第七章 三角函数（单元自测·基础卷）数学人教B版必修第三册

2025-2026学年高一下学期数学单元自测 第七章 三角函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：C 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，，因此它的最小正周期为， 加上绝对值后，图像会将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图所示，    由图可知，加上绝对值后，周期不变，所以的最小正周期与一致，均为． 故选：D． 3．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 又， 则， 所以， 则． 故选：B 4．已知，比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图，在单位圆中，设， 则. 因在上单调递减，则. 又，则，从而. 故选：A 5．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，下列区间是函数的增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知函数的周期，解得． 由知，当时，函数取得最大值， ∴，解得， ∴， 令，解得，， ∴当时，的增区间是． 故选：D 6．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为圆心角，弧AB的长为， 代入弧长公式可得，解得. 所以. 由扇形面积公式可得， ， ， 所以此扇面的面积． 故选：B 7．若点的坐标为，始边为轴非负半轴，终边为射线的角为（为坐标原点），则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】 【详解】法一:，由 得， 由三角函数定义知， 所以， 因为，所以， 所以， ， 所以． 法二:由题意，可以得到所在终边刚好将单位圆均分成24份， 的终边关于原点对称，即， 所以，又， 故． 故选：B. 8．已知函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为且，可得：， 由于函数在区间上恰又个零点，即在区间上恰又个解， 因此可得：，解得：. 又， 由，得：，由此可得：， 即得：. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以， ， 所以，故A正确； 对于B，由已知可得， 因为， 所以，故B错误； 对于C，D，由， 可得，所以，故C，D都正确． 故选：ACD 10．下面关于函数叙述中正确的是（　　） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上的最大值为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【详解】对于A，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为的图象关于点对称，故B错误； 对于C：由，得，当，即时，，C正确； 对于D：又，即， 所以，所以D正确． 故选：ACD 11．水车（如图1）是古代中国人民充分利用水力资源发展出来的一种机械，它对农业的发展有巨大贡献，使耕地受地形的制约大为减轻，实现丘陵地和山坡地的开发.图1中的水车外圆周上的每个盛水桶都作逆时针方向的匀速圆周运动，将水车抽象为一个以点O为圆心的圆，将水面抽象为一条直线（如图2所示），水车上的盛水桶A视为点A，则在转动过程中点A到水面的高度h（米）与转动时间t（秒）满足函数关系式（A＞0，＞0，），其部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（   ） A．水车的外圆半径m B．点A运动一周所用的时间为1分钟 C．初始状态时直线OA与水面所成的角为 D．点A到水面的初始高度为2.5m 【答案】ABC 【详解】A选项，从图象可以看出，m，A正确； B选项，点A运动一周所用的时间为秒，即1分钟，B正确； C选项，由图象可知，，， ，故， 将代入可得，即， 又，故，解得， 故初始状态时直线OA与水面所成的角为，C正确； D选项，，令，得， 即点A到水面的初始高度为5m，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．下列角中与角的终边相同的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【详解】与角的终边相同的角的集合为． 当时，，解得， 角与角的终边不相同； 当时，，解得， 角与角的终边相同； 当时，，解得， 角与角的终边相同； 当时，，解得， 角与角的终边相同． 故答案为：②③④. 13．若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值 ． 【答案】/ 【详解】令， 则其对称中心为，所以， 又因为，所以当 时，. 故答案为：. 14．已知函数，其中，对于函数，给出以下四个结论： ①为周期函数，且周期为； ②的一条对称轴为； ③函数在上的所有零点和为； ④对于任意，恒成立. 其中所有正确结论的编号是 . 【答案】①④ 【详解】作出函数图象： 图中蓝色是正弦曲线，红色是余弦曲线，黑色粗线是函数图象， 根据图象可知：为周期函数，由于当和时，， 由图可知当时，这是函数的一个周期，此时周期为，故①正确； 由图可知函数的对称轴是或，故②错误； 由图可知函数在上的所有零点为，所以，故③错误； 由， 从解析式上可以看出半个周期是余弦函数，半个周期是正弦函数， 也就是说若，则， 同理：若，则， 所以总有，故④正确； 故答案为：①④ 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点.    (1)求； (2)求； (3)求的值. 【详解】（1）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得. 2分 （2）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得，， 4分 由题意知， 所以，， 所以. 7分 （3）， ， ， ， 10分 所以. 13分 16．（15分）已知函数最小正周期为． (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求函数的最值及取最值时的的值． 【详解】（1）由已知得周期，， 2分 ， ； 5分 （2）由（1）知， 令， 则， 7分 故的单调递增区间为； 9分 （3）由（1）知， 因为，所以， 所以，当，即时，函数取最大值，且最大值为， 12分 当，即时，函数取最小值，且最小值为． 15分 17．（15分）函数的图像过点，对于恒成立，此时最小值为. (1)求的解析式 . (2)若，求的范围 . (3)若在上有两个不相等实数根，求m的范围. 【详解】（1）当恒成立，此时最小值为，可知最小正周期，所以， 2分 则过点，代入得， 化简得，即，解得， 4分 因为，所以，可得； 6分 （2）当时，可得， 解得， 8分 因为，所以当时，得，当时，得， 所以的范围为. 11分 （3）当时，， 设， 可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 13分 可知， 当在上有两个不相等实数根时. 15分 18．（17分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 【详解】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图,如图： 根据图象，可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系， 2分 由数据和散点图可以得出， 4分 由，得， 所以这个港口水深与时间的关系可用近似描述． 6分 （2）①依题意，时就可以进出港，由，得， 则，解得， 8分 又，因此或，而该船1:00进港，则可以17:00离港， 又在1:00到17:00这段时间内，水深最浅时为9:00，且该时刻水深为7米，大于6.5米， 所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时． 11分 ②依题意，吃水深度，则要求为， 当，时，单调递增， 14分 又当时，，则由，解得， 所以该船应在23时停止卸货，离开港口. 17分 19．（17分）已知函数的图象关于点中心对称. (1)求的值； (2)分析在区间上的单调性； (3)设函数，若与的图象相交于，两点，为坐标原点，求的面积. 【详解】（1）因为的图象关于点中心对称，则， 即， 2分 可得，解得， 且，所以. 4分 （2）由（1）可知， 当时，则， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 6分 令，可得，令，可得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 8分 （3）由（2）可知，， 令，可得， 10分 即，解得或（舍去）， 又因为，可得或， 12分 因为，，不妨设，， 则，两点关于点对称， 14分 所以的面积. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学单元自测 第七章 三角函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，下列区间是函数的增区间的是（    ） A． B． C． D． 6．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 7．若点的坐标为，始边为轴非负半轴，终边为射线的角为（为坐标原点），则（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．已知函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．下面关于函数叙述中正确的是（　　） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上的最大值为 D．不等式的解集为 11．水车（如图1）是古代中国人民充分利用水力资源发展出来的一种机械，它对农业的发展有巨大贡献，使耕地受地形的制约大为减轻，实现丘陵地和山坡地的开发.图1中的水车外圆周上的每个盛水桶都作逆时针方向的匀速圆周运动，将水车抽象为一个以点O为圆心的圆，将水面抽象为一条直线（如图2所示），水车上的盛水桶A视为点A，则在转动过程中点A到水面的高度h（米）与转动时间t（秒）满足函数关系式（A＞0，＞0，），其部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（   ） A．水车的外圆半径m B．点A运动一周所用的时间为1分钟 C．初始状态时直线OA与水面所成的角为 D．点A到水面的初始高度为2.5m 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．下列角中与角的终边相同的是 （填序号）． ①；②；③；④． 13．若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值 ． 14．已知函数，其中，对于函数，给出以下四个结论： ①为周期函数，且周期为； ②的一条对称轴为； ③函数在上的所有零点和为； ④对于任意，恒成立. 其中所有正确结论的编号是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求；(2)求；(3)求的值. 16．（15分）已知函数最小正周期为． (1)求的值；(2)求的单调递增区间； (3)当时，求函数的最值及取最值时的的值． 17．（15分）函数的图像过点，对于恒成立，此时最小值为. (1)求的解析式 .(2)若，求的范围 . (3)若在上有两个不相等实数根，求m的范围. 18．（17分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 19．（17分）已知函数的图象关于点中心对称. (1)求的值；(2)分析在区间上的单调性； (3)设函数，若与的图象相交于，两点，为坐标原点，求的面积. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学单元自测 第七章 三角函数·基础通关（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C D B A D B B B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ACD ACD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．②③④. 13． 14．①④ 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得. 2分 （2）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得，， 4分 由题意知， 所以，， 所以. 7分 （3）， ， ， ， 10分 所以. 13分 16．【详解】（1）由已知得周期，， 2分 ， ； 5分 （2）由（1）知， 令， 则， 7分 故的单调递增区间为； 9分 （3）由（1）知， 因为，所以， 所以，当，即时，函数取最大值，且最大值为， 12分 当，即时，函数取最小值，且最小值为． 15分 17．【详解】（1）当恒成立，此时最小值为，可知最小正周期，所以， 2分 则过点，代入得， 化简得，即，解得， 4分 因为，所以，可得； 6分 （2）当时，可得， 解得， 8分 因为，所以当时，得，当时，得， 所以的范围为. 11分 （3）当时，， 设， 可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 13分 可知， 当在上有两个不相等实数根时. 15分 18．【详解】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图,如图： 根据图象，可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系， 2分 由数据和散点图可以得出， 4分 由，得， 所以这个港口水深与时间的关系可用近似描述． 6分 （2）①依题意，时就可以进出港，由，得， 则，解得， 8分 又，因此或，而该船1:00进港，则可以17:00离港， 又在1:00到17:00这段时间内，水深最浅时为9:00，且该时刻水深为7米，大于6.5米， 所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时． 11分 ②依题意，吃水深度，则要求为， 当，时，单调递增， 14分 又当时，，则由，解得， 所以该船应在23时停止卸货，离开港口. 17分 19．【详解】（1）因为的图象关于点中心对称，则， 即， 2分 可得，解得， 且，所以. 4分 （2）由（1）可知， 当时，则， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 6分 令，可得，令，可得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 8分 （3）由（2）可知，， 令，可得， 10分 即，解得或（舍去）， 又因为，可得或， 12分 因为，，不妨设，， 则，两点关于点对称， 14分 所以的面积. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一下学期数学单元自测 第七章 三角函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，下列区间是函数的增区间的是（    ） A． B． C． D． 6．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 7．若点的坐标为，始边为轴非负半轴，终边为射线的角为（为坐标原点），则（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．已知函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．下面关于函数叙述中正确的是（　　） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上的最大值为 D．不等式的解集为 11．水车（如图1）是古代中国人民充分利用水力资源发展出来的一种机械，它对农业的发展有巨大贡献，使耕地受地形的制约大为减轻，实现丘陵地和山坡地的开发.图1中的水车外圆周上的每个盛水桶都作逆时针方向的匀速圆周运动，将水车抽象为一个以点O为圆心的圆，将水面抽象为一条直线（如图2所示），水车上的盛水桶A视为点A，则在转动过程中点A到水面的高度h（米）与转动时间t（秒）满足函数关系式（A＞0，＞0，），其部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（   ） A．水车的外圆半径m B．点A运动一周所用的时间为1分钟 C．初始状态时直线OA与水面所成的角为 D．点A到水面的初始高度为2.5m 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．下列角中与角的终边相同的是 （填序号）． ①；②；③；④． 13．若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值 ． 14．已知函数，其中，对于函数，给出以下四个结论： ①为周期函数，且周期为； ②的一条对称轴为； ③函数在上的所有零点和为； ④对于任意，恒成立. 其中所有正确结论的编号是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求；(2)求；(3)求的值. 16．（15分）已知函数最小正周期为． (1)求的值；(2)求的单调递增区间； (3)当时，求函数的最值及取最值时的的值． 17．（15分）函数的图像过点，对于恒成立，此时最小值为. (1)求的解析式 .(2)若，求的范围 . (3)若在上有两个不相等实数根，求m的范围. 18．（17分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 19．（17分）已知函数的图象关于点中心对称. (1)求的值；(2)分析在区间上的单调性； (3)设函数，若与的图象相交于，两点，为坐标原点，求的面积. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $