重难点02 空间中的动点及最值问题5考点（期末真题汇编，广东专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

重难点02 空间中的动点及最值问题 5大高频考点概览 考点01 空间线段点的存在性问题 考点02 与数量积有关的最值范围 考点03 与长度有关的最值范围 考点04 空间角的最值范围问题 考点05 体积的最值范围问题 地 城 考点01 空间线段点的存在性问题 1．【多选】（24-25高二上·广东·期末）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（不包括端点），则（   ） A．当点为的中点时，与平面所成角为 B．存在点，使得 C．对于任意点，均不成立 D．三棱锥的体积是定值 【答案】AC 【分析】在正方体中建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项；利用空间位置关系的向量证明判断BC；利用点到平面距离的向量求法计算判断D. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则、、、、、， 所以，， 对于A选项，当为的中点时，，， 易知平面的一个法向量为， 则， 故点为的中点时，与平面所成角为，A对； 对于B选项，令，则点，， ，若，则，必有，即与矛盾，B错； 对于C选项，，，其中， 若，则，解得，不合乎题意， 所以，对于任意点，均不成立，C对； 对于D选项，，设平面的法向量， 则，令，得， 于是点到平面的距离，，则不是常数， 又点、、是三个定点，面积是定值， 因此三棱锥的体积不是定值，D错. 故选：AC. 2．（21-22高二上·广东东莞·期末）如图，已知圆台下底面圆的直径为，是圆上异于、的点，是圆台上底面圆上的点，且平面平面，，，、分别是、的中点. (1)证明：平面； (2)若直线上平面且过点，试问直线上是否存在点，使直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等？若存在，求出点的所有可能位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，点与点重合. 【分析】（1）证明出，利用面面垂直的性质可证得结论成立； （2）以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，易知轴在平面内，分析可知，设点，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可得出关于的方程，解出的值，即可得出结论. 【详解】（1）证明：因为为圆的一条直径，且是圆上异于、的点，故， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）解：存在，理由如下： 如图，以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，易知轴在平面内， 则，，，，，， 由直线平面且过点，以及平面，得， 设，则，，， 设平面的法向量为， 则则，即，取，得， 易知平面的法向量， 设直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为， 则， ， 由，得，即，解得， 所以当点与点重合时，直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等. 3．（24-25高二上·广东广州·期末）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，是的中点．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)是否存在点在线段上，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取的中点，证明，然后得线面垂直，再得面面垂直； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角； （3）假设存在点在线段上，设，利用空间向量法求线面角. 【详解】（1）取的中点，连结， 由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形， 则，故, 故平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ，， 显然平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 所以， 故平面与平面所成角的余弦值； （3）由上可知，， ，， 假设存在点在线段上，设，则， 所以， 设直线与平面所成角为， 则， 可得或（舍），所以， ， 所以存在点在线段上，且. 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，，为的中点，为线段上一点.    (1)若为的中点，证明：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为线段的三等分点 【分析】（1）根据线面垂直的性质，得线线垂直，进而结合线面垂直的判定即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【详解】（1）证明：连接，则四边形为平行四边形， 由于平面，故平面，平面, 故,结合为的中点，故为等腰三角形， 可得，，所以，即， 因为，分别为，的中点，所以，所以， 因为平面，平面，所以，易知， 且两直线在平面内，所以平面，又平面，所以， 又，所以平面. （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，.    设，，所以， 又， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 因为，设直线与平面所成角为， 则， 整理得，即或， 所以，当点为线段的三等分点时， 直线与平面所成角的正弦值为. 5．（24-25高三上·广东·期末）已知直三棱柱中，，分别为和的中点，P为棱上的动点，F为棱上一点，且四点共面.若 (1)证明：平面平面； (2)设是否存在实数λ，使得平面与平面所成的角的余弦值为若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 【分析】（1）先证明．结合可得平面，从而得平面平面； （2）分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，求出的法向量，根据平面与平面所成的角的余弦值为列方程，判断方程是否有解即可. 【详解】（1）因为平面平面， 所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 因为为的中点，故为的中点． 在正方形，因为，故． 所以． 因为，故，故． 因为，故平面， 所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）因为三棱柱为直三棱柱，故． 因为平面， 所以平面，平面，所以，故． 又因为平面，故以A为原点，分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设则， ． 据题设有，显然，此时． 设为平面的法向量，则． 则，令，从而． 显然，平面的法向量可取． 此时平面与平面所成的角的余弦值为 故，即，解得， 所以存在，使得平面与平面所成的角的余弦值为． 6．（23-24高二上·广东佛山·期末）如图，在三棱锥中，平面平面． (1)在线段上是否存在点使得平面？并说明理由． (2)设线段和的中点分别为和，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）在平面内过点作，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由（1）中坐标系，利用面面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）在平面内过点作，由平面平面，平面平面， 得平面，而，即，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得， ， 假设在线段上存在点使得平面， 令，， 由，解得，此时， 而平面， 因此平面，所以在线段上存在点使得平面，为在上的投影点. （2）由（1）及分别为线段的中点，得， 则，设平面的法向量为， 则，令，得， 显然平面的法向量， 设平面与平面夹的角大小为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. 7．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，． (1)求证：； (2)若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得，然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得平面ACEF，从而证得结论； （2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF，AB，AD两两垂直，以A为原点，以射线AB、AD、AF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量运算求得. 【详解】（1）因为，，则四边形ABCD为直角梯形， 又因为，可得，，则， 且，． 可知，即， 又因为平面平面ABCD, 平面平面,平面ABCD， 则平面ACEF, 且平面ACEF，所以. （2）因为四边形ACEF为矩形，则, 又因为平面平面ABCD, 平面平面,平面ACEF, 则平面ABCD,且，则CE⊥平面ABCD 所以AF,AB,AD两两垂直， 以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示. 则， 设,平面PBD的法向量为 因为, 则,令,则,, 平面ABD的法向量为, 则,解得， 在线段AF上存在点P，使得二面角的余弦值为，线段AP的长为1. 8．（23-24高二上·广东汕尾·期末）在图甲所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图乙所示的四棱锥.四棱锥的体积为，为边上的动点（不与端点，重合）.    (1)若为的中点，求证：； (2)设，试问：是否存在实数，使得锐二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在实数 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线垂直即可； （2）利用空间向量法表示出锐二面角的余弦值，求解实数即可. 【详解】（1）因为在四边形中，，，， 所以， 在四棱锥中，，即，，. 又平面，平面，， 所以平面，即是四棱锥的高， 因此，所以. 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，. 又为的中点，所以， 因此，， 所以，所以，即. （2）由（1）知，，， 设平面的一个法向量为， 则即 令，则， 所以是平面的一个法向量. 因为，所以，， 所以，所以. 设平面的一个法向量为， 则即 令，则，， 所以是平面的一个法向量， 所以， 可得，解得或. 又，所以， 即存在实数，使得锐二面角的余弦值为. 【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为，； ②直线与平面所成的角为，； ③二面角的大小为，. 地 城 考点02 与数量积有关的最值范围 9．（22-23高二上·广东珠海·期末）在正方体中，为棱的中点，是正方体内（含边界）一点，满足，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用已知条件列方程，得出点的纵坐标和竖坐标的关系，再由空间向量数量积的坐标运算求解． 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，    因为，则，，，， 设，， 因为，，， 所以，即， 由，得，则，，， 则，， 则 ， 所以当，时，取得最小值； 当或，时，取得最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 10．【多选】（23-24高二上·广东清远·期末）如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．当时，的值最小 B．当时， C．若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆 D．直线与平面所成角的正弦值是 【答案】ABC 【分析】对于选项A,B，建立空间直角坐标系，利用向量运算可判断；对于C，构造圆锥．母线与中轴线的夹角为，然后用平面去截圆锥，根据椭圆定义可判断；对于D，易知是与平面所成的角，可判断得解. 【详解】对于A选项，建立如图1所示的空间直角坐标系，    设，则． 设，则． ， ， ， 当，即时，的值最小，故A正确． 对于B选项，， ， ，故B正确． 对于C选项，如图2所示构造圆锥．母线与中轴线的夹角为，然后用平面去截圆锥， 使直线与平面的夹角为，则截口为点的轨迹图形， 由圆锥曲线的定义可知，点的轨迹为椭圆，故C正确． 对于D选项，直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角． 是与平面所成的角，又，则，故D不正确． 故选：ABC． 地 城 考点03 与长度有关的最值范围 11．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，分别是对角线，上的动点，则线段的最小长度为 ． 【答案】/ 【分析】根据面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，由题意建立如图空间直角坐标系，设，()，，，，利用空间向量的坐标表示可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 由正方形正方形，正方形正方形，正方形， 得正方形，又正方形，所以， 建立如图空间直角坐标系， 设，()，，， 则，， 得，， 所以，， 得， 有 ， 当且仅当即即时，等号成立， 所以，即线段MN的最小长度为. 故答案为：. 12．【多选】（22-23高二上·广东深圳·期末）已知正方体的棱长为2，N为的中点，，，平面，下面说法正确的有（    ） A．若，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 B．若，平面截正方体所得的截面面积的最大值为 C．若的和最小，则 D．直线与平面所成角的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于选项A，D，利用空间向量的坐标运算求解判断即可； 对于选项B，画出图形，利用直线和平面垂直，结合面积求解即可； 对于选项C，利用展开图，计算距离的最小值，判断即可. 【详解】以点为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 对于选项A，设平面交棱于点，设，， 当时，点，， 因为平面，平面，平面，， 所以，即， 得，所以， 所以点为棱的中点， 设平面交棱于，同理可知点为棱的中点，即， 故，而， 所以 所以且， 由空间两点间距离公式得，， 由，,则， 所以， 所以四边形是等腰梯形, 故选项A正确； 对于选项B，当时，与点重合，连接，，，， 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 因为，所以平面， 所以是其中一个截面图形， 易知是边长为的等边三角形，其面积为， 设，，，，，，分别为，，，，，的中点。易知六边形是边长为的正六边形，其面积为， 且平面平面， 所以平面， 所以六边形也是其中一个截面图形， 易知，六边形是最大截面， 所以平面截正方体所得的截面面积的最大值为， 故选项B正确； 对于选项C，将矩形与正方形延展到一个平面内，如下图所示， 若的和最小，则、、三点共线， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故， 故选项C错误； 对于选项D，，，设点， 因为平面， 则为平面的一个法向量，且，， 设直线与平面所成角为， 所以， 因为，当时最大， 最大值为，此时， 故直线与平面所成角的最大值为， 故选项D正确. 故选：ABD. 13．【多选】（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在三棱柱中，侧面与是边长为2的正方形，平面平面，分别在和上，且，则（    ）    A．直线平面 B．当时，线段的长最小 C．当时，直线与平面所成角的正切值为 D．当时，平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量解立体几何. 【详解】如图建立空间直角坐标系,则 所以， 因为 设，（，且） 所以 所以， 易知平面的一个法向量为 因为且平面， 所以直线平面，故A正确. 当即时线段的长最小为故B不正确. 当时此时 平面的一个法向量为 所以直线与平面所成角的正弦值为 可以求得直线与平面所成角的余弦值为 所以直线与平面所成角的正切值为，故C正确. 取的中点O，连接,因为三角形与三角形都是等边三角形，所以为二面角的平面角，, ,根据余弦定理可得 所以平面与平面夹角的余弦值为，故D正确. 故选：ACD    14．（22-23高二上·广东广州·期末）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为 . 【答案】 【分析】以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求平面的法向量，设，且，求，根据平面，可得满足的等式关系，并用表示，确定的取值范围，利用空间中两点距离公式得，结合二次函数的性质，即可确定长度的最大值. 【详解】如图，以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 动点在底面正方形内(包括边界)，则设，且 则，设平面的法向量为，又 则，令，则 因为平面，所以，即， 则，所以 则， 由二次函数的性质可得当时，，时，，所以长度的最大值为. 故答案为：. 地 城 考点04 空间角的最值范围问题    15．（24-25高二上·广东·期末）在正方体中，空间中一动点满足，则直线与直线所成角正弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设点，由条件求得，设直线与直线所成角为，利用空间向量夹角公式求出，通过换元，将其化成，利用的范围和不等式性质即可求得. 【详解】 如图，设正方体的棱长为1，以点为坐标原点建立空间直角坐标系. 则， 设点，则， 由可得：，解得， 则，， 设直线与直线所成角为，则， 于是 ， 设，因，故， 则即，因，则，则， 即，因，则得. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解异面直线的夹角的方法主要有： 平移法：将异面直线中的一条或两条利用平移使其相交，通过解三角形求得； 坐标法：通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标和向量坐标，利用空间向量夹角的坐标公式求解. 16．（24-25高二上·广东湛江·期末）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点）． (1)若是棱的中点，求过，，的平面截正方体表面所得的截面图形的周长． (2)若与平面所成的角为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）结合面面平行的性质作出截面，再求出其周长. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法列式，借助基本不等式求出范围. 【详解】（1）令平面交棱于，连接， 则四边形为过的平面截正方体所得的截面图形， 由平面平面，且平面平面,平面平面, 得，而，且方向相同，即， 则，，， ，， 所以四边形的周长为. （2）在棱长为2的正方体中，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则, 则, 设平面的法向量，则，令，得， 则， 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立，又， 所以的取值范围是. 17．【多选】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知正方体棱长为，点满足，为中点，则下列论述正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则直线平面 C．若，则点到平面的距离为 D．若，则平面与平面所成角的取值范围为 【答案】AB 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断即可. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、、 、、， 对于A选项，当时，， 则，， 所以，，故，A正确； 对于B选项，当时，则， 所以，， 则，则， 所以，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以，，即， 因为平面，所以直线平面，B正确； 对于C选项，，其中， ，，设平面的法向量为， 则，取，可得， 则点到平面的距离为，C错误； 对于D选项，若，其中， ，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，所以，， 当时， 当时，则， ， 综上，，与矛盾，D错误. 故选：AB. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 18．（21-22高二上·广东佛山·期末）如图，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为． (1)若，，求三棱锥的体积； (2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出，求出底面积和高，进而求出三棱锥的体积；（2）利用空间基底表达出，结合第一问结论求出，从而求出答案. 【详解】（1）取AC的中点F，连接FD，FE，由BC=2，则，故DF⊥AC，EF⊥AC，故∠DFE即为二面角的平面角，即，连接DE，作DH⊥FE，因为，所以平面DEF，因为DH平面DEF，所以AC⊥DH，因为，所以DH⊥平面ABC，因为，由勾股定理得：，，又，由勾股定理逆定理可知，AE⊥CE，且∠BAC=，，在△ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），则，因为，，所以△DEF为等边三角形，则，故三棱锥的体积； （2）设，则，，由（1）知：，，取为空间中的一组基底，则，由第一问可知： ， 则 其中，且，，故， 由第一问可知，又是的中点，所以，所以， 因为三棱锥中，所以，所以，故直线AD与EM所成角范围为. 【点睛】针对于立体几何中角度范围的题目，可以建立空间直角坐标系来进行求解，若不容易建立坐标系时，也可以通过基底表达出各个向量，进而求出答案. 19．（21-22高二上·广东肇庆·期末）如图，在长方体中，，，E，F分别为棱AB，BC上一点，且，P是线段上一动点，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先确定三棱锥的体积最大时，E,F的位置，然后建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，接着确定平面的法向量，利用向量的夹角公式计算求得答案. 【详解】解析：当三棱锥的体积最大时，的面积取最大值，，当且仅当时，等号成立， 此时，E为AB的中点，F与C重合． 如图，以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，． 设平面的法向量为， ∴，可取，得． 设，， ∴，∴． 设直线与平面所成的角为， ∴． ∵，∴当时，的最大值为； 当或1时，的最小值为， ∴直线与平面所成角的正弦值的取值范围为， 故答案为：. 20．（22-23高二上·广东珠海·期末）已知正方体的内切球的表面积为，是棱上一动点，当直线与平面的夹角最大时，四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量法及函数思想，求出点位置，再利用向量法求解点面距，最后即可计算四面体的体积． 【详解】解：建系如图，   正方体的内切球的表面积为，则内切球半径， 易得正方体的棱长为1， ，0，，，1，，，1，，设，0，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取， 直线与平面的夹角的正弦值为： ， 令，，，，， ， 令，，，，， ，，， 当，即，即时，直线与平面的夹角的正弦值取得最大值， 此时直线与平面的夹角也最大， 当直线与平面的夹角最大时，为棱的中点， 此时平面的法向量，又， 点到平面的距离为， 此时，，则△的面积为， 此时四面体的体积， 故选：． 【点睛】关键点点睛：向量法求解线面角问题，函数思想，化归转化思想，向量法求解点面距问题.解题的关键是建立空间直角坐标系，确定点的位置是为棱的中点，然后利用点面距的向量求法，求出四面体的高． 21．（23-24高三上·山东日照·期中）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆O的内接正三角形，点E在母线上，且，. (1)求证：平面平面； (2)若点M为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用余弦定理与勾股定理推得，再利用线面垂直与面面垂直的判定定理与性质定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量表示得到关于的表达式，从而求得的值，进而利用点面距离公式即可得解. 【详解】（1）如图，设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面，    因为平面，所以， 又因为是底面圆的内接正三角形，由，可得，， 解得，又，， 所以，即，， 所以在中，， 在中，由余弦定理： ， 所以，故. 因为底面，面，所以平面平面， 又面，面面，，故面， 又平面，所以平面平面； （2）易知，以点为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设，可得， 设直线与平面所成的角为，则， 即， 令，， 则 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，有最大值4， 即当时，的最大值为1，此时点， 所以， 所以点M到平面的距离， 故当直线与平面所成角的正弦值最大时，点到平面的距离为. 22．（21-22高二下·广东茂名·期末）在四棱锥中，底面为矩形，平面平面. (1)求证：平面平面； (2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、判定推理作答. （2）在平面VAB内过V作于O，以O为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答. 【详解】（1）在四棱锥中，底面为矩形，有，因平面平面， 平面平面，平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）在平面内过V作于，而平面平面，平面平面， 则平面，在平面内过O作，有两两垂直， 以点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，又，设，于是有，， 因此有，，，而，直线的方向向量， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然，平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角大小为， 则有，由于，，， 则，当且仅当，即时取“=”，， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围是. 地 城 考点05 体积的最值范围问题 23．（24-25高二下·广东茂名·期末）如图，在正方体中，E，F分别是棱，上的动点.    (1)设E，F分别为、的中点.证明：平面； (2)设. （ⅰ）证明：； （ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【分析】（1）法1，由题可得，利用线面平行的判定定理证明；法2，建立空间直角坐标系，求出坐标，利用向量法证明，得证； （2）（ⅰ）设，求出的坐标，利用向量关系证明；（ⅱ）由三棱锥的体积取得最大值，结合基本不等式可得E，F分别是棱上中点，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【详解】（1）（法一）由E，F分别是棱，的中点， 所以，又，所以，平面，平面， 所以平面. （法二）如图，以D为坐标原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，    设正方体的棱长为a，E，F分别是棱，的中点， 则，，，， 所以，， 则，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）（ⅰ）设，则，， 所以，，， 所以. （ⅱ）在正方体中，， 若三棱锥的体积取得最大值，则取得最大值，又. ， 当且仅当时，即时取等号，即E，F分别是棱上中点， 由，，， 得，，平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，，，则，，. 设平面与平面夹角为θ，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 24．（24-25高二上·广东·期末）如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式，利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，可得出点、的坐标，求出平面的一个法向量，设，求出的坐标，根据求出的值，即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接、， 因为，，则，   所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、， 当点为的中点时，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 所以，， 故当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值， 此时，点，    由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，，所以，即的长为. 25．（23-24高一下·广东广州·期末）如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．    (1)当为何值时，平面平面? (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）先探索面面垂直的必要条件，再证明充分性即可. （2）由（1）得面面垂直、线面垂直关系，建立空间直角坐标系，用向量方法表示线面角的正弦值，建立关于的方程求解即可 （3）借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算可得内切球半径. 【详解】（1）连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； （2）由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得或（舍去）， 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为； （3）设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 【点睛】方法点睛：空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出或找到截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径；三是建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用有关半径等的等量关系解方程组可得. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点02 空间中的动点及最值问题 5大高频考点概览 考点01 空间线段点的存在性问题 考点02 与数量积有关的最值范围 考点03 与长度有关的最值范围 考点04 空间角的最值范围问题 考点05 体积的最值范围问题 地 城 考点01 空间线段点的存在性问题 1．【多选】（24-25高二上·广东·期末）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（不包括端点），则（   ） A．当点为的中点时，与平面所成角为 B．存在点，使得 C．对于任意点，均不成立 D．三棱锥的体积是定值 2．（21-22高二上·广东东莞·期末）如图，已知圆台下底面圆的直径为，是圆上异于、的点，是圆台上底面圆上的点，且平面平面，，，、分别是、的中点. (1)证明：平面； (2)若直线上平面且过点，试问直线上是否存在点，使直线与平面所成的角和平面与平面的夹角相等？若存在，求出点的所有可能位置；若不存在，请说明理由. 3．（24-25高二上·广东广州·期末）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，是的中点．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)是否存在点在线段上，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，，为的中点，为线段上一点.    (1)若为的中点，证明：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由.    5．（24-25高三上·广东·期末）已知直三棱柱中，，分别为和的中点，P为棱上的动点，F为棱上一点，且四点共面.若 (1)证明：平面平面； (2)设是否存在实数λ，使得平面与平面所成的角的余弦值为若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由. 6．（23-24高二上·广东佛山·期末）如图，在三棱锥中，平面平面． (1)在线段上是否存在点使得平面？并说明理由． (2)设线段和的中点分别为和，求平面与平面夹角的余弦值． 7．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，． (1)求证：； (2)若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由． 8．（23-24高二上·广东汕尾·期末）在图甲所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图乙所示的四棱锥.四棱锥的体积为，为边上的动点（不与端点，重合）.    (1)若为的中点，求证：； (2)设，试问：是否存在实数，使得锐二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 地 城 考点02 与数量积有关的最值范围 9．（22-23高二上·广东珠海·期末）在正方体中，为棱的中点，是正方体内（含边界）一点，满足，若，则的取值范围是 ． 10．【多选】（23-24高二上·广东清远·期末）如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．当时，的值最小 B．当时， C．若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆 D．直线与平面所成角的正弦值是 地 城 考点03 与长度有关的最值范围 11．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，分别是对角线，上的动点，则线段的最小长度为 ． 12．【多选】（22-23高二上·广东深圳·期末）已知正方体的棱长为2，N为的中点，，，平面，下面说法正确的有（    ） A．若，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 B．若，平面截正方体所得的截面面积的最大值为 C．若的和最小，则 D．直线与平面所成角的最大值为 13．【多选】（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在三棱柱中，侧面与是边长为2的正方形，平面平面，分别在和上，且，则（    ）    A．直线平面 B．当时，线段的长最小 C．当时，直线与平面所成角的正切值为 D．当时，平面与平面夹角的余弦值为 14．（22-23高二上·广东广州·期末）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为 . 地 城 考点04 空间角的最值范围问题 15．（24-25高二上·广东·期末）在正方体中，空间中一动点满足，则直线与直线所成角正弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·广东湛江·期末）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点）． (1)若是棱的中点，求过，，的平面截正方体表面所得的截面图形的周长． (2)若与平面所成的角为，求的取值范围． 17．【多选】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知正方体棱长为，点满足，为中点，则下列论述正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则直线平面 C．若，则点到平面的距离为 D．若，则平面与平面所成角的取值范围为 18．（21-22高二上·广东佛山·期末）如图，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为． (1)若，，求三棱锥的体积； (2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围． 19．（21-22高二上·广东肇庆·期末）如图，在长方体中，，，E，F分别为棱AB，BC上一点，且，P是线段上一动点，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 ． 20．（22-23高二上·广东珠海·期末）已知正方体的内切球的表面积为，是棱上一动点，当直线与平面的夹角最大时，四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高三上·山东日照·期中）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆O的内接正三角形，点E在母线上，且，. (1)求证：平面平面； (2)若点M为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离. 22．（21-22高二下·广东茂名·期末）在四棱锥中，底面为矩形，平面平面. (1)求证：平面平面； (2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围. 地 城 考点05 体积的最值范围问题 23．（24-25高二下·广东茂名·期末）如图，在正方体中，E，F分别是棱，上的动点.    (1)设E，F分别为、的中点.证明：平面； (2)设. （ⅰ）证明：； （ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值. 24．（24-25高二上·广东·期末）如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 25．（23-24高一下·广东广州·期末）如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．    (1)当为何值时，平面平面? (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $