 【数学探究】 （3）将绕点旋转至图2所示位置，当直线经过点时，求的长． 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，，再证是的中位线，即可得出结论； （2）连接，由旋转知，，，再证，即可得出结论； （3）由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设，然后在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； （4）连接，则，当、、三点共线，且点F在线段上时，，此时最小，由直角三角形的性质得，即可求得最小值为2；当、、三点共线，且点F在延长线上时，，此时最大，即可求得最大值为8；即可解决问题． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：，， ， ， ， 是的中位线， ， 故答案为：； （2）解：，证明如下： 如图1，连接，     由旋转的性质得：，， 在和中， ， ∴， ； （3）解：由旋转的性质得：，， ， ， ， ， ， 设， 在中，， 即， 解得：， ； （4）解：如图3，连接， 则， 当、、三点共线，且点F在线段上时，， 此时的值最小，最小， ，， ， ， 的最小值， 当、、三点共线，且点F在延长线上时， ， 此时，最大， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $