第一章 数列（复习课件）数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学数列单元复习课件系统梳理了数列的概念、等差与等比数列的定义、公式、性质、应用及数学归纳法，通过单元知识图谱将各知识点串联，结合考点串讲厘清易混概念联系，帮助学生构建完整的数列知识网络。 其亮点在于“考点串讲-题型剖析-针对训练”三阶复习策略，题型涵盖从基础的Sn与an关系到综合的数列与不等式应用，如通过抗洪加高工程实例培养数学建模能力，针对训练分层次设计，助力学生提升运算求解和逻辑推理素养，教师可直接用于分层教学，高效提升复习效果。

单元复习课件 第一章 数列 北师大版选择性必修第二册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.系统梳理数列、等差数列、等比数列的核心概念、公式及性质，构建完整的数列知识网络，厘清易混知识点的区别与联系. 3.能识别实际问题中的数列模型，灵活运用等差数列或等比数列知识解决生活中的实际问题，提升数学建模与知识迁移能力. 2.熟练运用数列的通项公式、前项和公式解决求值、证明、通项推导等问题，强化运算求解、逻辑推理与数学抽象能力. 单元学习目标 单元知识图谱 数列 数列的概念及其函数特性 数列的概念 数列的函数特性 等差数列 等差数列的概念与通项公式 等差数列的前n项和 等比数列 等比数列的概念与通项公式 等比数列的前n项和 数列的应用 数列在日常经济生活中的应用 数列的其他应用 数学归纳法 一、数列的概念及其函数特性 1.按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列的一般形式可以写成或简记为数列，其中是数列的第1项，也叫数列的首项；是数列的第项，也叫数列的通项． 1.1 数列的概念 2.数列的分类: (1)根据数列的项数可分为有穷数列，无穷数列． (2)按照数列的每一项随序号变化的情况可分为： ①递增数列；②递减数列；③摆动数列；④常数列． 考点串讲 一、数列的概念及其函数特性 3.如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． 1.1 数列的概念 一般地，一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即，那么这个数列叫作递增数列.如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即，那么这个数列叫作递减数列．如果数列的各项都相等，那么这个数列叫作常数列． 1.2 数列的函数特性 考点串讲 二、等差数列 2.1 等差数列的概念及其通项公式 1.对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母表示． 2.若首项是，公差是，则等差数列的通项公式为当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列;当时，数列为常数列. 3.如果在与之间插入一个数，使成等差数列，那么叫作与的等差中项．如果是与的等差中项，那么，所以. 考点串讲 二、等差数列 2.1 等差数列的概念及其通项公式 4、设等差数列的公差为，则有如下的性质： (1)若，则. 特别地，当时，则.其中，，称为和的等差中项． 推广：若 ，则. (2)在等差数列中下标成等差数列的项组成的新数列仍为等差数列． (3)若都为等差数列，则也为等差数列(其中均为常数)． 考点串讲 二、等差数列 2.2 等差数列的前项和 1.等差数列的前项和公式为将代入上式，得 2.设等差数列的公差为，前项和为则有如下的性质： (1)也成等差数列． (2)当为偶数时， (3)为等差数列. (4)若数列均为等差数列且其前项和分别为则 考点串讲 三、等比数列 3.1 等比数列的概念及其通项公式 1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母表示. 2.若首项是，公比，则等比数列的通项公式为 的范围 数列的增减性 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 不变 不变 考点串讲 三、等比数列 3.1 等比数列的概念及其通项公式 4、设等比数列的公比为，则有如下的性质： (1)若，则. (2)在等比数列中，序号成等差数列的项组成的新数列仍为等比数列． (3)若数列是两个项数相同的等比数列，则数列，，也是等比数列． 3.与等差中项类似，如果在与之间插入一个数，使得成等比数列，那么根据等比数列的定义，．我们称为的等比中项. 考点串讲 三、等比数列 3.2 等比数列的前项和 1.等比数列的前项和公式为 2、设等比数列的公比为，前项和为，则有如下的性质： (1)(其中各项均不为0)也成等比数列． (2)若数列的项数为,则若项数为,或. 考点串讲 四、数列的应用 4.1 数列在日常经济生活的应用 1.单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．其公式为以符号代表本金，代表存期，代表利率，代表本利和，则有 3.在处理实际问题时，要能从题意中提炼出该问题所具备的数列模型，或等差数列、等比数列，或根据条件列出递推关系，然后根据数列相关知识分析处理． 2.复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法．复利的计算公式是. 考点串讲 五、数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是： (1)证明当取第一个值 是一个确定的正整数，如或2等）时，命题成立； (2)假设当时命题成立，证明当时，命题也成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切从开始的正整数都成立． 考点串讲 【题型一】由与的关系求通项公式 【例1】已知数列{an}的前项和，则_________． 解：当时，. 当时，. 由于也满足上式，∴. 已知求的一般步骤 (1)当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值． (2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式． (3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an. (4)写出an的完整表达式． 题型剖析 【题型一】由与的关系求通项公式 【例2】设数列满足，则an＝________________． 解：当时，.∵， ∴， 由①－②得， 显然时不符合上式， 题型剖析 【题型二】由数列的递推关系求通项公式 【例3】写出下面各数列的通项公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋n＋1； 解：(1)由题意得，当时，， 所以 又a1＝2=,满足上式.因此 题型剖析 【题型二】由数列的递推关系求通项公式 (2)a1＝1，an＋1＝an； 解：(2)由题设知则,又a1＝1，则故当时，又a1＝1满足上式，故 已知数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)当出现时，用累加法求解． (2)当出现时，用累乘法求解． 题型剖析 【题型三】数列的单调性 【例4】已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是_________． 解：由题意得，即.化简得，，所以. 解决数列的单调性问题的方法 (1)用作差比较法，根据的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； (2)用作商比较法，根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断； (3)结合相应函数的图象直观判断． 题型剖析 【题型四】等差、等比数列基本量的计算 【例5】已知数列{an}是等差数列．若，求； 解：方法一：由已知可得解得： 所以 方法二：由，得. 所以，得. 所以. 题型剖析 【题型四】等差、等比数列基本量的计算 等差数列基本量的求法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知量是常用方法． 题型剖析 【题型四】等差、等比数列基本量的计算 【例6】已知数列{an}为等比数列，a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝___________________． 解：设数列{an}的公比为q，由题意知4a2＝3a1＋a3，即4q＝3＋q2，解得q＝1或 q＝3，当q＝1时，Sn＝3n；当q＝3时， 等比数列基本量的求法 等比数列的通项公式an＝a1qn－1及前n项和公式Sn＝＝(q≠1)共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知道其中三个就能求另两个，体现了方程思想的应用． 题型剖析 【题型五】等差、等比数列的性质 【例7】若数列满足，且a3＋a15＝14，则其前17项和 S17＝(　　) A．136 B．119 C．102 D．85 解：由，得数列是等差数列，由可得.所以其前17项和，故选B. 等差数列的性质 (1)等差数列中最常用的性质：①(p，q∈N*且p≠q)，②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (2)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解既简捷，又迅速． 题型剖析 【题型五】等差、等比数列的性质 【例8】(全国乙卷，理)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________． 解：设的公比为，则，显然则，即，则，因为，则，则，则，则 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． 题型剖析 【题型六】等差、等比数列的判定与证明 【例9】已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式． 解：(1)证明：由题设得，即． 又因为，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列． 由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列． 题型剖析 【题型六】等差、等比数列的判定与证明 解：(2)由(1)知， 所以 等差、等比数列判定 (1)等差、等比数列的证明经常利用定义法和等差(比)中项法，而通项公式法和前n项和公式法常在选择题和填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列． 题型剖析 【题型七】数列与不等式的综合应用 【例10】(2025·八省联考)已知数列中，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求{an}的通项公式； (3)令证明. 解：(1)证明：由，得 则又 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 题型剖析 【题型七】数列与不等式的综合应用 (2)由(1)得解得： (3) 令,因为在上单调递增，则所以数列是递减数列，从而数列是递增数列，且故得 题型剖析 【题型七】数列与不等式的综合应用 已知数列不等式恒成立求参数范围的综合问题的解题策略有： ①分离参数法：对于参数与主变量未分开的不等式恒成立问题，优先考虑分离参数，再转化为最值问题处理； ②单调性法：对于与数列单调性有关的不等式恒成立问题，可以利用数列单调性定义转化为不等式恒成立问题的一般形式，再求参数范围；③最值(有界性)法：对于一边能求和(或放缩后能求和)的数列不等式恒成立问题，一般先求和再求出数列和的最值(或上界、下界)，进而求出参数范围． 题型剖析 【题型八】数列的实际应用 【例11】某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来24 h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20辆某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作24 h．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔20 min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24 h内完成拦洪坝加高加固工作，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车(　　) A．25辆 B．24辆 C．23辆 D．22辆 题型剖析 【题型八】数列的实际应用 解：总工作时间为，由题意可知，每调来一辆车，工作时间依次递减，则每辆车的工作时间成等差数列，设第辆车的工作时间为，则，等差数列的公差，∴辆车的总工作时间， ∵，， ∴共需24辆车完成工作，∴至少还需要抽调24－1＝23辆车．故选. 题型剖析 【练1】已知正项等比数列的首项为1，且成等差数列，则的前6项和S6为(　　)． A.31 B. C. D.32 解：设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以，即，即解得又因为所以，故 针对训练 【练2】已知函数且，则 (　 　) 解：由题意，得 12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100. 故选B. 针对训练 【练3】已知正项数列中，则数列的通项公式为( ) 解： 两式相减得： 又时，也满足上式，， 故选. 针对训练 【练4】(多选)已知无穷等差数列{an}的首项为1，它的前n项和为Sn，且S8<S9，S9>S10，则下列结论正确的是(　 　) A．数列{an}是递减数列 B．S11＝S6 C．数列{an}的公差的取值范围是 D．当n≤16时，Sn>0 解： ，∴数列{an}为递减数列，正确； ，，错误； ; 又a1＝1>0，为递减数列，当时，，正确． 针对训练 【练5】记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝________，Tn＝____________． 解：由题意得，故.当时，由得，则，故数列是以为首项，为公比的等比数列，故数列的通项公式为.由等比数列的性质可得，，…，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则. 针对训练 【练6】(2025·黑龙江哈尔滨三中期末)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若求{bn}的前1 012项和T1 012. 解：(1)设等差数列{an}的公差为，又a1＝1，所以a2＝a1＋d＝1＋d，a5＝a1＋4d＝1＋4d.因为a1，a2，a5成等比数列，所以a22＝a1·a5， 即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，得d2－2d＝0，又因为{an}是公差不为零的等差数列，所以d＝2，即an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 针对训练 (2)由(1)得 所以 针对训练 【练7】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 解：(1)设等差数列的公差为，由题意可得 解得所以 针对训练 (2)由(1)得令解得, 当时，，可得； 当时，，可得 综上所述： 针对训练 一、数列的概念及其函数特性 1、按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，其中是数列的第1项，也叫数列的首项；是数列的第项，也叫数列的通项． 2、项数有限的数列，称为有穷数列；项数无限的数列，称为无穷数列. 3、不是所有数列都能写出通项公式；通项公式的形式也不是唯一的． 4、按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列． 课堂总结 二、等差数列 1、对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列．若首项是，公差是，则等差数列的通项公式为 2、，的等差中项为. 3、等差数列的前项和公式为 4、设等差数列的公差为，前项和为，则有如下的性质： (1)若，则 特别地，当时，则.其中，，称为和的等差中项． 推广：若 ，则 课堂总结 二、等差数列 (2)在等差数列中下标成等差数列的项组成的新数列仍为等差数列． (3)若{an}，{bn}都为等差数列，则{man＋kbn}也为等差数列(其中m，k均为常数)． (4)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…也成等差数列． (5)当为偶数时， (6)为等差数列. (7)若数列{an}，{bn}均为等差数列且其前项和分别为则 课堂总结 三、等比数列 1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列．若首项是，公比，则等比数列的通项公式为 2、，的等比中项为. 3、设等比数列的公比为则有如下的性质： (1)若，则. (2)在等比数列中，序号成等差数列的项组成的新数列仍为等比数列． (3)若数列是两个项数相同的等比数列，则数列，，也是等比数列． 课堂总结 三、等比数列 4、等比数列 5、设等比数列的公比为，前项和为，则有如下的性质： (1)(其中各项均不为0)也成等比数列． (2)若数列的项数为,则若项数为,或. 课堂总结 感谢聆听! $