专题11 椭圆的标准方程（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题11 椭圆的标准方程 题型一：椭圆的定义及辨析 题型二：利用椭圆定义求方程 题型三：椭圆上点到焦点距离（含最值）问题 题型四：椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值 题型五：判断方程是否表示椭圆 题型六：求椭圆方程 题型七：根据椭圆方程求参数 题型八：椭圆中的轨迹方程问题 题型九：椭圆中焦点三角形面积问题 题型十：椭圆中焦点三角形其他问题 题型一：椭圆的定义及辨析 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，则的中点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【分析】解法1：设的中点为，则，把点代入椭圆方程、化简，判断轨迹形状； 解法2：如果能利用圆锥曲线的定义和三角形中位线解得，可判断点的轨迹． 【详解】解法1：设的中点为，则， 又点在椭圆上，所以，化简得，即的中点的轨迹是椭圆． 故选：A． 解法2：如图，取的中点，连接，则为的中位线． 因为，所以点的轨迹是椭圆． 故选：A． 2．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A．5 B．2 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解. 【详解】椭圆的长轴长，由点到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义， 得到另一个焦点的距离为. 故选：C 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作直线交于两点，则三角形的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆的定义得， 则的周长为. 故选：D. 4．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴方程可表示平面内点到点与点的距离之和为的图形， 此时， ∴方程表示的轨迹是线段， 故选：C． 5．已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 【答案】D 【分析】根据与的关系判断点的轨迹. 【详解】由题设知， 则动点P的轨迹不存在． 故选：D 题型二：利用椭圆定义求方程 6．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目所给条件的几何意义，结合椭圆的定义直接得出点的轨迹即可. 【详解】由两点间距离公式，条件表示的几何意义为点到与的距离之和：， 又，根据椭圆的定义，点在以和为焦点的椭圆上， 可设标准方程为：, 由，，根据,求出, 得到轨迹方程为：. 故选：B 7．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 8．椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义可得a，根据焦点坐标可得c，然后由求出即可得方程. 【详解】由椭圆定义可知，，得， 又椭圆的两个焦点是和， 所以椭圆焦点在x轴上，且，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为. 故选：C 9．方程的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表达式几何意义并利用椭圆定义可知满足椭圆的方程，即可得出结果. 【详解】根据题意可知，表达式可表示点到定点的距离之和为10， 且， 由椭圆定义可知点满足以为焦点，长轴长为10的椭圆方程， 所以可得. 故选：B 10．如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为 【答案】 【分析】利用线段的中垂线性质，即可推导出动点到两定点的距离之和为定值，所以动点轨迹是椭圆，即可出椭圆方程. 【详解】 连接，由线段的垂直平分线与相交点M，可得， 则有， 所以点M 的轨迹是以为焦点，以5为长轴长的椭圆， 则，即， 所以点M 的轨迹方程为：，即， 故答案为：. 题型三：椭圆上点到焦点距离（含最值）问题 11．已知点P是椭圆上一点，，是C的左、右焦点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可得答案. 【详解】是椭圆上的点，且，又，分别为E的左、右焦点， 由椭圆的定义知. 故选：D 12．（多选）已知点，P为椭圆上的动点，则的（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 【答案】BD 【分析】利用椭圆的定义可求的最值. 【详解】 注意到Q为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为， 则， 而的取值范围是，即，因此所求最大值为，最小值为． 故选：BD. 13．已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】设圆和圆的圆心分别为，则根据椭圆的性质可知为定值，再根据三角形两边之和大于第三边可知的最大值为与两圆半径的和可得答案. 【详解】由题设圆和圆的圆心分别为， 半径分别为，则椭圆的焦点为， ， 又，，故， 当且仅当分别在的延长线上时取等号， 此时最大值为. 故答案为：. 14．设P是椭圆上的点.若，是椭圆的两个焦点，则等于 . 【答案】10 【分析】由椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a可得结果. 【详解】∵ ∴ ∴ ∴由椭圆的定义知，. 故答案为：10. 15．已知P为椭圆上一点，分别为圆和圆上的点．则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 7 13 【分析】首先根据椭圆方程求出，由此可知两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，，进而根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程知，两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，， 设两圆半径分别为，，则，. ∴，|， ，|， 故的最小值为； 的最大值为.    故答案为：7；13 题型四：椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值 16．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助椭圆定义可得，再借助两点间距离公式计算即可得. 【详解】如图，取椭圆右焦点，则， 则由椭圆定义可知， 则， 当且仅当、、三点共线，且在之间时取等， 故的最大值为. 故选：A. 17．设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（    ） A．1 B．b C．3 D．3b 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】设该椭圆的右焦点为， 因为点P在C上，所以， 所以， 当三点共线时，有最大值，即， 所以的最大值为， 故选：C    18．设实数满足的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用椭圆的定义，即可求代数式的最小值，得到答案. 【详解】设，则在椭圆上， 因为， 设，则为椭圆的右焦点， 如图所示，设椭圆的左焦点为， 则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 而，故的最小值为. 故答案为：. 19．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 【答案】5 【分析】先求出，，则，结合图形可知，从而可求得结果. 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 所以，，， 所以． 如图，因为（当M在的延长线上时取等号），， 所以． 所以的最大值为5， 故答案为：5 20．已知P是椭圆上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，得到，得到P在线段上时，取得最小值，结合点到直线的距离，即可求解. 【详解】由椭圆，可得左焦点为，则， 于是，当且仅当三点共线，且P在线段上时，取得最小值， 又由的最小值为点到直线的距离， 所以的最小值为. 故答案为：. 21．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】设椭圆的右焦点，利用椭圆的定义将转化成，根据三点共线以及点点距离公式进行求解即可． 【详解】不妨设椭圆的右焦点， 因为点是椭圆上的动点， 所以， 则， 当且仅当，，三点共线时，等号成立， 又， 则的最小值为． 故答案为：． 22．已知椭圆，、分别是其左右焦点，点是上的动点，求的取值范围． 【答案】 【分析】由椭圆定义将问题转化成求的范围，再结合三角形两边之差小于第三边即可求解. 【详解】因为， 所以， 由题意可得， 如图，根据三角形两边之差小于第三边可知， ，当且仅当点三点共线时取等号， 所以， 所以的取值范围为. 题型五：判断方程是否表示椭圆 23．以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程的知识求得正确答案. 【详解】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误. B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误. C选项，方程，即， 表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确. D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误. 故选：C 24．已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可 【详解】若曲线是椭圆，则有： 解得：，且 故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件 故选：C 25．当时，方程表示的曲线是（    ） A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】A 【解析】根据椭圆的标准方程的形式，即可求解，得到答案. 【详解】因为，可得且， 所以方程表示焦点在轴的椭圆. 故选：A. 26．命题“，曲线是椭圆”的否定是（    ） A．，曲线是椭圆 B．，曲线不是椭圆 C．，曲线是椭圆 D．，曲线不是椭圆 【答案】B 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“，曲线是椭圆”的否定是，曲线不是椭圆， 故选：B. 【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题. 27．（多选）已知曲线．下列结论正确的有（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 【答案】AD 【分析】将方程，转化为，判断选项ABC，再根据，判断选项D. 【详解】方程，化为，表示椭圆，且其焦点在轴上，则，即，故A正确； 若，表示椭圆，且其焦点在x轴上，则，即，故B错误； ，表示圆，即，其半径为故C错误； 当，时，，则是两条直线，故D正确， 故选：AD 题型六：求椭圆方程 28．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆的两个焦点的坐标分别是，，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10； (2)椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点； (3)椭圆的焦点在轴上，，. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】根据椭圆焦点的位置，设椭圆的标准方程，在结合条件，求的值，即可得椭圆的标准方程. 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， 由题意，，所以, 所以椭圆的标准方程为. （2）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， 由椭圆的定义，知， ， 又，所以， 所以椭圆的标准方程为. （3），① 又由，得，代入①得， 所以，故， 又椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程为. 29．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且； (2)焦点在坐标轴上，且经过两个点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出椭圆方程，根据椭圆定义求出，将点代入方程求出得解； （2）待定系数法求解即可求得椭圆的标准方程. 【详解】（1）由题设椭圆方程为，， ，即， 将点代入方程，可得， 所以椭圆方程为. （2）设椭圆的方程为， 将点，代入椭圆的方程， 得，解得，， 所以椭圆的标准方程为. 30．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程； (2)两个焦点分别是，，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8； (3)两个焦点分别是，，并且椭圆经过点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点坐标确定椭圆焦点在轴及的值，将椭圆方程设为，依据椭圆的定义确定的值，并由求得，带入所设的椭圆方程即可. （2）根据焦点坐标确定椭圆焦点在轴，依据椭圆的定义及焦点坐标可计算出，即可求得椭圆方程. （3）解法一：根据焦点坐标确定椭圆焦点在轴且，设椭圆标准方程带入计算即可.解法二：根据焦点坐标确定椭圆焦点在轴，依据椭圆的定义及焦点坐标可计算出，即可求得椭圆方程. 【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为． 由椭圆的定义知， ， 所以，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为． （2）由已知得，因此．又因为，所以， 因为椭圆的焦点在轴上，所以所求的椭圆的标准方程为：． （3）解法一：因为椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为． 由已知得：，又因为，所以． 因为点在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或（舍去）． 因此，，从而椭圆的标准方程为． 解法二：由椭圆的定义，点到两焦点，的距离之和等于， 即 ， 所以，因为，所以，所以椭圆的标准方程为． 31．求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点； (3)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点位置设出椭圆方程，把点的坐标代入椭圆方程求解即可； （2）设出椭圆方程，将两点代入椭圆方程，列式计算即可求解． （3）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得的值，即得答案． 【详解】（1）由题知：焦点在轴，且， 设椭圆标准方程为，则， 由椭圆过点知，解得或（舍去）． 所以椭圆的标准方程为． （2）椭圆经过，两点， 设所求椭圆的方程为， 把点、代入得，解得， 所以所求椭圆的方程为． （3）椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点坐标也为， 设其方程为，则， 又椭圆经过点，故，联立， 解得， 故椭圆方程为． 32．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点；． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，依题意求出和可得结果； （2）过两点的椭圆方程，可设为，代入计算即可． （3）由焦点坐标得值，设出椭圆方程将点代入方程待定系数可得． 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 依题可得，将代入到方程中得， 故， 所以椭圆的标准方程为． （2）设方程为 则，解得，则所求椭圆方程为 （3）由方程可知，其焦点的坐标为，即． 则， 设所求椭圆方程， 因为椭圆过点，代入方程得， 解得（舍去），， 故椭圆的标准方程为； 33．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点. (2)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，设椭圆的一般式方程，代入两点，列出方程组，求解即得； （2）由已知椭圆求出半焦距并判断焦点位置，设出所求椭圆方程，列方程组，求解后即得. 【详解】（1）设所求椭圆的方程， 将代入上式得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为； （2）椭圆，即，故， 则焦点为，， 依题意，设所求椭圆的标准方程， 则有，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 题型七：根据椭圆方程求参数 34．已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求解； （2）根据椭圆的标准方程求解； （3）根据椭圆的标准方程求解. 【详解】（1）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （2）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （3）依题意，有，解得，且， 故实数m的取值范围是. 35．已知曲线方程，． (1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据椭圆方程的性质建立关于k的不等式，解出即可； （2）根据椭圆方程的类型，分类讨论确定，根据求解即可. 【详解】（1）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得， 即的取值范围为； （2）若方程表示焦距为2的椭圆，则，所以 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，且 又，得； 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得 所以， 又，得； 综上，或. 36．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. 【答案】 【分析】由焦点在轴的椭圆方程的特征求解即可． 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得， 所以的取值范围是.    37．已知，当m为何值时， (1)方程表示椭圆； (2)方程表示焦点在x轴上的椭圆； (3)方程表示焦点在y轴上的椭圆． 【答案】(1)3<m<7或7<m<11 (2)7<m<11 (3)3<m<7 【分析】（1）（2）（3）根据椭圆标准方程的定义，列出不等式即可. 【详解】（1）若方程表示椭圆，则，解得3<m<7或7<m<11． （2）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m－3>11－m>0，解得7<m<11． （3）方程表示焦点在y轴上的椭圆，则11－m>m－3>0，解得3<m<7． 38．设k为实数，若椭圆的方程为，求满足下列条件的k的取值范围： (1)椭圆的焦点在x轴上； (2)椭圆的焦点在y轴上． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可得，即求； （2）由题可知，即得. 【详解】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，椭圆的方程为， ∴，解得， ∴k的取值范围为； （2）∵椭圆的焦点在y轴上，椭圆的方程为， ∴，解得， ∴k的取值范围为. 题型八：椭圆中的轨迹方程问题 39．已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，确定点到两点的距离之和为常数，从而得到椭圆的方程，并排除导致三点共线的情况. 【详解】因为，而， 所以， 则顶点的轨迹为以为焦点的椭圆（除去与共线的两点）， 其中，得， 得， 由于椭圆的焦点在轴上， 则椭圆的标准方程为：， 故答案为： 40．在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据重心的性质和内心的性质，求出两点的坐标，根据线段平行轴，纵坐标相等，列出坐标的关系式，求出轨迹方程. 【详解】设，则重心，设内切圆半径为， 又，所以， 因为，则，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 41．如图，设A，B的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为求点M的轨迹方程． 【答案】 【分析】设，根据题目中等量关系列式求解即可. 【详解】设点M的坐标为，因为点A的坐标是， 所以直线AM的斜率＝， 同理，直线BM的斜率＝． 由已知有·＝ ， 化简得点M的轨迹方程为 故答案为： 42．点A，B的坐标分别是，直线AM，BM相交于点，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是，求点的轨迹方程． 【答案】． 【分析】设点的坐标为，把点满足的条件用坐标表示，得到曲线方程，化简整理即可. 【详解】设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线AM的斜率， 同理，直线BM的斜率. 由已知有， 化简，得点的轨迹方程为． 43．已知圆：和圆： (1)过点作圆的切线，求此切线的方程； (2)动圆M在圆的内部，并且与圆内切与圆外切，求动圆M的圆心M的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）分切线斜率存在以及不存在讨论，结合点到直线的结论公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，结合椭圆的定义可知动圆M的圆心的轨迹为椭圆，求出，即可得到结果. 【详解】（1）圆心为，半径为， 当切线斜率不存在时，显然满足要求； 当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为， 即：， 所以圆心到切线的距离等于半径2，即：， 则切线方程为，化简可得； 所以切线方程为：或 （2），，设，动圆的半径为， 所以， 所以M点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 所以，，，所以轨迹方程为． 44．过椭圆上一点作直线交椭圆于点，求中点的轨迹方程． 【答案】 【分析】解法一：用点差法，设及其中点坐标，将代入椭圆方程并作差变形，利用中点坐标公式及直线的斜率即可得所求的轨迹方程； 解法二：设弦中点利用中点坐标求得的坐标，代入椭圆方程化简整理即得所求的轨迹方程； 解法三：设的中点坐标为，由及，得等式化简即得所求的轨迹方程. 【详解】解法一：设中点， 则， 则有两式相减，整理得． 又因为， 所以， 所以， 而，故． 化简可得． 即中点的轨迹方程为． 解法二：设弦中点． 由已知得， 从而， 又因为在椭圆上， 所以，即， 所以中点的轨迹方程为． 解法三：设的中点坐标为． 由结论易知：， 又因为点在直线上， 所以直线的斜率还可以表示为：，所以有， 化简可得． 即中点的轨迹方程为． 题型九：椭圆中焦点三角形面积问题 45．设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为（    ） A． B． C． D．16 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理，求，再代入三角形面积公式，即可求解. 【详解】为椭圆上的一点，，为焦点，， ，，可得，即，， 设，，则有，，， ，． 的面积． 故选：C． 46．已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（   ） A．49 B．48 C．25 D．24 【答案】D 【分析】由椭圆方程得到的值，由椭圆的定义得到的值，联立求得的值，再证明，求得面积. 【详解】由椭圆方程可知：，，， 所以作图如下： ∴由椭圆的性质可知，由，∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 47．若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（    ） A． B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】利用椭圆定义得到，再利用余弦定理得到，两者联立解出，再利用三角形面积公式求出面积即可. 【详解】由椭圆的标准方程，可得，所以， 又因为，即， 因为， 在，根据余弦定理可得， 即， 又因为，所以， 所以， 故选：A 48．设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：利用椭圆焦点三角形的二级结论直接计算即可. 解法二：设，根据椭圆定义结合余弦定理可得，进而可得面积. 【详解】解法一：根据椭圆焦点三角形的面积公式. 解法二：由椭圆方程可知：， 设， 则， 在中，由余弦定理可得， 即，可得， 所以的面积为. 故选：C. 49．已知椭圆的方程为，若点P为椭圆上的点，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可求得，利用三角形面积公式可得结果. 【详解】由题意得，，故，根据椭圆的定义得. 在中，由余弦定理得， 即，可得， ∴的面积为. 故答案为：. 50．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得结论； （2）由角平分线定理可得，，解得，代入可求得面积. 【详解】（1）由椭圆的定义得， 因为直线与x轴垂直，所以， 即， 故. （2）因为平分，所以，即，如下图所示： 由和，解得，， 代入得，解得； 故的面积为. 题型十：椭圆中焦点三角形其他问题 51．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（    ） A．20 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】根据三等分点结合三角形中位线定理、中点坐标公式，运用代入法、椭圆的定义进行求解即可. 【详解】不妨设点在第一象限，，分别为椭圆的左右两焦点，令椭圆半焦距为c， 由，是线段的三等分点，得是线段的中点，而坐标原点是的中点， 则，轴，把代入椭圆方程，得，而，则， 由为线段的中点，得，因此， 解得，而，于是， 所以的周长为. 故选：D 52．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】结合垂直平分线性质可得的周长与的周长相等，再结合椭圆的定义求的周长即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 根据对称性，，， 所以的周长等于的周长， 利用椭圆的定义得到的周长为． 故选：C. 53．已知为椭圆的焦点且是椭圆上两点，且，，则的周长为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】C 【分析】不妨设，则，在和中，分别利用勾股定理列方程求出，再根据椭圆定义求得的周长. 【详解】不妨设，则， 由椭圆定义可得， 由于，所以， 在和中， 由勾股定理得和， 即和， 解得， 故的周长为. 故选：C 54．若椭圆的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义及余弦定理即可求解. 【详解】由题意得，，，则， 在中，由余弦定理可得， ，所以. 故选：B． 55．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可求得结果. 【详解】由椭圆方程知，，，，则， 由椭圆的定义知，，又， 所以 ， 故选：A. 56．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 【答案】20 【分析】设为椭圆的左焦点，则由椭圆的定义可得，，当三点共线时，周长取得最大值，从而可得出答案. 【详解】如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得的周长为 ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以周长的最大值为20. 故答案为：20. 57．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则 ；的大小为 . 【答案】 2 【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求，在焦点三角形中应用余弦定理求的余弦值，进而确定其大小. 【详解】∵，，∴， ∴，又，， ∴，在中，由余弦定理，得， ∴. 故答案为：2； 58．已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 . 【答案】6 【分析】利用求出，然后将转化为求解即可. 【详解】 设，由于， 而，则， 所以， ． 故答案为：6 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 椭圆的标准方程 题型一：椭圆的定义及辨析 题型二：利用椭圆定义求方程 题型三：椭圆上点到焦点距离（含最值）问题 题型四：椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值 题型五：判断方程是否表示椭圆 题型六：求椭圆方程 题型七：根据椭圆方程求参数 题型八：椭圆中的轨迹方程问题 题型九：椭圆中焦点三角形面积问题 题型十：椭圆中焦点三角形其他问题 题型一：椭圆的定义及辨析 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，则的中点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 2．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A．5 B．2 C．7 D．6 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作直线交于两点，则三角形的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 4．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 5．已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 题型二：利用椭圆定义求方程 6．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 7．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 9．方程的化简结果是（    ） A． B． C． D． 10．如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为 题型三：椭圆上点到焦点距离（含最值）问题 11．已知点P是椭圆上一点，，是C的左、右焦点，则（ ） A． B． C． D． 12．（多选）已知点，P为椭圆上的动点，则的（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 13．已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为 . 14．设P是椭圆上的点.若，是椭圆的两个焦点，则等于 . 15．已知P为椭圆上一点，分别为圆和圆上的点．则的最小值为 ，最大值为 ． 题型四：椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值 16．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（    ） A．1 B．b C．3 D．3b 18．设实数满足的最小值为 . 19．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 20．已知P是椭圆上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为 . 21．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，点，则的最小值为 . 22．已知椭圆，、分别是其左右焦点，点是上的动点，求的取值范围． 题型五：判断方程是否表示椭圆 23．以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 24．已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 25．当时，方程表示的曲线是（    ） A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的椭圆 C．双曲线 D．圆 26．命题“，曲线是椭圆”的否定是（    ） A．，曲线是椭圆 B．，曲线不是椭圆 C．，曲线是椭圆 D．，曲线不是椭圆 27．（多选）已知曲线．下列结论正确的有（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 题型六：求椭圆方程 28．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆的两个焦点的坐标分别是，，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10； (2)椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点； (3)椭圆的焦点在轴上，，. 29．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且； (2)焦点在坐标轴上，且经过两个点. 30．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程； (2)两个焦点分别是，，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8； (3)两个焦点分别是，，并且椭圆经过点． 31．求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点； (3)与椭圆有相同的焦点，且经过点 32．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点；． 33．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点. (2)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 题型七：根据椭圆方程求参数 34．已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 35．已知曲线方程，． (1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值． 36．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. 37．已知，当m为何值时， (1)方程表示椭圆； (2)方程表示焦点在x轴上的椭圆； (3)方程表示焦点在y轴上的椭圆． 38．设k为实数，若椭圆的方程为，求满足下列条件的k的取值范围： (1)椭圆的焦点在x轴上； (2)椭圆的焦点在y轴上． 题型八：椭圆中的轨迹方程问题 39．已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 40．在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 41．如图，设A，B的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为求点M的轨迹方程． 42．点A，B的坐标分别是，直线AM，BM相交于点，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是，求点的轨迹方程． 43．已知圆：和圆： (1)过点作圆的切线，求此切线的方程； (2)动圆M在圆的内部，并且与圆内切与圆外切，求动圆M的圆心M的轨迹方程． 44．过椭圆上一点作直线交椭圆于点，求中点的轨迹方程． 题型九：椭圆中焦点三角形面积问题 45．设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为（    ） A． B． C． D．16 46．已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（   ） A．49 B．48 C．25 D．24 47．若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（    ） A． B．3 C．4 D．1 48．设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 49．已知椭圆的方程为，若点P为椭圆上的点，且，则的面积为 ． 50．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 题型十：椭圆中焦点三角形其他问题 51．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（    ） A．20 B．10 C． D． 52．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 53．已知为椭圆的焦点且是椭圆上两点，且，，则的周长为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 54．若椭圆的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（    ） A． B． C． D． 55．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 56．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 57．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则 ；的大小为 . 58．已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $