专题06 双曲线与方程12大题型（寒假复习讲义）高二数学人教B版

专题06 双曲线与方程12大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． 知识点2：双曲线的标准方程 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 的关系 知识点3：双曲线的几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质： (1)方程形式为； (2)渐近线方程为,它们互相垂直； (3)离心率 知识点4：直线与双曲线 1．直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点； ②当,即时, 判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点． 2．弦长问题 设直线交双曲线于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 4.中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率 【题型01 双曲线的定义及其应用】 1．已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 2．已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 3．已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹为（ ） A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 4．已知双曲线:的两个焦点分别为，双曲线上有一点，若，则（　　） A．1 B．13 C．1或9 D．1或13 【题型02 求双曲线的标准方程】 5．设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 6．已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 7．焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为 . 9．与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为 . 10．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为 ． 11．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 【题型03 二元二次方程与椭圆、双曲线、圆】 12．若方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 13．“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（   ） A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则 C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示轴，则 15．（多选）已知曲线，则下列命题错误的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若或，则表示双曲线 C．若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距 D．若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距 16．（多选）已知，曲线，则下列判断正确的是（    ） A．可能表示圆 B．可能表示焦点在轴上的双曲线 C．若表示双曲线，则 D．若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为 【题型04 双曲线的焦点三角形】 17．已知双曲线 的左、右焦点分别为，点P是双曲线上一点，若，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 18．已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 19．已知双曲线的左右焦点分别是是该双曲线上的一点，且，若的面积为，则双曲线的焦距等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 21．已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为 ． 22．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点（不与顶点重合），射线是的外角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，则 . 【题型05 双曲线的几何性质】 23．双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 24．双曲线的焦点在 上，渐近线方程是 （    ） A．x轴， B．x轴， C．y轴， D．y轴， 25．与双曲线有公共焦点，且短半轴长为2的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 26．已知双曲线的离心率为2，则的虚轴长与实轴长之比等于（    ） A． B． C． D． 27．（多选）已知，是双曲线：的两个焦点，是上的一点，则（    ） A．当时，双曲线的实轴长为4 B．当时， C．无论取何值，双曲线的焦距都为 D．当时，双曲线的渐近线方程为 【题型06 求双曲线的离心率】 28．已知双曲线的右焦点为，半焦距为．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C．2或 D． 29．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线在第一象限交于点，若线段的垂直平分线恰好为的另一条渐近线，则的离心率为 . 31．已知分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，的角平分线交轴于点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．3 32．已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【题型07 求双曲线的渐近线】 33．已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （    ） A． B． C． D． 34．双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 35．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线与圆E∶相切，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 36．已知点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为 ． 37．已知双曲线的左､右焦点分别为.以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，直线交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为 . 38．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程为 ． 【题型08与双曲线有关的轨迹方程问题】 39．动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 40．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 41．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 42．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 43．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 44．已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【题型09双曲线的实际问题】 45．如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 46．如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 47．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为为其左右焦点，若从由焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，则该双曲线的离心率为 ．    48．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．    49．、、是我方三个炮兵阵地．在的正东，相距6千米；在的北偏西30°，相距4千米．为敌炮兵阵地．某时刻发现地某种信号，4秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为1千米/秒）．若从地炮击地，求准确炮击的方位角． 50．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【题型10双曲线的弦长问题】 51．已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ． 52．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且. (1)求的标准方程； (2)过的直线交于M，N两点，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求. 53．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，P为C上一点，，的面积为 (1)求C的方程; (2)已知点，斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若的面积为，求l的方程. 54．已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程； (2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 55．已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【题型11双曲线的中点弦问题】 56．已知直线与椭圆在第一第二象限分别交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 57．设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 58．直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是 ． 59．已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 60．已知双曲线经过点，离心率为． (1)求的方程． (2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程． 61．已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. (1)求的离心率； (2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【题型12双曲线的综合问题】 62．已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为 ． 63．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，其渐近线的方程为，过F的直线l交E于C，D两点（C在x轴上方），直线AC，BD分别交y轴于点P，Q，则的值为 ． 64．在一张纸上有一个圆，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为. (1)求证：为定值，并求出点的轨迹的方程； (2)设为（1）中轨迹上位于轴右侧的一个动点，证明：在轴上存在定点，使得. 65．已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 66．在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 67．已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 一、单选题 1．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外形形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．双曲线的右支上一点在第一象限，分别为双曲线的左、右焦点，若内切圆与轴相切，为双曲线的左顶点，则直线AI的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知双曲线，则（   ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C．顶点坐标为 D．焦点坐标为 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，且到双曲线渐近线的距离为2，则（    ） A． B．若过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，则 C．若为双曲线上一点，且，则或 D．若第一象限的点在双曲线上，且，则点的坐标为 三、填空题 9．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，若线段的长等于的虚轴长的2倍，则的周长为 ． 10．椭圆的长轴顶点是双曲线的焦点且椭圆的焦点是双曲线的顶点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是 . 11．已知双曲线的上、下焦点分别为，，两条渐近线的夹角的正切值为，且点在双曲线上，则的面积为 . 四、解答题 12．已知双曲线的实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 13．已知双曲线，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于两个不同的点，线段的中点为. (1)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； (2)若是圆的一条直径，且双曲线的离心率为，求双曲线的方程. 14．已知右焦点为的椭圆过点. (1)求的方程； (2)若点在上，点为圆上一点，求的最大值； (3)过点的直线与交于，，与双曲线的右支交于点，，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲线与方程12大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． 知识点2：双曲线的标准方程 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 的关系 知识点3：双曲线的几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质： (1)方程形式为； (2)渐近线方程为,它们互相垂直； (3)离心率 知识点4：直线与双曲线 1．直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点； ②当,即时, 判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点． 2．弦长问题 设直线交双曲线于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 4.中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率 【题型01 双曲线的定义及其应用】 1．已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】A 【详解】因为双曲线， 所以，故，即， 由双曲线的定义知，， 所以或， 当时，,不合题意，舍去. 故. 故选：A 2．已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 【答案】C 【详解】因为，则动点轨迹为双曲线的右支. 故选：C. 3．已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹为（ ） A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 【答案】B 【详解】因, 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支. 故选：B． 4．已知双曲线:的两个焦点分别为，双曲线上有一点，若，则（　　） A．1 B．13 C．1或9 D．1或13 【答案】B 【详解】双曲线，则，，， 所以， 又，解得或， 但是，所以. 故选：B 【题型02 求双曲线的标准方程】 5．设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线， 因为，，所以， 所以其轨迹方程为. 故选：B 6．已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， 即， ． 则． ．即． ，． 则该双曲线的方程是：． 故选：A 7．焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 故选：D. 8．已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为 . 【答案】 【详解】，代入由右焦点得，， 代入，故， 故双曲线的标准方程为. 故答案为： 9．与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【详解】由题意可设双曲线方程为，又经过点， 所以，即，解得或(舍)， 所以双曲线的标准方程为， 故答案为：. 10．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将代入方程得， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为：. 11．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，且， 则可设双曲线的标准方程为， 因双曲线经过点，可得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）因所求的双曲线与双曲线有相同的焦点， 故可设所求双曲线方程为． 又双曲线过点，则得，解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 则有解得， 双曲线的标准方程为． 【题型03 二元二次方程与椭圆、双曲线、圆】 12．若方程表示双曲线，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由题意得，解得． 故选：A． 13．“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件， 故选：B． 14．（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（   ） A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则 C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示轴，则 【答案】AD 【详解】对A，当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 则，则曲线的方程为， 若曲线表示圆，则有，则，A对； 对B，若曲线表示椭圆，则有，则且，B错； 对C，若曲线表示双曲线，则有，则或，C错； 对D，若曲线表示轴，则，此时表示直线，即轴，D正确. 故选：AD 15．（多选）已知曲线，则下列命题错误的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若或，则表示双曲线 C．若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距 D．若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，满足， 而，即不是椭圆，故A错误； 对于B，当，即或时，为双曲线，故B正确； 对于C，由为椭圆，则，解得且， 当时，，则为焦点在轴上的椭圆， 其焦距为， 当时，，则为焦点在轴上的椭圆， 其焦距为， 而的焦距为，故C错误； 对于D，由B知，当或时，表示双曲线， 当时，，则表示焦点在轴上的双曲线， 其焦距为， 当时，，则表示焦点在轴上的双曲线， 其焦距为， 而双曲线的焦距为，故D错误. 故选：ACD. 16．（多选）已知，曲线，则下列判断正确的是（    ） A．可能表示圆 B．可能表示焦点在轴上的双曲线 C．若表示双曲线，则 D．若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为 【答案】ACD 【详解】当时，，曲线的方程化为：，表示圆，故A正确. 由，得，所以不可能表示焦点在轴上的双曲线，故B错误. 若表示双曲线，因为，所以须使，得，故C正确. 若表示焦点在轴上的椭圆，则，得，得， 所以，， 所以的焦距为，故D正确. 故选：ACD. 【题型04 双曲线的焦点三角形】 17．已知双曲线 的左、右焦点分别为，点P是双曲线上一点，若，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 在双曲线上，设①， 由，在中， 根据余弦定理可得，， 故，即②， 由①②可得， 得到的面积 故选：C. 18．已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】已知双曲线，则， 因为，即， 所以点在双曲线左支上， 因为直线为内切圆的一条切线， 而也是内切圆的一条切线， 所以可设内切圆的圆心为，半径为， 设与轴的切点为， 由内切圆切线长性质可知，， 而，即，解得. 故选：C 19．已知双曲线的左右焦点分别是是该双曲线上的一点，且，若的面积为，则双曲线的焦距等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由可得，， 由余弦定理得， ， 即，所以， ， 则双曲线的焦距等于4. 故选：C. 20．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，，， 则，，， 所以，所以， 从而可知内切圆的圆心在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线，所以直线的倾斜角为， 方程为，将代入，得， 所以，即圆的半径为， 得圆的面积为.    故选：C 21．已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】不妨设点在双曲线的右支，令， 则，得，而， 则， 令，得 而函数在上单调递增，得， 故的最小值为． 故答案为： 22．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点（不与顶点重合），射线是的外角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，则 . 【答案】/0.6 【详解】由双曲线，得，，焦点，. 根据双曲线定义，. 因为是的外角平分线，由角平分线定理得. 又平分，在中，由角平分线定理得. 设，则，故，即. 结合（），解得，. 因此. 故答案为：. 【题型05 双曲线的几何性质】 23．双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】由对称性，不妨取双曲线的右焦点，渐近线方程为， 所以所求距离为. 故选：C 24．双曲线的焦点在 上，渐近线方程是 （    ） A．x轴， B．x轴， C．y轴， D．y轴， 【答案】C 【详解】由得：，故双曲线焦点在y轴上，， 对于焦点在y轴上的双曲线，渐近线方程为，故渐近线为 . 故选：C. 25．与双曲线有公共焦点，且短半轴长为2的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对双曲线，可得其焦点在轴上，其坐标为. 设椭圆方程为，， 由题意，，所以. 所以椭圆方程为. 故选：B 26．已知双曲线的离心率为2，则的虚轴长与实轴长之比等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设双曲线的半焦距为， 则. 故选：A 27．（多选）已知，是双曲线：的两个焦点，是上的一点，则（    ） A．当时，双曲线的实轴长为4 B．当时， C．无论取何值，双曲线的焦距都为 D．当时，双曲线的渐近线方程为 【答案】AB 【详解】由双曲线的方程为，依题意，， 注意到，故，设双曲线方程为. B选项，由，即，则，解得，B正确； C选项，，，则， 所以，所以双曲线的焦距为，C错误； A选项，由，得双曲线的方程为，即， 则双曲线的实轴长为4，A正确； D选项，由，得双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为，D错误. 故选：AB 【题型06 求双曲线的离心率】 28．已知双曲线的右焦点为，半焦距为．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C．2或 D． 【答案】C 【详解】由题可得双曲线的渐近线为，这里不妨取，即， 点到直线的距离， 在中， 所以，则， 又因，所以， 化简可得，等式两边同时除以，可得， 即，解得或， 因，所以或，结合选项可得C正确. 故选：C. 29．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆与双曲线的焦距为，则，    由椭圆与双曲线的定义得，可得， 因为，所以，即， 则，故，且，则 所以， 由于函数在上为增函数，所以， 则，故的取值范围是. 故选：D. 30．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线在第一象限交于点，若线段的垂直平分线恰好为的另一条渐近线，则的离心率为 . 【答案】2 【详解】如图， 由圆的性质可知，又，，所以有， 又直线OA与OB都是双曲线的渐近线，得， 又，得， 又渐近线OB的斜率为， 所以该双曲线的离心率为. 故答案为：2 31．已知分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，的角平分线交轴于点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由的角平分线交轴于点，得， 而，则，， 在中，，由余弦定理得， 整理得，即，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 32．已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】设，则， 所以，则， 由，则，故， 综上，， 所以，则， 所以，则，可得， 所以.    故选：A 【题型07 求双曲线的渐近线】 33．已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的焦点在轴上， 左右焦点为，（其中，）， 因为，故， 由双曲线的对称性可得，故， 故，故，而在第一象限的渐近线上，故， 而，故，故， 因此最终渐近线方程为：. 故选：B. 34．双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 M、N在双曲线的同一支，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以为锐角， ，，， 过作直线的垂线，垂足为， 由此可得：，， 设，由，得，， ，， 由于，得：， 解得：，即得：的渐近线方程为. 故选：D 35．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线与圆E∶相切，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 设直线与圆相切于点，且圆心，半径=． 因为以为直径的圆过点P，所以， 又圆E与直线的切点为M，所以，从而． 由，得=，所以===b． 又，所以，解得， 因此该双曲线的渐近线方程为． 故选：C 36．已知点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】由题意，双曲线C的渐近线方程为， 所以点在渐近线上，即， 所以，所以离心率． 故答案为：. 37．已知双曲线的左､右焦点分别为.以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，直线交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【详解】双曲线的左､右焦点分别为， ， 以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点， 设坐标原点为， 以为直径的圆的方程为， 又的渐近线方程为， 联立方程组，解得，则， 直线的方程为， 联立方程组， 解得，则， ， ， ， ， ， . 故答案为：6. 38．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】不妨设在第二象限，，则， 设，则，由余弦定理， ，解得． 由正弦定理有，即， 解得，或， 由于，所以， 故双曲线的渐近线方程为． 故答案为： 【题型08与双曲线有关的轨迹方程问题】 39．动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 40．已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 41．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 42．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 43．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设，则， 又因为可得. 则点的轨迹方程为. 故答案为：. 44．已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 【题型09双曲线的实际问题】 45．如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】 以双曲线虚轴为轴，最小直径处的水平线为轴，双曲线中心为原点， 最小直径为米， 实半轴，双曲线标准方程为， 塔底直径为米，最小直径处距塔底高度为米， 点在双曲线上，故，解得， 双曲线方程为， 塔顶直径为，设塔顶直径上点为， ，解得， 塔顶位于轴上方， ，故， 塔高：米，故B正确 故选：B． 46．如图，已知A，B两地相距600m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1s，且声速为．以线段AB的中点为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设炮弹爆炸点P的坐标为，则， 所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为340的双曲线的左支． 因为，所以．又， 所以， 故炮弹爆炸点的轨迹方程为． 故选：B． 47．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为为其左右焦点，若从由焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，则该双曲线的离心率为 ．    【答案】 【详解】   根据双曲线的光学性质可知与三点共线， 故， 不妨设，则， 由双曲线的定义可知， 两式相加可得， 所以， 由勾股定理可知， 故. 故答案为：. 48．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．    【答案】 【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为， 因为最小直径为，可得，即， 又因为尊高，上口直径为，底部直径为， 设点， 所以且，解得，即， 可得双曲线的渐近线为， 所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为. 故答案为：.    49．、、是我方三个炮兵阵地．在的正东，相距6千米；在的北偏西30°，相距4千米．为敌炮兵阵地．某时刻发现地某种信号，4秒后、两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为1千米/秒）．若从地炮击地，求准确炮击的方位角． 【答案】P在北东方向 【详解】以线段的中点为原点，正东方向为轴的正方向建立直角坐标系，则，依题意， ∴在以为焦点的双曲线的右支上． 其中，其方程为， 又，∴又在线段的垂直平分线上，PD：， 由方程组解得，即. 由于，可知在北东方向．    50．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（    ）    A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】由题意画出轴截面如下图所示：    设小球的截面圆圆心为，设双曲线上的点的坐标为， 则点到圆心的距离的平方，对称轴为， 若最小值在时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在的左边，所以，则， 所以，即清洁钢球的最大半径为. 故选：A 【题型10双曲线的弦长问题】 51．已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ． 【答案】12 【详解】因为，， 所以直线为， 设， 由，得， 则， 所以， 因为，， 所以， 所以 故答案为：12 52．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且. (1)求的标准方程； (2)过的直线交于M，N两点，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为且，所以焦点，即，， 所以， 根据双曲线的定义有，所以， 所以双曲线. （2）根据题意过的直线斜率为0显然不满足题意，可设过的直线为， 由， 当时，有， 设，则由韦达定理有， 所以， 因为，所以，即点和点到直线的距离相等， 则有，解得， 所以， 53．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，P为C上一点，，的面积为 (1)求C的方程; (2)已知点，斜率为1的直线l与C交于A，B两点，若的面积为，求l的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由题意可知，， 在中，由，得， 由，解得， 又由余弦定理得，， 化简得，即， ，从而， 所以，双曲线方程为. （2） 设直线l的方程为，与双曲线相交于，， 联立化简可得， 由，可得， ，， 所以，， 设点到直线l的距离为d，则， 故，解得 故l的方程为. 54．已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程； (2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得，可得，且焦点在轴上， 所以， 所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：； （2）过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程为：， 联立双曲线方程可得：， 所以， 则. 55．已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）∵双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为， 到直线的距离为， ∴，解得，，所求双曲线C的方程为. （2）联立，得，    ∵直线被双曲线C截得的弦长为， ∴，设直线与双曲线交于，， 则，，则. 【题型11双曲线的中点弦问题】 56．已知直线与椭圆在第一第二象限分别交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令的中点为，因为，所以， 设，则， 所以，即 所以，即， 设直线， 令得，令得，即， 所以，即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即. 故选：C 57．设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则的中点， 可得， 点在双曲线上，则， 相减得，则. 对于选项A：可得，则， 联立方程，消去得， 此时， 所以直线与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：点在双曲线上，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D，则， 联立方程，消去得， 此时，故直线与双曲线有两个交点，故D正确. 故选：D. 58．直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是 ． 【答案】 【详解】设，则有，两式相减，可得， 为线段的中点，故有， 即，若，则，即两点重合，不满足题意， 故，因此可得直线的斜率为， 又因为直线过， 故直线，整理得， 故答案为：. 59．已知点，，直线，相交于，且它们的斜率之积为． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线交点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设，直线，相交于， 且它们的斜率之积为，，化简得， 则动点的轨迹方程为； （2）由（1）得的轨迹方程为， 设点，，则有，， 得：， 整理得：， 为的中点，，， 直线的斜率， 直线的方程为，即. 60．已知双曲线经过点，离心率为． (1)求的方程． (2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得，解得，故双曲线的方程为． （2）设点、，设点， 设直线的方程为，联立可得， 则， 由韦达定理可得，可得， 则，即点的轨迹方程为． 61．已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. (1)求的离心率； (2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）解法一：依题意，得解得，所以的离心率. 解法二：因为两焦点分别为，所以，，即，所以的离心率. （2）解法一：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线方程为， 与交于点，线段的中点为. 由 得，即， ， 所以，因为， 所以，即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 解法二：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线与交于点， 线段的中点为. 由两式相减得：， 显然，所以， 所以，即， 即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.    【题型12双曲线的综合问题】 62．已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为 ． 【答案】/ 【详解】因为双曲线的方程为，所以． 设，则，直线的斜率，直线的斜率， 所以． 因为点在双曲线上，所以满足， 化简得，所以． 联立直线与双曲线的方程，得消去，整理得． 由题意得解得，所以． 故答案为：. 63．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，其渐近线的方程为，过F的直线l交E于C，D两点（C在x轴上方），直线AC，BD分别交y轴于点P，Q，则的值为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，，，解得， 则， 设，与联立得， 设，则， 则， 直线，， 则，， 则 故答案为： 64．在一张纸上有一个圆，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为. (1)求证：为定值，并求出点的轨迹的方程； (2)设为（1）中轨迹上位于轴右侧的一个动点，证明：在轴上存在定点，使得. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意得，所以， 即的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线， 又，，所以， 所以的方程为. （2）假设存在点满足条件. 由（1）知，双曲线的右焦点为. 设为双曲线右支上的一点，则. ①当时，， 因为，所以， 于是，所以或5. 即或都满足条件. ②当时，根据①我们猜想定点为或， 当点在轴负半轴上时， ，. 因为，所以. （i）当时，上式化简为：. 又即，代入上式得. 所以，解得，即. （ii）当时，，即也能满足. 当点在轴正半轴上时，，. 过程同上，得到不能满足条件. 综上所述，在轴上存在定点，使得. 65．已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)是，. 【分析】 【详解】（1）因为双曲线的焦距为， 所以， 又其中一条渐近线方程为，则， 解得，. 所以双曲线的方程为. （2）由题意，切线PB，PC的斜率都存在， 设过P点的切线l的方程为，动圆D的半径为， 所以圆心到切线l的距离为，即， 则PB，PC的斜率，是该方程的两个根，可得. 设直线，，， 联立方程，消去y得. 由韦达定理得，则， 将其代入，得， 即得，同理可得， 因为，则得. 又因为， 所以直线BC的方程为， 直线BC的方程可化为， ， . 故直线BC过定点. 66．在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 【答案】(1) (2)是，定值为3 【分析】 【详解】（1）设，， 因为动点P与，两点连线的斜率之积是， 所以，整理得， 所以动点P的轨迹曲线C的方程为. （2）易知直线斜率不为0， 设直线：，，， 联立，得， 则且，即且， 而， 则 ，为定值.    67．已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 一、单选题 1．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线的虚轴长为，得， 因为该双曲线的渐近线方程为， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：A 2．已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由双曲线的定义知，，又， 所以，. 在中，，， 由余弦定理得，， 即，整理得，即. 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 3．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外形形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，设双曲线方程为， 因为，则， 显然圆O的半径为3， 又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 双曲线与圆O交于第一象限内的点为， 于是，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：A 4．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 5．已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则， 双曲线的左焦点坐标为，且该点在直线上， 代入可得，解得，且， 故，所以，设， 则， 为双曲线右支上位于第一象限的动点，故，且， 当单调递减，故,即. 故选：C 6．双曲线的右支上一点在第一象限，分别为双曲线的左、右焦点，若内切圆与轴相切，为双曲线的左顶点，则直线AI的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，可设、，设内切圆与轴的切点是点， 、与内切圆的切点分别为、， 由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，， 故，即， 设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为， 故，解得. 由双曲线得，，， 因为内切圆与轴相切，所以内切圆的半径为3， 而轴，得到，即，而， 则，可得方程为， 整理得，故D正确. 故选：D 二、多选题 7．已知双曲线，则（   ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C．顶点坐标为 D．焦点坐标为 【答案】ACD 【详解】由题意得：双曲线焦点在轴上，且，，，所以，，； 对于选项：根据渐近线公式，所以渐近线方程为，选项正确； 对于选项：根据离心率公式，所以离心率为：，选项错误； 对于选项：根据顶点坐标公式，所以顶点坐标为，选项正确； 对于选项：根据焦点坐标公式，所以焦点坐标为，选项正确. 故选：. 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，且到双曲线渐近线的距离为2，则（    ） A． B．若过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，则 C．若为双曲线上一点，且，则或 D．若第一象限的点在双曲线上，且，则点的坐标为 【答案】ABD 【详解】双曲线的焦点到双曲线渐近线的距离为，故，故A正确； 由于，所以，故， 若过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，则代入双曲线方程，可得， 不妨取，则，故正确； 若为双曲线上一点，且，当在双曲线的左支上时，， 因为点到焦点距离的最小值为，所以不符合题意，舍去； 当点在双曲线的右支上时，，经检验符合题意， 综上，，故C不正确； 设，且，则， 因为，又， 所以， 则由，解得，则点的坐标为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，若线段的长等于的虚轴长的2倍，则的周长为 ． 【答案】20 【详解】由双曲线：，则， 因为线段的长等于的虚轴长的2倍，所以，即， 根据双曲线的定义，可得，， 所以的周长为：. 故答案为：20. 10．椭圆的长轴顶点是双曲线的焦点且椭圆的焦点是双曲线的顶点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是 . 【答案】 【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为，双曲线的实半轴长为，半焦距为， 可知，， 则椭圆离心率，双曲线的离心率，且 所以，当且仅当， 即时，等号成立， 综上所述的最小值为. 11．已知双曲线的上、下焦点分别为，，两条渐近线的夹角的正切值为，且点在双曲线上，则的面积为 . 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为， 设其中一条渐近线的倾斜角为， 因为两条渐近线的夹角的正切值为，则， 即，解得或， 由，故，故， 则，即， 则，即， 代入，得，解得，故，， 故.    故答案为：. 四、解答题 12．已知双曲线的实轴长为2，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线上一点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意实轴，解得，则离心率， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）由双曲线的定义得，且， 由余弦定理，所以，解得， 所以， 所以. 13．已知右焦点为的椭圆过点. (1)求的方程； (2)若点在上，点为圆上一点，求的最大值； (3)过点的直线与交于，，与双曲线的右支交于点，，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）由题意得             解得所以的方程为. （2）设，由题意知，，，，     所以， 因为，所以当时，，         所以. （3）由题意得直线的斜率不为0， 故设的方程为，，，，， 联立直线与的方程，得消去并整理，得， 所以，，，     所以.     联立直线与双曲线的方程，得 消去并整理，得， 由题意知，，，， 因为过且与双曲线的右支交于两点，所以，所以， 所以，     所以，     若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值.    14．已知双曲线，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于两个不同的点，线段的中点为. (1)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； (2)若是圆的一条直径，且双曲线的离心率为，求双曲线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）依题意，设，，， 则， 两式相减可得，即，即， 因为，，直线的斜率，直线的斜率， 于是得是定值， 所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值. （2）因为圆，所以， 所以， 又双曲线的离心率为，即，所以， 则双曲线，又，所以， 因为是圆的一条直径， 所以直线的方程为，即， 由，解得或，即，， 又点在双曲线上，所以， 解得， 所以双曲线的方程为. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $