专题03 空间向量的应用四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题03 空间向量的应用 题型一：利用向量研究平行问题 题型二：利用向量研究垂直问题 题型三：线面角 题型四：二面角 题型一：利用向量研究平行问题 1．已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且底面是以为斜边的等腰直角三角形， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示坐标系，    由题意可得，，，，， 所以，，，，， 所以，， ，， 所以， 故选：B 2．若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】求出给定向量的数量积，再利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】由，得， 所以平面与垂直. 故选：B 3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】通过，列出等式求解即可. 【详解】由题意可知，，所以， 解得，所以. 故选：A. 4．已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 【答案】B 【分析】根据，可得，则，进而可求出的关系及符号，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 则存在唯一实数，使得， 即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 5．已知直线的一个方向向量为，且直线与过和两点的直线垂直，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据、两点坐标求出，再利用两直线垂直则它们的方向向量垂直，根据向量垂直的性质列出方程，进而求出的值. 【详解】已知，，根据向量坐标运算，可得. 因为直线与过、两点的直线垂直，所以直线的方向向量与垂直. 根据向量垂直的性质，可得. 化简得,解得. 故选：A. 6．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由，得到两平面法向量共线，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B 7．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，有，结合空间向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，则，即，可得. 故选：A 8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为.已知四棱锥在点的曲率为，且. (1)若点的曲率为，求四棱锥的表面积； (2)若点在上，且.试探究：在棱上是否存在点，使平面？证明你的结论. 【答案】(1) (2)存在，证明见解析. 【分析】(1)利用曲率可求出相应的角，从而可计算各表面面积； (2)利用中位线来证明线线平行，再证明线面平行和面面平行，最后问题得证. 【详解】（1） 由，利用余弦定理可得：， 由可得：，利用内角和定理可得， 此时， 又因为，所以， 即， 根据四棱锥在点的曲率为， 可得，利用内角和定理可得， 此时， 再由点的曲率为， 可得， 因为，所以，又因为所以三角形是等边三角形， 此时，由于， 所以，利用， 可知， 所以四棱锥的表面积为； （2） 取分别为的中点，，连接， 利用中位线可知， 又由，可得，即， 又可证得，即，又因为为中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，同理由，可证明平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 此时为的中点. 9．如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 10．如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可. 【详解】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 题型二：利用向量研究垂直问题 11．空间直角坐标系里有一点，过P作一动平面m，直线l的方向向量坐标为．当原点到m距离d最大时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得原点到m距离d最大，即，再应用空间两点距离公式判断C、D；由是平面m的一个法向量，直线l的方向向量，向量数量积的坐标公式求出判断A、B. 【详解】由题意，原点到m距离d最大，即，此时， 显然是平面m的一个法向量，而直线l的方向向量， 则， 但无法确定直线l与平面m的位置关系，所以或， 所以A、B、C错，D对. 故选：D 12．在棱长为2的正方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．若该正方体内一动点，满足则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点满足的方程求得点P的轨迹，结合球的性质求得，然后利用直角三角形求出两圆弧所对的圆心角，即可求解点的轨迹长度. 【详解】由知，点在四边形内（含边界）， 由知，点在以的中点为球心，2为半径的球面上， 所以点的轨迹为球被四边形截得的圆弧， 取的中点，则， 则， 因为， 所以，又，平面， 所以平面，平面，所以， 又，，则，      在四边形中，点的轨迹为以O为圆心为半径， 落在内的两段圆弧，且，如图， 如图，    取为的中点，则，，， 所以，所以，所以， 所以点的轨迹长度为． 故选：B 13．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（    ） A． B．20 C． D． 【答案】A 【分析】利用线面垂直可知直线方向向量与平面的法向量平行即可求解. 【详解】直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 因为直线平面，所以，解得. 故选：A. 14．如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 【答案】D 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A.，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C.，，，，所以，则，故C错误； D.，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 故选：D 15．如图，在棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，平面 B．当时，四面体的体积为定值 C．当时，，使得平面 D．三棱锥体积的取值范围为 【答案】C 【分析】由条件得，即，可判断A；由平面得点到平面的距离是定值，结合棱锥的体积公式可判断B；由条件得，即可判断C；根据棱锥的体积公式可判断D． 【详解】对于A，当时，，即， 而平面，平面，因此平面，故A正确； 对于B，在正方体中，当时，的面积是定值， 又，平面，平面，则平面， 所以点到平面的距离是定值，因此四面体的体积为定值，故B正确； 对于C，当时， ， 而， 则， 因此不垂直于，则不存在，使得平面，故C错误； 对于D，显然三棱锥的体积， 因为为定值，所以的长度决定三棱锥体积的取值范围， 因为，若，则， 所以三棱锥体积的取值范围是，故D正确． 故选：C． 16．直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由线面垂直得直线的方向向量和平面的法向量平行，进而求解. 【详解】因为，所以直线的方向向量和平面的法向量平行， 则，解得， 故选：A. 17．在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点.点为正方体表面上的动点，满足.给出下列四个结论，不正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得 D．存在点，使得 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断A，由，得到方程组，找到符合题意的点，即可判断B，找出平行直线再由坐标判断是否垂直可判断C，设点的坐标根据条件列出方程组，即可判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，    则， 对于A，由正方体性质知当P在时，线段长度的最大值为， 此时，， 所以，即满足，即存在点，使得，故A正确； 对于B：设，则，，， 若平面，因为平面，所以，， 即，则，显然满足题意， 故存在点，使得平面，故B正确； 对于C，取正方形的中心M，连接，易知， 所以四边形为平行四边形，所以，故运动到处时，， 此时，，，即不满足， 综上不存在点，使得，故C错误； 对于D，设，则，，若存在点，使得， 由，，可得方程组， 化简可得，解得， 显然当时满足题意，即存在点，使得，故D正确； 故选：C 18．如图，四棱锥中，，，平面⊥平面. (1)若，证明：； (2)若，，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）通过证明垂直平面与平面的交线，利用平面与平面垂直的性质定理来证明线面垂直，再利用线面垂直的性质定理证得两直线垂直； （2）建立空间直角坐标系，将垂直关系、线段长度都转化成坐标运算，设，通过解得或，分别代入计算可得结果. 【详解】（1）设平面平面， 平面平面，平面， 又平面，平面平面，， ，， 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面， 即. （2）在中由余弦定理可得，则有, 即. 又 以点为原点，以，平面的垂线所在直线分别为轴，建立如图坐标系，则， 设，则, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 同理可求平面的一个法向量为， 由于平面平面，则，故则. 又，， ，解得或. 若，则; 若，则. 综上所述，长度的取值范围. 19．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可. 【详解】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 20．如图，在平行六面体中，，. (1)求的长； (2)求证：直线平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，再平方即可得到答案； （2）根据，，可得，，再利用线面垂直的判定即可证明. 【详解】（1）， 可得 所以； （2），，， 所以 ， 所以，所以， ， 所以，所以，又，平面， 所以平面. 题型三：线面角 21．正方体中，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．直线与平面所成角的取值范围为 D．直线与直线所成的角为定值 【答案】ABD 【分析】对于 A，先由线线垂直证平面，得到，同理证得，从而得平面，即可证；对于B，由平面得到点到平面的距离不变，结合底面面积为定值即得；对于C，D，通过建系利用空间向量夹角公式，分别计算线面所成角和异面直线所成角推理即得结论. 【详解】 对于A，在正方体中，平面，平面，则， 因，平面，故平面， 因平面，故，同理可得， 因平面，则平面， 又点P为线段上的动点，即平面，故，故A正确； 对于B，易证，因平面，平面，故平面， 则点到平面的距离不变，又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则， 因点P为线段上的动点，设，，则， 因，设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成角为，则， 因在上单调递减，故，故得，故C错误； 对于D，根据C项建系，可得，设直线与直线所成的角为， 则，即，故D正确. 故选：ABD. 22．已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面中过作，连接，根据题设中的数量积可得的轨迹为以为直径的球面，故可求与平面所成角正切值的最大值. 【详解】 在平面中过作，连接， 则四边形为平行四边形，且， 故与平面所成角即为与平面所成的角. 而，故， 故即即，故， 不妨设的边长为， 则的轨迹为以为直径的球面（除去平面中以为直径的圆），如图， 设为的中点，连接， 当在球面上且平面平面时，与平面所成的角最大且为， 此时，故， 故此时， 故选：D. 23．是正四棱柱表面上的一个动点，，当直线与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系得出相关点的坐标，设，根据已知以及线面角的坐标表示得出.进而分六个面依次讨论，即可得出点坐标.进而根据线线角的坐标求解即可得出答案. 【详解】    如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，设，则 易知平面一个法向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面、平面、平面所成的角分别为， 由已知可得. 又，，， 所以有. 又由是正四棱柱表面上的一个动点，易知，所以. 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，与点重合，舍去； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，与点重合，舍去； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，与点重合，舍去； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，点可以为； 若是平面上的一个动点，可知，，，没有满足条件的点； 若是平面上的一个动点，可知，，，满足条件的点的坐标为，重复舍去. 综上所述，. 所以. 又 所以，与所成角的余弦值为. 故选：A. 24．在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系.求平面的一个法向量，以及直线的方向向量，则即为所求. 【详解】如图，过点作平面的垂线为轴，以，为轴和轴，作空间直角坐标系. 则平面的一个法向量为， 设正三棱柱中，，则，， 所以，所以, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A 25．正方体的棱长为1， 为棱的中点，点在面对角线上运动(点异于点)，以下说法错误的是（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的余弦值为 D．三棱锥的体积为 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理可证明A选项正确；应用空间向量计算数量积，可判断B正确； 根据线面角的计算，可得C选项错误；应用空间向量法可求得点到平面距离，再结合三棱锥的体积公式，计算可得D正确. 【详解】对于A，连接、，相交于点，连接，如图所示， 因为四边形为正方形，所以是中点， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，以为原点，以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，,,， 所以,，，所以，故B正确； 对于C，由B选项知，，，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，解得， 因为，所以， 点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为，故D正确. 故选：C. 26．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由线面角的向量公式，求得正弦值，可得答案. 【详解】由题意可知与夹角的正弦值为，且夹角的取值范围为，则夹角为. 故选：B. 27．在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法即可求出底面边长，即可求解. 【详解】 如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 28．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】证明平面，是正方形，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法求线面角从而得出满足的关系，再计算，结合函数知识得最小值． 【详解】，则，又， 所以是矩形 ，因为，，所以，即是正方形， 从而是中点，而，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点 ，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，则，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 因为直线与平面所成的角为， 所以，化简得， 由得， 在时是增函数， 所以时，． 故选：D． 29．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上.    (1)求证：； (2)是否存在点Q，使DC与平面DEQ所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或. 【分析】（1）取AD中点O，连接OP，OB，结合等边三角形的性质利用线面垂直的判定定理得平面PBO，进而利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，，则，求出平面DEQ的法向量，利用线面角的向量公式列方程求出，即可得解. 【详解】（1）证明：取AD中点O，连接OP，OB. ∵，∴， 在菱形ABCD中，，可得为等边三角形， ∴，又∵PO，平面PBO，且， ∴平面PBO，∵平面PBO，∴.    （2）解：∵，平面平面ABCD，平面平面， 且平面PAD，∴平面ABCD， 以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 假设存在点Q满足题意，设，， 则， ∴，，，， 设平面DEQ的法向量为， 则 令，则，，∴. 设DC与平面DEQ所成角为，则，解得或. ∴存在点Q，使得DC与平面DEQ所成角的正弦值为，此时或. 30．如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）取取中点，连接，只需证明平面平面，再结合面面平行的性质定理即可得证； （3）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的法向量与平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为在矩形中，，是的中点， 所以，即，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面； （2）如图所示，取中点，连接， 因为在矩形中，，是的中点， 所以，即四边形为平行四边形， 从而，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为分别是的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面； （3）取中点，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，所以， 所以两两互相垂直， 以点为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意， 设， 因为四边形为平行四边形，所以， 即，所以， 故， 又因为， 解得， 又因为是中点， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得， 所以平面的法向量为， 故所求为. 题型四：二面角 31．在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，过直线的平面截该正方体所得截面，则当平面与平面的所成角为最小时，截面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设平面交直线于点，利用空间向量法可求出平面与平面的所成角为最小时的值，求出此时二面角余弦值的最大值，然后利用射影面积法可求出截面的面积. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、，设平面交直线于点， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的所成角为， ， 当且仅当时，取最大值，此时平面与平面所成角最小， 则， 设平面交棱于点，， 因为，则，解得，即点， 结合图形可知，平面分别交棱、于点、， 先证明射影面积法：设点在平面内的射影点为，如下图所示： 过点在平面内作，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，所以， 故为锐二面角的平面角， 在中，， 推广到其他多边形的面积也成立， 本题中，， 设截面的面积为，由射影面积法可得， 故. 故选：B. 32．如图，图象上两点关于原点对称，点的横坐标，过点分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为.将图象沿轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设二面角的大小为，对两边平方化简可得答案. 【详解】由题意可得，，设二面角的大小为， 因为，所以， 所以，因为，所以. 故选：B. 33．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得的长及最小值，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解二面角的平面角的余弦值即可. 【详解】由题意两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直. 可得， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 在平面上，直线方程为，可设， 在平面上直线方程为，设，因此得， 由得， 则，所以， 当且仅当时，取得最小值，此时分别是的中点， ，，，，， 设平面的一个法向量， 则，取得， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以，由图可知，二面角的平面角为钝角. 所以二面角的平面角的余弦值为. 故选：A 34．如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则线段AQ长度的最小值是（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先根据两两垂直建立空间直角坐标系，然后得到各点的坐标，再应用二面角的空间向量解法得到参数的关系式，最后求出的表达式即可得解. 【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为已知是四边形内部一点，所以设， 其中且（即点在平面内部）， 则， 因为轴平面，所以平面的法向量可取， 又因为， 设平面的法向量为， 则，即， 由题易得，令，则， 所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以， 即，解得， 所以， 当时，， 所以线段AQ长度的最小值是. 故选：A. 35．四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积运算律求解判断作答. 【详解】在四面体中，，，则是二面角的平面角，如图， ， 而，，， ， 因为平面与平面的夹角为，则当时，， 当时，， 所以的值可能为和. 故选：D. 36．已知O为正方形ABCD的中心，E，F分别为BC，AD的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量夹角求法及数量积的运算律求. 【详解】翻折后如图所示，易知，， 结合已知有，，，， 易知，，设正方形边长为2， 所以，， 所以的值为 故选：D 37．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理求得，根据勾股定理证得，再根据面面垂直的性质即可证明平面 （2）方法：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法结合已知条件求得二面角平面角的表达式，得到关于的方程，解出即可确定四棱锥的高进而求得四棱锥体积；方法：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法结合已知条件求得二面角平面角的表达式，得到关于的方程，解出即可确定四棱锥的高进而求得四棱锥体积；方法：根据已知条件，利用空间中线线、线面的平行垂直关系，求得四棱锥的高，从而求得四棱锥体积. 【详解】（1） 连结，在中，，，， 由余弦定理，即， 此时，， 又平面平面，平面平面， 平面，平面． （2）解法1：如图建系， 以为原点，，方向为轴，垂直于平面向上方向为轴， 设，则， ，由得，即， 由，得，， 设是平面的法向量， ， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为， 则，解得， ， ． 解法2：过点作，交的延长线于，连接， 平面平面，平面平面， 平面，平面， ，，， 平面，平面，又， 平面，平面，， 如图所示，以方向为轴，垂直于平面方向为轴建系， 设， 则，， ，，得，， 由，得， 设是平面的法向量， ， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为， 则，解得， ， ． 解法3：过点作，交的延长线于，连接， ，，， 平面，平面，又， 平面，平面，， 由平面平面，平面平面，平面， 平面， 因为，所以为线段上靠近点的三等分点， 设线段上靠近点的三等分点为，连，， 则，平面，平面，所以， 在中，，，， 四边形是矩形，， 在中，，，， 因为，即， 解得：，所以，所以， 平面，平面，， 平面，平面，， 是二面角的平面角的补角，即， 为等腰直角三角形 ，，从而， ， ． 38．如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，.    (1)证明：平面； (2)点在棱上，当二面角的正弦值为时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形性质得到，再结合全等三角形的性质和给定条件得到，，最后由线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，设，，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再由二面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接，.    由题意得，且，，为中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以.① 在和中，，，是公共边， 故，故有， 又是中点，所以. 结合①可得. 又， 且，面，故平面. （2）在梯形中，取中点，连接，则， 易证四边形是矩形，故，. 在中，由勾股定理得，故. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，， 则， 由（1）知平面，故， 又，故，又，且， 面，故平面， 故可取为平面的一个法向量. 设为平面的法向量， 则，即，可取. 设二面角的大小为，则，故， 所以， 整理得，解得或（舍），故. 39．如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． (1)证明：平面； (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用菱形的对角线垂直，再结合平行关系和已知的面面垂直，即可证明线面垂直； （2）利用空间向量法，假设三个坐标参数，再利用三个相等关系求解参数，然后求两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1） 取中点为，连接交于点， 由于，，，所以四边形是菱形， 则，又因为四边形是平行四边形，则，故， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面； （2） 由可得：， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，再由平面，平面，故， 如图建系，可设， 由，可得①， 由，因，则②， 再由异面直线与所成角的余弦值为及， 可得：，解得， 将其代入①，②式可得：， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 由图可得平面的法向量为， ， 则平面与平面所成角的余弦值是. 40．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E，F分别为棱CD，PD的中点. (1)求证：平面AEF； (2)求平面PBD与平面CPB的夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再根据中位线的性质，结合线面平行的判断定理，即可证明； （2）以点为坐标原点，所在直线建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBD与平面CPB的法向量，再结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】（1） 如图，连接，设，连接， 因，，可得四边形是平行四边形， 则，又，则得， 因平面，平面，故平面. （2）因为平面，平面， 所以， 因为，所以两两互相垂直， 所以以点为坐标原点，所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得， 所以， 设平面与平面的法向量分别为， 所以有，， 令，解得， 故可取， 设所求为，则，所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 空间向量的应用 题型一：利用向量研究平行问题 题型二：利用向量研究垂直问题 题型三：线面角 题型四：二面角 题型一：利用向量研究平行问题 1．已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（ ） A． B． C． D． 2．若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 4．已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 5．已知直线的一个方向向量为，且直线与过和两点的直线垂直，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A． B． C．3 D． 7．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为.已知四棱锥在点的曲率为，且. (1)若点的曲率为，求四棱锥的表面积； (2)若点在上，且.试探究：在棱上是否存在点，使平面？证明你的结论. 9．如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 10．如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 题型二：利用向量研究垂直问题 11．空间直角坐标系里有一点，过P作一动平面m，直线l的方向向量坐标为．当原点到m距离d最大时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．在棱长为2的正方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．若该正方体内一动点，满足则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 13．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（    ） A． B．20 C． D． 14．如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 15．如图，在棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，平面 B．当时，四面体的体积为定值 C．当时，，使得平面 D．三棱锥体积的取值范围为 16．直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（    ） A． B．1 C． D． 17．在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点.点为正方体表面上的动点，满足.给出下列四个结论，不正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得 D．存在点，使得 18．如图，四棱锥中，，，平面⊥平面. (1)若，证明：； (2)若，，求长度的取值范围. 19．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 20．如图，在平行六面体中，，. (1)求的长； (2)求证：直线平面. 题型三：线面角 21．正方体中，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．直线与平面所成角的取值范围为 D．直线与直线所成的角为定值 22．已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 23．是正四棱柱表面上的一个动点，，当直线与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 24．在正三棱柱中，，P为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 25．正方体的棱长为1， 为棱的中点，点在面对角线上运动(点异于点)，以下说法错误的是（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的余弦值为 D．三棱锥的体积为 26．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 27．在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ） A． B． C． D． 28．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 29．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上.    (1)求证：； (2)是否存在点Q，使DC与平面DEQ所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 30．如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值． 题型四：二面角 31．在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，过直线的平面截该正方体所得截面，则当平面与平面的所成角为最小时，截面的面积为（   ） A． B． C． D． 32．如图，图象上两点关于原点对称，点的横坐标，过点分别作两坐标轴的垂线得到矩形，矩形与坐标轴的交点分别记为.将图象沿轴折叠，得到一个二面角，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 33．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 34．如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则线段AQ长度的最小值是（ ） A． B．2 C． D．4 35．四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（ ） A．5 B． C． D． 36．已知O为正方形ABCD的中心，E，F分别为BC，AD的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（ ） A． B． C． D． 37．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 38．如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，.    (1)证明：平面； (2)点在棱上，当二面角的正弦值为时，求. 39．如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． (1)证明：平面； (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 40．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E，F分别为棱CD，PD的中点. (1)求证：平面AEF； (2)求平面PBD与平面CPB的夹角的大小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$