专题07 解题方法专项 2026年中考数学复习（安徽专用）

专题7 解题方法专项 目录 7．1 待定系数法（函数解析式求解） 7．2 数形结合思想（函数图像与方程、不等式关联） 7．3 分类讨论思想（等腰三角形、圆的位置关系） 7．4 辅助线添加技巧（几何证明专项） 考情分析：安徽中考侧重方法考查，待定系数法、分类讨论思想近5年必考，辅助线添加直接决定几何题能否得分，数形结合是函数题解题关键 7．1 待定系数法 1．一次函数的图象恒过定点． (1)①若图象还经过，求该一次函数的表达式． ②若当时，一次函数的最大值和最小值的差是6．求的值． (2)对于一次函数当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)①；②的值为或； (2)的取值范围为． 【分析】本题考查的是一次函数综合题，涉及到待定系数法求函数表达式，函数过定点，熟悉函数的图象和性质是解题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可； ②求得，分当和时两种情况讨论，利用最大值和最小值的差是6，列式求解即可； （2）根据当时，恒成立，求得，设，需对恒成立，分情况讨论即可求解． 【详解】（1）①解：∵该一次函数的表达式为，图象恒过定点，还经过， ∴， 解得， ∴该一次函数的表达式为； ②解：∵图象恒过定点， ∴，即， ∴， 当时，分两种情况讨论： 当时，随x的增大而增大， 当时，有最大值为， 当时，有最小值为， 由题意得， 解得，此时； 当时，随x的增大而减小， 当时，有最大值为， 当时，有最小值为， 由题意得， 解得，此时； 故的值为或； （2）解：∵图象恒过定点， ∴，即， ∴， 当时，恒成立， 即，整理得， 设，需对恒成立， 分情况讨论： 当，即时， ，满足条件； 当时： 若，即，则随x的增大而增大，不满足条件； 若，即，则随x的增大而减小， 此时， 要使恒成立， ∴，解得， ∴， 综上，的取值范围为． 2．已知一次函数的图象与直线平行，且与x轴交于点，求该一次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象的平移，根据两直线平行，得到，再利用待定系数法进行求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∴， 把，代入，得：，解得， ∴． 3．已知一次函数．当时，对应的函数值的取值范围是，求此函数的解析式． 【答案】或． 【分析】分及两种情况考虑：当时，值随的增大而增大，由、的取值范围可得出点的坐标，由点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；当时，值随的增大而减小，由、的取值范围可得出点的坐标，由点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式．综上即可得出结论． 【详解】解：①当时，随的增大而增大， 则由，，得 当时，；当时，， 即解得 此函数的解析式为； ②当时，随的增大而减小， 则由，，得 当时，；当时，， 即解得 此函数的解析式为． 综上，此函数的解析式为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质，分及两种情况利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 4．若一次函数的图象与直线平行，且与直线的交点的纵坐标为5，求该一次函数的解析式． 【答案】 【分析】首先根据两直线平行的性质确定一次函数的斜率，再利用交点的纵坐标求出交点坐标，最后代入解析式求出，从而得到一次函数的解析式． 【详解】解：该一次函数的图象与直线平行， 设该一次函数的解析式为． 该一次函数的图象与直线的交点的纵坐标为，将代入得： ． 交点坐标为． 将代入，得， 该一次函数的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质（两直线平行的斜率关系）、函数交点坐标的求解，关键的关键是根据平行确定的值． 5．已知与成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】(1)函数关系式为 (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． （1）根据待定系数法求一次函数解析式即可； （2）将点代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：设函数关系式为：， 当时，， ， ， 函数关系式为：． （2）解：将点代入得：， 解得：． 6．已知：与成正比例，且时，， (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若该函数图象沿轴向上平移个单位长度，求平移后图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查正比例函数的定义，一次函数的图象和性质，一次函数图象的平移，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把点代入（1）中所求解析式，进行求解即可； （3）根据平移规则求出平移后的解析式，再令，进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得：， 解得：， 则与的函数关系式是， 即； （2）把点代入得：， 解得：； （3）由“上加下减”的原则可知，将函数的图象沿轴向上平移个单位长度后所得函数的解析式为， 令，则， 平移后的图象与轴的交点的坐标为． 7．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将点A，C分别向下平移3个单位长度得到点，． (1)点，的坐标分别为_，_； (2)求证：点，，在一条直线上． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】本题考查了点坐标的平移变换、求一次函数的解析式，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键． （1）根据点坐标的平移变换规律求解即可得； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线经过点，由此即可得证． 【详解】（1）解：∵将点，分别向下平移3个单位长度得到点，， ∴，， 即，， 故答案为：，． （2）证明：设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴直线经过点， ∴点，，在一条直线上． 8．已知二次函数图象经过点和三点，求二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握求解的方法是解题的关键； 设出交点式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 9．已知抛物线与直线相交于第一象限内不同的两点，． (1)求，的值 (2)求此抛物线的解析式． 【答案】(1), (2) 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用点在直线上求, 再利用点在直线上求； （2）利用点、两点的坐标求抛物线的解析式． 【详解】（1）解：直线过点， ，解得：， 直线的解析式为． 点在直线上， ； （2）解：由（1）得点， ∵点和点在抛物线上, ， 解得：， ∴此抛物线的解析式为． 10．已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．求此抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式．设抛物线为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：抛物线对称轴为， 设抛物线为， 又抛物线过，， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． 11．（1）解方程：； （2）已知二次函数的图象经过，两点，求二次函数的解析式． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． （1）运用配方法求解一元二次方程即可； （2）将，两点坐标代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， 解得，； （2）将和代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 12．已知抛物线的顶点为，与轴的交点为，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数解析式． 利用顶点式设出解析式，再代入点坐标求出参数即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线与轴的交点为， ∴， 即， 解得， ∴抛物线的解析式为． 13．已知二次函数（、是常数）的图像经过点、两点．求、的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，直接利用待定系数法求解即可． 【详解】解：把点、代入中得， ∴． 14．某二次函数过点，且当，y有最值6．求其表达式． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的顶点式表达式，解题的关键是利用顶点式设出函数解析式，再代入已知点求解参数． 已知二次函数在时取得最值6，因此可设顶点式，再将点代入解析式，求解出的值，即可得到函数表达式． 【详解】解：设二次函数的解析式为． ∵函数图象过点， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 15．求满足下列条件的二次函数的解析式． (1)图象顶点坐标为，且经过点． (2)图象经过，，函数有最小值； (3)图象经过，，； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式． （1）设抛物线的解析式为：，再把代入解析式，即可求解； （2）根据题意求得抛物线顶点为，设顶点式解析式，将点代入解析式即可求解； （3）设抛物线的解析式为：，再把，，代入解析式即可求解． 【详解】（1）设抛物线的解析式为：， 把代入解析式得， 则抛物线的解析式为：或． （2）二次函数的图象与轴交于，， 对称轴为直线， 函数最小值是， 抛物线顶点为 设顶点式解析式， 将点代入得，， 解得， 所以，， 故二次函数解析式为． （3）设二次函数的解析式为， 图象经过点，点，点 ，解得． 二次函数解析式为． 16．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不在 (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）把代入函数解析式求出的值即可判断求解； （）求出和时的值，再根据反比例函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， ∴点不在这个函数的图象上； （3）解：当时，；当时，， ∵， ∴在每个象限内，的值随着的增大而增大， ∴当时，的取值范围为． 17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边、上，且，，一次函数的图象过点D和M，反比例函数的图象经过点D，与的交点为N． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出的解集； (3)若点P在直线上，且使的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】本题主要考查一次函数的解析式，反比例函数的解析式以及一次函数图象与性质, （1）首先根据正方形性质得到的坐标，再根据和求出D和M的坐标，最后代入一次函数和反比例函数中求解出解析式； （2）根据图像写出解集即可； （3）首先求解出N点坐标,之后求出梯形的面积，再列出的面积表达式，最后根据面积相等求解出P点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意，， ， ，解得，， 即，代入反比例函数，得，解得， ， ， ，解得，即， 在一次函数上， ，解得， ， 所以反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）由图可知：当时，的解集为； （3）连接， 在反比例函数中，令，，解得，即， 根据题意得：四边形为梯形，则面积为， 点P在直线上，设， ，即， 解得或， 所以或． 7．2 数形结合思想 1．如下图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与直线：交于点，直线分别与轴、轴交于点，，连接． (1)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个直线的交点横坐标，结合图象中直线在上方的区域，直接得出不等式的解集； （2）先将点代入​求出其坐标，再代入求出得到的解析式，找到相关点的坐标后，将的面积拆分为两个三角形的面积和进行计算． 【详解】（1）解：直线与交于点，且不等式表示的函数值大于​的函数值． 则关于的不等式的解集为． （2）解：把代入，得， ． 把代入，得，解得， 直线的函数解析式为． 如图，设直线与轴交于点． 对于，令，则， ． 对于，令，则， ； 令，则，解得， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算，掌握利用函数图象解不等式，及通过拆分图形求复杂三角形面积是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k，b的值： (2)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积． （1）根据点C的坐标，利用待定系数法求出k、b的值； （2）求出点B的坐标，利用三角形的面积公式结合，列出关于的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点的坐标为． 将代入， 得：， 解得：； （2）解：由（1）知， 当时，有， 解得：， ∴点的坐标为． 设点的坐标为， ， 解得：， ∴点的坐标为. 3．如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点． (1)求点A的坐标； (2)直接写出不等式：的解集； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与方程（组），不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）联立两条直线的解析式得到二元一次方程组，求解即可得到交点的坐标； （2）不等式的解集为直线在直线下方时对应的x的取值范围，根据图象即可解答． 【详解】（1）解：解方程组，得， ∴直线和直线交点A的坐标为． （2）解：由图象可得，不等式的解集为． 4．如图，已知一次函数和的图象交于点，点的横坐标为1． (1)求关于的方程组的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的联系是解答本题的关键． （1）利用确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可求解； （2）把点代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1， 将代入，得：， ∴一次函数和的图象的交点坐标为， ∴方程组的解为． （2）解：∵点在的图象上， 将，代入解析式：， 解得：． 5．如图，直线与轴交于点、与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的表达式． (2)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先计算，后代入解析式，求直线的解析式即可； （2）根据，得到，根据解析式，设，得到点M到y轴的距离为，继而得到，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，根据面积求点的坐标，熟练掌握待定系数法，图象过点的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：直线与轴交于点、与轴交于点，与直线交于点． 故， 故， 把代入解析式， 得， 解得， 故直线的解析式为； （2）解：根据直线得，，， 故，点C到y轴的距离为， ∴， ∴， 根据解析式，设， ∴点M到y轴的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时， 故点； 当时， 故点； 综上所述，存在这样的点M使得，且或． 6．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，经过原点的直线与直线相交于点． (1)求点B的坐标； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点M，使．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在，的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． （1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积； （3）先求出，当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，，据此即可求解． 【详解】（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解：， ∴点到轴的距离是4， ∵， 的面积； （3）解：存在； ， ， 当点在线段上时， ， ∴， 解得， ∴（舍正）， ∴；    当点在线段延长线上时， ， ∴， 解得， ∴（舍正）， ∴； 综上所述：的坐标为或． 7．抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如）的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． （1）根据抛物线过及对称轴，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． 【详解】（1）解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，． 故答案为：，． （2）解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． （3）解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． （4）解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为． 故答案为：． 8．已知二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，顶点为P点，与一次函数交于A、D两点，请分别完成以下问题（不需要过程）： (1)D点坐标为________； (2)面积为________； (3)若，则x的取值范围为________； (4)若，则x的取值范围为________； (5)当时，的取值范围为________． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 (5) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数与不等式（组等知识点，能求出、、、的坐标是解此题的关键． （1），当时求出，当时求出，得出、、的坐标，把的坐标代入求出，再解两函数解析式组成的方程组，即可求出点的坐标； （2）求出点的坐标，求出的值，再根据三角形的面积公式求出面积即可； （3）先画出草图，再根据图形得出答案即可； （4）根据图形得出答案即可； （5）根据图形得出答案即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 即， 解得：或， 当时，， 二次函数与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 把点的坐标代入得：， 解得：， 即， 解方程组， 得或， 点的坐标是， 故答案为：； （2）解：， 所以顶点的坐标是， 点的坐标是，点的坐标是， ， 面积， 故答案为：； （3）解：如图： 当时，的取值范围为， 故答案为：； （4）解：根据图象，当时，的取值范围为或， 故答案为：或； （5）解：根据图象，当时，的取值范围为， 故答案为：． 9．如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与轴相交于点． (1)求点的值和二次函数的解析式； (2)求二次函数的顶点坐标和对称轴； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)；二次函数解析式为 (2)顶点坐标为，对称轴为直线 (3) 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，求自变量的取值范围，注意数形结合． （1）把点A坐标代入一次函数式中，即可求得m的值；利用待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）把所求二次函数解析式化为顶点式，即可求得顶点坐标和对称轴； （3）结合函数图象即可写出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数过点A， ∴， ∴； ∵二次函数的图象过点、， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）解：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：，体现在形上，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， 观察图象知，当时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， 故当时，． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，且过点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求不等式的解集； (3)如果点是轴上的一点，且的面积是，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为； (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用（表达式求解、不等式解集、三角形面积计算），熟练掌握函数图象的交点与函数表达式的关系、利用图象解不等式、三角形面积的坐标计算方法是解题的关键． （1）将点代入反比例函数求，再用点横坐标求，最后将、代入一次函数求、； （2）根据函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时的范围； （3）先求一次函数与轴交点，设坐标，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴反比例函数表达式为， 把代入，得， ∴， 把、代入得 ， 解得，， ∴一次函数表达式为； （2）解：∵由图象可知，当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，，， ∴不等式的解集为； （3）解：设一次函数与轴交点为，令，得， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， ， ， 当时，； 当时，． 点的坐标为或． 11．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴、轴交于、B两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数的图象上．当的面积与的面积相等时，点的坐标为____________． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求和的值；分两种情况求的坐标． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）联立反比例函数与一次函数解析式求得两交点的坐标，进而根据函数图象，即可求解． （3）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， ， ∴ 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； ∴ （2）解：联立 解得：或 ∴一次函数与反比例函数的两个交点分别为， 根据函数图象可知，等式的解集为或 （3）解：当时，， ， 四边形是正方形， ， 当在反比例函数的图象右半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 当在反比例函数的图象左半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 综上的坐标为或． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出时，的取值范围； (3)若在第一象限内存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，根据图象写出不等式的解集，求出两个函数解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）由（1）可得，，再结合函数图象即可得解； （3）连接，交于点M，首先利用平行四边形的性质求得中点M的坐标为，进而推导出P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴点A的坐标为， ∵点A，B在一次函数的图象上， 把点，分别代入，得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由（1）可得，， 根据图象可知，时，的取值范围为或； （3）解：如图，连接，交于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴点是线段、的中点， ∵，， ∴， ∴点P的坐标为． 13．已知两点是一次函数和反比例函数图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)观察图象，不等式的解集直接写出． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，一次函数与反比例函数几何综合，根据函数图象求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将代入反比例函数求出，进而求得得到点，再将点代入一次函数求解，即可解题； （2）记一次函数交于点，利用一次函数求出点，再根据列式求解，即可解题； （3）直接根据图象写出解集即可； 【详解】（1）解：由题意知，过点， ， 则反比例函数的解析式为， ，解得，即， 也过点， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：一次函数的解析式为， 当时，， 记一次函数交于点， ， ； （3）解：由图知，不等式的解集为或． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)则_，_； (2)若时，则的取值范围是_； (3)过点作轴于点，连接，过点作于点D，求线段CD的长． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】此题考查了反比例函数的图形和性质，勾股定理，三角形的面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先将点坐标代入反比例函数解析式中，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式中求出； （2）根据图象直接得出结论； （3）先求出，，再求出，最后用三角形的面积公式建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：，； （2）解：由（1）知，， ， ， 当或时，， 故答案为：或； （3）解：轴，， ， ， 点到的距离， 作轴，轴， 由勾股定理得：， ， ， ． 15．如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． (1)求和的值； (2)求一次函数的函数表达式； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点代入求出，得，把代入，解得； （2）把，代入，求出，的值即可； （3）求出点A的坐标，根据解答即可． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， ∴； 把代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为； （3）解：对于，当时，， 解得， ∴， ∴， 又，， ∴ ． ∴的面积为． 16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一个动点，且是为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，， 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，等腰三角形的定义，两点之间距离公式，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）先利用一次函数求出得到点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出直线与双曲线交点的横坐标，再由函数图象即可求解． （3）求出点C的坐标为，得到，再分和两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴，解得， ∴点， 把点代入得，， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：联立与得，， 解得或 ∴直线与双曲线的交点的横坐标为和6， ∴由图象得，的解集为或； （3）设点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ 当时，，即， 解得（不合题意，舍去）或， ∴点P坐标为， 当时，，即， 解得或， ∴点P的坐标为或 综上可知，点P的坐标为或或． 7．3 分类讨论思想 一、填空题 1．将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为（点E、F分别在边、上），已知，．若以，F，C为顶点的三角形与相似，则的长度是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的性质；设，①当时，由相似三角形的性质得，即可求解；②当时，同理可求；掌握折叠的性质，相似三角形的性质，能根据对应点的不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：设，则， 由折叠得：， ①当时， ， ， 解得：； ②当时， ， ， 解得：； 综上所述：的长度是或； 故答案为：或． 二、解答题 2．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接和，当的面积为时，求点的横坐标； (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据三角形的面积建立方程，解方程即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，再设点的坐标为，则可得，，的值，然后分三种情况：①，②，③，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点，，代入得：， 解得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接和， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴点的横坐标为1或4． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ③如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得或， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 3．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度最大，最大值是 (3)或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分五种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度最大，最大值是， （3）解：由（1）得：点， 设抛物线的对称轴为直线l， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设点， 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图， 此时点Q在的垂直平分线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 4．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点．点P为抛物线上一点，横坐标为m，且． (1)求此抛物线的解析式． (2)当点P位于x轴上方时，面积的最大值为________． (3)设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h． ①当时，求m的值． ②当为直角三角形时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)；或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理，解一元二次方程等，综合运用相关知识是解题的关键． （1）把点代入抛物线，求得k的值，即可解答； （2）对于抛物线，令，求得，，根据待定系数法求得直线的解析式为．过点P作轴，交于点Q，则，，，根据，得到与m的函数解析式，根据二次函数的图象及性质即可求解； （3）①当点P在对称轴左侧时，抛物线在点P处为最高点，在点C处为最低点，，求解即可；当点P在对称轴的右侧时，抛物线在顶点为最高点，此时，不存在的情况，即可解答； ②根据两点间距离公式表示求出，，，根据为直角三角形分三种情况讨论：①，②，③，利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴相交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：对于抛物线，令，则， 解得，， ∴，， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵点P为抛物线上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，且， ∴， 过点P作轴，交于点Q，则， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，为． 故答案为：． （3）解：①对于抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， 当点P在对称轴左侧，即时，抛物线在点P处为最高点，在点C处为最低点， ∴， 若，则， 解得（不合题意，舍去），． 当点P在对称轴的右侧，即时，抛物线在顶点为最高点，若点P在过点C且平行x轴的直线上及上方时，最低点为点C；若点P在过点C且平行x轴的直线下方时，最低点是点P，此时，不存在的情况； 综上所述，当时，； ②∵，，， ∴， ， ． 当为直角三角形时， ①若，则， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）； ②若，则， ∴， 整理得， 解得或（均不合题意，舍去）， ③若，则， ∴， 整理得 解得或（不合题意，舍去）． 综上所述，当为直角三角形时，或． 5．已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理、图形的面积计算等，其中（3），要用分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的表达式为：，过点作轴交于点，设点，则，由面积，即可求解； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将、入得： 解得：， ∴抛物线解析式为 （2）解：将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点，则， 则面积， ， 故面积有最大值， 当时，面积的最大值为，此时点P坐标为； （3）解：存在， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设点， 由勾股定理得：， 同理可得：，， 由为直角三角形，分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：， 即点或； 当时， 则， 解得：， 即点； 当时， 则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为． (1)求抛物线的表达式，写出对称轴和顶点坐标； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)在对称轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，对称轴为，顶点为 (2) (3)在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． （1）把点A的坐标代入，求解即可； （2）过P作于点E，过点P作轴交于点H，，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，则， 求得，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，得， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为． 答：抛物线的表达式为，对称轴为，顶点为． （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 令，解得：或， ∴； 过P作于点E，过点P作轴交于点H，如图1： ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大为， ∴， ∴此时最大为，点P到直线的距离值最大， 即点P到直线距离的最大值为； （3）解：存在， 设点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ①当时，如图，设对称轴l与交于点E， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴M点的坐标为， ②当时，过点M作于H， ∴， ∴， ∴5，5， ∴或； ③当时，如图， ∵， ∴点M在的垂直平分线上， ∴， 综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或或． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】0-、=（1）用待定系数法即可求解； （2）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解； （3）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设点，点，， 与关于对称轴对称， 连接与对称轴交于点， ∴， 此时的周长取得最小值， 设解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， 点； （3）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， 则， 解得：， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 8．如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接、．求的面积最大值及此时点的坐标； (3)点为轴上一动点． ①若的垂直平分线交于点，交抛物线于、两点，且点在第三象限，当线段时，求点的坐标； ②若点是直线上一点，当与相似时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，此时点的坐标为； (3)①；②或或或或或． 【分析】（1）利用对称轴公式即可得出b的值，再利用抛物线与y轴交于点，求出抛物线解析式即可； （2）求出直线的解析式为，连接、，过点作轴交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，求得，得，根据二次函数的性质得出结论； （3）①过作轴于，求出，，，求得，由垂直平分可得结论；②根据相似三角形的相似条件画出图形即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， 解得，， ∵点在点左侧， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，连接、，过点作轴交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∴． ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为； （3）①过作轴于，如图： 在中令得，令得，， ∴，，，且对称轴， ∴，直线解析式为， ∵， ∴， ∵轴，由对称性可得，对称轴， ∴，即横坐标为， ∴， ∵垂直平分， ∴ ∴ ②∵，，， ∴， 当与相似时，是直角三角形，且两直角边比为，分三种情况： 为直角顶点，如图3： ∵， ∴若时，则可得，同理， 若，则，可得，同理， 为直角顶点，如图： ， 若，则，，同理可得， 若，则，，同理可得， 为直角顶点，过、作直线的垂线，垂足分别是、，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴，且， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， 综上所述，当与相似时，的坐标为：或或或或或 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题型以及直角三角形的性质和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用直角三角形的性质得出a的值是解题关键，学会分类讨论的思想解决问题，注意最后一个问题答案比较多，考虑问题要全面． 9．已知抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点（不与点A、B、C重合），作轴，垂足为D，连接． ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标； ②当点P在y轴左侧抛物上时，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求四边形的周长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质和菱形的判定方法；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用相似比计算线段的长和解一元二次方程是解题的关键． （1）把点，代入，即可求解； （2）①延长交轴于点，易证，易证，可得，进而求得直线的解析式，联立即可得出（舍），，当时，，即可得出点P的坐标； ②设，令，则， 可得，故，易得，设，因为点E关于直线的对称点落在y轴上，可得，作轴，易证，再根据相似三角形性质可得四边形的周长． 【详解】（1）解：把，代入， ， ， ． （2）解：①延长交轴于点， 易证， ， 易证， ， 则直线的解析式为， 令， 则， （舍），， 当时，， ∴； ②设， 令，则， ，， ， ， ， 易得， 轴， 轴， ， 点E关于直线的对称点落在y轴上， ，，， 轴， ， ∴， ， ， 四边形为菱形， ， 作轴， 易证， ， ． 当， （舍），， ． 四边形周长为， 当， （舍），， ． 四边形周长为， 综上，四边形的周长为或． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求、的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，连接． ①求的面积； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)①10；②或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，以及平行四边形的性质运用．并利用图像的平移找到点与点之间的关系，从而求解． （1）将点代入一次函数解析式可求出的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出的值； （2）①利用点，点求出直线的函数解析式，从而求出点的坐标，利用割补法即可求解； ②分两种情况：以和为对角线时，由可以看作先向右平移到点与原点重合，再向上平移2个单位得到，可知点的纵坐标为6，从而可得点的坐标；以和为对角线时，由可以看作先向下平移2个单位，再向左平移到点与点重合，可知点的纵坐标为2，从而可得点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴点的坐标为， 把代入得，， 解得， ∴，． （2）解：设直线函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线函数解析式为， 由得，，， ∴点的坐标为， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴于点，与的延长线交于点， ∴． ②设点，， ∵，，点、、、构成平行四边形， 当和为对角线时，有，如下图： 点可看作是将点先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点向右平移个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点的纵坐标为6，即， ∴， ∴点的坐标为； 当和为对角线时，有，如下图： 点可看作是将点先向下平移2个单位，再向左平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点向下平移2个单位，再向左平移个单位得到， ∴点的纵坐标为2，即， ∴， ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． （1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题； （3）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题． 【详解】（1）解：过点作轴于，    对于一次函数， 当时，， ， 的面积为1． ， ， 当时，， ， 将点代入反比例函数得： ， 反比例函数解析式为； （2）解：设，则， ，， ， ， 解得， 点在直线下方的双曲线上， ， 当时，， ； （3）解：所有符合条件的点的坐标为或；理由如下： 当时， 解得或， 经检验，或都是方程的根， ， 设，，其中， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，， 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：（舍去）； 综上所述，点的坐标为或． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求，的值． (2)若点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)为轴上一点，直线交反比例函数的图像于点（异于），连接，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入求出值，把代入可求出的值，代入即可求出的值； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于，根据轴对称的性质得出的周长最小为，利用待定系数法可求出直线的解析式为，令，求出值，即可得答案； （3）设，直线的解析式为，利用待定系数法得出直线的解析式为，求出，根据的面积为得出，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴， 解得：． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于， ∴， ∴， ∴、、三点共线时有最小值，为， ∴的周长最小，为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （3）解：由（1）得， ∴反比例函数解析式为， ∵直线交反比例函数的图像于点（异于）， ∴设，直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 当时，，整理得（舍去）， 当时，，整理得（舍去）， 当时，， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． 7．4 辅助线添加技巧 一、填空题 1．将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为（点E、F分别在边、上），已知，．若以，F，C为顶点的三角形与相似，则的长度是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的性质；设，①当时，由相似三角形的性质得，即可求解；②当时，同理可求；掌握折叠的性质，相似三角形的性质，能根据对应点的不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：设，则， 由折叠得：， ①当时， ， ， 解得：； ②当时， ， ， 解得：； 综上所述：的长度是或； 故答案为：或． 二、解答题 2．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接和，当的面积为时，求点的横坐标； (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据三角形的面积建立方程，解方程即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，再设点的坐标为，则可得，，的值，然后分三种情况：①，②，③，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点，，代入得：， 解得， 所以抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接和， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴点的横坐标为1或4． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ③如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得或， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 3．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度最大，最大值是 (3)或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分五种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度最大，最大值是， （3）解：由（1）得：点， 设抛物线的对称轴为直线l， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设点， 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图， 此时点Q在的垂直平分线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 4．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点．点P为抛物线上一点，横坐标为m，且． (1)求此抛物线的解析式． (2)当点P位于x轴上方时，面积的最大值为________． (3)设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h． ①当时，求m的值． ②当为直角三角形时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)；或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理，解一元二次方程等，综合运用相关知识是解题的关键． （1）把点代入抛物线，求得k的值，即可解答； （2）对于抛物线，令，求得，，根据待定系数法求得直线的解析式为．过点P作轴，交于点Q，则，，，根据，得到与m的函数解析式，根据二次函数的图象及性质即可求解； （3）①当点P在对称轴左侧时，抛物线在点P处为最高点，在点C处为最低点，，求解即可；当点P在对称轴的右侧时，抛物线在顶点为最高点，此时，不存在的情况，即可解答； ②根据两点间距离公式表示求出，，，根据为直角三角形分三种情况讨论：①，②，③，利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴相交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：对于抛物线，令，则， 解得，， ∴，， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵点P为抛物线上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，且， ∴， 过点P作轴，交于点Q，则， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，为． 故答案为：． （3）解：①对于抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， 当点P在对称轴左侧，即时，抛物线在点P处为最高点，在点C处为最低点， ∴， 若，则， 解得（不合题意，舍去），． 当点P在对称轴的右侧，即时，抛物线在顶点为最高点，若点P在过点C且平行x轴的直线上及上方时，最低点为点C；若点P在过点C且平行x轴的直线下方时，最低点是点P，此时，不存在的情况； 综上所述，当时，； ②∵，，， ∴， ， ． 当为直角三角形时， ①若，则， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）； ②若，则， ∴， 整理得， 解得或（均不合题意，舍去）， ③若，则， ∴， 整理得 解得或（不合题意，舍去）． 综上所述，当为直角三角形时，或． 5．已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理、图形的面积计算等，其中（3），要用分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的表达式为：，过点作轴交于点，设点，则，由面积，即可求解； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将、入得： 解得：， ∴抛物线解析式为 （2）解：将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点，则， 则面积， ， 故面积有最大值， 当时，面积的最大值为，此时点P坐标为； （3）解：存在， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设点， 由勾股定理得：， 同理可得：，， 由为直角三角形，分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：， 即点或； 当时， 则， 解得：， 即点； 当时， 则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为． (1)求抛物线的表达式，写出对称轴和顶点坐标； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)在对称轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，对称轴为，顶点为 (2) (3)在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． （1）把点A的坐标代入，求解即可； （2）过P作于点E，过点P作轴交于点H，，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，则， 求得，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，得， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为． 答：抛物线的表达式为，对称轴为，顶点为． （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 令，解得：或， ∴； 过P作于点E，过点P作轴交于点H，如图1： ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大为， ∴， ∴此时最大为，点P到直线的距离值最大， 即点P到直线距离的最大值为； （3）解：存在， 设点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ①当时，如图，设对称轴l与交于点E， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴M点的坐标为， ②当时，过点M作于H， ∴， ∴， ∴5，5， ∴或； ③当时，如图， ∵， ∴点M在的垂直平分线上， ∴， 综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或或． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】0-、=（1）用待定系数法即可求解； （2）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解； （3）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设点，点，， 与关于对称轴对称， 连接与对称轴交于点， ∴， 此时的周长取得最小值， 设解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， 点； （3）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， 则， 解得：， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 8．如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接、．求的面积最大值及此时点的坐标； (3)点为轴上一动点． ①若的垂直平分线交于点，交抛物线于、两点，且点在第三象限，当线段时，求点的坐标； ②若点是直线上一点，当与相似时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，此时点的坐标为； (3)①；②或或或或或． 【分析】（1）利用对称轴公式即可得出b的值，再利用抛物线与y轴交于点，求出抛物线解析式即可； （2）求出直线的解析式为，连接、，过点作轴交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，求得，得，根据二次函数的性质得出结论； （3）①过作轴于，求出，，，求得，由垂直平分可得结论；②根据相似三角形的相似条件画出图形即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， 解得，， ∵点在点左侧， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，连接、，过点作轴交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∴． ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为； （3）①过作轴于，如图： 在中令得，令得，， ∴，，，且对称轴， ∴，直线解析式为， ∵， ∴， ∵轴，由对称性可得，对称轴， ∴，即横坐标为， ∴， ∵垂直平分， ∴ ∴ ②∵，，， ∴， 当与相似时，是直角三角形，且两直角边比为，分三种情况： 为直角顶点，如图3： ∵， ∴若时，则可得，同理， 若，则，可得，同理， 为直角顶点，如图： ， 若，则，，同理可得， 若，则，，同理可得， 为直角顶点，过、作直线的垂线，垂足分别是、，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴，且， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， 综上所述，当与相似时，的坐标为：或或或或或 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题型以及直角三角形的性质和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用直角三角形的性质得出a的值是解题关键，学会分类讨论的思想解决问题，注意最后一个问题答案比较多，考虑问题要全面． 9．已知抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点（不与点A、B、C重合），作轴，垂足为D，连接． ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标； ②当点P在y轴左侧抛物上时，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求四边形的周长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质和菱形的判定方法；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用相似比计算线段的长和解一元二次方程是解题的关键． （1）把点，代入，即可求解； （2）①延长交轴于点，易证，易证，可得，进而求得直线的解析式，联立即可得出（舍），，当时，，即可得出点P的坐标； ②设，令，则， 可得，故，易得，设，因为点E关于直线的对称点落在y轴上，可得，作轴，易证，再根据相似三角形性质可得四边形的周长． 【详解】（1）解：把，代入， ， ， ． （2）解：①延长交轴于点， 易证， ， 易证， ， 则直线的解析式为， 令， 则， （舍），， 当时，， ∴； ②设， 令，则， ，， ， ， ， 易得， 轴， 轴， ， 点E关于直线的对称点落在y轴上， ，，， 轴， ， ∴， ， ， 四边形为菱形， ， 作轴， 易证， ， ． 当， （舍），， ． 四边形周长为， 当， （舍），， ． 四边形周长为， 综上，四边形的周长为或． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求、的值； (2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，连接． ①求的面积； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)①10；②或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，以及平行四边形的性质运用．并利用图像的平移找到点与点之间的关系，从而求解． （1）将点代入一次函数解析式可求出的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出的值； （2）①利用点，点求出直线的函数解析式，从而求出点的坐标，利用割补法即可求解； ②分两种情况：以和为对角线时，由可以看作先向右平移到点与原点重合，再向上平移2个单位得到，可知点的纵坐标为6，从而可得点的坐标；以和为对角线时，由可以看作先向下平移2个单位，再向左平移到点与点重合，可知点的纵坐标为2，从而可得点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴点的坐标为， 把代入得，， 解得， ∴，． （2）解：设直线函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线函数解析式为， 由得，，， ∴点的坐标为， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴于点，与的延长线交于点， ∴． ②设点，， ∵，，点、、、构成平行四边形， 当和为对角线时，有，如下图： 点可看作是将点先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点向右平移个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点的纵坐标为6，即， ∴， ∴点的坐标为； 当和为对角线时，有，如下图： 点可看作是将点先向下平移2个单位，再向左平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点向下平移2个单位，再向左平移个单位得到， ∴点的纵坐标为2，即， ∴， ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； (3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． （1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题； （3）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题． 【详解】（1）解：过点作轴于，    对于一次函数， 当时，， ， 的面积为1． ， ， 当时，， ， 将点代入反比例函数得： ， 反比例函数解析式为； （2）解：设，则， ，， ， ， 解得， 点在直线下方的双曲线上， ， 当时，， ； （3）解：所有符合条件的点的坐标为或；理由如下： 当时， 解得或， 经检验，或都是方程的根， ， 设，，其中， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，， 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：（舍去）； 综上所述，点的坐标为或． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求，的值． (2)若点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)为轴上一点，直线交反比例函数的图像于点（异于），连接，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入求出值，把代入可求出的值，代入即可求出的值； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于，根据轴对称的性质得出的周长最小为，利用待定系数法可求出直线的解析式为，令，求出值，即可得答案； （3）设，直线的解析式为，利用待定系数法得出直线的解析式为，求出，根据的面积为得出，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴， 解得：． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于， ∴， ∴， ∴、、三点共线时有最小值，为， ∴的周长最小，为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （3）解：由（1）得， ∴反比例函数解析式为， ∵直线交反比例函数的图像于点（异于）， ∴设，直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 当时，，整理得（舍去）， 当时，，整理得（舍去）， 当时，， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $专题7解题方法专项 目录 7.1待定系数法（函数解析式求解） 7.2数形结合思想（函数图像与方程、不等式关联） 7.3分类讨论思想（等腰三角形、圆的位置关系） 7.4辅助线添加技巧（几何证明专项） 考情分析：安徽中考侧重方法考查，待定系数法、分类讨论思想近5年必考，辅 助线添加直接决定几何题能否得分，数形结合是函数题解题关键 7.1待定系数法 1.一次函数y=ax+ba≠0)的图象恒过定点(1,1) (1)①若图象还经过(2,3，求该一次函数的表达式. ②若当-3≤x≤4时，一次函数y的最大值和最小值的差是6.求b的值. (2)对于一次函数y2=2x+a当x>0时，y<y2恒成立，求a的取值范围. 2.己知一次函数y=kx+bk0的图象与直线yx-2平行，且与x轴交于点6,0，求 该一次函数的表达式 3.已知一次函数y=kx+b(k≠0).当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是-2≤y≤4 ,求此函数的解析式 4.若一次函数的图象与直线y=-3x平行，且与直线y=3x+5的交点的纵坐标为5，求该一 次函数的解析式： 5.已知y-2与x+1成正比例，当x=7时，y=6. (1)求y与x之间的函数关系式： (2)若点P(-6,m+4)在该函数图象上，求m的值. 6.已知：2y-3与3x+1成正比例，且x=2时，y=5, (1)求y与x之间的函数关系式： (2)若点(a,2)在这个函数的图象上，求a的值： (3)若该函数图象沿y轴向上平移3个单位长度，求平移后图象与y轴的交点坐标 7.如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1),B(5,2),C(2,2).将 点A,C分别向下平移3个单位长度得到点A,C. (1)点A,C的坐标分别为-，- (2)求证：点A,C,B在一条直线上. 8.已知二次函数图象经过点(1,4)，(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式. 9.已知抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-4x+m相交于第一象限内不同的两点A5,n), B(3,9). (1)求m,的值 (2)求此抛物线的解析式 10.已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1,求此抛物线的表达 式 11.(1)解方程：x2+8x=9; (2)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(0，-2)，(1，-2)两点，求二次函数的解析式. 12.己知抛物线的顶点为(-1,3)，与y轴的交点为0，-5)，求抛物线的解析式. 13.已知二次函数y=x2+bx+c(b、c是常数)的图像经过点A(0,2)、B(1,-3)两点.求 b、C的值. 14.某二次函数过点(2,4)，且当x=1,y有最值6.求其表达式. 15,求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象顶点坐标为A-2,-3),且经过点(-3,1. (2)图象经过A-1,0),B(3,0),函数有最小值-12； (3)图象经过A(0,3,B(1,4),C(-1,0): 16已知反比例函数y卓的图象经过点4？》 (1)求这个反比例函数的表达式： (2)判断点B(-2,-3)是否在这个函数的图象上： (3)当-6<x<-1时，求y的取值范围。 17.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为 (0,3),点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB, AM=2MO,一次函数y=c+b的图象过点D和M,反比例函数y=m的图象经过点D, 与BC的交点为N, M (1)求反比例函数和一次函数的表达式： (2)当r<0时，根据图象直接写出+b>的解集； (3)若点P在直线DM上，且使aOPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标. 7.2数形结合思想 1.如下图，在平面直角坐标系中，直线4：y=。x+1与x轴交于点A,与直线： 3 8 y=- x+m交于点B 直线分别与x轴、y轴交于点C,D,连接AD, +m 1)振据图象直接写出关于x的不等式-3x 2x+1的解集. (2)求△ABD的面积. 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,6),且与x轴相交 于点B,与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1. -20 (1)求k,b的值： 2渚点D在y挂上，且满足SmSc求点D的坐标 3.如图，直线y=-x+5和直线y=2x+2相交于点A,分别与y轴交于B,C两点. y=2x+2 y=-x+5 B A (1)求点A的坐标： (2)直接写出不等式：-x+5<2x+2的解集； 4.如图，己知一次函数y=x+1和y=ax+3(a≠0)的图象交于点P,点P的横坐标为1. VA x+1 y=ax+3 (1)求关于x,y的方程组 x-y=-1 ar~y=-3的解； (2求a的值， 5.如图，直线y=2x+b与x轴交于点A、与y轴交于点B,与直线y=-x交于点 C(-2,m). B (1)求直线AB的表达式， (2)在直线BC上是否存在点M,使S△oBM=2S△coB？若存在，求出点M的坐标；若不存在， 说明理由. 6.如图，已知直线y=x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,经过原点的直线与直线AB 相交于点C(-4,2). A (1)求点B的坐标： (2)求△0BC的面积： 1 3)在直线AB上是否存在点M,使SOCM=SOc·若存在，求出点M的坐标，若不存在， 4 说明理由， 7.抛物线y=ax2+bx+c如图所示，回答下列问题. (1)方程ax2+bx+c=-3的解是 (2)关于x的不等式ax2+bx+c<-3的解集是 (3)当-2≤x<2时，y的取值范围是 4)若关于x的方程ax2+bx+c=t的两个实数根异号，则t的取值范围是 8.已知二次函数y=-2x2+2x+4与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交 于C点，顶点为P点，与一次函数y2=2x+b交于A、D两点，请分别完成以下问题（不需 要过程)： (1D点坐标为 (2)△PAB面积为 (3)若y≥0，则x的取值范围为 (4)若y<y2,则x的取值范围为 (5)当x>0时，y的取值范围为■ 9.如图，己知一次函数y=-x+m与二次函数y2=ax2+bx-3的图象相交于点A(-1,0)、 B(2,-3),且二次函数与y轴相交于点C. Y 4 2 01 B4龙 (1)求点m的值和二次函数的解析式： (2)求二次函数的顶点坐标和对称轴： (3)请直接写出当y>y时，自变量的取值范围. 10.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数 y=”(m≠0，x>0)的图象交于点A1,3),且过点B3,m). A B 0 (1)求反比例函数和一次函数的表达式： (2)求不等式+b>”的解集： 3)如果点Q是x轴上的一点，且△ABQ的面积是3，求点Q的坐标. 11.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，一次函数y=2x+m的图象与x轴、y轴 交于4(-3,0)、B两点，与反比例函数y=←k≠0)的图象交于点CLm). (1)求一次函数和反比例函数的函数解析式： 2)直接写出不等式2x+m<的解集 3)已知四边形OBDE是正方形，连接BE,点P在反比例函数y=k≠O)的图象上.当 △OBP的面积与△OBE的面积相等时，点P的坐标为 12.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a<0)与反比例函数y=《(k<0)交于 A(-m,3m,B(4,-3)两点，与y轴交于点C,连接0A,0B. (1)求反比例函数和一次函数的表达式： 2)直接写出ax+b≥时，x的取值范围， (3)若在第一象限内存在一点P,使得以P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形，请直接写 出点P的坐标 13.已知A-4,2八Bm,-4)两点是一次函数y=c+b和反比例函数y=图象的两个交点. 1 B (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)求AOB的面积； 3)观察图象，不等式：+b>”的解集直接写出。 14.如图，一次函数y=kx+b(k≠0的图象与反比例函数，=”(m≠0的图象交于第二、 四象限内的A、B两点，点A的坐标为(-2,4)，点B的坐标为(8，). (1)则m=-,n=-; (2)若y>y2时，则x的取值范围是- (3过点B作BC⊥y轴于C点，连接AC,过点C作CD⊥AB于点D,求线段CD的长， 15.如图，一次函数y,=kx+b(k,≠0)的图象与两坐标轴分别交于点A,B,与反比例函数 与-k,+0,x>0)的图象交于点C1,2,Dm,2 1 连接0C,0D. y D ○ (1)求k2和m的值； (2)求一次函数y=kx+b(k≠0)的函数表达式： (3)求aOCD的面积. 16.如图，一次函数y=x-1的图象与反比例函数片=k≠0)的图象相交于点4m,2, 点B,与y轴交于点C. YA (1)求反比例函数的解析式： 2)请结合图象直接写出不等式x-1<的解集； (3)点P是y轴上的一个动点，且△ACP是AC为腰的等腰三角形，求点P的坐标. 7.3分类讨论思想 一、填空题 1.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B,折痕为 EF(点E、F分别在边AB、BC上)，己知AB=AC=6,BC=8,若以B,F,C为顶点 的三角形与ABC相似，则BF的长度是 B 二、解答题 2.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点 C(0,5). 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C,B不重合），过点D作DF⊥x轴于点 F,交直线BC于点E,连接BD和CD,当△CDB的面积为1O时，求点F的横坐标： 3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请求出点M的坐标. 3.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0,B(3,0),C(0,3三点. B (1)求抛物线的解析式： (2)点P是线段BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D,设点P 的横坐标为，当m为何值时，线段PD的长度最大？最大值是多少？ (3)在(2)的条件下，当线段PD的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得 以P,D,Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请