第08讲 分式的加减、乘除（寒假预习讲义）八年级数学新教材苏科版

第08讲 分式的加减 分式的乘除 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 分式的加减 一、同分母分式的加减 法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。 公式：（其中）。 注意： 1. 分子相加减时，需将分子视为一个整体，若分子是多项式，应先用括号括起来，再进行加减运算，避免符号错误。例如：。 2. 计算结果需化为最简分式（分子与分母没有公因式）。 二、异分母分式的加减 法则：异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算。 步骤： 1. 确定最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与所有字母（或因式）的最高次幂的积作为最简公分母。例如，分式与的最简公分母是。 2. 通分：将每个分式的分子和分母同乘适当的整式，使分母都化为最简公分母。例如，，。 3. 加减运算：按同分母分式的加减法则计算，结果化为最简分式。 示例：计算 解：最简公分母为((x+1)(x-1)) 三、分式加减的应用 1. 化简求值：先化简分式，再代入字母的值计算。例如，化简，再代入，结果为。 2. 实际问题：如工程问题、行程问题中涉及分式加减运算，需根据题意列出分式表达式并求解。 知识点2 ：分式的乘除 一、分式的乘法 法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 公式：（其中，）。 注意： 1. 计算前可先约分，即分子、分母分别分解因式，再约去公因式，使计算简便。例如，（约去((x-2))和((x+1))）。 2. 结果必须是最简分式。 二、分式的除法 法则：分式除以分式，等于被除式乘以除式的倒数。 公式：（其中，，）。 步骤： 1. 将除法转化为乘法（乘以除数的倒数）。 2. 按分式乘法法则计算，先约分再相乘。 示例：计算 解： 三、分式的乘方 法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 公式：（其中，(n)为正整数）。 示例： 四、分式乘除的混合运算 顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算从左到右依次进行。 注意：有括号时先算括号内的；计算过程中及时约分，避免结果过于复杂。 示例：计算 解：原式（分解因式并转化除法为乘法） （约去公因式((x-3))、） 【题型1 同分母分式加减法】 例1．计算，结果是（    ） A． B．0 C．1 D．2 例2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．计算 ． 变式2．计算： ． 变式3．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【题型2 异分母分式加减法】 例1．化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 例2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．计算： ． 变式2．计算 ． 变式3．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3 分式加减混合运算】 例1．已知：，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．化简的结果是 变式2．计算： ． 变式3．计算： (1)． (2)． 【题型4 作差法比较大小】 例1．比较与的大小（x是正数）．下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 变式1．比较大小： 0（填“”、“”或“”）． 变式2．已知，，则的值 0．（填“”、“”或“”）． 变式3．已知，试比较与的大小． 【题型5 分式加减的实际应用】 例1．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 例2．甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（） A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关 变式1．有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式 合算．（填“甲”或“乙”或“一样”） 变式2．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 变式3．小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【题型6 分式的乘除混合运算】 例1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 例2．计算的正确结果是（　　） A． B． C． D． 变式1．化简：＝ ． 变式2．化简： ． 变式3．计算下列各式： (1)； (2)． 【题型7 分式的乘方混合运算】 例1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 例2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1． ． 变式2．计算： ． 变式3．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【题型8 分式的加减乘除混合运算】 例1．化简分式：的值为（    ） A． B． C． D． 例2．化简结果是（　　） A．2 B． C． D． 变式1．化简代数式 ． 变式2．计算： ． 变式3．分式计算 (1) (2) 【题型9 分式的化简求值】 例1．若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 例2．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 变式1．若，，则的值为 ． 变式2．已知，则的值为 ． 变式3．先化简，再求值：，其中． 【题型10 分式恒等式】 例1．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 例2．对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 变式1．若，则 ． 变式2．A，B为常数，如果，则 ． 变式3．已知，试确定A，B的值 【题型11 分式中的倒数法】 例1．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 例2．若，那么的值是（    ） A． B． C．2 D．4 变式1．若，则 变式2．设，则 ． 变式3．阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ∴，∴． 我们把以上这种解题方法叫做倒数法，请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)，则___________ ． (2)①若，求的值； ②已知，求的值． 【题型12 分式裂项】 例1．已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（   ） A． B．0 C． D．1 例2．观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 变式1．已知，，，利用发现的规律计算： ． 变式2．观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ． 变式3．下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．当时，的值是（   ） A． B． C．1 D．-1 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．化简的结果是 ． 7．计算： ． 8．计算： ． 9．若，，则代数式的值是 ． 10．A，B为常数，如果，则 ， 11．计算： (1)； (2)． 12．先化简，再求值：，其中． 13．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 分式的加减 分式的乘除 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 分式的加减 一、同分母分式的加减 法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。 公式：（其中）。 注意： 1. 分子相加减时，需将分子视为一个整体，若分子是多项式，应先用括号括起来，再进行加减运算，避免符号错误。例如：。 2. 计算结果需化为最简分式（分子与分母没有公因式）。 二、异分母分式的加减 法则：异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算。 步骤： 1. 确定最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与所有字母（或因式）的最高次幂的积作为最简公分母。例如，分式与的最简公分母是。 2. 通分：将每个分式的分子和分母同乘适当的整式，使分母都化为最简公分母。例如，，。 3. 加减运算：按同分母分式的加减法则计算，结果化为最简分式。 示例：计算 解：最简公分母为((x+1)(x-1)) 三、分式加减的应用 1. 化简求值：先化简分式，再代入字母的值计算。例如，化简，再代入，结果为。 2. 实际问题：如工程问题、行程问题中涉及分式加减运算，需根据题意列出分式表达式并求解。 知识点2 ：分式的乘除 一、分式的乘法 法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 公式：（其中，）。 注意： 1. 计算前可先约分，即分子、分母分别分解因式，再约去公因式，使计算简便。例如，（约去((x-2))和((x+1))）。 2. 结果必须是最简分式。 二、分式的除法 法则：分式除以分式，等于被除式乘以除式的倒数。 公式：（其中，，）。 步骤： 1. 将除法转化为乘法（乘以除数的倒数）。 2. 按分式乘法法则计算，先约分再相乘。 示例：计算 解： 三、分式的乘方 法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 公式：（其中，(n)为正整数）。 示例： 四、分式乘除的混合运算 顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算从左到右依次进行。 注意：有括号时先算括号内的；计算过程中及时约分，避免结果过于复杂。 示例：计算 解：原式（分解因式并转化除法为乘法） （约去公因式((x-3))、） 【题型1 同分母分式加减法】 例1．计算，结果是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先把分母进行变形，然后利用分式的减法运算进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 例2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减，掌握知识点是解题的关键． 两个分式分母相同，直接合并分子后因式分解并约分即可． 【详解】解： ． 故选A． 变式1．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同分母分式加减运算，根据两个分式分母相同，直接进行分子相减，再化简即可． 【详解】原式=， 由于， 所以． 故答案为：． 变式2．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键；通过观察分母 和互为相反数的关系，将第二个分式变形，然后合并分式，再因式分解分母并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式3．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）直接将分子相减即可； （2）直接将分子相加并约分即可； （3）将原式变形后把分子相加减，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型2 异分母分式加减法】 例1．化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了异分母分式的加法运算．通过通分将两个分式合并，利用平方差公式分解分母，然后相加化简，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：B 例2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的加减， 通过因式分解分母，并通分，合并分式后化简即可． 【详解】解： ． 故选：A． 变式1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母减法．根据分式减法的运算法则，先通分再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．计算 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的加减，正确计算是解题的关键． 根据分式加减的计算法则先通分再计算即可． 【详解】解：原式=． 故答案为 ：． 变式3．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加法和减法运算法则，是解题的关键． （1）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可； （2）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可； （3）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可； （4）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型3 分式加减混合运算】 例1．已知：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知等式两边除以，求出的值，再代入即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的混合运算，化简求值，运用了整体代入的思想方法．解题的关键是利用了等式的两边同时除以不为零的数，等式仍然成立． 例2．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减，即可得到答案． 【详解】解：原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 变式1．化简的结果是 【答案】 【分析】先通分，再用平方差公式计算，再合并同类项即可求出最终结果． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的加减混合运算，平方差公式等知识，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键． 变式2．计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的加减混合运算求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算从而完成求解． 变式3．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型4 作差法比较大小】 例1．比较与的大小（x是正数）．下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比较分式大小，将进行化简得到，利用x是正数，可得出，即可判断A和B的大小，进而可得答案，解题的关键在于正确的通分化简． 【详解】解：由题意可知： ∵x是正数， ∴，， ∴ ∴，即， 故选：C． 例2．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】根据不同选项的条件分别进行分析即可求解． 【详解】A∵.，∴当时，，，∴，∵∴，故本选项正确． B.当时,，∴，故本选项不符合题意． C.当时，分式无意义，故本选项不符合题意． D.当时，正负无法确定，故本选项不符合题意． 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题关键． 变式1．比较大小： 0（填“”、“”或“”）． 【答案】> 【分析】本题考查了实数的比较大小，异分母分式的运算．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 设，根据作答即可． 【详解】解：设， ∴， 故答案为：． 变式2．已知，，则的值 0．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，分式的加法． 将通分后得到，代入得，由， 得到，即，根据可知． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3．已知，试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出． 【详解】解：∵ ， ∵， ∴，，， ∴， ∴． 【题型5 分式加减的实际应用】 例1．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式以及分式的基本运算，能够读懂题意列出分式是解题关键； 设工作总量为1，根据甲、乙单独完成的天数表示各自的工作效率，合作效率为两者之和，再求合作所需天数． 【详解】解：设工作总量为1， ∵ 甲单独完成需天， ∴ 甲的工作效率为， ∵ 乙单独完成需天， ∴ 乙的工作效率为， ∴ 甲、乙合作的工作效率为， ∴ 合作所需天数为． 故选：A． 例2．甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（） A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式（分式），通过设距离比较时间，利用速度、路程和时间的关系，得出甲先到达的结论，与速度v无关，设从A地到B地的距离为，根据时间=路程÷速度可以求出甲、乙两人同时从A地到B地所用时间，然后比较大小即可判定选择项． 【详解】解：设A到B的距离为，则中点为s． ∵甲的速度为v， ∴甲所用时间． ∵乙先用速度到达中点，再用速度到达B地， ∴乙第一段时间，乙第二段时间， ∴乙总时间． ∵， ∴， ∴甲先到达B地． 故选：B． 变式1．有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式 合算．（填“甲”或“乙”或“一样”） 【答案】甲 【分析】本题考查分式混合运算的应用，读懂题意，掌握分式混合运算的应用是解题的关键． 求出甲乙两人分别购买两次的平均价格，进行比较即可解答． 【详解】解：甲采购两次总支付金额为1600元， 总购买数量为（千克）， 平均价格为（元/千克）． 乙采购两次总支付金额为元， 总购买数量为200千克， 平均价格为（元/千克）． ， ∵，，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴甲的平均价格较低，购货方式更合算． 故答案为：甲． 变式2．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可． 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升． 故答案为：． 变式3．小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【答案】(1) ，，， (2) 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【题型6 分式的乘除混合运算】 例1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除运算，提公因式与完全平方公式的运算，将分式的除法变为分式的乘法是解题的关键．先根据提公因式与完全平方公式计算，再将除法变为乘法约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 例2．计算的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查​分式乘除运算顺序​，​熟练掌握同级运算从左到右的规则和分式乘除法的运算法则是解题的关键． 根据分式的乘除法运算计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 变式1．化简：＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，先将除法运算转化为乘法运算，再约分化简． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ 故答案为： 变式2．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除及化简．将除法运算转化为乘法运算，对分子和分母进行因式分解后约分． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 变式3．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除法以及乘法公式．熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）按照分式的乘除法运算法则和乘法公式，进行计算即可； （2）按照分式的乘除法运算法则和乘法公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7 分式的乘方混合运算】 例1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算．先运算乘方，然后把除法转化为乘法，再约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 例2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除运算知识点，掌握分式的乘方运算法则以及分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则，对原式逐步进行乘方、转化和约分计算，得到最终的化简结果，即可解决分式的乘方与乘除混合运算问题． 【详解】解：原式 故选：A． 变式1． ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘方和乘除运算．应用指数运算法则和除法法则，先分别计算两个幂的表达式，再通过乘法取倒数进行除法运算． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式2．计算： ． 【答案】 【分析】按照分式的乘方、乘除运算法则逐步化简，即可解答． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘方与乘除混合运算，熟练掌握分式乘方、除法变乘法、约分的法则是解题的关键． 变式3．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的乘方运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘除法运算法则求解即可； （4）先把对应分式的分母分解因式，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （5）先计算乘方，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （6）先计算乘方，再把对应分式的分母分解因式，最后根据分式的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【题型8 分式的加减乘除混合运算】 例1．化简分式：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：C． 例2．化简结果是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先化简括号内的分式差，找到公分母后相减，再与后面的分式相乘，利用因式分解和约分简化表达式． 【详解】解： ， 故选B． 变式1．化简代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先计算括号内的分式减法，得到；再将除法转化为乘法，即乘以除式的倒数；最后约去公因式简化． 【详解】解：原式= = = = =． 故答案为：． 变式2．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查分式混合运算，关键是熟练掌握通分约分． 先对括号内的表达式进行通分并计算加法运算，然后利用乘法进行约分化简． 【详解】解： ， 故答案为：1． 变式3．分式计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解； （2）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型9 分式的化简求值】 例1．若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，把变形得，然后代入表达式 中计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 例2．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的化简求值、完全平方公式，由已知方程变形得到 ，利用完全平方公式可得，最后代入化简后的表达式求解． 【详解】解：，且 ， 等式两边除以，可得：， ， ， ， ， 故选：C． 变式1．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，分式的化简求值． 将已知等式因式分解，结合的值求出，再代入求值表达式计算即可． 【详解】解：由，因式分解得， 代入，得， ∴， 则． 故答案为：． 变式2．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除运算，涉及绝对值的非负性、平方的非负性等知识，掌握相关知识是解题关键．根据绝对值的非负性、平方的非负性解得的值，再求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 变式3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．先对括号里的减法运算进行通分，再把除法运算转化为乘法运算，约去分子分母中的公因式，化为最简形式，再把的值代入求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型10 分式恒等式】 例1．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 例2．对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 变式1．若，则 ． 【答案】 2 【分析】本题考查分式的通分与等式求解，解决本题的关键是先对等式右边进行通分，然后根据等式两边分子相等来确定的值． 将右边通分后比较分子，得到关于和的方程组，解方程组求得即可． 【详解】解：∵， ∵， 即， ∴． 即， 则有，解得， 综上，的值为． 故答案为：． 变式2．A，B为常数，如果，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，即可得出结果． 【详解】解：对左边通分：， ∵左边等于右边， ∴分子需相等， ∴， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得， 故答案为：2． 变式3．已知，试确定A，B的值 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法、二元一次方程组的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 先把等式的右边通分，计算分式的加法，再利用等式两边的分母相同，则分子相同可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， 解得． 【题型11 分式中的倒数法】 例1．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的求值，平方根的定义． 先根据得到，进而求出，求的平方根即可． 【详解】∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C． 例2．若，那么的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程，由已知分式方程出发，通过交叉相乘转化为整式方程，解出x与y的关系式，进而求出结果． 【详解】解：， 交叉相乘得：， 将移到左边，合并同类项：， 两边同时除以2，得：， ， 故选：D． 变式1．若，则 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，分式的求值，由条件可得，进一步可得，即，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 变式2．设，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的值，熟练掌握完全平方公式及分式的值是解题的关键；由可变形为，则有，然后利用整体思想及完全平方公式可进行求解． 【详解】解：由可变形为， ∴，即， ∴； 故答案为． 变式3．阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ∴，∴． 我们把以上这种解题方法叫做倒数法，请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)，则___________ ． (2)①若，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了分式的值和完全平方变形求值，理解题干中给出的方法是解题的关键． （1）先用倒数法求出，再计算求值即可； （2）①先用倒数法求出，再求解，最后求解的倒数即可；②先用倒数法求出，再用完全平方变形求解，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵由可知， ∴， 即：， ∴； （2）①由，得， 则， ∴． ②解：由可知， 可得：， 即， ∴， ∴， ∴． 【题型12 分式裂项】 例1．已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】此题考查分式的加法计算，利用已知等式将每个分式拆项，通过通分求和简化表达式，即可得到答案 【详解】解：∵ = ， = ， ⋯ = ， ∴ 原式 = ， 中间项相互抵消， ∴ 原式 = = ， 通分得： = ， 故选：A． 例2．观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，已知等式左边利用裂项求和变形，然后解方程求出的值． 【详解】解：已知等式整理得： ， ∴ 去分母得： 解得： 经检验：是分式方程的解. 故选: B． 变式1．已知，，，利用发现的规律计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式规律问题，分式的混合运算，根据已知规律将每一项拆分为两个分式的差的形式，进而通过中间项抵消求出结果． 【详解】∵，，， ∴ ． 故答案为：． 变式2．观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，整式混合运算，解答的关键是由所给的等式分析归纳出存在的规律． 根据所给的等式的形式进行分析归纳第n个等式为：，然后将代入即得． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等2式； 第3个等式； 第4个等式； ……， 第n个等式， 当时，． ． 变式3．下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 (4) 【分析】本题考查规律性：数字的变化类， （1）通过给出的等式，发现：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是； （2）通过前几项的规律，用含的代数式表示第个等式； （3）将等式左边的式子通分并化简，再与等式右边的式子进行比较即可； （4）结合（2）的结论，将分式的和转化为连续项的差，利用抵消法简化计算； 解题的关键是找到规律，然后利用规律进行推理计算．也考查了分式的加减运算． 【详解】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为， ∴等式为：， 故答案为：；； （2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是， ∴第个等式为：， 故答案为：； （3）证明：左边 ， ∴左边右边， ∴原等式成立； （4）解： ． 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同分母分式相加，根据两个分式分母相同，直接合并分子，分母保持不变，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：A 2．当时，的值是（   ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除运算，求代数式的值，正确计算是解题的关键．将表达式中的除法和乘法统一为乘法形式，简化后代入求值． 【详解】解：∵ 原式 = = = ， 当 时，， ∴ 原式 = ． 故选：A． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减乘除运算，需根据分式的运算法则逐一验证每个选项即可． 【详解】解：A、，故选项A正确； B、，故选项B错误； C、，故选项C错误； D、，故选项D错误． 故选：A． 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、代数式求值等知识点，掌握分式的加减运算是解题的关键． 先根据分式的加减运算将原式拆解，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选B． 5．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的化简求值，掌握分式的性质是解题关键．由已知条件，结合完全平方公式，可先求出的值，再将所求分式分子分母同除以化简后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，且 ∴， ∴ ， 故选：D 6．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式减法运算法则计算即可得答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方运算以及分式的乘法运算，解题的关键是掌握分式的乘方运算法则和乘法运算法则． 先计算，再与相乘并约分即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式的减法，分式的化简，掌握其运算规则是解题的关键．根据题意，分母不变，分子相减，然后将分子进行因式分解，约分化简即可． 【详解】解： 故答案为：． 9．若，，则代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式化简求值，先化简得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故答案为：4． 10．A，B为常数，如果，则 ， 【答案】 4 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值． 【详解】解：对左边通分：， 因为左边等于右边，所以分子需相等， ， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得方程组： ， 解得：，． 故答案为：． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同分母分式减法，根据同分母分式减法法则计算即可． （1）根据同分母分式减法法则计算，再约分即可； （2）根据同分母分式减法法则计算，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，解题的关键在于对分解因式、配凑完全平方式等技巧灵活应用． 将括号里通分，能分解因式的先分解因式，再进行化简求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 13．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式加法或减法运算，熟练掌握分式加法或减法运算法则，是解题的关键． （1）根据同分母减法运算法则，进行计算即可； （2）根据同分母加法运算法则，进行计算即可； （3）根据同分母加法运算法则，进行计算即可； （4）根据同分母减法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据同分母减法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （2）先根据异分母加法运算法则计算括号内的，再根据分式乘法运算法则，进行计算即可； （3）先根据异分母减法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （4）先根据异分母减法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，； (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、解二元一次方程组，解决本题的关键是根据分式的性质进行计算，利用求差法比较分式的大小． （1）仿照题干提供的解题思路分解分式； （2）根据分式的性质进行计算，可得，根据可以分式分解为，可得，从而得关于关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值； （3）根据分式的性质进行计算可得：，因为，可得：，从而可知． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 可以分式分解为， ， ， 解得：， 故答案为：，； （3）解：， 证明： ， ， ，， ， ， ， ． 49 / 49 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $