专题02 空间向量中的位置关系、夹角、距离7大题型（寒假复习讲义）高二数学人教B版

专题02 空间向量中的位置关系、夹角、距离7大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：求平面法向量的方法 ①设出平面的法向量为)； ②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：； ③依据法向量的定义建立关于的方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 知识点2：点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点，设，向量在直线l上的投影向量为，则 知识点3：点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点，向量是向量在平面上的投影向量，则 知识点4：直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则第一步：；第二步：. 知识点5：平面与平面所成角（二面角） 设，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小，则 第一步：； 第二步：若二面角为锐二面角，则；若二面角为钝二面角，则 【题型01 空间中点、直线和平面的向量表示】 1．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．已知为平面的法向量，点，在直线上，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是 ． 5．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【题型02 空间向量与位置关系】 6．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 7．（多选）在正方体中，P为的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 8．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界），平面，则点的轨迹的长度为 . 9．如图，在棱长为4的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，则点的坐标为 .    10．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 11．如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点． (1)求证：平面； (2)若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【题型03 求线线角、线面角、面面角】 12．如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的点，，则平面与平面所成角的正切值为（   ）    A．1 B． C． D． 13．（多选）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，为中点，，记平面为，则 （    ） A．当时，直线与所成角的正弦值为 B．当时，直线与所成角的正弦值为 C．当时，平面与所成角的余弦值为 D．当时，平面与所成角的余弦值为 14．如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，点是棱的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 15．如图，在四棱锥中，平面，，，，，． (1)求； (2)求异面直线与夹角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的大小． 16．如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，.    (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，M为中点，过点A作的垂线交于点N，交于点E.    (1)证明：平面； (2)若，，求平面与平面所成角的余弦值. 18．如图，在四棱锥中，底面 是矩形，. (1)证明：平面 平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【题型04 已知线面角、面面角求其他】 19．如图，在直四棱柱中，分别是侧棱上的动点，且平面AEF与平面ABC所成的（锐）二面角为30°，则BE最大值为（ ） A． B． C． D．1 20．正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则 ． 21．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为 . 22．如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． (1)证明：； (2)求异面直线EF与BC所成角； (3)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 23．如图，在三棱锥中，，，是线段上的点.    (1)求证：平面平面； (2)若为中点，求三棱锥的体积； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 24．如图，在直三棱柱中，，，M为侧面的对角线的交点，D，E分别为棱，的中点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 25．四棱锥中，底面是矩形，，，． (1)证明：； (2)设，若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【题型05 空间中的距离问题】 26．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 27．如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 28．正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 29．已知点，，，，则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为 ． 30．如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为 .    31．如图，在四棱锥中，底面，，，，，E为棱的中点.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 32．如图，在长方体中，． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【题型06 翻折问题】 33．如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 34．（多选）已知中，，，，为边上（除端点外）一点，将沿边翻折起至，使得平面平面.下列说法正确的是（   ） A．为角平分线时，四面体的外接球半径为 B．为角平分线时，异面直线与所成角的余弦值为 C．为角平分线时，平面与所成角的正切值为 D．线段长度的最小值为，此时为角平分线 36．如图（1）点，分别为矩形边，的中点，.，.将，分别沿，折叠得几何体，如图（2），平面与平面所成的二面角为.平面与平面的二面角为. (1)当时，证明：点，，，共面； (2)当时，求平面与平面所成二面角的余弦值. 37．已知五边形是由等边三角形与矩形拼接而成，如图1所示，其中；现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图2所示，其中点为线段的中点，在线段上，且平面.    (1)求证：为线段的中点； (2)已知点在线段上（包含端点位置），求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 38．如图，在等腰梯形中，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 39．如图，在梯形中，，，，，是的中点，将沿翻折至，使得. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【题型07 存在性问题】 40．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 41．如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 42．如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. (1)求直线与底面所成角大小； (2)求点到侧面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 43．如图，在多面体中，平面平面四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 44．如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 45．如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，侧面为菱形，点在底面上的射影为AC的中点D．利用空间向量法求解下列问题．    (1)求证：． (2)求直线与底面ABC所成角大小． (3)求点C到侧面的距离． (4)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 4．在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在长方体中，， ，那么直线与平面所成的角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 二、多选题 6．如图，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．与所成的角为 D．平面平面 7．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．点到平面的距离为2 C．直线与所成角的正切值是2 D．平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题 8．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为 ． 9．如图所示，在四棱锥中，平面；底面是矩形，且，，、分别是、的中点.若记直线与平面的交点为，则点到平面的距离为 .    四、解答题 10．如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，点在线段上，点N在线段AC上，满足平面. (1)若点M是线段的中点，求线段AN的长度； (2)若点N是线段AC上靠近A的三等分点，求平面与平面所成角的余弦值. 11．已知直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点，且.    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 12．在三棱锥中，，，为边的中点，，且平面.    (1)在直线上是否存在一点M，使得直线平面?若存在，指出M点的位置，若不存在，请说明理由. (2)若平面平面. ①求证：； ②求二面角的大小. 13．如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求线段的长（用表示）； (3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 14．如图，在三棱柱中，为的中点，，且平面. (1)求证：平面； (2)若点在线段上运动（包括端点）， （i）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量中的位置关系、夹角、距离7大题型 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：求平面法向量的方法 ①设出平面的法向量为)； ②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：； ③依据法向量的定义建立关于的方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 知识点2：点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点，设，向量在直线l上的投影向量为，则 知识点3：点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点，向量是向量在平面上的投影向量，则 知识点4：直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则第一步：；第二步：. 知识点5：平面与平面所成角（二面角） 设，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小，则 第一步：； 第二步：若二面角为锐二面角，则；若二面角为钝二面角，则 【题型01 空间中点、直线和平面的向量表示】 1．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B 2．已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设平面的法向量，则， 因为，所以， 令，则，所以平面的一个法向量为． 所以平面的一个法向量的坐标为， 又，故坐标为的向量不与共线，故A错误； 又，故坐标为的向量与共线，故B正确； 又，故坐标为的向量不与共线，故C错误； 又，故坐标为的向量不与共线，故D错误. 故选：B． 3．已知为平面的法向量，点，在直线上，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由可得或，所以推不出， 当时，由于是平面的法向量，可得，所以可推出， 综上，是的必要不充分条件. 故选：B. 4．在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是 ． 【答案】(答案不唯一) 【详解】因为，，，所以， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因为平面，所以， 因为，所以，所以， 故点的坐标满足即可，可取， 故答案为：(答案不唯一). 5．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，，是中点，则， 因此， 对于A选项，，不是法向量，A错； 对于B选项，，是法向量，B正确； 对于C选项，，不是法向量，C错； 对于D选项，，不是法向量，D错； 故选：B． 【题型02 空间向量与位置关系】 6．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】由于，可得：，即， 解得：. 故选：B 7．（多选）在正方体中，P为的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】 【详解】对于A：因为P为的中点，所以P是正方体体对角线的交点，故A，P，三点共线． 连接，易知，，且平面，故平面 因为平面，所以，即，故A正确； 对于B：由上可知平面即为平面，因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C：易知平面即为平面， 因为P为的中点，所以P也为的中点，所以平面即为平面， 且是平面的一个法向量，是平面的一个法向量， 而不与垂直，所以平面不与平面垂直， 即平面不与平面垂直，故C错误； 对于D：易知平面即为平面，平面即为平面， 且是平面的一个法向量，是平面的一个法向量， 而，所以平面平面 ，故D正确． 故选：ABD.    8．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界），平面，则点的轨迹的长度为 . 【答案】/ 【详解】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，由题知平面， 因为是平面内的相交直线，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令得， 因为，所以， 解得，则，又 所以， 所以. 故答案为： 9．如图，在棱长为4的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，则点的坐标为 .    【答案】 【详解】如图建系，因正方体的棱长为4，则， 由点在上，且，可得 由点在上，且，可得，则. 又点是平面上一点，故可设，则， 因平面，而平面，故， 即得，解得. 故点的坐标为. 故答案为：. 10．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 所以如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； （2）证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 11．如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点． (1)求证：平面； (2)若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线与平面相交，证明见解析 【分析】 【详解】（1）在三棱柱中，连接，设，连接，则是的中点， 由为的中点，得，又平面，平面， 所以平面. （2）直线与平面相交． 在三棱柱中，取的中点，连接，由为的中点，得， 由为正三角形，且为的中点，得． 由平面，得平面，于是直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 而，且，则， 由，得与不垂直，即向量不平行于平面， 因此平面，且与平面不平行， 所以直线与平面相交. 【题型03 求线线角、线面角、面面角】 12．如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的点，，则平面与平面所成角的正切值为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】设为的中点，由正三棱柱的性质，，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．    则，，，，，， 可得，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 平面的法向量， 设平面与平面所成角为， 则， 可得，所以. 故选：C． 13．（多选）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，为中点，，记平面为，则 （    ） A．当时，直线与所成角的正弦值为 B．当时，直线与所成角的正弦值为 C．当时，平面与所成角的余弦值为 D．当时，平面与所成角的余弦值为 【答案】AC 【详解】不妨设，直线与所成角为，平面与的夹角为， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的法向量，则，即， 令，则， 当时，由得，故，， 设的法向量，则，即， 令，则，， ，故AC正确； 当时，,则，故，， 设的法向量，则，即， 令，则， ,，故BD错误， 故选：AC. 14．如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，点是棱的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）连接，交于点，因为是菱形，所以， 分别以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，则， 所以, 点是棱的中点,则， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）由（1）知，设平面的一个法向量是， 则，取得， ， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 15．如图，在四棱锥中，平面，，，，，． (1)求； (2)求异面直线与夹角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为平面，， 以为坐标原点，分别为轴，与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 则，， 所以. （2）由（1）可知：，， 则， 所以异面直线与夹角的余弦值为. （3）由（1）可知：，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线与平面所成角为， 则，可得， 所以直线与平面所成角的大小为. 16．如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，.    (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】 【详解】（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则； 为平面的一个法向量，， 因为 ，所以， 因为直线平面， 所以直线平面. （2）设为平面的法向量，; 所以，令 ，则 ，则. 所以. 所以直线与平面所成角的余弦值为. （3）设为平面的法向量， 因为，所以; 所以,; ，令，则 ，则； 为平面的法向量； 则； 所以平面与平面的夹角的余弦值为.    17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，M为中点，过点A作的垂线交于点N，交于点E.    (1)证明：平面； (2)若，，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）平面平面，平面平面， ，平面， 平面 又平面，， 又，，平面， 平面. （2）由题意可得两两互相垂直，以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，.    设，则． ，， ，解得，则. 设平面ACE的法向量为，由， 令，可得，则平面的一个法向量为， 由（1）得为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为，则 则， 因此，平面与平面所成角的余弦值为. 18．如图，在四棱锥中，底面 是矩形，. (1)证明：平面 平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为四边形是矩形， 所以，， 因为，，平面， 所以平面，平面， 因为平面 ，所以平面 平面 . （2）由（1）可知，是直角三角形， 所以， 在中，， 所以是直角三角形，即， 因为，平面， 所以平面， 即两两互相垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量可以为， 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【题型04 已知线面角、面面角求其他】 19．如图，在直四棱柱中，分别是侧棱上的动点，且平面AEF与平面ABC所成的（锐）二面角为30°，则BE最大值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，设，，则，，，设面的法向量为，则，令，则，，所以，显然为面的一个法向量， 因为平面AEF与平面ABC所成的（锐）二面角为30°，所以 所以 所以，所以当时，取得最大值 故选：C 【点睛】本题考查了立体几何中的二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 20．正四棱柱中，，与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】 【详解】 如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为棱柱为正四棱柱，设， 则， 其中平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， 则， 得：，即 故答案为： 21．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为 . 【答案】2 【详解】由题意知在四棱锥中，平面，底面是矩形， 以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设， 则， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，设直线与平面所成的角为， 因为直线与平面所成角的正弦值为，即， 所以， 即，解得或（舍去），所以， 故的长为2. 故答案为：2 22．如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． (1)证明：； (2)求异面直线EF与BC所成角； (3)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)1. 【分析】 【详解】（1）在圆台中，由为该圆台的母线，得的延长线交于一点， 所以四点共面， 而平面平面，平面平面，平面平面， 所以. （2）连接，由直线为圆台的轴，得的延长线交于一点， 由（1）同理得，由，得， 则，而，因此，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， ，则，即， 所以异面直线EF与BC所成角为. （3）由（2）得， 设平面与平面的法向量分别为， 则，取，得， ，取，得， 由二面角的余弦值为， 得， 所以，所以圆台的高的长为1. 23．如图，在三棱锥中，，，是线段上的点.    (1)求证：平面平面； (2)若为中点，求三棱锥的体积； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）取的中点，连接、， 因为，，则，   所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）过点作的平行线，交于点，由（1）知，平面， 所以平面，又因为为中点且，所以， 所以. （3）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、，所以，， 因为为棱上的点，设，其中， 所以，，且， 设平面的法向量为， 则， 不妨取，可得， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 则，化简可得：， 解得：或（舍去）. 所以. 24．如图，在直三棱柱中，，，M为侧面的对角线的交点，D，E分别为棱，的中点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2或4． 【分析】 【详解】（1）证明：因为M为侧面的对角线的交点，直棱柱中，四边形是矩形， 所以M是的中点，M是的中点， 因为D，E分别为棱，的中点，所以，， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面， 平面， 因为，，平面， 所以平面平面． （2）解：由，得， 所以， 又因为直棱柱中，平面， 所以可以为原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 由解得，或，所以的长为2或4． 25．四棱锥中，底面是矩形，，，． (1)证明：； (2)设，若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】 【详解】（1）由题易知，，又，，平面，所以平面． 以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过点作平面建立如图所示的空间直角坐标系． 设，，， 则，，，， 则，， 则，所以． （2）由（1）易知，平面，因为平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 即是平面的一个法向量，． 设直线与平面所成的角为， 又， 则， 解得，又，所以，则， 此时，所以. 【题型05 空间中的距离问题】 26．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知， 所以点到平面的距离. 故选：A. 27．如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由取的中点为，连接，则， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又因为，所以可如图建立空间直角坐标系：    由，则， 可得：， 又因为为的中点，所以， 即， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离为， 故选：A. 28．正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 29．已知点，，，，则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为 ． 【答案】 【详解】解：因为点，，，， 所以， 设平面ABC的一个法向量为， 则，即， 令，得，则， 所以过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为， 故答案为： 30．如图，在四棱锥中，平面，，，，，则点D到直线的距离为 .    【答案】 【详解】由题意得，以B为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，, ，，， ， 设点D到直线的距离为，则， 故答案为：. 31．如图，在四棱锥中，底面，，，，，E为棱的中点.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.    可得，，，，由为棱的中点，得， ，，. 设为平面的法向量， 则，即，令，则，， 得为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）向量，设平面的法向量， ，即，令，则，， 得为平面的一个法向量， 则， 所以点到平面的距离为. 32．如图，在长方体中，． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】 【详解】（1）已知是长方体， 且，四边形是平行四边形，则， 且，四边形是平行四边形，则， 又平面，又平面，， 平面，平面，， 故平面平面. （2）已知是长方体， 以为原点，为轴建立空间坐标系， 由可得：， ，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，取，计算得：，， 故平面的法向量为， 点到平面的距离. 【题型06 翻折问题】 33．如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，如图， 由题意可知，， 又平面平面，是交线，平面， 所以平面，又平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 由，，知为的中点，则，, ,， 设平面的一个法向量， 则，令，则，即， 设直线与平面所成角为， 则， 故选：C 34．（多选）已知中，，，，为边上（除端点外）一点，将沿边翻折起至，使得平面平面.下列说法正确的是（   ） A．为角平分线时，四面体的外接球半径为 B．为角平分线时，异面直线与所成角的余弦值为 C．为角平分线时，平面与所成角的正切值为 D．线段长度的最小值为，此时为角平分线 【答案】ABD 【详解】对于A，在中，由，可得， 所以为直角三角形，折叠后得且， 所以是直角三角形，其外接圆的直径为，圆心为的中点， 因为为角平分线，可得， 在中，由，且， 设外接圆的半径为，由正弦定理，可得，可得， 因为平面平面， 所以四面体外接球的半径等于外接圆的半径为，所以A正确； 对于B，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 所以，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为，所以B正确； 对于C，由向量， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 则，所以C错误； 对于D，设，其中，则， 因为平面平面， 可得， 在中，由余弦定理得 ， 当，即，即时，取得最小值，此时， 此时为的平分线，所以D正确. 故选：ABD. 35．（安徽省六校联考2025-2026学年高三上学期1月素质检测数学试题）如图1，在梯形中，，为的中点，，，，将沿折叠，得到图2所示的四棱锥，且使得二面角的大小为，点为棱上一点.    (1)若为的中点，证明:平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明:为的中点，， 所以， 将沿折叠后，得到四棱锥， 所以，又为的中点，所以，① 又，即，， 且，，平面，所以平面， 又平面，所以，② 又平面，③ 所以平面. （2）因为，所以二面角的平面角为， 由已知， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    由题意， 所以， 设平面的一个法向量为， 由， 令，则，所以， 因为点为棱上一点.，故平面即为平面 因为， 设平面的一个法向量为， 由， 令，则，所以， 设平面与平面所成的锐二面角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值的大小为 36．如图（1）点，分别为矩形边，的中点，.，.将，分别沿，折叠得几何体，如图（2），平面与平面所成的二面角为.平面与平面的二面角为. (1)当时，证明：点，，，共面； (2)当时，求平面与平面所成二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由题易知四边形为正方形，， ，，，平面， 平面，平面，平面平面， 平面平面， 过点，作平面，， 同理过点，作平面，，，连接. ， ，，，， 四边形为平行四边形，. 连接，，，，， 又，， 点，，，共面. （2）由（1）知当时，，，两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， ，. 设平面的法向量为，则即 令，则，. 即平面的一个法向量为. 平面，平面的一个法向量为， ， 当时，平面与平面所成二面角的余弦值为. 37．已知五边形是由等边三角形与矩形拼接而成，如图1所示，其中；现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图2所示，其中点为线段的中点，在线段上，且平面.    (1)求证：为线段的中点； (2)已知点在线段上（包含端点位置），求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得，令，则， 连接，作，则由矩形性质得， 因为平面平面，面，所以面， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为等边三角形，所以由勾股定理得，， 则， 得到，，， 设面的法向量为，， 则，令，解得， 则面的法向量为， 由题意得在线段上，则，可得， 而，则，解得， 则，得到， 因为平面，所以， 则，解得， 此时，故为线段的中点. （2）由题意得在线段上，则， 由已知得，则， 设，则， 可得，解得，可得， 由已知得，则， 而，， 设面的法向量为， 则，令，解得， 则面的法向量为， 设直线与平面所成角为，， 则 ， 则， 令，可将化为， 令，由二次函数性质得在上单调递增， 则最小值为，此时取得最大值，， 结合题意可得，当取得最大值时，也取得最大值， 则最大值为. 38．如图，在等腰梯形中，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）取的中点，连接. 因为中，为所在边的中点，所以 在梯形中，，所以， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面， 所以平面. （2）由题意，在等腰梯形中，为边上靠近点的三等分点， 所以，即，又， 因此，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 在中，，由勾股定理易得， 则. 又为棱的中点，所以， 则， 因为，即平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量 设平面的一个法向量， ， 令，则， 所以平面的一个法向量. 记二面角的平面角为， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为. 39．如图，在梯形中，，，，，是的中点，将沿翻折至，使得. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1） 连接交于点，连接，，， ，为等腰直角三角形，， ，则为中点， ，， 在Rt中，，， 在中，， 在中，，，， ，， 又，，平面， 平面， 又平面，平面平面. （2）由（1）可知平面，又，平面， ，，，，两两垂直， 易知，，， 方法1： 如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则 取，得，，则， 易知平面的法向量为 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为 方法2：如图，分别延长，交于点，则，， 过作垂直于，连接， ，，，平面， 平面， 平面，， 又，，平面， 平面， 平面， ，平面与平面的夹角即为， 易知，， 故，. 【题型07 存在性问题】 40．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为 （2）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即；     则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 41．如图，在直三棱柱中，，，点分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在； 【分析】 【详解】（1）证明：连接，因为在直三棱柱中，四边形是平行四边形，点为的中点. 所以点为的中点， 又因为点为的中点， 所以， 又平面，平面 所以平面 （2）因为，为中点，所以，且， 过作平面，以为原点，分别为轴的正方向， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为 （3）设，则，， 由在平面内可知，即，解得， 所以存在点，当时，点在平面内. 42．如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. (1)求直线与底面所成角大小； (2)求点到侧面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1） 因为点在底面上的投影为的中点，所以面， 所以直线与底面所成角就是， 因为侧面为菱形，的中点是，所以， 所以，则. （2） 如图所示，底面是以为斜边的等腰直角三角形，点在底面上的投影为的中点， 所以以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 底面是以为斜边的等腰直角三角形，，所以， 因为侧面为菱形，，所以. 可得， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，解得，即平面的一个法向量， 则点到侧面的距离为. （3） 设，由（2）可知， 则， 由（2）可知平面的一个法向量， 设直线与侧面所成角为，则， 可得，解得， 因为，所以，即，所以. 43．如图，在多面体中，平面平面四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）证明：在中，因为 所以 所以所以 又平面平面平面平面平面 所以平面 又平面所以. （2）由（1）知平面平面，所以又所以两两垂直. 以所在的直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 因为四边形是平行四边形，所以，所以，. 设平面的一个法向量 因为 所以即 令则所以 所以点到平面的距离. （3）假设线段上是否存在一点使得平面与平面的夹角的余弦值为. 设由（2）知,则 所以 设平面的一个法向量因为 所以即 令则所以 由（2）知平面的一个法向量为： 设平面与平面的夹角为则 解得或（舍）. 所以存在点使得满足要求，此时即. 44．如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，P点在A点处时平面与平面的夹角为. 【分析】 【详解】（1）取中点，连接 ∵四边形为矩形，∴点为中点， ∴且， 又∵且，∴且， ∴四边形为平行四边形，即， ∵平面，∴平面. （2）∵，且平面平面，平面平面， ∴平面， 又∵平面，∴， 故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， ∴，，，，， ，，， 设为平面的一个法向量， 则，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则 （3）由（2）可知平面的一个法向量为， 设存在，则，， 设平面的一个法向量为， 则，解得，即， 则， ∴，即， 所以存在符合题意的点P，当P点在A点处时平面与平面的夹角为. 45．如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，侧面为菱形，点在底面上的射影为AC的中点D．利用空间向量法求解下列问题．    (1)求证：． (2)求直线与底面ABC所成角大小． (3)求点C到侧面的距离． (4)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) (4)存在，. 【分析】 【详解】（1）证明：点在底面上的射影为的中点， 平面． 平面，． 又底面是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点， ． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，   是以为斜边的等腰直角三角形，． 在中，有． ， ， ， ； （2）由（1）可知，为平面的一个法向量，即． 又，设与平面所成角为， 则． 直线与底面所成角为； （3）由（1）可知，， 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 则， 则点到侧面的距离； （4）假设存在满足条件的点， 则存在，使得， 则． 由（3）知，平面的一个法向量为． 直线与侧面所成角的正弦值为， ， 即，解得，又，故， 因此存在满足条件的点，且，即． 一、单选题 1．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 2．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，若，得，则，解得，故B错误； 对于C，若，得，所以，所以， 则或，故C错误； 对于D，若，得，则，解得，，故D错误. 故选：A 3．在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为， 则，故直线到平面的距离为. 故选：D 4．在正四棱锥中，，，，分别是棱AB，PC的中点，则点到直线EF的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，，， 所以，， 则点到直线EF的距离是. 故选：B 5．如图，在长方体中，， ，那么直线与平面所成的角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， . 故选：B. 二、多选题 6．如图，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．平面 B．平面 C．与所成的角为 D．平面平面 【答案】BCD 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系：设该正方体的棱长为， . A：设平面的法向量为， ， 所以有，可以取， 因为， 所以不互相垂直，因此平面不成立，故本选项结论不正确； B：设平面的法向量为， ， 所以有，可以取， 因为， 所以， 所以平面，故本选项结论正确； C：因为， 所以， 因此与所成的角为，所以本选项结论正确； D：设平面的法向量为， ， 所以有，可以取， 设平面的法向量为， ， 所以有，可以取， 因为， 所以，因此平面平面，所以本选项结论正确， 故选：BCD 7．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．点到平面的距离为2 C．直线与所成角的正切值是2 D．平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ABD 【详解】如图建立空间直角坐标系：设D点为原点，为x轴，为y轴，为z轴. ，，，，， 对于A，平面的法向量为,直线的方向向量为, 设直线与平面所成角，则,故A正确. 对于B，,设面的法向量为, ，,令得, 距离，故B正确. 对于C，，，设直线与所成角为，则 所以，，故C不正确； 对于D，因为,连,，所以平面截正方体所得的截面是等腰梯形,上底,下底,腰， 所以面积,故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 8．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【详解】平面的方程为，平面的一个法向量， 同理，可得平面的一个法向量， 平面的一个法向量， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，取，则 设直线l与平面所成角为，则. 故答案为： 9．如图所示，在四棱锥中，平面；底面是矩形，且，，、分别是、的中点.若记直线与平面的交点为，则点到平面的距离为 .    【答案】 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则； 设平面的法向量为， 根据法向量的性质得：，令，则，所以， 设，则，所以， 因为在平面上，所以，， 则，解得，所以； 因为平面为平面，点到平面的距离为点的坐标，即； 故答案为：. 四、解答题 10．如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，点在线段上，点N在线段AC上，满足平面. (1)若点M是线段的中点，求线段AN的长度； (2)若点N是线段AC上靠近A的三等分点，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）在三棱柱中，过作交于点，连接CE， 由，得，平面即为平面， 又平面平面，平面平面， 则，由是线段的中点，得是线段的中点，是线段AC的中点， 由平面，平面，得，正方形边长为2， 所以. （2）由（1）知，，当点是线段AC上靠近的三等分点时， 则点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点， 由平面，且四边形为正方形，得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 平面ABM的法向量为，设平面的法向量为， 则，取，得， 所以平面ABM与平面所成角的余弦值为. 11．已知直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点，且.    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为是正三角形，是中点，所以， 因为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）由题意可知，因为平面，所以，， 取中点，连接， 以为坐标原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，    因为，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 12．在三棱锥中，，，为边的中点，，且平面.    (1)在直线上是否存在一点M，使得直线平面?若存在，指出M点的位置，若不存在，请说明理由. (2)若平面平面. ①求证：； ②求二面角的大小. 【答案】(1)存在，当为中点 (2)①证明见解析；② 【分析】 【详解】（1）存在，当为中点时平面，    当为中点时，连接， 因为为中点，则， 且平面，平面，所以平面. （2）①因为平面平面，平面平面， 过作交于H， 因为平面，所以平面， 且平面，可得， 又因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 因为平面，所以； ②以为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，建空间直角坐标系，    由题意可得：，， 则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 则， 设二面角的平面角为， 由图可知，则，可得， 所以二面角的大小为. 13．如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求线段的长（用表示）； (3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）在矩形中，，，点，分别是，的中点， 所以四边形和是全等的正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，，平面， 所以平面； （2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，， 因为， 所以，， 则， ， 所以线段的长为； （3）因为，所以当时，线段最短， 此时，分别为线段，的中点，，， 则， 设是平面的一个法向量， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知，为平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 14．如图，在三棱柱中，为的中点，，且平面. (1)求证：平面； (2)若点在线段上运动（包括端点）， （i）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】 【详解】（1）因为是的中点，，所以. 在中，因为， 所以，所以. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面； （2）以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， 又，则， 设，所以， （i）当即时，，所以， 因为平面的法向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为 ； （ii）设平面的一个法向量为， 因为， 所以， 令，则，得， 又平面的法向量为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， 因为，所以，则， 故平面与平面的夹角的余弦值取值范围为. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $