2.3.3 直线与圆的位置关系（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理相交、相切、相离三种位置关系及判定方法，前承直线与圆的方程基础，后为圆与圆位置关系等内容搭建递进式学习支架。 资料以问题链驱动，结合随学随练与分层题型（如切线问题例1及对点练），培养数学思维与语言表达，课中助力分层教学，课后通过基础到创新练习帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题能力。

第二章 平面解析几何 2.3.3　直线与圆的位置关系 课标要点 1.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 学习重难点 重点： 直线与圆的三种位置关系及其判定方法． 难点： 用代数方法探求直线与圆的位置关系的过程． 知识点一　直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系，列表如下： 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 随学随练 1．（25-26高二下·四川南充·期中）（多选）对于直线，下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率有可能不存在 B．直线恒过定点 C．直线的倾斜角有可能是 D．直线与圆相交 2．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 知识点二　直线与圆位置关系的判定方法 (1)代数法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l与圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk， Δ>0⇔直线l与圆M相交； Δ＝0⇔直线l与圆M相切； Δ<0⇔直线l与圆M相离． (2)几何法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心为M(a，b)，半径为r的圆，圆心M到直线l的距离d＝． d<r⇔直线l与圆M相交； d＝r⇔直线l与圆M相切； d>r⇔直线l与圆M相离． 随学随练 3．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，圆 (1)求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； (2)已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 4．（25-26高一下·重庆·期中）已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 题型直线与圆位置关系的判定 ▌例125-26高二下·河南周口·阶段检测）（多选）已知直线与直线，则下列选项正确的是（    ） A．恒过定点 B．若，则与圆相切 C．若，则或 D．若，则 ▌对点练1-1．（2026·河北·一模）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为 C．若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有两条 D．若，是圆上任意一点，则 题型圆的切线问题 ▌例1（25-26高二下·上海·期中）经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. ▌对点练1-1（24-25高二下·上海·期末）已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 题型 直线被圆截得的弦长问题 ▌例1（25-26高二下·甘肃兰州·期中）若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 ▌对点练1-1（25-26高二下·贵州贵阳·期中）（多选）已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D．直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 基础通关 1．（2026·浙江杭州·二模）设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 6．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·上海·期中）已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·浙江·期中）已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26高一下·广东·期中）已知为平面向量，为单位向量.若非零向量与的夹角为，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 素养提升 11．（25-26高二下·云南昭通·期中）与轴交于点，与轴交于点，与交于、两点，，则为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·重庆·期中）若曲线上存在两点到直线的距离为2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 迁移创新 15．（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 16．（2026·云南曲靖·一模）在平面内，圆上三点，，满足，动点，满足，，则的最大值是（    ） A．4 B．5 C． D．6 17．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（   ） A．4 B． C． D． 18．（25-26高二下·浙江·期中）已知圆与轴交于两点，点是直线上任意一点.设，则的可能取值是（    ） A． B． C． D．3 19．（25-26高二下·河南·期中）已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．9 B．7 C．-3 D．-1 20．（25-26高二下·上海·期中）设有一组圆（为正整数），现有命题：存在一条定直线与所有的圆均相交；命题：存在一条定直线与所有的圆均不相交；则以下说法正确的是（    ） A．均为真命题 B．均为假命题 C．仅为真命题 D．仅为真命题 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.3.3　直线与圆的位置关系 课标要点 1.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 学习重难点 重点： 直线与圆的三种位置关系及其判定方法． 难点： 用代数方法探求直线与圆的位置关系的过程． 知识点一　直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系，列表如下： 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 随学随练 1．（25-26高二下·四川南充·期中）（多选）对于直线，下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率有可能不存在 B．直线恒过定点 C．直线的倾斜角有可能是 D．直线与圆相交 【答案】BCD 【分析】将直线方程整理为过定点形式，依次验证斜率存在性、定点、倾斜角、直线与圆的位置关系. 【详解】直线方程整理为. 对于选项A：直线方程中的系数恒为，直线斜率始终存在，故A错误. 对于选项B：令，可得，因此，直线恒过定点，故B正确. 对于选项C：若倾斜角为，则斜率，由， 得，存在实数解，故C正确. 对于选项D：圆的圆心为，半径， 定点满足，即定点在圆内， 因此，过圆内定点的直线必与圆相交，故D正确. 2．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知直线：（其中）与圆C：，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m的取值有关系 【答案】C 【详解】直线：可变形为： ， 令系数为0，则，解得， 直线恒过定点， 圆C：的标准形式为， 是以为圆心，半径是2的圆， ，故过圆内一点的直线与圆恒相交． 知识点二　直线与圆位置关系的判定方法 (1)代数法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l与圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk， Δ>0⇔直线l与圆M相交； Δ＝0⇔直线l与圆M相切； Δ<0⇔直线l与圆M相离． (2)几何法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心为M(a，b)，半径为r的圆，圆心M到直线l的距离d＝． d<r⇔直线l与圆M相交； d＝r⇔直线l与圆M相切； d>r⇔直线l与圆M相离． 随学随练 3．（24-25高二上·上海·期中）已知直线，圆 (1)求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； (2)已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 【答案】(1)证明：直线即， 令，解得，所以直线过定点， 而，所以点在圆内部， 故无论a取何值，直线l均与圆O相交； (2)5 【分析】（1）只需证明直线过定点，且该定点在圆内部即可； （2）设圆心到的距离分别为，则，由，，可得的表达式，结合基本不等式可整理出，从而可求出面积的最大值. 【详解】（1）略 （2）设圆心到的距离分别为，则． 则，，所以四边形的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积最大为. 4．（25-26高一下·重庆·期中）已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断点在圆外，当直线斜率不存在时，结合图形易得切线，当直线斜率存在时，设点斜式方程，由圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即得圆的切线方程； （2）先判断直线与圆相离，结合图形推出，将求的最小值的问题转化为求的最小值问题，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. （2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 题型直线与圆位置关系的判定 ▌例125-26高二下·河南周口·阶段检测）（多选）已知直线与直线，则下列选项正确的是（    ） A．恒过定点 B．若，则与圆相切 C．若，则或 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A,将 , 代入 :,恒成立,故 A 正确. 对于B,当 时,,即 . 圆心 ,半径 ,圆心到直线的距离 , 故直线与圆相切,B 正确. 对于C,若 , 当 时, 即 ,,斜率分别为 和不存在,不平行. 当 时,,,由 得 ,即 , 整理得 ,即 ,解得 或 . 当 时,,,两直线平行不重合; 当 时, 即 , ， 即 ,两直线重合,故 时两直线重合而非平行,因此 C 错误. 对于D,若 ,当 时, 斜率不存在, 斜率为 ,不垂直. 当 时,,解得 ,即 ,,故 D 正确. ▌对点练1-1．（2026·河北·一模）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为 C．若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有两条 D．若，是圆上任意一点，则 【答案】ABD 【分析】对于A，判断直线的定点与圆的位置关系，进而确定直线与圆的位置关系；对于B，根据直线被圆截得的弦长最短和最长时，直线与的关系确定弦长的最小值和最大值；对于C，根据圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，结合圆心到直线的距离公式求出的值；对于D，根据两点距离公式列出等式，化简即可. 【详解】对于A，直线的方程变形为，过定点，设为点. 将点代入圆方程的左侧得， 所以点在圆内，所以直线与圆相交，A正确； 对于B，圆方程变形为，圆心，半径为. 当与弦垂直时，此时直线被圆截得弦长取最小值，为， 当直线为所在的直线时，此时直线被圆截得弦长取最大值，为. 所以直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为，B正确； 对于C，因为圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则圆心到直线的距离为. 则，化简得，解得， 所以圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有1条，C错误； 对于D，设，因为，所以， 因为，所以， 等式两边平方得，化简得，与圆的方程一致， 所以D正确. 题型圆的切线问题 ▌例1（25-26高二下·上海·期中）经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】 【分析】根据题意，求得，由直线与切线垂直得出切线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，因为在圆上，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即， ▌对点练1-1（24-25高二下·上海·期末）已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)； 变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交. (3)弦长为；直线方程为 【分析】（1）由两直线垂直求出斜率，再由点斜式求出直线方程可得； （2）将直线方程整理为关于的方程，再解方程组可得顶点；由定点在圆内可证明； （3）弦长最短时利用斜率关系求出斜率，点斜式得到直线方程，再由几何法求弦长可得. 【详解】（1）由题意可得圆心， 由点在圆上，所以设切线斜率为， 则， 所以直线方程为，即. （2）略 （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 题型 直线被圆截得的弦长问题 ▌例1（25-26高二下·甘肃兰州·期中）若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长. 【详解】可化为， 圆心的坐标为，半径为， 则圆心到直线x＋y＝0的距离为， 所以. ▌对点练1-1（25-26高二下·贵州贵阳·期中）（多选）已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D．直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 【答案】ABD 【详解】对于A，可整理为： ， 令，则，故直线l过定点，故A正确. 对于B，当时，，圆C：的圆心为 ， 到直线的距离为：， 所以直线l被圆C所截的弦长为，B正确； 对于C，因为，直线l恒过定点在圆内， 所以直线l与圆C必然相交， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由直线的斜率，直线的斜率 ，且 ， 则，所以直线l的方程为，化简可得，故C错误； 对于D，由C知直线l与圆C必然相交，直线过圆心时，相交弦最长， 所以 ，解得：，故D正确. 基础通关 1．（2026·浙江杭州·二模）设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得直线过定点，圆心为，所以与垂直时，最小，以此求解即可. 【详解】由题意得，则直线过定点，圆心为，半径， 点到圆心的距离，所以直线与圆相交于M，N两点， 且与垂直时，最小，此时，且，则. 2．（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 3．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意求出圆的圆心到直线的距离，减半径得答案． 【详解】圆的圆心， 圆心到直线的距离, 故直线与圆相离． 的最小值为． 4．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有2个交点的位置关系，等价于圆心到直线的距离小于半径，表示出距离，列出不等式求解即可. 【详解】解：由题意得，，半径，直线为， 设圆心到直线的距离为，则由点到直线的距离公式，可得， 若圆与直线有2个交点，则，即，解得，所以. 5．（25-26高二下·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】圆心到直线的距离， 则弦长， ， 当且仅当，即时， 面积取得最大值. 6．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由，可得点的轨迹方程，结合题意，由点到直线的距离小于等于半径，列不等式计算即可求解. 【详解】设．∵， ∴，化简整理，得， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 由题意可知，直线与圆有公共点， ∴，解得． 7．（25-26高二下·上海·期中）已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是，又点，则，可得，可得的取值范围. 【详解】设圆心到弦的距离为，圆半径， 弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是， 所以扫过的区域是内半径为，外半径为的圆环区域， 又点，其到原点的距离为，则， 所以， 又. 8．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将圆的方程化为标准形式：，则圆心为，半径为， 过作，垂足为， 则，所以， 在中，， 所以. 9．（25-26高二下·浙江·期中）已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】取线段的中点，可得，依题意即求的最小值，由图可知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时，最小，利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式计算即得. 【详解】如图，取线段的中点，连接，则， 由图知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时， 点到直线的距离与点到直线的距离之差的绝对值取得最大值， 即的最小值为，故此时取得最小值为. 10．（25-26高一下·广东·期中）已知为平面向量，为单位向量.若非零向量与的夹角为，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查向量模的几何意义，先建立平面直角坐标系，有两种方法可以解决本问题，方法一几何法：不妨假设单位向量方向与轴正方向同向，利用非零向量与的夹角为构造出向量，由于，根据向量减法以及向量数量积的几何意义知的终点运动轨迹，最后再表示出，求解的最小值；方法二代数法：不妨假设单位向量方向与轴正方向同向，假设，利用非零向量与的夹角为，且，找出的关系，最后把用表示出来求解最小值. 【详解】法一：如图，，， 设的起点为原点，终点为的起点为原点，则， 由题意得的终点在射线或射线上，不妨假设的起点为原点，终点为点, 那么， 所以，, 根据向量减法以及向量数量积的几何意义知的终点的运动轨迹是以线段为直径的圆， 所以的最小值为圆心到射线或射线的距离减去半径1，即. 法二：设， 由，得，则， 所以. 由，得， 即， 所以，点在以为圆心，半径为1的圆上运动 即圆上的点到直线的距离， 所以的最小值即为圆心到直线的距离减去半径1， 即. 素养提升 11．（25-26高二下·云南昭通·期中）与轴交于点，与轴交于点，与交于、两点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于， 所以，所以， 圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 故，解得，故选． 12．（25-26高一下·重庆·期中）若曲线上存在两点到直线的距离为2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得圆C的轨迹方程，根据点到直线距离公式，结合直线与圆的位置关系，数形结合，分析求解，即可得答案. 【详解】由，得， 即表示圆的上半部分（包含与轴交点）， 由圆心到直线的距离， 可得或， 若时，和半圆相切， 若时，和半圆相切， 当直线过点时，有，可得，此时， 当直线过点时，有，可得，此时， 结合图可知，要使曲线上存在两个点与直线的距离为2，且， 则直线必在的右下方， 所以直线到的距离大于2，到的距离小于等于2， 即与的距离，则， 与的距离，则， 所以. 13．（25-26高二下·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径． 将直线的方程整理为关于的式子：． 令，解得，即直线恒过定点．    由于恒过定点，故当时，直线被圆截得的弦最短． 计算． 最短弦长 14．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由弦长公式求解. 【详解】原方程：，配方整理， 所以圆心为 ，半径 （需满足 ，即 ）, 圆心 到直线的距离是 由弦长公式，得 ，得, 由 ，得. 迁移创新 15．（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解. 【详解】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 16．（2026·云南曲靖·一模）在平面内，圆上三点，，满足，动点，满足，，则的最大值是（    ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】由，判断三角形的形状，结合数量积结果，求得的夹角，以及三角形的边长；取的中点为，的中点为，求得的轨迹是以为圆心的圆，再根据圆外一点到圆上一点距离最值的求解方法，计算即可. 【详解】设圆的半径为，则， 又， 故两两之间的夹角相等，且均为，三角形为等边三角形， 故，解得； 连接，取的中点分别为，如下图所示： 因为，故点在以为圆心，1为半径的圆上运动； 若三点不共线时，在三角形中，分别为的中点， 故， 故点是在以为圆心，为半径的圆上运动； 若三点共线且为线段上点时， 此时，， 故； 同理若三点共线且为线段延长线上一点时，也有； 综上所述：点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 对等边三角形，由正弦定理可得：， 又为中点，则； 故圆外一点到圆上一点的距离， 当且仅当三点共线，且在线段延长线上时取得等号， 所以的最大值是5. 17．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，由圆方程可得圆心，半径， 由切点可知， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为， 所以，可得， 接着转化为几何条件，在所在直线上构造一个到点距离为的点， 所以， 所以， 此时， 所以当三点共线时取最小值，即，故的最小值为. 18．（25-26高二下·浙江·期中）已知圆与轴交于两点，点是直线上任意一点.设，则的可能取值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】因为圆与轴交于两点，所以圆是以为直径的圆， 因为，所以在以为直径的圆外， 又点是直线上任意一点，所以直线与圆没有公共点， 所以，所以，解得， 所以的可能取值范围为. 19．（25-26高二下·河南·期中）已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（    ） A．9 B．7 C．-3 D．-1 【答案】D 【详解】取的中点，则. 圆心到的距离为，此时取得最小值，且最小值为3， 取得最小值，且最小值为.故的最小值为. 20．（25-26高二下·上海·期中）设有一组圆（为正整数），现有命题：存在一条定直线与所有的圆均相交；命题：存在一条定直线与所有的圆均不相交；则以下说法正确的是（    ） A．均为真命题 B．均为假命题 C．仅为真命题 D．仅为真命题 【答案】C 【分析】因为圆心坐标为，半径为，可得圆心始终在直线，可判断；若取无穷大，则圆的半径无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，判断. 【详解】根据题意得：圆心坐标为，半径为， 设圆心，则，则可得， 即圆心始终在直线上， 所以存在直线与所有的圆均相交，命题为真命题； 设圆心到直线的距离为， 则， 若取无穷大，则圆的半径无穷大，且半径的增长速度比快， 则可以认为所有直线都与圆相交， 命题为假命题，故仅为真命题. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $