精品解析：湖北襄阳市太平店教育集团2026-2027学年九年级上学期开学数学收心练习

2026-2027学年度九年级上学期数学入学测试题 总分值：120分 一、单选题（共30分） 1. 已知是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）． A. 8 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简、完全平方数以及正整数的概念等知识点，能够将已知的二次根式化简是解题的关键．由是整数，可知是完全平方数，则可得出满足条件的最小正整数n为2． 【详解】解：先把化简成，再根据是整数分析最小正整数的值即可． ∵且是整数， ∴是完全平方数， ∴正整数的最小值是， 故选：B． 2. 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，判断三角形是否为直角三角形，找出不符合的选项即可. 【详解】解：A 、最长边为，，，，不能构成直角三角形，符合要求. B 、最长边为，，能构成直角三角形，不符合要求. C 、最长边为，，能构成直角三角形，不符合要求. D 、最长边为，，能构成直角三角形，不符合要求. 3. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的一半得出结论． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴OB=OD=OA=OC， 在△EBO与△FDO中， ∵， ∴△EBO≌△FDO（ASA）， ∴阴影部分的面积=， ∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的一半， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质． 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解： 【详解】A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误，不符合题意； B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确，符合题意； C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误，不符合题意； D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误，不符合题意． 故选B． 5. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先把移项，再配方，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 即， 故选：C 6. 如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，由，可得，，由直角三角形两锐角互余可得，． 本题主要考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及流感传染问题. 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人，经过两轮传染后总患者数为，据此建立方程． 【详解】解：∵ 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人， ∴ 第一轮后患者总数为：人， 第二轮传染时，有个患者，每人传染x人， ∴ 第二轮新增患者为：人， ∴ 两轮后总患者为：人， 故方程为：． 故选：C． 8. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 9. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 任意实数 B. 3或 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将 代入方程，得到关于 m 的方程，再结合一元二次方程的定义（二次项系数不为零）确定 m 的值．本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解．解题的关键在于深刻理解一元二次方程的定义． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ 或 ． 又∵ 方程为一元二次方程， ∴ 二次项系数 ，即 ， ∴， 故选D． 10. 如图，函数和的图象相交于点，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定和的交点，作出的大体图象，然后根据图象判断． 【详解】解：∵的图象经过点， ∴， 当时，， 即在函数的图象上． 又∵在的图象上． ∴与相交于点． 则函数图象如图． 则不等式的解集为． 二、填空题（共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，，且， 解得． 故答案为：． 12. 某地招录教师要进行笔试和面试，其中笔试占，面试占．莫小贝也参与了这次教师招录考试，她的笔试成绩80分，面试成绩90分，莫小贝的最后成绩是_________分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式计算最终成绩即可． 【详解】解：由题意得，笔试权重为，面试权重为，则最后成绩为：． 13. 一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形的周长为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 本题主要考查了解一元二次方程以及三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：解方程 ， 得 ，． ∵三角形两边长分别为3和4， ∴第三边需满足第三边， 因此 符合条件， 不符合， ∴三角形的周长为 ． 故答案为：10． 14. 如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是和，则四边形中的边的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形对边平行的性质证明四边形为平行四边形，再结合两个矩形全等（宽相等）证明邻边相等，从而判定四边形为菱形，设，在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图， 两个全等的矩形纸片重叠在一起， ，，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为菱形， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的长是． 15. 如图，在正方形中，，其外部有一个正方形，对角线的延长线经过点，． （1）对角线的长为___； （2）连接，点是的中点，点是边的中点，则线段的长为___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形得，，再利用勾股定理即可求的长； （2）连接、，先通过证明得，再结合正方形对角线性质和勾股定理求出的长度，最后利用三角形中位线定理求出的长度． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴； （2）如图，连接，，交于点， ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线交点， ∴，，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）用配方法解方程：； （4）用公式法解方程：． 【答案】（1） （2）2 （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程： （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式进行简便计算； （3）利用配方法解方程； （4）利用公式法解方程． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 或， ，； 【小问4详解】 解：， ，，， ， ， ，． 17. 如图，是的中线，点是中点，过作交的延长线于，连． （1）直接写出与的关系__________； （2）若，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）且 （2） 四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， 又∵是的中线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 可得四边形为平行四边形，进而可得且； （2）由，是边上的中线，可得，然后结合四边形是平行四边形，可得四边形是菱形． 【小问1详解】 ∵点E是中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∵， ∴． ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴且． 故答案为：且． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18. 劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长为24米，边长为7米，蔬菜区的边长为20米，边长为15米，． （1）求小路的长； （2）求的度数和蔬菜区的面积． 【答案】（1）小路的长为25米 （2）的度数为，蔬菜区的面积为150平方米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则由勾股定理的逆定理可得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，米，米， ∴(米)， 答：小路的长为25米． 【小问2详解】 解：∵的边长为20米，边长为15米，边长为25米， ∴，， ∴， ∴， ∴(平方米) ． 答：的度数为，蔬菜区的面积为150平方米． , 19. 某校为了解本校学生对“二十大”的关注程度，对八、九年级学生进行了“二十大”知识竞赛（百分制），从中分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩，整理、分析如下，共分成四组：，，，，其中八年级10名学生的成绩分别是96，80，96，90，100，86，96，82，90，84；九年级学生的成绩在组中的数据是91，92，90． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 90 90 b 42.4 九年级 90 c 100 37.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述a，b，c的值：______，______，______； （2）你认为这次竞赛中哪个年级成绩更好，为什么？ （3）若该校九年级共800人参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩优秀的九年级学生有多少人？ 【答案】（1）40；96；91.5 （2） 九年级成绩相对更好，理由如下： ①九年级测试成绩的中位数和众数大于八年级； ②九年级测试成绩的方差小于八年级； （3）估计竞赛成绩优秀的九年级学生大约有560人． 【解析】 【分析】本题考查了方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键． （1）用1分别减去其它三组所占百分比即可得出的值，根据众数和中位数的定义即可得出、的值； （2）可从平均数、众数、中位数和方差角度分析求解； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，故； 八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是96分，故众数； 九年级10名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为91、92，故中位数为， 故答案为：40；96；91.5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人． 答：估计竞赛成绩优秀的九年级学生大约有560人． 20. 已知：关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围． （2）设方程的两根为，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等： （1）一元二次方程有两个实数根，则根的判别式大于等于0，结合被开方数大于等于0，即可求解； （2）由一元二次方程根与系数的关系，可得，，再利用完全平方公式的变形得出，结合即可求解． 【小问1详解】 解：有两个实数根， ， ， 又中， 的取值范围为． 【小问2详解】 解：方程的两根为， ，， ， ， ， ． 21. 如图，在中，于点，延长至点使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：在中，于点，延长至点使 ∴ 即 在中，且 ∴且． ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判断，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理． （1）先证四边形是平行四边形，再结合即可； （2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是矩形，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积 ∴． 22. 武汉洪湖养殖场，每年秋季都有大量螃蟹上市，为进一步拓宽市场，产区组织20辆同规格的冷藏车装运A，B两种螃蟹运往外地销售．每辆冷藏车满载装运同一种产品，每辆汽车的运载量（吨）及每吨螃蟹的利润（万元）如表所示： 每辆汽车运载量/吨 2 3 每吨螃蟹利润万元 0.5 0.4 根据表格中提供的信息，解答以下问题： （1）设安排辆冷藏车装运种螃蟹，20辆车运送的螃蟹总利润为y元，直接写出关于的函数关系式； （2）若规定装运每种螃蟹的冷藏车都不少于6辆，求自变量的取值范围； （3）在（2）的前提下，若要使此次销售获利最大，应如何安排车辆？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）的取值范围为，且为整数 （3）安排6辆车装运A种螃蟹，14辆车装运B种螃蟹，最大利润为228000元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）设安排x辆冷藏车装运A种螃蟹，则装运B种螃蟹的车为 辆，则y等于A种螃蟹总利润与B种螃蟹总利润之和； （2）根据装运每种螃蟹的冷藏车都不少于6辆，列不等式组，即可求解； （3）根据可得随的增大而减小，当取最小值6时，取最大值． 【小问1详解】 解：设安排x辆冷藏车装运A种螃蟹，则装运B种螃蟹的车为 辆， 由题意知：， 即关于的函数关系式为，其中，且为整数； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， 故自变量的取值范围为，且为整数； 【小问3详解】 解：由（1）知，， ， 随的增大而减小， 当取最小值6时，取最大值， 最大值为：（元）， 综上可知，安排6辆车装运A种螃蟹，14辆车装运B种螃蟹，最大利润为228000元． 23. 四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． （1）【探究发现】如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为__________； （2）【类比探究】如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； （3）【拓展延伸】在（2）的翻折过程中，正方形的边长为，．如图3，若线段恰好经过点，直接写出的长． 【答案】（1） （2）证明：，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将四边形沿所在直线翻折得到四边形， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由翻折的性质及正方形的性质证明，进而得解； （2）先证，过点作，垂足为点，证明，进而得解； （3）设上点的对应点为点，连接，，交于点，则，，从而得四边形是平行四边形，有，；设，则，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵将沿翻折得到， ∴垂直平分， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，由于线段 恰好经过点，故设上点的对应点为点，连接，，交于点， 由翻折知，垂直平分，垂直平分， ∴，． ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∴，； 设，则； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 24. 如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）或； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质． （1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在为物线上，代入为物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【小问1详解】 解：因为抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶ 解得∶． 所以抛物线的解析式为∶． 【小问2详解】 ①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的出动或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为，， 当时，有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度九年级上学期数学入学测试题 总分值：120分 一、单选题（共30分） 1. 已知是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）． A. 8 B. 2 C. 4 D. 5 2. 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 3. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（ ） A. B. C. D. 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 5. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 9. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 任意实数 B. 3或 C. 3 D. 10. 如图，函数和的图象相交于点，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 12. 某地招录教师要进行笔试和面试，其中笔试占，面试占．莫小贝也参与了这次教师招录考试，她的笔试成绩80分，面试成绩90分，莫小贝的最后成绩是_________分． 13. 一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形的周长为__________． 14. 如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是和，则四边形中的边的长是__________． 15. 如图，在正方形中，，其外部有一个正方形，对角线的延长线经过点，． （1）对角线的长为___； （2）连接，点是的中点，点是边的中点，则线段的长为___． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）用配方法解方程：； （4）用公式法解方程：． 17. 如图，是的中线，点是中点，过作交的延长线于，连． （1）直接写出与的关系__________； （2）若，请判断四边形的形状，并说明理由． 18. 劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长为24米，边长为7米，蔬菜区的边长为20米，边长为15米，． （1）求小路的长； （2）求的度数和蔬菜区的面积． 19. 某校为了解本校学生对“二十大”的关注程度，对八、九年级学生进行了“二十大”知识竞赛（百分制），从中分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩，整理、分析如下，共分成四组：，，，，其中八年级10名学生的成绩分别是96，80，96，90，100，86，96，82，90，84；九年级学生的成绩在组中的数据是91，92，90． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 90 90 b 42.4 九年级 90 c 100 37.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述a，b，c的值：______，______，______； （2）你认为这次竞赛中哪个年级成绩更好，为什么？ （3）若该校九年级共800人参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩优秀的九年级学生有多少人？ 20. 已知：关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围． （2）设方程的两根为，且满足，求的值． 21. 如图，在中，于点，延长至点使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 22. 武汉洪湖养殖场，每年秋季都有大量螃蟹上市，为进一步拓宽市场，产区组织20辆同规格的冷藏车装运A，B两种螃蟹运往外地销售．每辆冷藏车满载装运同一种产品，每辆汽车的运载量（吨）及每吨螃蟹的利润（万元）如表所示： 每辆汽车运载量/吨 2 3 每吨螃蟹利润万元 0.5 0.4 根据表格中提供的信息，解答以下问题： （1）设安排辆冷藏车装运种螃蟹，20辆车运送的螃蟹总利润为y元，直接写出关于的函数关系式； （2）若规定装运每种螃蟹的冷藏车都不少于6辆，求自变量的取值范围； （3）在（2）的前提下，若要使此次销售获利最大，应如何安排车辆？并求出最大利润． 23. 四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． （1）【探究发现】如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为__________； （2）【类比探究】如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； （3）【拓展延伸】在（2）的翻折过程中，正方形的边长为，．如图3，若线段恰好经过点，直接写出的长． 24. 如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且，求点P点坐标； ②设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $