第01讲 直线的相交 同位角、内错角、同旁内角 平行线（寒假预习讲义）七年级数学新教材浙教版

第01讲 直线的相交 同位角、内错角、同旁内角 平行线 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 直线的相交 1. 相交线的定义 如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，这个公共点叫做它们的交点。例如：直线AB与直线CD相交于点O，其中点O是唯一的公共点。 2. 对顶角的概念与性质 · 概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角，∠AOD与∠BOC也是对顶角。 · 性质：对顶角相等。几何语言表述为：因为直线AB与CD相交于点O，所以∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC。 3. 邻补角的概念与性质 · 概念：两条直线相交后，有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角。如图，∠AOC与∠AOD有公共边OA，另一边OC与OD互为反向延长线，所以∠AOC与∠AOD是邻补角；同理，∠AOC与∠BOC、∠BOD与∠AOD、∠BOD与∠BOC也都是邻补角。 · 性质：邻补角互补，即邻补角的和等于180°。几何语言表述为：因为∠AOC与∠AOD是邻补角，所以∠AOC+∠AOD=180°。 4. 垂线的定义与性质 · 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂直用符号“⊥”表示，如图，直线AB与CD互相垂直，记作AB⊥CD，垂足为O。 · 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。这里的“一点”可以在已知直线上，也可以在已知直线外。例如，过直线AB上一点P，有且只有一条直线PC与AB垂直；过直线AB外一点Q，有且只有一条直线QD与AB垂直。 · 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。如图，点P是直线AB外一点，PO⊥AB于点O，线段PO的长度就是点P到直线AB的距离，且对于直线AB上任意其他点M（不同于O），都有PO＜PM。 知识点2 ： 同位角、内错角、同旁内角 1. 三线八角模型 两条直线被第三条直线所截，形成八个角，通常称为“三线八角”。其中，两条被截的直线叫做“被截线”，截第三条直线的直线叫做“截线”。例如，直线a、b被直线c所截，形成∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8这八个角，其中a、b是被截线，c是截线。 2. 同位角的概念与识别 · 概念：在两条被截直线的同一方，且在截线的同侧的两个角叫做同位角。 · 位置特征：“F”型结构。如图，直线a、b被直线c所截，∠1与∠5都在直线a、b的上方（同一方），且在截线c的左侧（同侧），所以∠1与∠5是同位角；同理，∠2与∠6（上方、右侧）、∠3与∠7（下方、左侧）、∠4与∠8（下方、右侧）也都是同位角。 3. 内错角的概念与识别 · 概念：在两条被截直线之间，且在截线的两侧的两个角叫做内错角。 · 位置特征：“Z”型结构。如图，∠3与∠5都在直线a、b之间（内部），且∠3在截线c的左侧，∠5在截线c的右侧（两侧），所以∠3与∠5是内错角；同理，∠4与∠6也在直线a、b之间，且在截线c的两侧，因此∠4与∠6也是内错角。 4. 同旁内角的概念与识别 · 概念：在两条被截直线之间，且在截线的同侧的两个角叫做同旁内角。 · 位置特征：“U”型结构。如图，∠3与∠6都在直线a、b之间（内部），且都在截线c的右侧（同侧），所以∠3与∠6是同旁内角；同理，∠4与∠5都在直线a、b之间，且都在截线c的左侧（同侧），因此∠4与∠5也是同旁内角。 5. 角的位置关系判断步骤 · 第一步：明确哪两条直线是被截线，哪一条是截线。通常，截线是两个角的公共边所在的直线。 · 第二步：根据各类角的位置特征（同位角“F”型、内错角“Z”型、同旁内角“U”型），判断角与被截线、截线的位置关系，从而确定角的类型。例如，判断∠1和∠2的关系，先找出它们的公共边作为截线，再看另两边所在的直线为被截线，然后观察它们在被截线的同一方/之间以及截线的同侧/两侧，进而确定是同位角、内错角还是同旁内角。 知识点3 ： 平行线 1. 平行线的定义与表示方法 · 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 · 表示方法：平行用符号“∥”表示，直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD，读作“AB平行于CD”。需要注意的是，“在同一平面内”是定义的重要前提，因为在空间中，不相交的直线不一定平行（可能异面）。 2. 平行线的基本事实（平行公理）及推论 · 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。例如，点P是直线AB外一点，那么过点P有且只有一条直线CD与AB平行。 · 推论（平行公理的推论）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行。几何语言表述为：如果a∥b，b∥c，那么a∥c。 【题型1 相交线的定义】 例1．如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 例2．如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．如图，用几何语言叙述图的含义是 ． 变式2．已知条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为个，最少为个，则 ． 变式3．如图，平面内有A，B，C，D四点．按下列语句画图： (1)画射线，直线，线段； (2)连接与相交于点E． 【题型2 对顶角的定义与性质】 例1．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 例2．如图，直线与相交于点O，射线在内部，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，直线、、相交于点O，的对顶角是 ，的邻补角是 ． 变式2．如图，直线、相交于点，，．则 ． 变式3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 【题型3 垂线的定义与作图】 例1．如图所示，直线相交于点O，于O，若，则（    ） A． B． C． D． 例2．如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．如图所示，直线，相交于点O，，，，的度数为 ． 变式2．如图，，，平分，则的度数为 ． 变式3．在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 【题型4 垂线段最短】 例1．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 例2．有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 变式1．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 变式2．如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 变式3．如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【题型5 点到直线的距离】 例1．如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 例2．如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 变式1．如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 变式2．如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 变式3．如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 【题型6 同位角、内错角、同旁内角的定义】 例1．如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 例2．下列各选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 变式2．如图，在，，，，和中，同位角的对数为a，内错角的对数为b，同旁内角的对数为c，则 ． 变式3．如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【题型7 平行线的定义与基本事实】 例1．下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果，那么点M是的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例2．下列说法中错误的个数是（   ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行    （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种    （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，与一条侧棱平行的棱共有 条． 变式2．观察教室的形状，它是一个长方体．与地面垂直的棱有 条，这些棱都互相 ． 变式3．如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【题型8 平面内直线的位置关系】 例1．将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 例2．在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 变式1．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是 ． 变式2．在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是 ． 变式3．如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 【题型9 平行公理的应用】 例1．下列说法正确的是（    ） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．已知线段，则点是线段的中点 例2．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 变式1．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 变式2．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 变式3．如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”． (1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？ (3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？ 【题型10 相交线的规律】 例1．若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 例2．a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 变式1．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 变式2．如果4条直线两两相交，最多有 个交点，最少有 个交点. 变式3．问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线产生的交点个数情况．（是不小于3的正整数） (1)【初探】当时，交点个数有________个；当时，交点个数有________个； (2)【再探】当时，交点个数最多有________个； (3)【归纳】请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线最多能产生多少个交点； (4)【运用】在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有多少对对顶角？ 1．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，则与是（   ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．邻补角 3．如图，直线被直线所截，则的同位角是（   ） A． B． C． D． 4．同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线互相平行，则这三条直线交点的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．下列说法中错误的有（　　） ①延长线段到C，使，则；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③角的大小与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为 ． 7．观察图，并完成下面的填空： （1）与 是同位角； （2）与 是内错角； （3）与 是同旁内角． 8．如图，在中，，过点B作三角形的边上的高，过D点作三角形的边上的高． （1）的同位角是 ． （2）的内错角是 ． （3）点B到直线的距离是线段 的长度． （4）点D到直线的距离是线段 的长度． 9．已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是 ． 10．平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是 ． 11．在下列各图中，分别过点P画的垂线． 12．如图，直线、被直线所截，和，和，和各是什么位置关系的角？ 13．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 14．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 15．如图，已知三角形，点D在边上． (1)过点A作的平行线； (2)过点D作的垂线段，垂足为F；比较线段与的大小： （“”“”或“”填空），理由： ； (3)测量点B到直线的距离为 （精确到）． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 直线的相交 同位角、内错角、同旁内角 平行线 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 直线的相交 1. 相交线的定义 如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，这个公共点叫做它们的交点。例如：直线AB与直线CD相交于点O，其中点O是唯一的公共点。 2. 对顶角的概念与性质 · 概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角，∠AOD与∠BOC也是对顶角。 · 性质：对顶角相等。几何语言表述为：因为直线AB与CD相交于点O，所以∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC。 3. 邻补角的概念与性质 · 概念：两条直线相交后，有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角。如图，∠AOC与∠AOD有公共边OA，另一边OC与OD互为反向延长线，所以∠AOC与∠AOD是邻补角；同理，∠AOC与∠BOC、∠BOD与∠AOD、∠BOD与∠BOC也都是邻补角。 · 性质：邻补角互补，即邻补角的和等于180°。几何语言表述为：因为∠AOC与∠AOD是邻补角，所以∠AOC+∠AOD=180°。 4. 垂线的定义与性质 · 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂直用符号“⊥”表示，如图，直线AB与CD互相垂直，记作AB⊥CD，垂足为O。 · 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。这里的“一点”可以在已知直线上，也可以在已知直线外。例如，过直线AB上一点P，有且只有一条直线PC与AB垂直；过直线AB外一点Q，有且只有一条直线QD与AB垂直。 · 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。如图，点P是直线AB外一点，PO⊥AB于点O，线段PO的长度就是点P到直线AB的距离，且对于直线AB上任意其他点M（不同于O），都有PO＜PM。 知识点2 ： 同位角、内错角、同旁内角 1. 三线八角模型 两条直线被第三条直线所截，形成八个角，通常称为“三线八角”。其中，两条被截的直线叫做“被截线”，截第三条直线的直线叫做“截线”。例如，直线a、b被直线c所截，形成∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8这八个角，其中a、b是被截线，c是截线。 2. 同位角的概念与识别 · 概念：在两条被截直线的同一方，且在截线的同侧的两个角叫做同位角。 · 位置特征：“F”型结构。如图，直线a、b被直线c所截，∠1与∠5都在直线a、b的上方（同一方），且在截线c的左侧（同侧），所以∠1与∠5是同位角；同理，∠2与∠6（上方、右侧）、∠3与∠7（下方、左侧）、∠4与∠8（下方、右侧）也都是同位角。 3. 内错角的概念与识别 · 概念：在两条被截直线之间，且在截线的两侧的两个角叫做内错角。 · 位置特征：“Z”型结构。如图，∠3与∠5都在直线a、b之间（内部），且∠3在截线c的左侧，∠5在截线c的右侧（两侧），所以∠3与∠5是内错角；同理，∠4与∠6也在直线a、b之间，且在截线c的两侧，因此∠4与∠6也是内错角。 4. 同旁内角的概念与识别 · 概念：在两条被截直线之间，且在截线的同侧的两个角叫做同旁内角。 · 位置特征：“U”型结构。如图，∠3与∠6都在直线a、b之间（内部），且都在截线c的右侧（同侧），所以∠3与∠6是同旁内角；同理，∠4与∠5都在直线a、b之间，且都在截线c的左侧（同侧），因此∠4与∠5也是同旁内角。 5. 角的位置关系判断步骤 · 第一步：明确哪两条直线是被截线，哪一条是截线。通常，截线是两个角的公共边所在的直线。 · 第二步：根据各类角的位置特征（同位角“F”型、内错角“Z”型、同旁内角“U”型），判断角与被截线、截线的位置关系，从而确定角的类型。例如，判断∠1和∠2的关系，先找出它们的公共边作为截线，再看另两边所在的直线为被截线，然后观察它们在被截线的同一方/之间以及截线的同侧/两侧，进而确定是同位角、内错角还是同旁内角。 知识点3 ： 平行线 1. 平行线的定义与表示方法 · 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 · 表示方法：平行用符号“∥”表示，直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD，读作“AB平行于CD”。需要注意的是，“在同一平面内”是定义的重要前提，因为在空间中，不相交的直线不一定平行（可能异面）。 2. 平行线的基本事实（平行公理）及推论 · 基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。例如，点P是直线AB外一点，那么过点P有且只有一条直线CD与AB平行。 · 推论（平行公理的推论）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行。几何语言表述为：如果a∥b，b∥c，那么a∥c。 【题型1 相交线的定义】 例1．如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 【答案】B 【分析】本题主要考查点和线的位置关系，角的表示以及相关的数学语言，根据点和线的位置关系以及数学语言判断即可． 【详解】解：A．点P在直线m外，该选项错误； B．直线m和n相交于点O，该选项正确； C．可以表示成，该选项错误； D．射线和射线表示不同射线，该选项错误． 故选：B． 例2．如图，点分别在直线、上，分别过点作平行于、的直线，则四条直线的交点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线与相交线，根据平行线与相交线的定义并结合图形判断即可． 【详解】解：如图， 由题意，知，， ∴与、各有一个交点，与、各有一个交点，与没有交点，与没有交点， ∴四条直线的交点个数为4， 故选：C． 变式1．如图，用几何语言叙述图的含义是 ． 【答案】线段AB和直线c相交于点P 【分析】本题主要考查了几何语言运用，掌握数学术语比较重要．利用几何语言叙述． 【详解】解：图中有线段，直线c,它们相交于点P；用几何语言叙述图的含义是：线段和直线c相交于点P． 故答案为：线段和直线c相交于点P． 变式2．已知条直线中的任意两条直线都相交，若交点数最多为个，最少为个，则 ． 【答案】 【分析】由题意可得6条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出M，m的值，从而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1； 任意两直线相交都产生一个交点时交点最多， ∵任意三条直线不过同一点， ∴此时点为：6×（6-1）÷2=15，即M=15； ∴M-m=14． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了平面图形，得到6条直线相交于一点时交点最少；任意两直线相交都产生一个交点时交点最多是解题的关键． 变式3．如图，平面内有A，B，C，D四点．按下列语句画图： (1)画射线，直线，线段； (2)连接与相交于点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据射线，直线，线段的定义画图即可； （2）按题目要求标出点E即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）如图即为所求． 【点睛】本题主要考查了作图-复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图． 【题型2 对顶角的定义与性质】 例1．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟悉对顶角定义是解题关键. 【详解】解：根据对顶角性质，两个角只有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线； 故选：A. 例2．如图，直线与相交于点O，射线在内部，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直、对顶角相等，熟练掌握垂直的定义是解题关键．先根据垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 故选：B． 变式1．如图，直线、、相交于点O，的对顶角是 ，的邻补角是 ． 【答案】 / 或 【分析】本题主要考查邻补角及对顶角的定义，熟练掌握邻补角及对顶角的定义是解题的关键；因此此题可根据邻补角及对顶角的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：的对顶角是， ∵， ∴的邻补角是或； 故答案为：，或． 变式2．如图，直线、相交于点，，．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质．根据对顶角相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 变式3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据补角的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义得出 （3）根据对顶角的性质以及角平分线的定义解答即可； （4）根据，可得，根据角平分线的定义可得，由平角为可求出的度数，最后根据角平分线的定义与角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：图中的补角是， 故答案为：； （2）解：∵OD平分，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． （4）解：∵， ∴， 即． ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 又∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，补角的概念，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 【题型3 垂线的定义与作图】 例1．如图所示，直线相交于点O，于O，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，角的和差计算，解题的关键是掌握以上知识点． 根据垂直的定义与角的和差计算即可． 【详解】解：于点O， ， ， ， 故选：C． 例2．如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查垂线的定义，角的概念，对顶角、邻补角的定义，准确识图，理解垂线的定义，对顶角、邻补角的定义是解决问题的关键． 根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：①∵直线，相交于点，， ∴， 故条件①能说明； ②∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故条件②能说明； ③∵直线，相交于点， ∴， 根据已知条件，不能得到， 故条件③不能说明； ④∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， 故条件④能说明， 综上所述：能说明的条件有①②④，共3个． 故选：C． 变式1．如图所示，直线，相交于点O，，，，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线的性质（两直线垂直则夹角为）与对顶角的性质（对顶角相等），熟练运用这两个性质是解决此类角度计算问题的关键．先依据垂线的性质确定直角（），再通过角度差求出，结合对顶角相等得到，最后利用角度和求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．如图，，，平分，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直定义，角的和差，数形结合是解题的关键．先求出的度数，再根据角平分线的定义求即可． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 变式3．在如图所示的方格纸中，是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题． (1)过点画的垂线，交于点，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为． ①线段的长度是点到_____的距离，______是点到的距离； ②线段、、、的大小关系是_______（用“<”号连接），依据是：_______． (3)过点画直线，（点与点在直线的同侧）若，则____（用含的代数式表示）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析；①，；②，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 (3) 【分析】此题考查的是网格作图，点到直线的距离，垂线的性质，掌握垂线的性质是解决此题的关键． （1）画出垂线，然后根据图形即可推出结论； （2）画出垂线，然后根据点到直线的距离以及垂线段最短可得结果； （3）作出图形后，再根据余角的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，图中该垂线经过的格点有点、、、． （2）解：如图所示． ①，， ∴线段的长度是点到的距离，是点到的距离． 故答案为：，． ②如图，，， ． ， ． ． 依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （3）如图所示， ， ． ． ， ． ， ． 故答案为：． 【题型4 垂线段最短】 例1．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识．根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可． 【详解】解：A、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”； B、两钉子固定木条用到的是两点确定一条直线； C、木板上弹墨线用到的是两点确定一条直线； D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短； 故选：A． 例2．有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】先明确 “垂线段最短”、“两点之间线段最短” 的区别，再逐一分析每个说法对应的数学知识：“垂线段最短”：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短；“两点之间线段最短”：两点之间的所有连线中，线段最短． 【详解】解：①把弯曲的河道改成直道，缩短航程，运用的是 “两点之间线段最短”，不是 “垂线段最短”； ②在渠岸边上找使，沿挖水沟最短，运用的是 “垂线段最短”（到直线的垂线段最短）； ③∵ ，∴ 是点 到直线的垂线段，根据 “垂线段最短”，，两车速度相同，甲车路程更短，所以甲车先到城，运用的是 “垂线段最短”． 因此，运用 “垂线段最短” 的是②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了 “垂线段最短” 与 “两点之间线段最短” 的概念，解题关键是区分两种性质的适用场景：“两点之间线段最短” 适用于两点间的连线，“垂线段最短” 适用于直线外一点到直线的线段． 变式1．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 变式2．如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】根据题意可直接进行求解． 本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意． 【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 变式3．如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)射线，线段 (4)，点到直线的距离，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线的定义及点到直线的距离，熟练掌握垂线的定义及点到直线的距离是解题的关键； （1）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （2）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （3）根据点到直线的距离可进行求解； （4）根据点到直线的距离，垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：线段的长度是点到射线的距离，线段的长度是点到直线的距离； 故答案为射线，线段； （4）解：由图可知：，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为，点到直线的距离，垂线段最短． 【题型5 点到直线的距离】 例1．如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键． 先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点到所在直线的距离，是从向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点到的距离． 故选：D． 例2．如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离． 根据高的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴点B到的距离是线段的长度． 故选：C． 变式1．如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离．由点到直线的距离定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为： 变式2．如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 【答案】 /度 / 【分析】本题考查的是邻补角的含义，点到直线的距离，根据邻补角与点到直线的距离的含义可得答案． 【详解】解：直线、相交于点，，则直线、的夹角是： ， ∵于点， ∴线段的长度表示点到直线的距离． 故答案为：， 变式3．如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，； (4)垂直，，． 【分析】本题考查了作垂线，高的定义． （1）作即可； （2）作即可； （3）根据垂线段最短作答，并量出的长即可； （4）由（2）可知，根据垂线段最短作答，并量出的长即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：点A到直线上点的距离最短，约为． 故答案为：，； （4）解：与的位置关系是垂直，量出点B到直线的距离应是线段的长度，约为． 故答案为：垂直，，． 【题型6 同位角、内错角、同旁内角的定义】 例1．如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三线八角，根据内错角的定义，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，的内错角是； 故选D． 例2．下列各选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角．同位角是两直线被第三条直线所截形成的，具有特殊位置关系的两个角，解决本题的关键是观察图中两个角的位置关系，是否符合同位角的位置关系． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项符合题意； B、和是内错角，故此选项不符合题意； C、和是同旁内角，故此选项不符合题意； D、和是两条直线被第三条直线所截形成的，但是在截线的左侧，在截线的右侧，不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：A． 变式1．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 【答案】 与，与，与，与 14 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 先根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别找出图中这三类角的具体组合并数出对数，再将三类角的对数相加得到结果． 【详解】解：同位角有与，与，与，与，与，与，所以； 内错角有与，与，与，与，所以； 同旁内角有与，与，与，与，所以， 所以． 故答案为：与，与，与，与；14． 变式2．如图，在，，，，和中，同位角的对数为a，内错角的对数为b，同旁内角的对数为c，则 ． 【答案】16 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的概念去计算出的值并计算即可． 本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的基本概念，熟练掌握并能够识别是解决本题的关键． 【详解】解：同位角有与，与； 内错角有与，与； 同旁内角有与，与，与，与． 故，，， ∴． 故答案为：16． 变式3．如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【答案】(1)是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角 (2)，理由见解析； 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角； （2）解：，理由如下： ， ； ， ． 【题型7 平行线的定义与基本事实】 例1．下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果，那么点M是的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查对顶角性质、平行公理、垂线段最短性质和中点定义，根据以上知识点逐项判断正误即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两直线相交，对顶角相等，原说法正确； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，原说法正确； ④当点在线段上时，才表示M是的中点，否则不一定，故原说法错误； 综上所述，正确的有2个， 故选：C． 例2．下列说法中错误的个数是（   ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行    （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种    （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线和对顶角的相关概念，需根据初中数学教材中的定义和公理进行判断，即可 【详解】（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行：该说法错误，因为只有当点不在已知直线上时成立，若点在已知直线上，则无法作出平行线； （2）不相交的两条直线叫做平行线：该说法错误，因为缺少“在同一平面内”的条件； （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种：该说法正确； （4）相等的角是对顶角：该说法错误，因为相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角； 错误的有（1）、（2）、（4），共3个， 故选C 变式1．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，与一条侧棱平行的棱共有 条． 【答案】 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．平行六面体的侧棱互相平行，因此与一条侧棱平行的棱只有其他三条侧棱． 【详解】解：平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，其侧棱均互相平行．对于任意一条侧棱，其余三条侧棱与之平行，故与它平行的棱共有3条． 故答案为：3． 变式2．观察教室的形状，它是一个长方体．与地面垂直的棱有 条，这些棱都互相 ． 【答案】 4 平行 【分析】本题考查长方体棱的位置关系，解题关键是明确长方体棱的分组及垂直、平行的定义． 根据长方体的性质，与地面垂直的棱是竖直棱，数量为4条，且这些棱都互相平行． 【详解】教室的形状为长方体，长方体共有12条棱，分为长、宽、高三组，每组各4条． 地面可看作长方体的一个底面，与地面垂直的棱是连接底面和顶面的4条高，这4条棱垂直于底面所在平面． 因为这4条棱的方向完全相同， 所以它们互相平行． 综上，与地面垂直的棱有4条，这些棱都互相平行． 故答案为：4，平行． 变式3．如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查过直线外一点作已知直线的平行线．先将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿已知直线平移三角板，直到三角板的另一条直角边与O点重合，沿这条直角边过O点向已知直线作一条垂线，然后再将三角板这条直角边沿所作垂线向上平移，直到底下的直角边与O点重合，最后过O点沿三角板底下的直角边作一条直线，这就是已知直线的平行线． 【详解】解：如图所示，直线b即为所求． 【题型8 平面内直线的位置关系】 例1．将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面上直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线的位置关系解答即可． 【详解】解：观察图形可知，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行． 故选：A． 例2．在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，从题目中找出各直线间的位置关系是解题的关键． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴． …… 可知从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，， ∵ ， ∴ ． 故选：A． 变式1．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是 ． 【答案】 垂直 【分析】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同一平面内有2023条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 变式2．在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行公理及其推论，即若两条平行线中的一条垂直于另一条直线，那么另一条也垂直于这条直线． 根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 同一平面内，已知直线a、b、c，且， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：． 变式3．如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 【答案】(1)①，③，②，④ (2)不是，同一平面 【分析】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的判定方法，垂直的定义． （1）平行线的判定方法，垂直的定义即可判断； （2）由图形即可得到答案． 【详解】（1）根据图可知，，，， 故答案为：①，③，②，④； （2）与所在的直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线． 故答案为：不是，同一平面． 【题型9 平行公理的应用】 例1．下列说法正确的是（    ） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．已知线段，则点是线段的中点 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理，对顶角的定义，垂线的性质，以及两点间的距离，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．根据平行公理以及推论，对顶角的定义两点间的距离对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、应为：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误； B、应为：有公共顶点且两边分别互为反向延长线的两个角是对顶角，故本选项错误； C、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，故本选项正确； D、已知线段，A、B、C三点不一定共线，所以，点B不一定是线段的中点，故本选项错误． 故选：C． 例2．下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 变式1．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 变式2．如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：∵当时，时，． 点在同一直线上，其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：②． 变式3．如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”． (1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？ (3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？ 【答案】(1)正面（答案不唯一） 上面（答案不唯一） 右面（答案不唯一） (2)    ，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查同一平面内两直线平行．能从复杂的图形中找出同向线段，就要求同学们练就一双慧眼，这与平时的努力是密不可分的，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （）正面、、、是平行的，、平行，、平行；上面相互平行，平行；右侧平行，平行；据此分别找出一组平行线即可； （）与都与平行，所以平行；′与′平行，′与垂直，因为它们不在同一平面内，所以是异面垂直． （）根据平行线的定义作答即可． 【详解】（1）解：正面、、、是平行的，、平行； ∴正面：（答案不唯一）， 上面：上面相互平行，平行； ∴； 右侧：平行，平行 ∴； 故答案为：正面：；上面：；右侧：；（答案不唯一） （2）解：∵，，，， ∴，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3）解：图中所在的直线与所在的直线没有公共点，不能说明这两条直线平行，比如直线与直线也具有类似位置关系，这样的两条直线不在同一个平面内，由此可知在叙述平行线的概念时，应注意叙述平行线的概念时应注意“在同一平面内”这一限制条件，即在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． 【题型10 相交线的规律】 例1．若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 例2．a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键． 分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点解答即可． 【详解】解：①三条直线两两平行，没有交点； ②三条直线交于一点，有一个交点； ③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； ④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点． 综上，它们的交点可能有0，1，2或3个． 故选：B． 变式1．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】 【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则有  个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵由已知总结出在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴8条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 变式2．如果4条直线两两相交，最多有 个交点，最少有 个交点. 【答案】 6， 1 【分析】根据相交线的特点，可得答案． 【详解】解：最多交点个数为=，最少有1个交点. 故答案为6,1.． 【点睛】本题考查了相交线，关键是考虑全面，不要漏解． 变式3．问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线产生的交点个数情况．（是不小于3的正整数） (1)【初探】当时，交点个数有________个；当时，交点个数有________个； (2)【再探】当时，交点个数最多有________个； (3)【归纳】请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线最多能产生多少个交点； (4)【运用】在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有多少对对顶角？ 【答案】(1)2；3或5 (2)9 (3) (4)65；130对 【分析】（1）按要求画出图形，数一数即可； （2）按要求画出图形，数一数即可； （3）由（1）（2）的图及结果，按照不重不漏的原则，分别找出取、、、等最多交点数与之间的关系，即可求解； （4）代入（3）的代数式求解即可，根据对顶角的定义，可知每两条直线相交的一个交点处有两对对顶角，从而可求． 【详解】（1）解：当时，如图： 故答案：． 当时，如图 故答案：3或5． （2）解：当时，如图 故答案：． （3）解：由（1）（2）得： 当时，交点个数最多：； 当时，交点个数最多：； 当时，交点个数最多：； ．．．．．． 条直线时，交点个数最多：    故答案：． （4）解：当时，， ． 答：有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生65个交点，此时共有130对对顶角． 【点睛】本题考查了以直线交点数为背景的探究规律问题，准确找出规律是解题的关键． 1．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 根据对顶角的定义作出判断即可． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有D选项的是对顶角，其它都不是． 故选：D． 2．如图，已知射线BA，BC被直线EF所截，则与是（   ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．邻补角 【答案】C 【分析】本题考查内错角的判定，掌握内错角是位于截线两侧、被截直线之间的角是解题的关键． 根据与的位置：在截线两侧，且处于被截直线之间，对照各类角的定义判断． 【详解】解：射线被直线所截：与位于截线的两侧，且处于被截直线之间，符合内错角的定义． 故选：C． 3．如图，直线被直线所截，则的同位角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，由此判断即可． 【详解】解：的同位角是， 故选：C． 4．同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线互相平行，则这三条直线交点的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．两条平行直线无交点，第三条直线与这两条平行直线均相交，故有两个交点 【详解】解：设三条直线为a、b、c，其中，c不平行于a或b ∵ ， ∴ a与b无交点 ∵ c与a相交， ∴有一个交点 ∵ c与b相交， ∴有一个交点 ∴ 三条直线共有两个交点． 故选：C． 5．下列说法中错误的有（　　） ①延长线段到C，使，则；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③角的大小与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查几何基本概念，包括线段延长、距离定义、角的大小和平行公理． 逐一判断每个说法的正确性即可． 【详解】解：①：延长线段到C，使，则，正确； ②：连接两点的线段叫做两点间的距离，错误，因为两点间的距离是连接两点的线段的长度，而不是线段本身； ③：角的大小与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关，正确； ④：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确； 只有说法②错误，错误的说法的数量为1个． 故选：A． 6．如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线、对顶角的定义，根据对顶角的定义可得，结合平分，即可求解． 【详解】解：直线、相交于点，， ， 平分， ， 故答案为：． 7．观察图，并完成下面的填空： （1）与 是同位角； （2）与 是内错角； （3）与 是同旁内角． 【答案】 【分析】本题考查了同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫作同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一侧，则这样一对角叫作同旁内角；熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题关键． （1）根据同位角的定义即可得； （2）根据内错角的定义即可得； （3）根据同旁内角的定义即可得． 【详解】解：（1）与是同位角； 故答案为：． （2）与是内错角； 故答案为：． （3）与是同旁内角； 故答案为：． 8．如图，在中，，过点B作三角形的边上的高，过D点作三角形的边上的高． （1）的同位角是 ． （2）的内错角是 ． （3）点B到直线的距离是线段 的长度． （4）点D到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了同位角、内错角、点到直线的距离，熟练掌握基础概念是解题的关键． 根据同位角、内错角的概念，点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离可得答案． 【详解】解：的同位角是， 的内错角是， 点B到直线的距离是线段 的长度， 点D到直线的距离是线段 的长度， 故答案为：； ； ；． 9．已知直线a、b、c在同一平面内，如果，，那么直线a、b的位置关系是 ． 【答案】（或垂直）． 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂线的性质，解题的关键是根据平行和垂直的传递性判断直线、的位置关系． 利用平行线的性质和垂线的定义，通过分析直线、与直线的关系，得出直线、的位置关系． 【详解】，， ，即直线、的位置关系是垂直． 故答案为：（或垂直）． 10．平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 11．在下列各图中，分别过点P画的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查过一点画已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键．利用直角三角板即可完成作图． 【详解】解：如图所示： 12．如图，直线、被直线所截，和，和，和各是什么位置关系的角？ 【答案】和是内错角；和是同旁内角；和是同位角． 【分析】依据内错角、同旁内角、同位角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据图可知，直线、被直线所截， 和是内错角， 和是同旁内角， 和是同位角． 【点睛】本题考查了内错角、同旁内角、同位角的概念的理解；解题的关键是正确理解内错角、同旁内角、同位角的概念． 13．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解角度之间的和差关系． （1）先由角平分线求出，即可求解，再结合垂直的定义求解即可； （2）由题意可设，则，则，然后表示出，再由垂直的定义建立方程求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点和点均在格点上．用学具按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作线段的垂直平分线，垂足为点． (2)在图②中，过点作线段的垂线，垂足为点． (3)在图③中，过点作线段的平行线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查画垂线和平行线： （1）找到线段的中点，利用网格特点，过中点作线段的垂线即可； （2）利用网格特点，画垂线即可； （3）利用网格特点，画平行线即可. 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求； 15．如图，已知三角形，点D在边上． (1)过点A作的平行线； (2)过点D作的垂线段，垂足为F；比较线段与的大小： （“”“”或“”填空），理由： ； (3)测量点B到直线的距离为 （精确到）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，，垂线段最短 (3)（测量值可在） 【分析】本题考查了画平行线，垂线段，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握平行线的定义和垂线的定义及垂线段性质． （1）根据平行线的定义作图即可； （2）根据垂线段的定义作图，再利用垂线段的性质即可得； （3）根据点到直线的距离，利用直尺测量即可得． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图所示，即为所求， ，理由：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短 （3）利用带刻度的直尺测量，即点B到直线的距离为（测量值可在）， 故答案为：（测量值可在）． 31 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $