专题05 椭圆与方程11大题型（寒假复习讲义）高二数学人教B版

专题05 椭圆与方程11大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 知识点2：椭圆的标准方程 椭圆 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 的关系 知识点3：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 知识点4：直线与椭圆的位置关系 1．直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示． 2．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为,椭圆方程为,由方程组消去一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论： 直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交； 直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切； 直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离． 3．弦长问题 设直线交椭圆于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 4.中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率 【题型01 椭圆的定义及其应用】 1．设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左、右焦点分别是，且是椭圆上的一点．若，则（　　） A． B．1 C． D．5 3．设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 4．为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，，，在上，，关于点对称，，关于直线对称，则四边形的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 【题型02 求椭圆的标准方程】 6．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 ． 7．中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为 . 8．已知椭圆C：（）的右焦点为，若点F到C的上顶点的距离是点F到C的右顶点的距离的2倍，则 ． 9．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过点，两点，则椭圆的方程为 10．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点，均在x轴上，C的面积为，过点的直线交C于点A，B，且的周长为8．则C的标准方程为 ． 11．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 【题型03 椭圆的焦点三角形】 12．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（　　） A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8） 13．设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 14．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 15．已知椭圆的左、右焦点分别是，且是面积为的正三角形．过垂直于的直线交椭圆于两点，则的周长为 ． 16．取两颗小钉子并钉在一张平板上（平板上垫有纸），将一条绳子两端固定在这两只钉子上，且绳长为12，用铅笔尖将绳子拉紧，使笔尖顺势在平板上移动一圈，则笔尖在纸上画出的图形是一个椭圆.在上述实验中，笔尖与两个钉子所围成的三角形的面积的最大值是 . 17．椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则 ． 【题型04 椭圆的几何性质】 18．已知椭圆的焦点在轴上，且其短轴长等于焦距，则（   ） A． B． C． D．2 19．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（　　） A． B． C． D． 20．把椭圆的长轴分为2024等份，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于2023个点，F是椭圆的一个焦点，则这2023个点到F的距离之和为（   ） A．10120 B．10110 C．10115 D．10110 21．若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（   ） A．2 B．4 C． D． 22．曲线与曲线的（  ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 23．已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 【题型05 求椭圆的离心率】 24．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积是的面积的两倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 25．已知椭圆的左、右焦点为，，过点与曲线相交于两点若，以为直径的圆过点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 26．已知、分别是椭圆（）的左右焦点，A、B是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 27．设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为 . 28．已知椭圆的半焦距为c，原点O到经过两点，的直线的距离为，则椭圆C的离心率为 ． 29．已知椭圆：，曲线：，曲线与椭圆在第一象限内有两个交点，，若的斜率为，则椭圆的离心率为 . 30．设椭圆的焦点为，，是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【题型06 求椭圆离心率的取值范围】 31．已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．已知为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，若满足的点恰好有4个，则此椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．已知椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 35．已知椭圆，点在直线上，直线交椭圆于点，且为线段的中点，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 36．已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【题型07 与椭圆有关的轨迹方程问题】 37．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 38．已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 39．已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 40．已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 41．设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（    ） A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 42．已知圆的方程为，，为圆上任意一点，的中垂线与相交于点．求点的轨迹方程． 【题型08 椭圆的实际问题】 43．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，，则就是“天问一号”在点时对火星的观测角．图（2）所示的四个点处，对火星的观测角最小的是（    ） A． B． C． D． 44．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 45．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 46．如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为 ． 47．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 【题型09 椭圆的弦长问题】 48．已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则 . 49．已知椭圆两顶点，，过焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，当时，直线l的方程为 . 50．已知椭圆的离心率为，右焦点.. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 51．已知椭圆的右焦点为，过焦点的直线与椭圆交于两点，且弦长，求直线的斜率. 52．已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，求的面积. 53．已知点在椭圆上，是坐标原点，是椭圆的右顶点，的面积是. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为1的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围. 【题型10 椭圆的中点弦问题】 54．若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为 ． 55．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 56．已知椭圆：，若直线与椭圆相交于不同的两点，，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 ． 57．斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则 ． 58．过点作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为 . 59．已知，为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，则点的横坐标为 ． 60．过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 【题型11 椭圆的综合问题】 61．（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若，是上关于原点对称的两点为第一象限内一点），是上异于，的一点，直线与轴交于点，为的离心率，则下列说法正确的是（   ） A．若能成立，则的取值范围为 B．若，则的面积为 C．直线与的斜率之积为 D．若，的横坐标是的横坐标的4倍，则 62．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．若椭圆是“黄金椭圆”，则 ，若“黄金椭圆”两个焦点分别为，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则 63．已知椭圆（）M，N分别为E的上顶点、右顶点，，坐标原点O到直线MN的距离为 (1)求的方程. (2)若为上不同的两点，的面积为直线的斜率均存在且分别为. （i）证明:为定值； （ii）设P为线段的中点，点，求面积的最大值. 64．已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，直线过椭圆的右焦点分别交椭圆于两点，周长为 (1)求椭圆的方程． (2)若弦长为，求直线的方程． (3)是否存在使为直径的圆过，若存在求出直线方程，若不存在，说明理由． 65．已知椭圆（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，． ①求证：为定值； ②求的面积S的最大值． 66．在平面直角坐标系 中，已知动点到点的距离和E到直线 的距离之比是常数 . (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线(斜率存在)与曲线C交于，两点，在x轴上存在点 ，使得,试问 是否为定值，若是，求出的值；若不是，请说明理由. 67．（多选）已知椭圆的左、右顶点分别为，且的离心率为，点在直线上，点为直线上的动点，直线与的另一个交点为，记线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，的面积为 C．当变化时，直线与直线的斜率之积恒为定值 D．存在，满足 一、单选题 1．椭圆的左焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知方程表示椭圆，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 4．若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则下列结论错误的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为6 C．椭圆上存在点，使得 D．若，则的面积为 6．已知半径为1的动圆圆心在直线上，过椭圆上一点作圆的切线，切线长的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 二、多选题 7．已知椭圆，则（    ） A．M与N的离心率相等 B．M与N的焦距相等 C．M与N的长轴长不相等 D．M的短轴长是N的短轴长的两倍 8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，是椭圆上两点，交轴于点，线段的中点为，平分，，则（    ） A． B．的周长为 C． D．椭圆的离心率为 三、填空题 9．在直角坐标系中，线段的长为3，其中端点分别位于轴、轴上，点为线段上靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为 ． 10．已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是 ． 11．已知椭圆的上顶点和右焦点分别为，动点P在直线上，外接圆的半径为r，当r取得最小值时，的面积为 ． 四、解答题 12．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 13．如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 14．已知椭圆的焦点坐标为，椭圆上的点到左焦点的最大距离为3， (1)求椭圆的标准方程 (2)求椭圆被直线截得的弦长； (3)若直线与椭圆交于，两点，当（为坐标原点）时，求的值. 15．已知椭圆的长轴长为4，焦距为，过点的直线与交于，两点，过点，作直线的垂线，垂足分别为，（，两点不重合）． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求的中点坐标； (3)记直线，的斜率分别为，，求的取值范围． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆与方程11大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 知识点2：椭圆的标准方程 椭圆 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 的关系 知识点3：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 知识点4：直线与椭圆的位置关系 1．直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示． 2．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为,椭圆方程为,由方程组消去一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论： 直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交； 直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切； 直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离． 3．弦长问题 设直线交椭圆于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 4.中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率 【题型01 椭圆的定义及其应用】 1．设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据椭圆的定义可知，， 又， 解得，． 故选：A． 2．已知椭圆的左、右焦点分别是，且是椭圆上的一点．若，则（　　） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【详解】由椭圆的方程及题意知，，所以， 所以．由椭圆的定义，得，又， 所以． 故选：D． 3．设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆的两个焦点坐标为，，恰好为两个圆的圆心坐标， 圆的半径，圆的半径， 由椭圆的定义可得， 当椭圆上动点与焦点连线与圆相交于时，最小，最小值为， 当椭圆上动点与焦点连线的反向延长线与圆相交于时，最大，最大值为， 所以. 故选：D. 4．为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，，，在上，，关于点对称，，关于直线对称，则四边形的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】连接，,因为，关于点对称， 所以, 由于，关于直线对称，则为的中垂线， 则,, 所以四边形的周长为, 由椭圆的定义可得：, 所以， 即四边形的周长为 故选：D 5．为椭圆上一点，是它的上焦点，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】设为椭圆的下焦点， 由椭圆方程知，，，， 则， 由椭圆的定义得 所以，当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 【题型02 求椭圆的标准方程】 6．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同， 其焦点在轴上，且， 设其标准方程为， ，且，①， 点在所求椭圆上， ②， 联立①②得，解得， 所求椭圆的标准方程为． 故答案为：． 7．中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为 . 【答案】 【详解】设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c， 由题意得，解得， 所以椭圆方程为. 故答案为： 8．已知椭圆C：（）的右焦点为，若点F到C的上顶点的距离是点F到C的右顶点的距离的2倍，则 ． 【答案】/ 【详解】设椭圆C的半焦距为，则结合，可得， 因为C的右焦点为，所以，所以， 所以，即，则. 故答案为：. 9．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过点，两点，则椭圆的方程为 【答案】 【详解】由已知设椭圆的方程为， 因为椭圆过点，两点， 所以，解得， 则椭圆的方程为. 故答案为：. 10．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点，均在x轴上，C的面积为，过点的直线交C于点A，B，且的周长为8．则C的标准方程为 ． 【答案】 【详解】因为的周长为8，所以 由椭圆的定义可知： 所以， 由题意可得：，即，解得 因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为：． 故答案为： 11．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）根据题意可知：椭圆的焦点在轴上，且，， 则，所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆方程为， 代入点，可得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 【题型03 椭圆的焦点三角形】 12．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（　　） A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8） 【答案】D 【详解】已知的周长为16，而的周长， 其中，因此： 椭圆中满足，将代入可得： ，解得。 因此a的取值范围是(4,8). 故选：D. 13．设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距长为，由题意可知， 设，则， 因为，所以， 即， 解之得或，即或， . 故选：C 14．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．面积的最大值为12 C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为 【答案】BCD 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，    对于A：的周长为，A错误； 对于B：设，，则，B正确； 对于C：由，得以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交， 当P为此交点时，，因此存在点P，使得∠，C正确； 对于D：，，D正确. 故选：BCD 15．已知椭圆的左、右焦点分别是，且是面积为的正三角形．过垂直于的直线交椭圆于两点，则的周长为 ． 【答案】16 【详解】如图，设， 因为面积为，且其为正三角形， 又 则，解得，则， 又因为直线过与垂直且为正三角形，则直线为中垂线， 则，， 又， 故的周长 由椭圆的定义知，，， 则. 故答案为：． 16．取两颗小钉子并钉在一张平板上（平板上垫有纸），将一条绳子两端固定在这两只钉子上，且绳长为12，用铅笔尖将绳子拉紧，使笔尖顺势在平板上移动一圈，则笔尖在纸上画出的图形是一个椭圆.在上述实验中，笔尖与两个钉子所围成的三角形的面积的最大值是 . 【答案】18 【详解】设为其焦点，点为椭圆上一点， 则， ， 当时等号成立，此时两个钉子之间的距离为. 故答案为：18. 17．椭圆左、右焦点分别为为椭圆上一点，，则 ． 【答案】35 【详解】由题可知，. 所以， 化简得，所以. 故答案为：35. 【题型04 椭圆的几何性质】 18．已知椭圆的焦点在轴上，且其短轴长等于焦距，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】椭圆的焦点在轴上， ，，， 其短轴长等于焦距， ，解得，故D正确． 故选：D． 19．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆的离心率为， 所以，即， 所以该椭圆的焦距为． 故选：C 20．把椭圆的长轴分为2024等份，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于2023个点，F是椭圆的一个焦点，则这2023个点到F的距离之和为（   ） A．10120 B．10110 C．10115 D．10110 【答案】C 【详解】因为把椭圆的长轴分成2024等份，过每个分点作轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，. 如图，设椭圆的右焦点为，且. 由椭圆的定义及椭圆的对称性得：，，…，. 所以 . 故选：C 21．若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】因为，关于轴对称，椭圆也关于轴对称， 所以，要么都在椭圆上，要么都不在椭圆上，而椭圆仅经过，，中的一个点， 所以椭圆经过，代入得，解得，所以椭圆的短轴长为. 故选：B. 22．曲线与曲线的（  ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【详解】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆； 曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆． 故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等． 故选：D. 23．已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 【题型05 求椭圆的离心率】 24．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积是的面积的两倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，则， 令，则，代入椭圆方程可得， 整理得，又由， 所以，则，或（舍）， 故椭圆的离心率为. 故选：A 25．已知椭圆的左、右焦点为，，过点与曲线相交于两点若，以为直径的圆过点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，， 由为直径的圆经过点，得，在中，由勾股定理得， ，整理得，解得， 所以的离心率. 故选：B 26．已知、分别是椭圆（）的左右焦点，A、B是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是等边三角形，且、在圆与椭圆的左半部分交点，可得点坐标为. 如图：    将代入椭圆方程，结合，得 化简为关于离心率的方程为 即，解得. 由于椭圆离心率，故，即. 故选：B 27．设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【详解】 ， 因为。所以， 所以， 所以 故答案为： 28．已知椭圆的半焦距为c，原点O到经过两点，的直线的距离为，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】因为经过两点，的直线的方程为，即. 因为原点到直线的距离为，所以，整理得. 所以，所以． 又，所以． 故答案为：.    29．已知椭圆：，曲线：，曲线与椭圆在第一象限内有两个交点，，若的斜率为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】设， 则，即， 又，两式相减得， 则， 所以，则，即， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 30．设椭圆的焦点为，，是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图： 椭圆的焦点为，，， 根据正弦定理可得， ，． 设，，则， 由余弦定理得， ， ， ， 又， ，即，即 故选：C 【题型06 求椭圆离心率的取值范围】 31．已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，则， 即，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即，则，则 则，即椭圆离心率， 故选：D. 32．若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设是椭圆的左右焦点， 因为椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为， 所以， 又， 所以， 所以，解得，即， 因为椭圆的离心率的范围为， 所以. 故选：C 33．已知为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，若满足的点恰好有4个，则此椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记短轴的一个端点为，由椭圆性质可知，当点在短轴端点时最大， 所以，要使满足的点恰好有4个，则， 即，所以， 又，所以. 故选：B 34．已知椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由点满足，得，即是直角三角形，原点是斜边的中点， 因此，又点在椭圆上，则，即，整理得， 即，而，因此， 所以椭圆离心率的取值范围为. 故答案为： 35．已知椭圆，点在直线上，直线交椭圆于点，且为线段的中点，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设，则，因为为线段的中点， 所以在轴右侧，且，即， 因为，所以，即，所以离心率的取值范围是. 故答案为：    36．已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题可得，， 又，则有， 由椭圆的定义知：， 当且仅当等号成立， 所以，则， 又椭圆的离心率小于1，所以椭圆的离心率的取值范围为， 故答案为：. 【题型07 与椭圆有关的轨迹方程问题】 37．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆，即的圆心，半径为， 圆，即的圆心，半径为， 设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图， 依题意，三点共线，三点共线，，， 因此， 则点的轨迹为以为焦点的椭圆， 长轴长，半焦距，则， 所以点的轨迹方程为. 故选：C 38．已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的坐标为，则， 整理得，故点的轨迹方程为． 故选：D． 39．已知点M是圆C：上的动点，，线段的垂直平分线与线段交于点Q，当点M在圆C上运动时，点Q的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心，半径为， 由题意可知，又点是圆上的点，则， 且，则， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，，， 则点的轨迹方程； 故选：B. 40．已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点，由，得， 则，而线段长为3，即，因此， 所以动点的轨迹方程为. 故选：A 41．设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（    ） A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【详解】设，则， 所以. 因为，所以 代入，得，即， 则动点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆. 故选：C. 42．已知圆的方程为，，为圆上任意一点，的中垂线与相交于点．求点的轨迹方程． 【答案】 【详解】连接，由对称的性质，连接，则， 圆：的圆心，半径， ， 因此点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，而焦距，短半轴长， 所以点的轨迹方程为. 【题型08 椭圆的实际问题】 43．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，，则就是“天问一号”在点时对火星的观测角．图（2）所示的四个点处，对火星的观测角最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设火星半径为，椭圆左焦点为，连接，如图所示： 则， 因为， 所以越大，越小，越小， 所以当点位于点处时，对火星的观测角最小， 故选：C. 44．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此，结合选项可知A满足． 故选：A. 45．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 46．如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】/0.5 【详解】设球O半径为r，由题意知：， ，椭圆的长半轴长， 椭圆短半轴长为球的半径，即， 所以， 椭圆的离心率为， 故答案为：. 47．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 【答案】(1) (2)拱高、拱宽 【分析】 【详解】（1）如图建立平面直角坐标系， 依题意可得点在椭圆上， 又，将点代入椭圆方程得，解得， 此时， 因此隧道设计的拱宽约为米； （2）设隧道上方半椭圆部分的面积为， 由椭圆方程且点在椭圆上或椭圆内部，得， 因为，即，当且仅当时取等号， 所以， 由于隧道长度为米，故隧道上方半椭圆部分的土方工程量， 当取得最小值时，有且，得，， 此时，， 即拱高和拱宽，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. 【题型09 椭圆的弦长问题】 48．已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则 . 【答案】/ 【详解】由椭圆和抛物线的对称性，知轴，且关于轴对称， 不妨设，则，， 由可知，代入得，即， 再将代入可得，解得. 故答案为：. 49．已知椭圆两顶点，，过焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，当时，直线l的方程为 . 【答案】或 【详解】由题意得，.∴.∴椭圆方程为. 当直线l的斜率不存在时，，不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设l的方程为， 联立，得， 恒成立. 设，.∴，. ∴， 即， 解得，∴. ∴直线l的方程为或. 故答案为：或. 50．已知椭圆的离心率为，右焦点.. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由椭圆的离心率为， 可设，，则， 由右焦点，可知，则，， 即椭圆的标准方程为. （2）如图： 过且倾斜角为45°的直线的方程为， 与椭圆联立可得： ，即， 可得，. 所以， 所以. 所以. 51．已知椭圆的右焦点为，过焦点的直线与椭圆交于两点，且弦长，求直线的斜率. 【答案】 【详解】由椭圆，得椭圆，所以， 解得，所以椭圆的右焦点为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，与椭圆两交点， 所以，故不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，消去得，， 整理得，因为直线过椭圆焦点，必有, 设，则由韦达定理得， 所以 又因为，所以，所以， 所以，解得. 所以，直线的斜率. 52．已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意有：， 所以椭圆的方程为：； （2）由题意有：左焦点，所以过且倾斜角为的直线的方程为：， 所以， 设， 所以， 所以， 又点到直线的距离为： ， 所以. 53．已知点在椭圆上，是坐标原点，是椭圆的右顶点，的面积是. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为1的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知，的面积是，所以， 点在椭圆上，解得， 故椭圆的方程为. （2）依题意得，设直线， 联立消去得， 由解得， 设，，则，， 所以， 因为，所以， 所以，即的取值范围是. 【题型10 椭圆的中点弦问题】 54．若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为 ． 【答案】 【详解】由题意，直线的斜率存在，设，则， 因为点在椭圆上，所以， 两式相减得，，即， 整理得，即， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 即． 故答案为：. 55．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 【答案】/ 【详解】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为，整理得， 联立，得，则， 所以， 故答案为：. 56．已知椭圆：，若直线与椭圆相交于不同的两点，，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【详解】设，， 因为线段的中点坐标为，所以，， 将点，代入椭圆方程可得：， 两式相减得，即， 也即，所以. 设直线的斜率为，则. 故答案为：. 57．斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则 ． 【答案】/ 【详解】设直线的方程为，代入椭圆方程， 可得， 由韦达定理可得， 则， 则，则， 所以. 故答案为： 58．过点作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为 . 【答案】 【详解】直线l的方程为， 由消去y得，显然， 即直线与椭圆相交，设交点，则， 于是线段中点的横坐标为，纵坐标为， 所以线段的中点坐标为. 故答案为： 59．已知，为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，则点的横坐标为 ． 【答案】1或3 【详解】设，，， 当直线PQ的斜率存在时，设直线：，则，， 则，两式作差得， 所以， 所以，又因为， 所以， 因为点为直线与圆的切点， 所以，所以， 即点的横坐标为，不合题意； 当直线PQ的斜率不存在时，易得点A的横坐标为1或3. 故答案为：1或3. 60．过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】在中令得，所以椭圆右焦点为，即， 设，，， ∴，两式相减得， 所以，即，从而， ∴， 又，因此， ∴椭圆标准方程， 故答案为： 【题型11 椭圆的综合问题】 61．（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若，是上关于原点对称的两点为第一象限内一点），是上异于，的一点，直线与轴交于点，为的离心率，则下列说法正确的是（   ） A．若能成立，则的取值范围为 B．若，则的面积为 C．直线与的斜率之积为 D．若，的横坐标是的横坐标的4倍，则 【答案】BCD 【详解】因为，所以四边形为矩形， 设椭圆的上顶点为，若要上存在点，使得， 则需，所以， 即，，A错误； 由对称性可知的面积等于的面积， 由焦点三角形的面积公式可知，的面积为，B正确；    设，，则，且，， 两式相减得， 可知，C正确； 由，得，因为，且， 所以，解得，D正确. 故选：BCD. 62．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．若椭圆是“黄金椭圆”，则 ，若“黄金椭圆”两个焦点分别为，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则 【答案】 /； . 【详解】由题，，所以． 如图， 连接，设内切圆半径为， 则，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 63．已知椭圆（）M，N分别为E的上顶点、右顶点，，坐标原点O到直线MN的距离为 (1)求的方程. (2)若为上不同的两点，的面积为直线的斜率均存在且分别为. （i）证明:为定值； （ii）设P为线段的中点，点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)（i），证明见解析；（ii）. 【分析】 【详解】（1）由题可知，，， 即，解得， 则椭圆. （2）（i）①若直线的斜率不存在，设点， 则，又因为，可解得， 由对称性，不妨取，即， 此时；若取，同样可求得； ②若直线的斜率存在，可设直线，点，    联立直线与椭圆，整理得， 而，得， 根据韦达定理且直线的斜率均存在，有，则， 得到， 得， 整理得， 则，因，故， . 综上所述，，得证. （ii）①若直线的斜率不存在，由（i）可知， ，则， 此时；    ②若直线的斜率存在，由题可知，直线，，   ，故， 又因为，故，点到直线的距离， 因此， 由对称性，不妨假设，则，因此， 令，则，则， 要使得面积最大，则，， 当且仅当，即时，等号成立，则的最大值为. 综上所述，因为，故面积的最大值为. 64．已知椭圆的离心率，左右焦点分别为，直线过椭圆的右焦点分别交椭圆于两点，周长为 (1)求椭圆的方程． (2)若弦长为，求直线的方程． (3)是否存在使为直径的圆过，若存在求出直线方程，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，直线方程为或. 【分析】 【详解】（1）由题知椭圆的离心率，周长为， 则，所以，即得 因为，所以，故椭圆的方程为. （2）椭圆右焦点为，当直线斜率不存在时，直线的方程为， 假设交点位于第一象限，则，此时弦长， 故直线斜率存在，设直线的方程为，， 联立直线和椭圆方程可得，消去得， 由韦达定理可得， 由弦长公式可知， 整理得，解得； 所以直线的方程为或.    （3）由以为直径的圆过，可知，即①， 又由（2）知当直线斜率不存在时，直线的方程为， 假设交点位于第一象限，则，则，故直线的斜率存在， 设直线的方程为，则②，③， 联立①②③可得， 因为， 所以，解得，即， 故直线存在，直线方程为或. 65．已知椭圆（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，． ①求证：为定值； ②求的面积S的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】 【详解】（1）由题意知：，，， ∴椭圆的方程为，把点代入方程得：， ，，，所以椭圆的方程为． （2）①由（1）可得右焦点，易知直线的斜率存在， 设的方程为． 代入椭圆方程得． 设，， 则，. ， 为定值． ②． 由判别式，解得． ，， 点到直线：， 即的距离为， 则， ． 令，（）， 则， 所以当，即时，有最大值为． 【点睛】 66．在平面直角坐标系 中，已知动点到点的距离和E到直线 的距离之比是常数 . (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线(斜率存在)与曲线C交于，两点，在x轴上存在点 ，使得,试问 是否为定值，若是，求出的值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，. 【分析】 【详解】（1）因为动点到点的距离和E到直线的距离之比是常数， 所以， 两边平方得到； 化简得到动点E的轨迹C的方程是. （2）法一：设过点的直线方程为， 联立方程，整理得到， 设，则； 因为，所以； 又因为，所以； 由角平分线逆定理得到，轴为的角平分线， 所以，即， 化简得到，即； 将代入上式得； 化简得到 即 因为，所以. 即； 整理得到； 即，解得. 因此是定值4. 法二：因为， 所以，即，所以． 显然过点的动直线不与轴重合，故设直线方程为， 设， 联立，可得， ，即时， 由韦达定理得， 因为，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得， 即。 67．（多选）已知椭圆的左、右顶点分别为，且的离心率为，点在直线上，点为直线上的动点，直线与的另一个交点为，记线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，的面积为 C．当变化时，直线与直线的斜率之积恒为定值 D．存在，满足 【答案】AC 【详解】对于A，依题意，，则，由离心率为，得，解得，A正确； 对于B，当时，点，线段的中点为椭圆的上顶点，即点， 的面积为，B错误； 对于C，设，则，直线与直线的斜率分别为， ，则，C正确； 对于D，假设存在，使得，由为线段的中点，得与矛盾， 因此假设不成立，即不存在，使得，D错误. 故选：AC 一、单选题 1．椭圆的左焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆方程可得，， 所以，解得， 又椭圆焦点在轴， 所以该椭圆左焦点坐标为， 故选：D 2．已知方程表示椭圆，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知方程表示椭圆， 则，则或， 故实数m的范围是. 故选：A 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为， 则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D. 4．若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设是椭圆的左右焦点， 又椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为， ，又， ， ，解得，即， 又椭圆离心率的取值范围为，. 故选：C. 5．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则下列结论错误的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为6 C．椭圆上存在点，使得 D．若，则的面积为 【答案】C 【详解】由题意得，的最大值为3，最小值为1，，解得， 椭圆的离心率为，正确. 点在上，根据椭圆的定义有，又两焦点间距离为，故的周长为，正确 设，椭圆的左，右焦点分别为，，， 若，则，即， 点在上，，联立得，即，无实数解，因此椭圆上不存在这样的点，不正确. 设，因为，所以在中， 而，所以， 正确. 故选：C. 6．已知半径为1的动圆圆心在直线上，过椭圆上一点作圆的切线，切线长的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】设与直线 平行的直线为 ， 该直线与椭圆相切时，联立方程， ， 化简得： ，即 ， 即，解得 已知直线为 ， 两条切线为 和 。 直线 与已知直线的距离： 直线 与已知直线的距离： 所以 ，代入切线长公式 得. 故选：B 二、多选题 7．已知椭圆，则（    ） A．M与N的离心率相等 B．M与N的焦距相等 C．M与N的长轴长不相等 D．M的短轴长是N的短轴长的两倍 【答案】BC 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆M的离心率，椭圆N的离心率，A错误； 对于B，椭圆M与N的焦距长都为，相等，B正确； 对于C，椭圆M与N的长轴长不相等，C正确； 对于D，椭圆M的短轴长不是N的短轴长的两倍，D错误. 故选：BC. 8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点，是椭圆上两点，交轴于点，线段的中点为，平分，，则（    ） A． B．的周长为 C． D．椭圆的离心率为 【答案】ACD 【详解】A选项，因为，所以, 则，由相似可得，故A正确； B选项，因为直线过点， 则由椭圆的定义可知，的周长为， 又，故B错误； C选项，因为为线段的中点，平分，所以， 因为，所以可设，， 则由椭圆的定义可知，， 则，得， 故，故C正确； D选项，由C选项可知，， 在、中利用余弦定理可得， ， 即，得， 故椭圆的离心率为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．在直角坐标系中，线段的长为3，其中端点分别位于轴、轴上，点为线段上靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设，，. 由可得，，即. 又点为线段上靠近点的三等分点，所以， 即，所以，. 所以，整理得. 故答案为：. 10．已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】设是椭圆的右焦点，则，. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为， 所以，所以的最大值为， 故的最大值为. 故答案为：. 11．已知椭圆的上顶点和右焦点分别为，动点P在直线上，外接圆的半径为r，当r取得最小值时，的面积为 ． 【答案】2 【详解】由椭圆的方程，得，所以，， 所以，，设，圆心， 则圆的标准方程为， 所以，整理得， 所以， 所以 ，所以 由，， 所以当时，最小，此时，所以， 所以. 故答案为：2 四、解答题 12．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）由题意可得，又，则， 当焦点在x轴上时，椭圆方程为， 当焦点在y轴上时，椭圆方程为. （2）设椭圆的标准方程， 由于椭圆过点和， 代入可得，解得， 所以椭圆的方程为：. （3）设椭圆方程为， 则，，解得， 所以椭圆方程为. 13．如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由条件可知，，，则， 因为，所以, 由对称性可知，； （2）设，，， 由，可知， 所以，得， 因为点，则， 所以，所以，则， 所以， 所以直线的斜率为； 14．已知椭圆的焦点坐标为，椭圆上的点到左焦点的最大距离为3， (1)求椭圆的标准方程 (2)求椭圆被直线截得的弦长； (3)若直线与椭圆交于，两点，当（为坐标原点）时，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，半焦距， 由椭圆上的点到左焦点的最大距离为3，得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由消去并整理得：， 设弦的两个端点坐标为，则， 所以椭圆被直线截得的弦长. （3）设，， 由消去并整理得：， ，解得， ，，， 由，得， 则，解得，符合题意， 所以的值为. 15．已知椭圆的长轴长为4，焦距为，过点的直线与交于，两点，过点，作直线的垂线，垂足分别为，（，两点不重合）． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求的中点坐标； (3)记直线，的斜率分别为，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的方程为. （2）设， 因为直线的倾斜角为45°，所以， 联立，所以， 所以， 所以，， 所以的中点坐标为； （3）设，， 由，化简为， ，则，， 又 ， 因为，所以，即，所以. 所以的取值范围为. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $