第07讲 分式的概念、基本性质（寒假预习讲义）八年级数学新教材苏科版

第07讲 分式的概念 分式的基本性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 分式的概念 1. 分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 分析：分式是不同于整式的另一类代数式。这里的关键在于“B中含有字母”，这是分式与整式（分母为常数）的根本区别。例如，是整式（分母为常数2），而是分式（分母含有字母x）。分子A可以是任何整式，包括单项式和多项式，甚至可以是常数。 2. 分式有意义、无意义的条件 · 分式有意义的条件：分式的分母不等于0，即当时，分式有意义。 · 分式无意义的条件：分式的分母等于0，即当时，分式无意义。 分析：因为分数的分母不能为0，分式作为分数的“推广”，其分母同样不能为0。判断一个分式是否有意义，只需关注分母，与分子无关。例如，对于分式，当即时，分式有意义；当时，分式无意义。 3. 分式的值为零的条件 分式的值为零，需要同时满足两个条件： 1. 分子的值等于0，即； 2. 分母的值不等于0，即。 分析：分式的值为零，首先分子必须为零，这是前提。但仅仅分子为零还不够，因为如果分母同时也为零，分式本身无意义，更谈不上值为零了。例如，对于分式，要使其值为零，需且。由得或，再由得，所以时，分式的值为零。 知识点2 ： 分式的基本性质 1. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示是： ，（其中M是不等于0的整式）。 分析：这是分式变形的理论依据，与分数的基本性质类似。核心在于“都乘（或除以）”和“同一个不等于0的整式”。“都”意味着分子和分母要同时进行相同的运算，不能只对分子或只对分母进行。“同一个”保证了变形的一致性。“不等于0的整式”是因为如果M为0，那么分母B×M就为0，分式无意义，所以M不能为0。例如，（），（）。 2. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。即： ，。 分析：这个法则可以看作是分式基本性质的推论。例如，，可以将分子的负号提到分式前面，变为；也可以将分母变为，分子保持$a$，即，它们的值是相等的。同样，，分子分母同时改变符号，相当于分子分母同乘-1（M=-1≠0），根据基本性质，分式的值不变，所以等于。在进行分式运算或化简时，合理运用符号法则可以使表达式更简洁。 3. 分式的约分 · 公因式：一个分式的分子与分母都含有的相同的因式，叫做这个分式的分子与分母的公因式。 · 约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 · 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分一般是将分式化为最简分式。 分析：约分的关键是找出分子和分母的公因式。找公因式的方法与找多项式各项公因式的方法类似：① 系数取分子、分母系数的最大公约数；② 字母取分子、分母中相同的字母；③ 相同字母的指数取最低次幂。例如，对于分式，系数的最大公约数是2，相同字母是a和b，a的最低次幂是1，b的最低次幂是1，所以公因式是$2ab$。约分可得。约分的结果必须是最简分式，如果分子或分母是多项式，通常需要先进行因式分解，再找出公因式约分。例如，（）。 4.分式的通分 · 通分的定义 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。通分的关键在于确定各分式的最简公分母。 · 最简公分母的定义 最简公分母是指取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 · 确定最简公分母的方法步骤 1. 系数部分：取各分母系数的最小公倍数。例如，对于分母系数 4 和 6，它们的最小公倍数是 12。 2. 字母部分：取各分母中所有不同的字母。如果分母中包含相同的字母，则取该字母的最高次幂。例如，分母分别为和，字母有 x 和 y，x 的最高次幂是，y 的最高次幂是，所以最简公分母中字母部分为。 3. 综合得出：将系数的最小公倍数与字母部分的积组合起来，就是最简公分母。如上述系数最小公倍数 12 与字母部分组合，最简公分母为。 · 通分的步骤 1. 确定最简公分母：按照上述确定最简公分母的方法，先找出各分式分母的最简公分母。 2. 将各分式化为同分母分式：根据分式的基本性质，把每个分式的分子和分母都乘以适当的整式，使各分式的分母都变为最简公分母。具体操作是：用最简公分母除以原分母，得到的商作为分子和分母要乘的整式。例如，将分式和通分，最简公分母是 (6xy)。对于，，所以分子分母同乘 (3y)，得到；对于，，分子分母同乘 (2x)，得到。 · 通分的注意事项 1. 符号处理：如果分母是多项式且首项系数为负，一般先将负号提到分式本身的前面，再进行通分。例如，将化为，再与其他分式通分。 2. 分母为多项式时：先对分母进行因式分解，再确定最简公分母。例如，分母分别为和，先因式分解为 ((x + 2)(x - 2)) 和，则最简公分母为。 3. 分子的相应变化：通分时，分子必须与分母同时乘以相同的整式，以保证分式的值不变。分子相乘后的结果要进行化简（如果可以的话），但通分过程中主要保证分母统一，分子按乘法法则展开即可。 【题型1 分式有无意义】 例1．若使分式有意义，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 例2．小彤发现一个关于x的分式满足下表信息，则分式可以为（　　） x的取值 … 2 … … 分式的值 … 0 … 无意义 … A． B． C． D． 变式1．若分式有意义，则满足的条件是 ． 变式2．对于分式，当时，分式的值为零，当时，分式无意义，则 ， ． 变式3．已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分数的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 【题型2 分式的定义与值为零】 例1．下列各式：，，，，，，其中分式共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 例2．若分式的值为零，则的取值为（   ） A． B． C． D．的值不存在 变式1．若分式的值是零，则x的值为 ． 变式2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有 ，是整式的有 ．（填序号） 变式3．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【题型3 用分式表示数】 例1．浓度为的盐水m公斤与浓度为的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（    ） A． B． C． D． 例2．甲、乙两地相距千米，高速列车原计划每小时行驶千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 变式1．打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字，打字速度为w字，第二天打字速度比第一天快了10字，两天打完全部文件，第二天她打字用了 变式2．某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意填空： （1）设甲车的速度为，则乙车的速度为 ． （2）乘甲车到科技馆的时间为 h，乘乙车到科技馆的时间为 h． （3）乘甲车到科技馆的时间比乘乙车到科技馆的时间多用时间表示为 ． 变式3．解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 【题型4 分式的变形条件】 例1．下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 变式1．根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填 ； ； ． （2）；序号中应分别填 ； ； ． （3）；序号中应分别填 ； ； ． （4）．序号中应分别填 ； ； ． 变式2．下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 变式3．在下列等式中，从等号的左边到右边是通过怎样的变形得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5 将分式的分子分母的最高次项（各项系数）化为正（整）数】 例1．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 例2．改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 变式2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 变式3．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． （3）当x满足什么条件时，分式的值 ①等于0？②小于0？ 【题型6 分式的约分】 例1．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 例2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．约分： （其中）． 变式2．化简： ． 变式3．约分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型7 分式的通分】 例1．若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 例2．若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 变式1．将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以 ． 变式2．分式和通分后的结果分别为 ， ． 变式3．通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【题型8 最简分式与最简公分母】 例1．下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 例2．分式，，的最简公分母是（ ） A． B． C． D． 变式1．下列各式中，最简分式有 个． ①②③④⑤⑥⑦ 变式2．分式，，的最简公分母是 ． 变式3．通分： (1)，，； (2)，，． 【题型9 分式中的取值范围问题】 例1．已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 例2．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．如果分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 变式2．填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 变式3．阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 【题型10 分式中的取整数问题】 例1．若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 例2．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 变式1．如果分式的值是正数，那么的取值范围是 ，若分式的值为整数，则的整数值为 ． 变式2．分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 变式3．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． (1)请你直接写出方程的正整数解___________． (2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值__________． (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【题型11 分式中的变形求值问题】 例1．已知a是实数，并且，则代数式的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 例2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式1．若，则 ． 变式2．若，则 ． 变式3．已知，，求的值． 【题型12 分式中的规律性问题】 例1．已知，，，，（为正整数，且，），则（   ） A． B． C． D． 例2．对于正数x规定，例如：，，则 …………（　　） A． B． C． D． 变式1．一组按规律排列的式子：，，，，，则第10个式子是 ． 变式2．观察以下等式： 第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式；…… （1）按照以上规律，写出第6个等式： ． （2）写出第n个等式： ． 变式3．观察下列式子：，，，…… (1)请你写出第五个式子：____________ (2)请你用字母n写出第n个式子____________，并加以证明。 (3)利用上面知识解决下列问题： 一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照这种倒水的方法，求倒n次倒出的总水量有多少L？ 1．下列式子中属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．将分式中的a、b的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值（　　） A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．缩小2倍 D．缩小4倍 3．如图，表格中的代表的是一个分式，根据信息推理可知，此分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 4．下列等式中，成立的是（    ）． A． B． C． D． 5．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 6．若要分式有意义，则x需满足的条件是 ． 7．化简分式： ． 8．分式，的最简公分母是 ． 9．已知，则 ． 10．已知，，不同时为，且，那么的值为 ． 11．约分： (1)； (2)． 12．下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当时，分式有意义． 乙：式子是分式还是整式？ 解：∵原式，故是整式． 丙：化简分式． 解：． 13．【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，分式都有意义． 14．某校有两块草坪，草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，其中，设两块草坪的面积分别为． (1)请用含的式子分别表示，并比较与的大小； (2)求的值（用含的式子表示）． 15．阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 分式的概念 分式的基本性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 分式的概念 1. 分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 分析：分式是不同于整式的另一类代数式。这里的关键在于“B中含有字母”，这是分式与整式（分母为常数）的根本区别。例如，是整式（分母为常数2），而是分式（分母含有字母x）。分子A可以是任何整式，包括单项式和多项式，甚至可以是常数。 2. 分式有意义、无意义的条件 · 分式有意义的条件：分式的分母不等于0，即当时，分式有意义。 · 分式无意义的条件：分式的分母等于0，即当时，分式无意义。 分析：因为分数的分母不能为0，分式作为分数的“推广”，其分母同样不能为0。判断一个分式是否有意义，只需关注分母，与分子无关。例如，对于分式，当即时，分式有意义；当时，分式无意义。 3. 分式的值为零的条件 分式的值为零，需要同时满足两个条件： 1. 分子的值等于0，即； 2. 分母的值不等于0，即。 分析：分式的值为零，首先分子必须为零，这是前提。但仅仅分子为零还不够，因为如果分母同时也为零，分式本身无意义，更谈不上值为零了。例如，对于分式，要使其值为零，需且。由得或，再由得，所以时，分式的值为零。 知识点2 ： 分式的基本性质 1. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示是： ，（其中M是不等于0的整式）。 分析：这是分式变形的理论依据，与分数的基本性质类似。核心在于“都乘（或除以）”和“同一个不等于0的整式”。“都”意味着分子和分母要同时进行相同的运算，不能只对分子或只对分母进行。“同一个”保证了变形的一致性。“不等于0的整式”是因为如果M为0，那么分母B×M就为0，分式无意义，所以M不能为0。例如，（），（）。 2. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。即： ，。 分析：这个法则可以看作是分式基本性质的推论。例如，，可以将分子的负号提到分式前面，变为；也可以将分母变为，分子保持$a$，即，它们的值是相等的。同样，，分子分母同时改变符号，相当于分子分母同乘-1（M=-1≠0），根据基本性质，分式的值不变，所以等于。在进行分式运算或化简时，合理运用符号法则可以使表达式更简洁。 3. 分式的约分 · 公因式：一个分式的分子与分母都含有的相同的因式，叫做这个分式的分子与分母的公因式。 · 约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 · 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分一般是将分式化为最简分式。 分析：约分的关键是找出分子和分母的公因式。找公因式的方法与找多项式各项公因式的方法类似：① 系数取分子、分母系数的最大公约数；② 字母取分子、分母中相同的字母；③ 相同字母的指数取最低次幂。例如，对于分式，系数的最大公约数是2，相同字母是a和b，a的最低次幂是1，b的最低次幂是1，所以公因式是$2ab$。约分可得。约分的结果必须是最简分式，如果分子或分母是多项式，通常需要先进行因式分解，再找出公因式约分。例如，（）。 4.分式的通分 · 通分的定义 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。通分的关键在于确定各分式的最简公分母。 · 最简公分母的定义 最简公分母是指取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 · 确定最简公分母的方法步骤 1. 系数部分：取各分母系数的最小公倍数。例如，对于分母系数 4 和 6，它们的最小公倍数是 12。 2. 字母部分：取各分母中所有不同的字母。如果分母中包含相同的字母，则取该字母的最高次幂。例如，分母分别为和，字母有 x 和 y，x 的最高次幂是，y 的最高次幂是，所以最简公分母中字母部分为。 3. 综合得出：将系数的最小公倍数与字母部分的积组合起来，就是最简公分母。如上述系数最小公倍数 12 与字母部分组合，最简公分母为。 · 通分的步骤 1. 确定最简公分母：按照上述确定最简公分母的方法，先找出各分式分母的最简公分母。 2. 将各分式化为同分母分式：根据分式的基本性质，把每个分式的分子和分母都乘以适当的整式，使各分式的分母都变为最简公分母。具体操作是：用最简公分母除以原分母，得到的商作为分子和分母要乘的整式。例如，将分式和通分，最简公分母是 (6xy)。对于，，所以分子分母同乘 (3y)，得到；对于，，分子分母同乘 (2x)，得到。 · 通分的注意事项 1. 符号处理：如果分母是多项式且首项系数为负，一般先将负号提到分式本身的前面，再进行通分。例如，将化为，再与其他分式通分。 2. 分母为多项式时：先对分母进行因式分解，再确定最简公分母。例如，分母分别为和，先因式分解为 ((x + 2)(x - 2)) 和，则最简公分母为。 3. 分子的相应变化：通分时，分子必须与分母同时乘以相同的整式，以保证分式的值不变。分子相乘后的结果要进行化简（如果可以的话），但通分过程中主要保证分母统一，分子按乘法法则展开即可。 【题型1 分式有无意义】 例1．若使分式有意义，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件：分母不为零，进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义需分母， ∴． 故选：C． 例2．小彤发现一个关于x的分式满足下表信息，则分式可以为（　　） x的取值 … 2 … … 分式的值 … 0 … 无意义 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为0的条件，根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）和无意义的条件（分母为0），分别验证各选项是否满足时值为0和时无意义． 【详解】解：当时，分式值为0， 分子为0且分母不为0； 当时，分式无意义， 分母为0， 对于选项A：当时，分子，分母， 分式值不为0，不符合题意； 对于选项B：当时，分母， 分式有意义，不符合题意； 对于选项C：当时，分母， 分式无意义，不符合题意； 对于选项D：当时，分子，分母， 分式值为0； 当时，分母， 分式无意义， 故选D． 变式1．若分式有意义，则满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．对于分式，当时，分式的值为零，当时，分式无意义，则 ， ． 【答案】 0 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件和分式无意义的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式无意义的条件，当时，分母为零；根据分式值为零的条件，当时，分子为零．分别代入得到关于a和b的方程，解方程组即可． 【详解】∵对于分式，当时，分式的值为零， ∴ ∴， ∴， ∵当时，分式无意义， ∴ ∴ ∴联立①②得， 解得． 故答案为：0，． 变式3．已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分数的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查分式的值和分式无意义的条件，解题的关键是根据分式的值求出字母的值及分式有意义的条件． （1）根据分式无意义的条件求解即可； （2）先根据时分式的值为0求出a的值，再根据分式的值为3求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵时分式无意义，即， ∴， 故答案为：1． （2）解：当时，分式的值为0， ， 解得， ∴原分式为 ， 当分式的值为3时，即， 解得, 经检验，是该分式方程的解， ∴． 【题型2 分式的定义与值为零】 例1．下列各式：，，，，，，其中分式共有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查分式的定义—分母中含有字母的式子，解题的关键是正确理解分式的定义．逐个判断即可． 【详解】解：，，是分式，共个． 故选：A． 例2．若分式的值为零，则的取值为（   ） A． B． C． D．的值不存在 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为零的条件．分式的值为零需满足分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 由得，即或， 又∵，即， ∴， 故选：B． 变式1．若分式的值是零，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为的条件，熟练掌握分式值为时分子为且分母不为这一条件是解题的关键． 根据分式的值为，列出方程解方程即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴，即，解得． 又∵分母，即． ∴． 故答案为：． 变式2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有 ，是整式的有 ．（填序号） 【答案】 ①③⑤⑥ ②④⑦ 【分析】此题主要考查了分式、整式的定义，正确把握定义是解题关键． 直接利用分式、整式的定义分析得出答案． 【详解】解：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是分式的有①；③；⑤；⑥，整式有：②；④；⑦， 故答案为：①③⑤⑥，②④⑦． 变式3．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键； （1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分子为0，列出方程即可得到c的值； （2）把的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）把，代入得 因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，． 整数的值可能为，，． 【题型3 用分式表示数】 例1．浓度为的盐水m公斤与浓度为的盐水n公斤混合后的溶液浓度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列分式．根据溶液浓度两种浓度的盐水中的盐的总质量两种浓度的盐水总质量，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵浓度为的盐水m公斤中含盐，浓度为的盐水n公斤中含盐， ∴混合后溶液的浓度为， 故选：D． 例2．甲、乙两地相距千米，高速列车原计划每小时行驶千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，找已知量，确定数量关系，列方程是解题关键． 【详解】解：甲、乙两地相距千米，原计划每小时行驶千米， 原计划所需时间为：小时， 实际每小时降速千米， 实际每小时行驶千米， 实际所需时间为：小时， 列车从甲地到乙地所需时间比原来增加：小时． 故选：C． 变式1．打字员要打一份12000字的文件，第一天她打字，打字速度为w字，第二天打字速度比第一天快了10字，两天打完全部文件，第二天她打字用了 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式，利用第二天打字用的时间（总字数第一天打的字数）第二天的速度，求解即可． 【详解】解：， ， ∴第二天她打字用了， 故答案为：． 变式2．某校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为，根据题意填空： （1）设甲车的速度为，则乙车的速度为 ． （2）乘甲车到科技馆的时间为 h，乘乙车到科技馆的时间为 h． （3）乘甲车到科技馆的时间比乘乙车到科技馆的时间多用时间表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，按要求构造分式，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据题意，乙车速度是甲车速度的倍； （2）根据时间等于路程除以速度求解； （3）由（2）求得的两个式子相减即可表示出时间差． 【详解】（1）解：设甲车的速度为， ∵乙车速度是甲车速度的倍， ∴故乙车速度为， 故答案为：； （2）∵该校九年级学生去距学校的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发， ∴乘甲车时间=路程/速度=h， ∵后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达， ∴乘乙车时间=h， 故答案为：，； （3）乘甲车时间比乘乙车时间多用的时间为两者之差， 即， 故答案为：． 变式3．解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了列分式，正确理解题意是解题的关键． （1）把工作总量看做单位“1”，根据工作效率等于工作总量除以工作时间即可得到答案； （2）由题意得骑自行车需要的时间为，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案； （3）根据题意可得现价是原价的，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵某项工程，甲队需t天完成， ∴该队每天完成的工作量是； （2）解：由题意得，骑自行车的平均速度是； （3）解：∵某商品降价后的售价为a元， ∴该商品的原价是元． 【题型4 分式的变形条件】 例1．下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质一一判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 例2．要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个不为零的整式，分式的值不变．变形中乘以了，因此需满足． 【详解】解：∵左边分式变形为右边分式是通过分子和分母同时乘以得到的， ∴根据分式的基本性质，必须保证，即， 故选：D． 变式1．根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填 ； ； ． （2）；序号中应分别填 ； ； ． （3）；序号中应分别填 ； ； ． （4）．序号中应分别填 ； ； ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （2）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （3）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （4）根据分子从变为可知①②其中一个为，进而根据平方差公式作答即可． 【详解】解：（1） 故答案为：，，； （2） 故答案为：，，； （3） 故答案为：，，； （4） 故答案为：，，． 变式2．下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了分式的基本性质的知识点，掌握“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变”最关键． 本题根据分式的基本性质，对每个变形进行分析，判断其是否符合该性质，进而得到哪些变形是正确的结论，即可解决判断分式变形是否正确的问题． 【详解】解：①当时，此时分母，分式不成立，无意义，不符合题意； ②由知，分子分母同时乘以，分式的值不变，即，符合题意； ③由知，分子分母同时除以，分式的值不变，即，符合题意； ④∵∴，分子分母同时乘以，分式的值不变，即，符合题意． 故答案为：②③④． 变式3．在下列等式中，从等号的左边到右边是通过怎样的变形得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分子和分母同时乘以 (2)分子和分母同时除以 (3)分子和分母同时乘以 (4)分子和分母同时除以 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键： （1）分子和分母同时乘以； （2）分子和分母同时除以； （3）分子和分母同时乘以； （4）分子和分母同时除以． 【详解】（1）解：分子和分母同时乘以； （2）分子和分母同时除以； （3）分子和分母同时乘以； （4）分子和分母同时除以． 【题型5 将分式的分子分母的最高次项（各项系数）化为正（整）数】 例1．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 例2．改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，掌握性质是关键． 根据分式只有分子系数为小数，只需要把分子扩大倍数化为整数即可解答． 【详解】解∵中只有分子中系数含有小数，     ∴，， ∴把它的分子和分母中各项系数都化为整数， 故选：B． 变式1．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）分子与分母都乘以10即可； （2）分子与分母都乘以12即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： 变式2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 变式3．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数． （3）当x满足什么条件时，分式的值 ①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①；②． 【分析】（1）分子分母同乘以5即可得； （2）将分子中的负号提出来即可得； （3）①求出分子等于0时的x的值即可； ②求出分子小于0时的x的值即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）， ， ①要使分式的值等于0，则， 解得； ②要使分式的值小于0，则， 解得． 【点睛】本题考查了分式的基本性质、一元一次方程与一元一次不等式，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 【题型6 分式的约分】 例1．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简． 分子因式分解为平方差形式，分母提取公因式，约分后得到结果． 【详解】解：． 故选：A． 例2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的约分，掌握知识点是解题的关键． 分子利用平方差公式因式分解，再与分母约分化简 【详解】解： ． 故选B． 变式1．约分： （其中）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的约分，确定分子、分母的最大公因式是解题的关键．通过约去分子和分母的最大公因式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分，先将分母进行因式分解，再进行约分即可，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 变式3．约分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查分式的约分，公因式，因式分解，约分是将分式的分子与分母中公因式约去，掌握约分，公因式，因式分解是解题关键． （1）先找出分子分母的公因式，再将公因式约分即可； （2）先将分式的分母因式分解，再约去分子与分母的公因式即可 （3）先将分式的分子因式分解，再约去分子与分母的公因式即可； （4）先将分式的分子与分母因式分解，再约去分子与分母的公因式即可； （5）先将分式的分子与分母因式分解，再约去分子与分母的公因式即可； （6）先将分式的分子与分母因式分解，再约去分子与分母的公因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解： ． 【题型7 分式的通分】 例1．若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 例2．若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通分的基本步骤，先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，计算即可． 【详解】∵分式与分式的最简公分母是， ∴分式的分母变为，则将两分式通分后，分式的分子应变为． 故选C． 变式1．将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键．将分母分解因式后，找到各分母的最简公分母作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【详解】解：分式的最简公分母为， ∴需要把的分子、分母同时乘以， 故答案为：． 变式2．分式和通分后的结果分别为 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了通分，求出最简公分母是解题的关键．先确定最简公分母为是，再按照通分的规则通分即可． 【详解】解：，， 和的最简公分母是， ， ， 故答案为：， ． 变式3．通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分． （1）找出最简公分母，进而通分即可； （2）找出最简公分母，进而通分即可； （3）找出最简公分母，进而通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 【题型8 最简分式与最简公分母】 例1．下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式． 根据最简分式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A：，可约分，不是最简分式； B：，分子和分母除了1无其它公因式，是最简分式； C：，可约分，不是最简分式； D：，可约分，不是最简分式； 故选：B． 例2．分式，，的最简公分母是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简公分母．最简公分母是各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵分母分别为， ， ， ∴系数的最小公倍数为6，各字母因式的最高次幂为， ∴分式，，的最简公分母为， 故选：B 变式1．下列各式中，最简分式有 个． ①②③④⑤⑥⑦ 【答案】2 【分析】本题主要考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：①是最简分式； ②，不是最简分式； ③不是分式； ④，不是最简分式； ⑤，不是最简分式； ⑥，不是最简分式； ⑦是最简分式； 综上分析可知：最简分式有2个． 故答案为：2． 变式2．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，解题关键是掌握最简公分母并能熟练运用求解． 根据最简公分母的求法，需将各分母因式分解后，取所有不同因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：分式、、的分母分别为、、． 其中可因式分解为， 因此所有分母的因式为和， 最简公分母为， 故答案为：． 变式3．通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)， ， (2)，， 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先对原分式的分母用提公因式法、平方差公式进行因式分解，求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母为， ， ， ； （2）解：，，， 最简公分母为， ， ， ． 【题型9 分式中的取值范围问题】 例1．已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式值的正负性，解一元一次不等式等知识点，若对于分式（）时，说明分子、分母同号；分式（）时，分子、分母异号． 根据分式的值是非负数，分母恒为正数，因此只需分子是非负数即可． 【详解】解：∵，的值是非负数， ∴，即． ∴的取值范围是． 故选：B． 例2．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查分式的值、解不等式．根据分式的值为正数得到，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正数，， ∴， 解得：． 故选：A 变式1．如果分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，解一元一次不等式，根据分式的值为负数，分子为正，则分母必须为负，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 变式2．填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 【答案】 任意实数 3或2 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性质是解题关键． （1）由分式的值为正，得到，解不等式即可； （2）根据平方的非负性以及分式的性质，即可求解； （3）由分式的值为正整数，得到或，即可求解． 【详解】解：（1）分式的值为正， ， ， 故答案为： （2）， ， ， 的取值为任意实数， 故答案为：任意实数； （3）分式的值为正整数， 或， 或2， 故答案为：3或2． 变式3．阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 【答案】(1)，不等式组无解， (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出两个不等式组的解集，即可解答； （2）先根据有理数的除法法则得出③或④，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：解不等式组①，得， 解不等式组②，得不等式组无解， 故当x满足时，分式的值为正． 故答案为：；不等式组无解；； （2）解：∵分式的值为负， ∴分子、分母异号， 原式可转化为③或④， 解不等式组③： 由，得，由，得， ∴不等式组③无解； 解不等式组④： 由，得，由，得， ∴不等式组④的解集为． 综上所述，若分式的值为负，则x的取值范围为． 【题型10 分式中的取整数问题】 例1．若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 例2．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，首先把分式整理可得：，因为分式的值是一个整数，所以是整数，所以可得或或，又因为为正整数，可得或，所以可能取值的个数是. 【详解】解：， 分式的值是一个整数， 是整数， 或或， 、、、、、， 又为正整数， 或， 可能取值的个数是. 故选：B． 变式1．如果分式的值是正数，那么的取值范围是 ，若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式的值为正数，得到，根据的值为整数，得到，求出的整数值即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴， ∴； ∵的值为整数， ∴， ∴； 故的整数值为； 故答案为：；． 变式2．分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 【答案】或0或2或8 【分析】本题考查了分式的值，原式变形为，根据题意可得是7的因数，则或，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 要使分式的值是整数，则是7的因数， ∴或， ∴或0或2或8， 故答案为：或0或2或8． 变式3．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． (1)请你直接写出方程的正整数解___________． (2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值__________． (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)4，5，6，9 (3)；0；2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，分式的值，能得出方程组的解是解（3）的关键． （1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为自然数，x为正整数，可得取6或3或2或1，即可求解； （3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或4或2或1，从而得到k取或0或2或3，再判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得： ， ∵、为正整数， ∴是3的倍数，且， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为； 故答案为：； （2）解：∵为自然数，x为正整数， ∴取6或3或2或1， ∴x可取4或5或6或9． 故答案为：4，5，6，9； （3）解：解方程组得：， ∵方程组的解是正整数， ∴8是的倍数， ∴或4或2或1， ∴k取或0或2或3， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，整数的值为；0；2． 【题型11 分式中的变形求值问题】 例1．已知a是实数，并且，则代数式的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查分式的求值，先根据，得到，，再利用整体代入法，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，，等式不成立， ∴， ∴， ∴ ∴ ； 故选C． 例2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可求出，把所求式子变形为，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 变式1．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，由已知条件 可得 ，然后将所求分式的分子和分母变形，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．由已知条件可得，代入所求分式化简即可． 【详解】解：由，得，即，所以． 则． 故答案为：． 变式3．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，准确计算是解题的关键．先根据，整理得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 则， ∴ ． 【题型12 分式中的规律性问题】 例1．已知，，，，（为正整数，且，），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了规律探究，首先根据规律计算出、、、的值，得出规律是每个数一循环，又因为，可知是第个循环的最后一个数，从而得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 可知每个数一循环， ， 是第个循环的最后一个数， ． 故选：C． 例2．对于正数x规定，例如：，，则 …………（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是注意利用计算，并能找出和之间的关系. 根据所给计算每一个值，再把所有的数值相加即可. 【详解】解：………… ………… +…+ . 故选：B 变式1．一组按规律排列的式子：，，，，，则第10个式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，观察分子和分母的规律：分子为连续偶数，分母为的连续奇数次幂，由此推导第个式子的通项公式，从而即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：分子依次为2,，4，6，8，…，可表示为； 分母依次为，，，，，可表示为， 因此第个式子为， 当时，分子为20，分母为，故第10个式子为， 故答案为：． 变式2．观察以下等式： 第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式；…… （1）按照以上规律，写出第6个等式： ． （2）写出第n个等式： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，观察等式并找到规律是解题关键． （1）按照所给的等式，逐项探究规律，写出第个等式即可； （2）根据（1）得到的规律，写出第个等式，再通分，利用分式的加减法则计算即可解答此题． 【详解】解：（1）第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：． 第个等式为：， 故答案为：； （2）， 证明： ， ， ∴左边=右边， 故答案为：． 变式3．观察下列式子：，，，…… (1)请你写出第五个式子：____________ (2)请你用字母n写出第n个式子____________，并加以证明。 (3)利用上面知识解决下列问题： 一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照这种倒水的方法，求倒n次倒出的总水量有多少L？ 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）观察各等式，根据每个等式中的分数的分子都是1，分母分别是序号数、序号数加1，求解即可； （2）根据探究出的式子存在的规律写出第n个等式并证明，即可； （3）先列出式子，再根据材料中的运算规律，直接计算和化简． 本题主要考查了数字变化规律的问题，观察、分析、归纳并发现分母与序号的关系的规律，熟练掌握发现的规律，列出代数式，裂项求和，是解决本题的关键． 【详解】（1）∵第一个式子是，， 第二个式子是，， 第三个式子是，， ∴第四个式子是， ， 第五个式子是，； 故答案为： （2）由（1）中归纳的规律知，第n个式子是， ， 证明： ∵左边， 右边 ∴左边=右边， ∴原式成立； 故答案为：； （3） （L）． 故倒n次倒出的总水量有L． 1．下列式子中属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，理解分式成立的条件是解答的关键． 分式的定义：如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不属于分式，故本选项不符合题意； B、不属于分式，故本选项不符合题意； C、不属于分式，故本选项不符合题意； D、属于分式，故本选项符合题意； 故选：D 2．将分式中的a、b的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值（　　） A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的a和b分别替换为，然后化简求出扩大后的分式，再与原分式比较即可得到答案． 【详解】解：将分式中的a、b的值同时扩大2倍，则扩大后的分式为， ∴扩大后的分式的值是原来分式的值的2倍， 故选：A． 3．如图，表格中的代表的是一个分式，根据信息推理可知，此分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，理解题意是解题的关键． 根据分式无意义可知分母为，排除选项A和B，再根据当时即可判定选项． 【详解】解：由表格可知当时分式无意义，即分母为， 故A、B选项不符合题意； 当时，分式， 当时，分式， 故D选项不符合题意，C选项符合题意 故选：C． 4．下列等式中，成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质以及分式的加减法，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 根据分式的基本性质以及分式的加法运算法则进行判断即可． 【详解】解：A．，故此选项错误，不符合题意； B．，故此选项正确，符合题意； C．，故此选项错误，不符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 5．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，分式的求值，求一个数的平方根，根据已知等式可推出，根据完全平方公式可得，据此可得答案． 【详解】解：当时，， ∴当时，， ∴两边除以得， ∴， ∵， ∴ ， 故选：D． 6．若要分式有意义，则x需满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件；分式有意义的条件是分母不为零. 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母，解得. 故答案为：. 7．化简分式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简． 通过约去分子和分母的公因式进行化简即可． 【详解】解：原分式为， 分子和分母的公因式为， 约分后得． 故答案为：． 8．分式，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，由并结合最简公分母的定义即可得解，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，的最简公分母是． 故答案为：． 9．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值． 由已知可得，求倒数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．已知，，不同时为，且，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，分式的求值，通过解方程组，将和用表示，代入所求表达式化简． 【详解】解：， 由②得，再代入①得，即， 解得， ， ，，不同时为，且 时会导致，，与条件矛盾，故， ． 故答案为：． 11．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的约分，根据分式的基本性质进行约分即可． （1）找到分子和分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）把分母和分子因式分解，找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质约分即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 12．下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正． 甲：a为何值时，分式有意义？ 解：∵原式＝， ∴当时，分式有意义． 乙：式子是分式还是整式？ 解：∵原式，故是整式． 丙：化简分式． 解：． 【答案】甲、乙、丙三位同学回答错误，过程见解析 【分析】本题考查了分式的定义和分式有意义的条件，准确分析判断是解题的关键． 分式的分母表示除数，由于除数不能为，所以分式的分母不能为，即当时，分式才有意义，当时，分式无意义，即可得解； 【详解】为何值时，分式有意义？ 根据题意，得， 解得且， 即当且时，分式有意义，所以甲同学的解答错误； 式子是分式，所以乙同学的解答错误； 化简分式， 原式，所以丙同学的解答错误． 13．【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，分式都有意义． 【答案】（1）5；（2）见解析. 【分析】本题考查了配方法的应用、分式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子求解即可； （2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据分式有意义的条件判断即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，的最小值是5； （2）证明： ， ， 当时，的最小值为5． 又， 无论取何实数，分式都有意义． 14．某校有两块草坪，草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，其中，设两块草坪的面积分别为． (1)请用含的式子分别表示，并比较与的大小； (2)求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，因式分解的应用，分式的化简，根据图形分别表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案． （1）根据题意分别表示出，然后作差求解即可； （2）列式根据分式的性质化简即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：． 15．阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 2 / 48 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $