专题06 易错点突破训练 2026年中考数学复习（安徽专用）

专题06易错点突破训练 目录 6.1数与式运算易错点（符号问题、运算顺序、非负数性质) 6.2方程与函数易错点（分式方程验根、二次函数参数判断） 6.3几何易错点（圆的多解问题、三角形面积漏乘） 6.4统计概率易错点（中位数计算、概率意义混淆） 考情分析：聚焦安徽中考考生高频丢分题型，符号错误、多解漏解、公式混用为 主要丢分原因，针对性训练可快速挽回5-8分 6.1数与式运算易错点 1.计算： a+1+1°-sm045 218-2m450+2aos60+h--[9 2.计算： a-（号引 2-r+*2-3-2]（ 3.先化简，再求值：2+1-a÷a+2a+1 a ,其中a=5-1. a 4.先化简，再求值：(a+b2+b(a-b)-3ab,其中a=2,b=2026. 5.先化简下式，再求值：53ah-ab-ab)-(ab+3ab)+5ab,其中a=2b=-1. 1 6.计算：3√2sin45°+cos230°- 、tan60°-2+4sin60. 7.先化简，再求值：x-3r）÷-4r+4 x+1 ,其中x=-2. x+1 8先简：1 x-1, 然后再从-2，-1,1,2中选取一个合适的数代入 求值. 9.先化简，再求值：-x2y-[6xy-2(4xy-2)-xy]+1,其中x,y满足 x-2024+(y+1)2=0. 10.(1)计算：(2x+3y-(2x+y)(2x-y) (2)先化简，再求值：(ab-2a6-=6-(a+o,其中a=,b=-1 11.先化简，再求值 aa(a-20+2a-bja+b创-2a-b,其中a=3b=-1. 2化简求值[(x2+y）-(x-y)2+2y(x-y]÷(-2y),其中x-1+(y+32=0 12.先化简，再求值：[(x-3y)2+(x+(x-y)-2x(x-y)÷(-2y),其中x=3,y=-1. 13.先化简，再求值：(2x+3y)2-(2x+y(2x-y),其中x=1,y=-4. 14.己知A=3x+3y+4xy,B=2xy-3y2+2x2，求： (1)A-2B: (2)当x=3,y=-1时，求A一2B的值. 6.2方程与函数易错点 1.解方程： (1)5x-2=x+10; (21-3x-1-x+1 24 2.解方程. (1)t-2x =1； x+13x+3 (2)2 16=x+2 x+2x2-4x-2 3.解方程：41=1. x x-1 4.解方程： (1)5x-2(x-1)=x-2: 2)2x-1+1=x-2 3 2 5.解方程：y-1=2-3y-4 2 5 6.解方程： 3-x 2)1 x2 =1 x+2x2-4 24x-29-g0 7.解方程 (1)7-2(5x-1=4(2x-3: 2)2x+1-5-1 36 8.解方程组： （x_y-1=-1 (1)332 2x+5y=15 「x-2y=-8 ag1号 3 9.(1)计算：3×4+(-28)÷7-(-1). (2)解方程：x+1-2=1 34 10.解下列方程： (1(x-1)2+2x(x-1)=0 (2x-1(x+2)=70 11.解分式方程： 3 3x2x-7 22x-2-1=3x-13 x-3 Γ3-x 12.若y=(m+2)x-2+4x是关于x的二次函数，求m的值. 13.已知函数y=(m-1)xm+2m-+3x+3,回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 14.若函数y=-(m+1)xm1是关于x的二次函数，求m的值. 15.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点(-3,0)与(5,0). -30 -15 (1)求该抛物线的解析式及它的对称轴. (2)当函数值y>0时，请直接写出自变量x的取值范围. 16.已知二次函数y=x2-2kx+k2+k-2. (1)当实数k为何值时，图象经过原点？ (2)当实数k在何取值范围时，函数图象的顶点在第四象限？ 3)当x>1时，y随x的增大而增大，直接写出k的取值范围是- a2-2a+1 a+1 (1)化简A; (2)若函数y=-x2+4x-3的对称轴是x=a,求A的值. 18.已知函数y=(m+1)xm-2是反比例函数，求m的值. 19.己知：P=m-n 2mn+n2 m+ m2-mn (1)化简P: (2)若函数y=3xm+n为反比例函数，求P的值. 20、若函数)=是反比例函数，求m的位. 6.3几何易错点 1.如图，在口ABCD中，E是DC上的点，DE:EC=3:2,连接AE交BD于点F,则 △DEF与△BAF的周长之比为() B A.2:5 B.3:5 C.9:25 D.4:25 2.如图，在菱形ABCD中，其边长为4cm,LA=60°，垂直于AD的直线EF(直线EF与 菱形ABCD的两边分别交于点E、F,且点E在点F的上方)从点A出发，沿AD方向以每 秒1cm的速度向右平移.若△AEF的面积为ycm2,，直线EF的运动时间为x秒(0≤x≤4)， 则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是() y/cm2 Ay/cm 4v3 4v3 --------- A. 2V3 B. 2W3 24 024 Av/cm2 ◆y/cm2 4V3---- 4v3 2V3 2v3 O 24六 可24 二、填空题 3.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点P是射线CB上一动点，连接AP,在它 的左侧作∠PA0=45,过点B作BQ1BC交A0于点Q.若P0=3B0=6,则 CP=_ B P 4.如图，AB是O0的直径，CD为⊙0的弦，将弧CD沿CD翻折恰好过点O,连接AC, 若CD=2,则AC的长为 B D 5.如图所示，0P与y轴交于点A0,5),B(0,-4),与x轴的正半轴交于点C.若 ∠ACB=45°，则点C的坐标为 A B 6.如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,E是AC的中点，过点E作 EF∥BC交CD于点P,延长4F交BC于点G,给出下面匹个结论：①EF=CG:② ∠CAG=∠B;③当CG=2,BG=5时，AG=2√5；④当LB=30°时，SAABC=6S△Cr6·上 述结论中，正确结论的序号有」 G 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是中线，BE是角平分线，CF是高线，BE交AD 于点G,交CF于点H.有如下结论：①∠ACF=2∠ABE;②CE=CH;③AACD≌ACFA; ④SE=BC 正确的是」 (填序号). SMBE AB C H 4 B 8.如图，折叠矩形ABCD的一边AD,，使点D落在BC边上的点F处，已知AD=2, DE=1.则AB的长为 三、解答题 9.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AB=10,sinB= ,点D在AB边上，4D=4,连 3 接CD. (1)求CD的长； (2)求sin∠DCB. 10.己知在00中，弦CD与直径AB交于点P. OP 图① 图② (1)如图①，若∠BCD=30°，∠APC=50°，求∠CDB的度数 (2)如图②，过点D作⊙0的切线交AB的延长线于点Q.若∠BCD=20°，PQ=DQ,求 ∠ABC的度数， 11.如图，ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,日A与BC相切于点D. (1)求图中阴影部分的面积； (2)设OA上有一动点P,连接CP,BP.当CP的长最大时，求BP的长. 12.如图，在长方形ABCD中，BD是对角线 D (1)请用无刻度的直尺和圆规作出点C关于直线BD的对称点P(不写作法，保留作图痕迹)： (2)在(1)的条件下，连接PD,PB,PB交AD于点E,若AB=4,AD=8.求BDE的面积， 13.如图，在正方形ABCD中，动点M在CD上，过点M作MN⊥CD,过点C作 CN⊥AC,点E是AN的中点，连接BE交AC于点F. (1)求证：BE⊥AC; (2)请探究线段BE、AD、CN长度之间的等量关系，并证明你的结论； (3)设AB=2,若点M沿着线段CD从点C运动到点D,则在该运动过程中，线段EN所扫过 的图形面积为。（直接写出答案）. 14.如图，正方形ABCD中，AB=5,点E为BC边上一点，连接DE,将△CDE沿DE翻 折，得到FDE,连接AF,BF, (1)求证：∠DAF=∠DFA; (2)当△ABF为直角三角形时，求线段AF的长 (3)在(2)的条件下，直接写出此时CE的长。 6.4统计概率易错点 一、单选题 1.为提高学生防范新型冠状病毒的意识，某班组织全班50名学生参加了防疫知识竞赛，测 试成绩如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，不受被遮盖的数据影响的 是() 成绩/分 86 88 90 92 94 95 96 98 99 100 人数 2 4 5 6 6 10 7 A. 中位数和众数B.中位数和平均数 C.众数和方差 D.众数和平均数 2.求一组数据方差的算式为s2=「(6-2+8-2+(8-2+(6-2+(7-).由算式 提供的信息，下列结论：①加入两个数7,7后，n的值增加了2；②加入两个数7,7后， 该组数据的平均数不变；③加入两个数7,7后，该组数据的方差变小；④加入两个数7,7 后，该组数据的离差平方和变大.其中正确的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的 年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下面的表格，根据表格，关于全体 社团成员年龄的统计量能确定的是(). 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 16 人数（单位：名》 11 A.平均数和中位数 B.平均数和方差C.众数和中位数D. 众数和方差 4.水是生命之源.为了倡导节约用水，物业随机抽取了某小区8户家庭上个月家里的用水 量（单位：吨）情况，数据为7,8,6,8,8,9,10,9，则这组数据的众数是（) A.7 B.8 C.9 D.10 5.下列事件属于必然事件的是() A.任意画一个三角形，其内角和是360°B.明天太阳从东方升起 C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D.购买1张彩票，中奖 二、填空题 6.某中学举办的演讲比赛由演讲内容、语言表达、形象效果这三项得分依次按 50%,30%,20%的比例计算最终成绩，嘉嘉此次比赛的各项成绩如表所示，则嘉嘉的最终成 绩为 分 演讲内容 语言表达 形象效果 94分 92分 90分 7.如图，这是某校学生年龄分布情况统计图，根据统计图计算该校学生的平均年龄为 岁 16岁 12岁 10% 15% 15岁 13岁 25% 20% 14岁 30% 8.一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇匀后随 机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6，则 绿球的个数为」 9.甲骨文是我国己发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有 甲骨文“美”“丽"“山"“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面 朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是 甲 甲 甲 骨文美 秀 露 骨文 M 骨文 丽 山 河 美 丽 山 河 美 (美，丽) (美，山) (美，河) 丽 (丽，美) (丽，山) (丽，河) 山 (山，美) (山，丽) (山，河) 河 (河，美) (河，丽) (河，山) 10.3月12日是我国植树节，绿化祖国、改善生态环境是每一位公民的责任.某林业部门 为考察某种耐寒幼树在大连沿海地区的移植成活率，在同等条件下对这种幼树进行大量移植， 统计情况如下表： 专题06 易错点突破训练 目录 6．1 数与式运算易错点（符号问题、运算顺序、非负数性质） 6．2 方程与函数易错点（分式方程验根、二次函数参数判断） 6．3 几何易错点（圆的多解问题、三角形面积漏乘） 6．4 统计概率易错点（中位数计算、概率意义混淆） 考情分析：聚焦安徽中考考生高频丢分题型，符号错误、多解漏解、公式混用为主要丢分原因，针对性训练可快速挽回5-8分 6．1 数与式运算易错点 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) 5 (2) 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，实数的混合计算，化简二次根式，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角三角函数值，算术平方根，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先化简二次根式，负整数指数幂，化简绝对值，代入特殊角三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解；原式 ； （2）解；原式 ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，包括乘方、绝对值、乘除和加减运算，需要严格按照运算顺序进行计算：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的． （1）先将带分数转化为假分数，计算绝对值，再算乘方，然后算乘法，最后进行加减计算； （2）先算括号里面的乘方、绝对值、加减运算，再算乘除法，最后进行加减计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分数的化简求值等知识，先进行分式化简，再代入求值即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据整式的混合运算法则，进行计算，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式 将，代入上式， 得． 5．先化简下式，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先去括号，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 6．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可得出答案． 【详解】解： 7．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算与化简求值，熟练掌握分式的通分、因式分解及乘除运算法则是解题的关键．先对括号内的式子通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分简化，最后代入求值． 【详解】解： 当时，原式 8．先化简：，然后再从，，1，2中选取一个合适的数代入求值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入进行计算，即可解题． 【详解】解：原式 ， 分式有意义， ， ， 当时， 原式=． 9．先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减运算与求值，非负数的性质，掌握好整式加减运算的法则是解题关键． 根据整式加减运算的法则进行化简，再根据非负数的性质求出x和y的值，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵，， ∴，且， ∴，， 当，时， 原式． 10．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中， 【答案】（1） （2）， 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，整式的加减混合运算，整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再根据整式的加减混合运算法则进行计算，即可求解； （2）根据整式的混合运算法则化简原式，再将，代入计算，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 当，时， 原式 ． 11．先化简，再求值 (1)，其中． (2)化简求值，其中 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质． （1）先根据单项式与多项式的乘法法则、乘法公式化简，再去括号合并同类项，然后把代入计算； （2）先根据整式的运算法则化简，再根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当，b＝－1时， 原式 ； （2）解：原式 ＝ ＝ ＝， ∵， ∴， ∴， 原式． 12．先化简，再求值：，其中，． 【答案】；10 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据整式的运算法则把所给代数式化简，再把，，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 13．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，乘法公式，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代入计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 14．已知，求： (1)； (2)当，时，求A－2B的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算和代入求值，掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）把，代入，然后去括号合并同类项即可； （2）把，代入化简的结果计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当，时， ． 6．2 方程与函数易错点 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程． 按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，， 合并同类项，， 系数化为，； （2）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化为，． 2．解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，掌握基本步骤是解题的关键；方程两边同乘，化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得：， 即， ∴， 经检验是原方程的根， ∴． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的求解步骤是解答的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤解方程即可 【详解】（1）解：原方程可化为， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：原方程可化为， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 5．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． 根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 6．解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)无解 (3)或 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，注意解分式方程要检验． （1）先找出最简公分母，进而去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出方程的根即可，最后注意检验方程的根； （2）类比（1）中方法求解，即可解题； （3）整理后用直接开平方法求解，即可解题． 【详解】（1）解： ， 经检验，使得， 是该方程的解； （2）解： ， 经检验，使得， 是增根，该方程无解； （3）解： 解得或． 7．解方程 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 8．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键． （1）先去分母整理方程组，再利用加减消元法解方程组即可； （2）先去分母整理方程组，再利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ①得， 整理得， ②③，， 解得， 将代入②，， 解得， 所以方程组的解为：； （2）解：， 由①得，， 将②，得， 整理得， 将③代入④，得， 解得， 将代入③，得， ∴方程组的解为：． 9．（1）计算：． （2）解方程： 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程． （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法即可； （2）根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 10．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法先提取公因式，得到，此时或，进而求得x的值； （2）先整理方程得，利用因式分解法得到，此时或，进而求得x的值． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，． （2）解：， ， ， ∴或， ∴，． 11．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 无解 【分析】本题主要考查分式方程的解法，解题的关键是找准最简公分母，将原分式方程化为整式方程，不要遗漏检验步骤． （1）方程两边同时乘最简公分母后解整式方程，再将得到的解代入原方程进行检验即可； （2）方程两边同时乘最简公分母后解整式方程，再将得到的解代入原方程进行检验即可； 【详解】（1）解： ， 经检验，是原方程的根， 则． （2）解： ， 经检验，是原方程的增根， 则原方程无解． 12．若是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得，， 又∵， ∴， ∴. 13．已知函数，回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1) (2)或或或或 【分析】本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义； （1）由二次函数的定义得，即可求解； （2）由一次函数的定义得①当时，②当时，③当时，进行求解，即可求解； 理解二次函数的定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”，能根据一次函数的定义进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：； 故时，此函数是二次函数； （2）解：①当时， 解得：； ②当时， 解得：，； ③当时， 解得：，； 综上所述：取或或或或，此函数为一次函数． 14．若函数是关于x的二次函数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ∴， 解得． 15．已知抛物线与x轴交于点与． (1)求该抛物线的解析式及它的对称轴． (2)当函数值时，请直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)函数解析式为：，对称轴为直线 (2)或 【分析】本题考查了抛物线的交点式解析式、对称轴求解及函数值正负的取值范围分析，熟练掌握抛物线的性质是解答本题的关键． （1）利用抛物线与轴的交点坐标，设出交点式解析式并展开，结合对称轴公式求出对应结果； （2）根据抛物线的开口方向及与轴的交点，分析函数值大于时自变量的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点与， ， 解得：， 函数解析式为：， ， 对称轴为直线； （2）解： 抛物线与轴交于点与， 当时，或． 16．已知二次函数． (1)当实数k为何值时，图象经过原点？ (2)当实数k在何取值范围时，函数图象的顶点在第四象限？ (3)当时，y随x的增大而增大，直接写出k的取值范围是_． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质（过原点的条件、顶点坐标与象限的关系、增减性），解题的关键是通过配方转化为顶点式，利用顶点坐标和对称轴的性质分析各问题． （1）将原点坐标代入函数解析式，解关于k的一元二次方程； （2）通过配方得到顶点坐标，根据第四象限点的坐标特征列不等式组求解； （3）根据抛物线开口方向和对称轴位置，确定时 y 随x 增大而增大的k 的范围． 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴将，代入得：， 即． 因式分解得，解得，． ∴当或时，图象经过原点． （2）将二次函数配方为顶点式：， ∴顶点坐标为． 顶点在第四象限（第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负）， ∴解得． （3）二次函数的对称轴为直线，且抛物线开口向上． 当时，y随x的增大而增大． ∵当时，y随x的增大而增大， ∴． 故答案为：． 17．已知：． (1)化简； (2)若函数的对称轴是，求的值． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题考查了分式的混合运算，二次函数的性质等知识，解题的关键是∶ （1）先计算括号内，然后把除法转换为乘法，最后约分即可； （2）根据二次函数的性质求出a的值，然后代入（1）计算即可． 【详解】（1）解∶ ； （2）解：∵函数的对称轴是， ∴， ∴． 18．已知函数是反比例函数，求m的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得出，解出m的值，再结合，即可得出合适的m的值． 【详解】解：由题意，得，解得． 又当时，，所以． 所以m的值为1． 19．已知： (1)化简P； (2)若函数为反比例函数，求P的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的四则运算法则化简即可； （2）由反比例函数的定义得出，将其代入（1）中结果即可． 【详解】（1）解： （2）∵为反比例函数， ∴，将其代入（1）得： ． 【点睛】题目主要考查分式的化简求值，反比例函数的定义，熟练掌握相关的运算法则是解题关键． 20．若函数是反比例函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意，知解得，故的值是． 6．3 几何易错点 1．如图，在中，是上的点，，连接交于点，则与的周长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定以及两个相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键． 由，可得， 再证明，根据两个相似三角形周长之比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∴， ∴． 故选：． 2．如图，在菱形中，其边长为，，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于点E、F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿方向以每秒的速度向右平移．若的面积为，直线的运动时间为秒，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用，菱形的性质，三角形的面积计算，解直角三角形；由题意可知，分类讨论：当点E在边上，即时，；当点E在边上，即时，，据此分别写出解析式，对照选项即可得出结果. 【详解】解：由题意可知， 当点E在边上时，如图所示： ∵，， ∴， ∴ 即 ∵，菱形的边长为， ∴点E移动到点B时，，， ∴当点E在边上时，， ∴（） 当点E在边上，如图所示： ∴ 即（）. 综上：，y与x的函数关系是分段的，当时y与x的函数关系是二次函数，当时y与x的函数关系是一次函数. 故选：A. 二、填空题 3．如图，在中，，点P是射线上一动点，连接，在它的左侧作，过点作交于点．若，则_______． 【答案】10 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质，根据已知求得，截取，证明，有和，过点A作于点K，作交的延长线于点H，即可证明，有，在的延长线上截取，连接，则，有和，进一步证明，则，那么即可． 【详解】解：∵， ∴， 截取，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点A作于点K，作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在的延长线上截取，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 故答案为：10． 4．如图，是的直径，为的弦，将弧沿翻折恰好过点O，连接，若，则的长为________ ． 【答案】2 【分析】本题考查圆周角定理，翻折性质，垂径定理，等边三角形判定及性质等．根据题意连接，由翻折性质可知，继而利用圆周角定理得，再判断是等边三角形，即可得到本题答案． 【详解】解：连接， ， 由翻折性质可知， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 5．如图所示，与y轴交于点，，与x轴的正半轴交于点C．若，则点C的坐标为________． 【答案】 【分析】连接，，，作于点M，于点N，构造矩形，由圆周角定理得出，进而可得是等腰直角三角形，利用勾股定理解求出，进而求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，作于点M，于点N， 则， 四边形是矩形， ，， ，， ，，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，等腰直角三角形，坐标与图形的性质，关键是由圆周角定理判定是等腰直角三角形． 6．如图，在中，，于点，是的中点，过点作交于点，延长交于点．给出下面四个结论：①；②；③当，时，；④当时，．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得，得到，可判定①；根据点是的中点，是的垂直平分线，得到，由等边对等角得到，根据垂直的定义得到，可判定②；设，则，由勾股定理得到，由题意可证得到，由此得到，可判定③；设，根据含角的直角三角形的性质得到，根据中线平分三角形面积得到，且，由此可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，即， 又∵点是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 当，时，， 设， 由①可得，是的中位线， ∴，则， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴，故③错误； 当时，， 设，则， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 7．如图，在中，是中线，是角平分线，是高线，交于点G，交于点H．有如下结论：；④．正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线的性质，中线、高线等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义可对①进行判断；根据等角的余角相等得到，进而可对②进行判断．根据角平分线的性质和三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：，是高线， ， ∴， 是角平分线， ， ∴，故①正确； ， ∴， ∵, ∴ ∴，故②正确； 设点E到的距离为h， ∵，是角平分线， ∴ ∴，故④正确； 根据已知条件不能推出，故③错误； 故答案为：①②④． 8．如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，已知，．则的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据折叠的性质，易证，结合对应边成比例线段，可得，令，可得出，，，结合，可解出的值，然后求出的长． 【详解】解：∵折叠的性质， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 令，则， ∵， ∴， ∵， 得， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．如图，在中，，，，点D在边上，，连接． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理相似三角形的判定和性质，正确掌握解直角三角形是解题的关键． （1）作交于点E，，求出，，易证根据相似三角形的性质，求出，的长，再根据勾股定理即可求解； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作交于点E， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ，即，， ，， 则， 在中，， 则的长为； （2）解：由（1）知，， ， 在中，． 10．已知在中，弦与直径交于点． (1)如图①，若，，求的度数． (2)如图②，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． （1）由三角形的外角性质得出，由圆周角定理得，即可得出答案； （2）连接，由切线的性质得出，求出，由等腰三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的直径， ． ，， ． ． ． （2）如图，连接， ， ． 切于点， ，即． ． ， ． ． 11．如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识； （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：延长交于P，连接，此时最大， 由（1）知：，， ∴． 12．如图，在长方形中，是对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出点关于直线的对称点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，交于点，若．求的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2) 【分析】（1）过点作的垂线，垂足为点，在垂线上截取即可得到答案； （2）根据题意，作出图形，由对称性得到，从而结合等腰三角形性质、矩形性质得到，再由两个三角形全等的判定定理得到，进而得到，设，则，在中，列方程求解得到，则，再由三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 点即为所求； （2）解：如图所示： 由（1）中的作图过程可知，， ， 在长方形中，，则， ， 在和中， ， ， ， 在长方形中，，则， 设，则， 在中，，，则由勾股定理可得， 即， 解得， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及基本尺规作图-作中垂线、作相等线段、对称性、等腰三角形的性质、长方形性质、两个三角形全等的判定与性质、勾股定理、解方程及三角形面积公式等知识，熟记相关几何性质，掌握基本尺规作图是解决问题的关键． 13．如图，在正方形中，动点M在上，过点M作，过点C作，点E是的中点，连接交于点F． (1)求证：； (2)请探究线段长度之间的等量关系，并证明你的结论； (3)设，若点M沿着线段从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段所扫过的图形面积为 _ （直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)3 【分析】（1）如图：连接，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出，再根据直角三角形的性质以及点E为的中点即可得出，即是的垂直平分线，从而证明结论； （2）．根据三角形的中位线性质可得出，再运用正方形的性质可得出，然后利用线段间的关系即可证出结论； （3）找出所扫过的图形为四边形，根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出，由此得出四边形为梯形，再由，可算出线段、、的长度，最后利用梯形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，点E是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． （2）解：，证明如下： ∵是的垂直平分线， ∴，即F为的中点， ∵E为的中点， ∴为的中位线，， 由（1）可知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． （3）解：在点M沿着线段从点C运动到点D的过程中，线段所扫过的图形为四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为梯形， ∵四边形为正方形，， ∴， ∴， ， ∴， ∴线段所扫过的面积为3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、梯形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 14．如图，正方形中，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接． (1)求证：； (2)当为直角三角形时，求线段的长． (3)在（2）的条件下，直接写出此时的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）通过正方形的边相等和翻折的性质，得到再利用等腰三角形等边对等角证角相等． （2）先判断直角顶点为，作辅助线，通过全等三角形转化线段关系，结合勾股定理计算的长； （3）作、，用面积法求，结合矩形性质与勾股定理求． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 沿翻折得， ， ， ； （2）解：过点D作于点G， ∵点在上，点在正方形内， ∴、为锐角，，， ∴当为直角三角形时，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴（） ∴， 设，则， 在中，由勾股定理即， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：过点作，于、，连接， ∵，，，， ， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得即， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、翻折的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握翻折变换的性质、结合辅助线转化线段关系是解题的关键． 6．4 统计概率易错点 一、单选题 1．为提高学生防范新型冠状病毒的意识，某班组织全班50名学生参加了防疫知识竞赛，测试成绩如表，其中有两个数据被遮盖．下列关于成绩的统计量中，不受被遮盖的数据影响的是（    ） 成绩／分 86 88 90 92 94 95 96 98 99 100 人数 ■ 2 ■ 1 4 5 6 6 10 7 A．中位数和众数 B．中位数和平均数 C．众数和方差 D．众数和平均数 【答案】A 【分析】此题考查了中位数，众数，平均数和方差，根据中位数，众数，平均数和方差的概念逐项判断即可． 【详解】解：∵总人数50，已知数据的人数为， ∴ 86分和90分人数之和， ∵ 99分人数为10，为最多， ∴众数为99，不受影响； 成绩排序后，不高于95分为人，96分有6人， ∴第22至27名均为96分， ∴第25和26名均为96分，中位数为96，不受影响； 平均数和方差依赖于86分和90分人数，因此受影响． ∴不受影响的是中位数和众数． 故选：A． 2．求一组数据方差的算式为．由算式提供的信息，下列结论：①加入两个数7，7后，n的值增加了2；②加入两个数7，7后，该组数据的平均数不变；③加入两个数7，7后，该组数据的方差变小；④加入两个数7，7后，该组数据的离差平方和变大．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了方差，平均数，离差平方和．依题意，得出原始数据为，，平均数，当加入两个7后，，平均数不变，方差变小，离差平方和不变，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴原始数据为，， 当加入两个7后，此时， ∴n的值增加了2， ∴①是符合题意的； 则原始数据求和：， ∴平均数， 则当加入两个7后，新数据求和：， 此时新数据的平均数，平均数不变， ∴ ②符合题意； ∴原始方差； 新方差为， ∵， ∴方差变小， ∴ ③符合题意； 依题意，原始离差平方和 新离差平方和，不变， ∴ ④是不符合题意， ∴ 正确结论有3个， 故选：C 3．某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下面的表格，根据表格，关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（    ）． 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 16 人数（单位：名） 7 11 2 A．平均数和中位数 B．平均数和方差 C．众数和中位数 D．众数和方差 【答案】C 【分析】通过总人数计算14岁和15岁人数之和为10，众数和中位数固定，平均数和方差随未统计人数变化，无法确定. 本题考查了中位数，众数，平均数，方差，熟练掌握定义是解题的关键. 【详解】解：∵总人数30人，已知12岁7人、13岁11人、16岁2人， ∴14岁和15岁人数之和为人. ∵13岁人数11人，为最多， ∴众数为13岁. ∵数据排序后，累计到13岁为18人，第15和16个数据均在13岁组， ∴中位数为13岁. 平均年龄为，化简为，随a变化； 方差依赖平均数，故均不确定. ∴能确定的统计量是众数和中位数， 故选：C. 4．水是生命之源．为了倡导节约用水，物业随机抽取了某小区8户家庭上个月家里的用水量（单位：吨）情况，数据为7，8，6，8，8，9，10，9，则这组数据的众数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据，据此求解即可． 【详解】解：数据7，8，6，8，8，9，10，9中6出现1次，7出现1次，8出现3次，9出现2次，10出现1次， ∵8出现次数最多， ∴众数为8． 故选：B． 5．下列事件属于必然事件的是（    ） A．任意画一个三角形，其内角和是 B．明天太阳从东方升起 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．购买1张彩票，中奖 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件的定义，必然事件是一定发生的事件；逐项判断即可． 【详解】解：选项A：任意画一个三角形，其内角和为，不是，是不可能事件； 选项B：太阳从东方升起是自然规律，必然发生，是必然事件； 选项C：遇到红灯是随机事件，不一定发生； 选项D：彩票中奖是随机事件，不一定发生； 故选：B． 二、填空题 6．某中学举办的演讲比赛由演讲内容、语言表达、形象效果这三项得分依次按的比例计算最终成绩，嘉嘉此次比赛的各项成绩如表所示，则嘉嘉的最终成绩为__________分． 演讲内容 语言表达 形象效果 94分 92分 90分 【答案】 【分析】根据各项得分和权重，利用加权平均数公式求解． 本题考查加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：嘉嘉的最终成绩为：（分）． 故答案为：． 7．如图，这是某校学生年龄分布情况统计图，根据统计图计算该校学生的平均年龄为______岁． 【答案】13.95 【分析】本题考查求加权平均数，根据扇形图，利用加权平均数的计算方法，进行求解即可． 【详解】解：（岁）． 故答案为：13.95． 8．一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0．6，则绿球的个数为_________． 【答案】6 【分析】本题考查利用频率估计概率，涉及解分式方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据频率估计概率，摸到绿球的概率稳定在0.6，设绿球个数为x，列分式方程求解． 【详解】解：设绿球的个数为x，则总球数为，摸到绿球的概率为． 解得． 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：6． 9．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是_____ 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 美 丽 山 河 美 （美，丽） （美，山） （美，河） 丽 （丽，美） （丽，山） （丽，河） 山 （山，美） （山，丽） （山，河） 河 （河，美） （河，丽） （河，山） 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有：（丽，山），（山，丽），共2种， ∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故答案为：． 10．3月12日是我国植树节，绿化祖国、改善生态环境是每一位公民的责任．某林业部门为考察某种耐寒幼树在大连沿海地区的移植成活率，在同等条件下对这种幼树进行大量移植，统计情况如下表： 移植总数n 50 150 400 750 1500 7000 9000 成活数m 47 134 369 680 1350 6335 8173 成活的频率 0.940 0.893 0.923 0.907 0.900 0.905 0.908 估计这种幼树移植成活的概率是____________．（结果精确到0.1） 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率的方法；当试验次数大量增加时，事件发生的频率会稳定于概率，因此取移植总数较大时的成活频率进行估计，并精确到． 【详解】解：由表格数据可知，随着移植总数n的增加，成活频率逐渐稳定． 当时，频率为； 当时，频率为； 当时，频率为． 这些频率值均在附近波动，且精确到后均为， 因此估计这种幼树移植成活的概率为． 故答案为：． 三、解答题 11．在外打工的王大叔返回家乡创业，他承包了甲、乙两座荒山，各栽100棵青枣树，发现成活率均为，现已挂果，经济效益初步显现．为了分析收成情况，王大叔分别从两座山上随机各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示． (1)直接写出甲山4棵青枣树产量的中位数：______________； (2)分别计算甲、乙两座山青枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高； (3)用样本平均数估计甲、乙两座山青枣的产量总和． 【答案】(1)38 (2)，，甲山样本产量高 (3)7663千克 【分析】（1）根据折线图，得到数据并排列为，根据中位数的定义，得； （2）根据算术平均数的定义计算，比较大小后解答即可； （3）根据各自总产量等于平均产量乘以数量乘以成活率，计算和即可． 本题考查了中位数，平均数，样本估计总体，熟练掌握中位数，平均数是解题的关键． 【详解】（1）解：根据折线图，得到数据并排列为， 根据中位数的定义，得（千克）， 故答案为：38； （2）解：根据题意，得（千克）， （千克） 因为，且两山抽取的样本数量一样， 所以甲山样本产量高． （3）解：（千克） 答：用样本平均数估计甲、乙两座山小枣产量总和为7663千克． 12．某校为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，组织全体学生参加了相关知识竞赛，现随机抽取了20名学生的成绩（单位：分），分成四组（A：；B：； C：；D：） 并得到以下信息： 信息一：所抽取学生竞赛成绩频数分布表如下表： 组别 成绩（分） 频数（名） A 3 B 6 C D 4 信息二：C组的竞赛成绩分别是88，89，90，91，93，93，93： 信息三：所抽取学生竞赛成绩的众数在C组． 根据以上信息，解答下列问题： (1)表中_____________，所抽取学生竞赛成绩的中位数是_______________分，众数是__________分； (2)求所抽取学生竞赛成绩的平均数；为了计算方便，各组成绩均取组中值，组中值上限下限； (3)若该校共有600名学生参加此次知识竞赛，成绩在范围内被评为“良好”，请你估计该校参加此次知识竞赛被评为“良好”的学生总人数． 【答案】(1)7，88.5，93 (2)分 (3)390名 【分析】本题考查调查与统计，涉及频数分布表，中位数、众数、平均数，利用样本估计总体等． （1）总人数减去A，B，D组频数，可得m的值；再根据中位数、众数的定义求解； （2）先求出每组中值，再根据平均数的定义求解； （3）利用样本估计总体思想求解． 【详解】（1）解：； 抽取学生成绩按从小到大顺序排列后，第10位是88，第11位是89， 所以中位数是； 众数在C组，C组中93出现的次数最多， 所以众数是93； 故答案为：7，88.5，93； （2）解：由题意知，A组中值为：， B组中值为：， C组中值为：， D组中值为：， （分） 即所抽取学生竞赛成绩的平均数为88.6分； （3）解：（名） 答：该校600名学生中，竞赛成绩在范围内的学生大约有390名． 13．人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．我国人工智能科技公司正在迅速崛起，不断改变着我们的现代生活方式．为培养学生创新思维，提升科技素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． （1）下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：______________．（只填写序号） ① 随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩； ② 随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩； ③ 随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩； ④ 分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩； 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理，如下表： 组别 A B C D 成绩（分） 人数（人） 57 45 27 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．    【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （2）① 填空：抽取学生竞赛成绩的总人数为____________，__________________； ② 抽取样本的中位数所在组别是______________组； （3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是____________°； （4）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】（1）④；（2） ①150，21；②B；（3）108；（4）720人 【分析】（1）根据样本容量的定义解答即可． （2）①根据样本容量频数所占百分比，求得样本容量，利用频数之和等于样本容量解答即可． ②根据中位数的定义解答即可． （3）利用圆心角计算公式计算即可． （4）利用样本估计总体计算即可． 本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，样本估计总体，熟练掌握统计图的意义，样本估计总体，正确计算样本容量是解题的关键． 【详解】（1）根据样本容量的定义和特征，得④最适当， 故答案为：④． （2）① 解：根据题意，得B组有57人，占比为， 故， 故答案为：150． ， 故答案为：21； ② 解：根据题意，得中位数是第75个数据，76个数据的平均数，A组21人，B组57人， 两组一共有78人，且， 故抽取样本的中位数所在组别是B组， 故答案为：B． （3）解：根据题意，得， 故答案为：108． （4）解：根据题意，得（人）， 答：该校参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数有720人． 14．当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一．某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 95 人工 90 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表格中：___________，____________； (2)求的值： (3)根据以上数据，请你分析机器人和人工操作在技能方面谁更有优势，并说明理由． 【答案】(1)，100 (2)89 (3)机器人更有优势，理由见解析 【分析】（1）根据中位数的定义，众数的定义解答即可； （2）利用加权平均数的定义求的值即可： （3）利用平均数，中位数，众数，方差等统计量，选择喜欢的说明即可． 本题考查了中位数，众数，平均数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得机器人的成绩从小到大排序为： ， 故其中位数为（分）， 人工的成绩从小到大排序为：， 故其众数为（分）， 故答案为：，100． （2）解；根据题意，得（分）， 即的值为89． （3）因为机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小， 所以可以推断机器人对该设计动作的操作在技能方面更有优势．（答案不唯一，合理即可）． 15．【数据收集】 某校综合实践活动中，数学活动小组要研究男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展，并对得到的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 20名男生的臂展与身高数据如下表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 166 169 169 171 172 173 173 173 174 174 臂展 161 162 164 166 164 165 167 169 169 170 编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 身高 175 176 177 177 178 179 180 180 181 183 臂展 169 167 173 172 173 177 177 174 176 185 【数据整理】 20名男生臂展的频数分布直方图如图（1）：（将臂展数据分成5组：） 【数据分析】 20名男生臂展与身高数据的平均数、众数如下表： 平均数 众数 身高 173 臂展 170 （1）写出表中的值：_____，_____； 根据以上信息，回答下列问题： 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 身高 166 ① 174.5 ② 183 臂展 ③ 165.5 ④ 173.5 ⑤ （2）填空：①处应填______，②处应填______，③处应填______，④处应填______，⑤处应填_____； 【作出决策】 （3）活动小组绘制了20名男生臂展与身高的散点图，发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线．图（2）中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，求身高的男生臂展长度约为多少？ 【答案】（1）175，169；（2），，161，169，185；（3） 【分析】本题考查调查与统计，一次函数的应用，掌握四分位数的计算方法是解题的关键． （1）根据平均数与众数的定义即可求解； （2）根据四分位数的计算方法求解； （3）将代入计算函数值即可． 【详解】解：（1）， 20个臂展数据中169出现的次数最多，， 故答案为：175，169； （2），，， 身高按从小到大排序后第5个数与第6个数的平均数为：； ①处应填：； 身高按从小到大排序后第15个数与第16个数的平均数为：； ②处应填：； 将20个臂展数据从小到大排序为： 臂展的最小值为：161，162，164，164，165，166， 167，167，169，169，169，170， 172，173，173，174，176，177，177， 185， 臂展的最小值为：161，最大值为185， ③处应填：161，⑤处应填：185， 臂展按从小到大排序后第10个数与第11个数的平均数为：， ④处应填：169； 故答案为：，，161，169，185； （3）将代入， 得：， 即身高的男生臂展长度约为． 16．从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取名，记录使用者对两款软件的相关评价（满分10分），并进行整理、描述和分析． 项目统计量软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 众数 平均数 方差 甲 7.3 n 56      乙 m 7 4.9      根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中_分， _分， _（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)若某市共有万人使用甲款软件，请你估计对甲款软件信息识别准确度打分超过分的人数； 【答案】(1)，9， (2)（万人） 【分析】本题考查了平均数、众数的计算和根据方差判断稳定性，用样本估计总体及数据的分析与比较，能根据中位数、众数、平均数对题目进行分析是解题的关键． （1）根据条形统计图的信息求出乙款软件中的信息处理速度得分的平均数，甲款软件中的信息处理速度得分众数，最后观察信息识别准确度得分折线统计图，甲款软件得分相对更集中在平均数附近，乙款软件得分相对更分散，即可得出答案； （2）先从信息识别准确度得分折线统计图中数出抽取的名甲软件使用者中打分超过7分的人数，再计算打分超过7分的人数占抽取人数的比例，最后用某市使用甲款软件的总人数乘以这个比例，即可估计出对甲款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； 【详解】（1）解：乙款软件中的信息处理速度得分平均数为， ∴分， 由条形统计图可知，甲款软件中的信息处理速度得分众数为9， ∴分， 由折线统计图可知，甲款软件的信息识别准确度得分波动程度更小，则， 故答案为：，，． （2）解：（万人） 即对甲款软件信息识别准确度打分超过7分的人数约为2.5万． 17．我市某中学举行“中国梦·我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． (1)参加比赛的学生人数共有______名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为______度，图中m的值为______； (2)补全条形统计图； (3)组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率． 【答案】(1)20，72， (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了条形统计图与扇形统计图，求扇形的圆心角度数，概率的计算， （1）利用A等级的人数及百分比求出总人数，根据D等级的人数除以总人数再乘以得到表示D等级的扇形的圆心角度数；再根据C等级的人数除以被调查总人数乘以即可求出的值； （2）用总人数减去其他几个等级的人数求出B等级的人数，补全统计图即可； （3）列树状图解答． 【详解】（1）解：参加比赛的学生共有（名）， 表示D等级的扇形的圆心角为， ，则， 故答案为：20，72，； （2）等级的人数为（人）． 补全统计图如图所示． （3）解：根据题意列出表格如下： 男 女1 女2 男 女1、男 女2、男 女1 男、女1 女2、女1 女2 男、女2 女1、女2 共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种． 所以恰是一男一女的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $