第06讲 因式分解（寒假预习讲义）八年级数学新教材苏科版

第06讲 因式分解 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 因式分解的概念 1. 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 分析：该定义明确了因式分解的操作对象是“多项式”，结果是“几个整式的积的形式”。例如，将多项式转化为((x + 2)(x - 2))，就是因式分解，因为是多项式，而((x + 2)(x - 2))是两个整式(x + 2)与(x - 2)的乘积。需要注意的是，因式分解的结果中的每一个因式都必须是整式，不能是分式或其他形式。 2. 因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是互逆变形的关系。整式乘法是把几个整式相乘，得到一个多项式；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘的形式。 分析：例如，整式乘法中，那么因式分解就是将变回((a + b)(a - b))。可以说，因式分解是整式乘法的逆运算，这种互逆关系有助于我们检验因式分解的结果是否正确，只需将分解后的整式相乘，看是否能得到原多项式。 3. 因式分解的结果要求 （1）结果必须是积的形式：即分解后的式子是由几个整式相乘构成的，不能含有加减运算。 分析：比如是正确的，因为它是积的形式；而就不是因式分解，因为结果中含有加法运算。 （2）每个因式都是整式：因式不能是分式，例如这种形式不是因式分解，因为是分式。 （3）分解要彻底：直到每一个因式都不能再分解为止（在给定的数域内，如无特别说明，一般指在有理数范围内分解）。 分析：例如，如果分解为，就没有分解彻底，因为还可以继续分解为((x + 1)(x - 1))，所以正确的彻底分解结果是。 知识点2 ： 提公因式法 1. 公因式的定义 一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 分析：公因式可以是单项式，也可以是多项式。例如，在多项式中，各项都含有因式(3x)，所以(3x)是这个多项式的公因式；又如，在多项式((a + b)m + (a + b)n)中，各项都含有公因式((a + b))。 2. 确定公因式的方法 （1）系数：取各项系数的最大公约数作为公因式的系数。 分析：例如，对于多项式，各项系数分别为8、-12、4，它们的最大公约数是4，所以公因式的系数是4。 （2）字母：取各项中相同的字母。 分析：在上述多项式中，各项都含有字母(x)和(y)，所以公因式包含字母(x)和(y)。 （3）指数：相同字母的指数取各项中最低的指数。 分析：对于字母(x)，各项的指数分别是3、2、2，最低指数是2；对于字母(y)，各项的指数分别是2、3、2，最低指数是2。所以该多项式的公因式是。 3. 提公因式法分解因式的步骤 （1）确定多项式各项的公因式。 分析：按照上述确定公因式的方法，先找系数的最大公约数，再找相同字母及其最低指数，从而确定公因式。 （2）将多项式的每一项都除以公因式，得到的商作为另一个因式。 分析：例如，对于多项式(6ab + 3a)，公因式是(3a)，，，所以另一个因式是(2b + 1)。 （3）把多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。 分析：即。 4. 提公因式法的注意事项 （1）当多项式的首项系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内的首项系数变为正数，此时括号内各项都要变号。 分析：例如，分解，公因式可以看作(-2x)，则；也可以先提出“-”号，得到，再提公因式(2x)，结果为(-2x(x - 2))。 （2）公因式是多项式时，要把这个多项式看作一个整体提出。 分析：如，公因式是((x - y))，分解结果为((x - y)(x - y + 2))。 （3）提公因式后，另一个因式的项数应与原多项式的项数相同，且不能再有公因式。 分析：例如，分解，公因式是(2ab)，分解后为(2ab(2a - 3b))，另一个因式(2a - 3b)有两项，与原多项式项数相同，且(2a - 3b)没有公因式了。 知识点3 ： 公式法 1. 平方差公式法 （1）公式： 分析：该公式表示两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。其中(a)和(b)可以是单项式，也可以是多项式。 （2）适用条件：多项式是二项式，且两项都能写成平方的形式，两项的符号相反。 分析：例如，，可以写成，符合平方差公式的形式，所以可以分解为((x + 3)(x - 3))；而，两项符号相同，不符合条件，不能用平方差公式分解。 （3）分解步骤： - 把多项式写成的形式，确定(a)和(b)。 分析：例如，，可写成，这里，。 - 套用平方差公式，写成((a + b)(a - b))的形式。 分析：所以。 2. 完全平方公式法 （1）公式：， 分析：这两个公式分别表示两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。同样，(a)和(b)可以是单项式或多项式。 （2）适用条件：多项式是三项式，其中两项是某个整式的平方，且这两项的符号相同，第三项是这两个整式乘积的2倍（或-2倍）。 分析：例如，，其中是(x)的平方，(9)是(3)的平方，且，符合完全平方公式的形式，所以可以分解为；而，第三项(5x)不是(x)与(3)乘积的2倍，所以不能用完全平方公式分解。 （3）分解步骤： - 把多项式写成的形式，确定(a)和(b)。 分析：例如，，可写成，这里，。 - 套用完全平方公式，写成的形式。 分析：所以。 3. 公式法的综合运用 （1）先提公因式，再用公式法：如果多项式的各项有公因式，应先提取公因式，再运用公式法分解。 分析：例如，分解，先提取公因式(3x)，得到，然后对运用平方差公式，分解为(3x(x + 2)(x - 2))。 （2）多次运用公式法：分解因式要彻底，有时需要多次运用公式。 分析：例如，分解，先将其看作的形式，其中，，运用平方差公式分解为，然后对这两个因式分别观察，发现，，所以最终结果为。 【题型1 因式分解的定义】 例1．下列从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 例2．若多项式可分解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式1．在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是 ，属于整式乘法的是 ．（填序号） 变式2．甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为，则 ， 变式3．仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【题型2 公因式】 例1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 例2．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 变式1．多项式的公因式是 ． 变式2．把分解因式时，应提取的公因式是 ． 变式3．下面是某同学把多项式分解因式的具体步骤及每一步骤的依据：     （加法交换律）     （提取公因式）     （逆用积的乘方）     （平方差公式） (1)事实上，该同学的解答是错误的，造成错误的原因是___________________； (2)请把多项式进行正确分解因式． 【题型3 提公因式法】 例1．把提公因式后，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 例2．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．因式分解： ． 变式2．把多项式分解因式的结果是 ． 变式3．分解因式： (1)； (2)． 【题型4 平方差公式法】 例1．分解因式：（    ） A． B． C． D． 例2．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．分解因式： ． 变式2．因式分解： 变式3．分解因式： (1) (2) 【题型5 完全平方公式法】 例1．分解因式 的结果是（   ） A． B． C． D． 例2．下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如果，，那么代数式的值为 ． 变式2．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 变式3．仔细阅读下面例题，解答问题： 阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴ ， ∴且， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________， ________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【题型6 综合运用因式分解的方法】 例1．亮亮是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，3，，，，分别依次对应七个字：天，国，中，之，空，眼，桥．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．天空之桥 B．中国天眼 C．中国天空 D．天眼之桥 例2．用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．分解因式：的结果是 ． 变式2．为保证数据安全，通常会将数据用加密的方式进行保存．例如：将一个多项式分解因式为，当，时，，，，将得到的三个数按照从小到大的顺序排列得到加密数据：121317．根据上述方法，当时，多项式分解因式后形成的加密数据是 ． 变式3．分解因式∶ (1) (2) 【题型7 十字相乘法】 例1．将多项式分解因式后有一个因式为，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 例2．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 变式1．因式分解： ． 变式2．因式分解： ． 变式3．阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： 因此，可以得出． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【题型8 分组分解法】 例1．把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．因式分解： ． 变式2．因式分解： ． 变式3．阅读材料1：对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”． 例如： 阅读材料2：对于某些四项的多项式，我们可以先按“1项加3项”或“2项加2项”的方式进行分组，然后分别在组内进行因式分解，再提取组间公因式，从而完成整个多项式的因式分解，这种分解因式的方法叫“分组分解法”． 例如： 根据上述两个材料，按要求完成下列问题： (1)用“配方法”分解因式： (2)用“分组分解法”分解因式： 【题型9 整除问题】 例1．对于任意整数n，多项式都能被（   ）整除 A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被9整除 例2．若k为自然数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除 变式1．若n为正整数，则一定能被最大的正整数 整除． 变式2．可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是 ． 变式3．阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中b能被d整除，c能被e整除，那么a就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数，∴一定能被3整除． ∵8能被8整除，∴一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是______． A． 8    B． 10    C． 14    D． 17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数，能被36整除，请直接写出n的最小值． 【题型10 最值问题】 例1．已知为多项式，且，则有（    ） A．最大值23 B．最小值23 C．最大值 D．最小值 例2．已知，，则的最小值是（   ） A．14 B．5 C．9 D．不存在 变式1．阅读下面的材料并解答后面的问题． 小冰：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小华：能，求解过程如下： ． 因为，所以的最小值是． 问题：你能求出的最小值是 ． 变式2．已知m，n均为正整数且满足，则的最小值为 ． 变式3．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式：． ； 再如：求代数式的最小值． ， 可知当时，有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：__________________． (2)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【题型11 多项式长除法】 例1．明明和丽丽在因式分解关于x的多项式时，明明获取的其中一个正确的因式为，丽丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C．11 D．13 例2．若是的一个因式，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D．0 变式1．如果是的一个因式，则的值为 ． 变式2．若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 变式3．课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 【题型12 因式分解的几何应用】 例1．如图四张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则，满足（   ） A． B． C． D． 例2．在学习了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得与的关系式为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．4 变式1．如图，A，B分别是边长为a，b的正方形地砖，C是边长为a，b的长方形地砖．现有4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，则还缺1块 型地砖． 变式2．如图1，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个多项式的因式分解：．则根据图2可以写出一个多项式的因式分解是 ． 变式3．学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1． (1)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是______；（用含a，b的代数式表示） (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为______； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则a与b有什么关系？请说明理由． 1．下列从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 5．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式 ，将其分解因式为．若取， 则有，其中 12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是（   ） A．111525 B．151025 C．101525 D．1215 6．因式分解的结果是 ． 7．因式分解： ． 8．已知，，则 ． 9．因式分解：________． 10．若，则的值为 ． 11．因式分解： (1)； (2)． 12．因式分解： (1) (2) (3) (4) 13．阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 14．在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式与叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： ， ， ， 有最小值，最小值为4． 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式：①；②；③；④，其中是完全平方式的为______；（请填写序号） (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 15．自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 因式分解 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 因式分解的概念 1. 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 分析：该定义明确了因式分解的操作对象是“多项式”，结果是“几个整式的积的形式”。例如，将多项式转化为((x + 2)(x - 2))，就是因式分解，因为是多项式，而((x + 2)(x - 2))是两个整式(x + 2)与(x - 2)的乘积。需要注意的是，因式分解的结果中的每一个因式都必须是整式，不能是分式或其他形式。 2. 因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是互逆变形的关系。整式乘法是把几个整式相乘，得到一个多项式；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘的形式。 分析：例如，整式乘法中，那么因式分解就是将变回((a + b)(a - b))。可以说，因式分解是整式乘法的逆运算，这种互逆关系有助于我们检验因式分解的结果是否正确，只需将分解后的整式相乘，看是否能得到原多项式。 3. 因式分解的结果要求 （1）结果必须是积的形式：即分解后的式子是由几个整式相乘构成的，不能含有加减运算。 分析：比如是正确的，因为它是积的形式；而就不是因式分解，因为结果中含有加法运算。 （2）每个因式都是整式：因式不能是分式，例如这种形式不是因式分解，因为是分式。 （3）分解要彻底：直到每一个因式都不能再分解为止（在给定的数域内，如无特别说明，一般指在有理数范围内分解）。 分析：例如，如果分解为，就没有分解彻底，因为还可以继续分解为((x + 1)(x - 1))，所以正确的彻底分解结果是。 知识点2 ： 提公因式法 1. 公因式的定义 一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 分析：公因式可以是单项式，也可以是多项式。例如，在多项式中，各项都含有因式(3x)，所以(3x)是这个多项式的公因式；又如，在多项式((a + b)m + (a + b)n)中，各项都含有公因式((a + b))。 2. 确定公因式的方法 （1）系数：取各项系数的最大公约数作为公因式的系数。 分析：例如，对于多项式，各项系数分别为8、-12、4，它们的最大公约数是4，所以公因式的系数是4。 （2）字母：取各项中相同的字母。 分析：在上述多项式中，各项都含有字母(x)和(y)，所以公因式包含字母(x)和(y)。 （3）指数：相同字母的指数取各项中最低的指数。 分析：对于字母(x)，各项的指数分别是3、2、2，最低指数是2；对于字母(y)，各项的指数分别是2、3、2，最低指数是2。所以该多项式的公因式是。 3. 提公因式法分解因式的步骤 （1）确定多项式各项的公因式。 分析：按照上述确定公因式的方法，先找系数的最大公约数，再找相同字母及其最低指数，从而确定公因式。 （2）将多项式的每一项都除以公因式，得到的商作为另一个因式。 分析：例如，对于多项式(6ab + 3a)，公因式是(3a)，，，所以另一个因式是(2b + 1)。 （3）把多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。 分析：即。 4. 提公因式法的注意事项 （1）当多项式的首项系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内的首项系数变为正数，此时括号内各项都要变号。 分析：例如，分解，公因式可以看作(-2x)，则；也可以先提出“-”号，得到，再提公因式(2x)，结果为(-2x(x - 2))。 （2）公因式是多项式时，要把这个多项式看作一个整体提出。 分析：如，公因式是((x - y))，分解结果为((x - y)(x - y + 2))。 （3）提公因式后，另一个因式的项数应与原多项式的项数相同，且不能再有公因式。 分析：例如，分解，公因式是(2ab)，分解后为(2ab(2a - 3b))，另一个因式(2a - 3b)有两项，与原多项式项数相同，且(2a - 3b)没有公因式了。 知识点3 ： 公式法 1. 平方差公式法 （1）公式： 分析：该公式表示两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。其中(a)和(b)可以是单项式，也可以是多项式。 （2）适用条件：多项式是二项式，且两项都能写成平方的形式，两项的符号相反。 分析：例如，，可以写成，符合平方差公式的形式，所以可以分解为((x + 3)(x - 3))；而，两项符号相同，不符合条件，不能用平方差公式分解。 （3）分解步骤： - 把多项式写成的形式，确定(a)和(b)。 分析：例如，，可写成，这里，。 - 套用平方差公式，写成((a + b)(a - b))的形式。 分析：所以。 2. 完全平方公式法 （1）公式：， 分析：这两个公式分别表示两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。同样，(a)和(b)可以是单项式或多项式。 （2）适用条件：多项式是三项式，其中两项是某个整式的平方，且这两项的符号相同，第三项是这两个整式乘积的2倍（或-2倍）。 分析：例如，，其中是(x)的平方，(9)是(3)的平方，且，符合完全平方公式的形式，所以可以分解为；而，第三项(5x)不是(x)与(3)乘积的2倍，所以不能用完全平方公式分解。 （3）分解步骤： - 把多项式写成的形式，确定(a)和(b)。 分析：例如，，可写成，这里，。 - 套用完全平方公式，写成的形式。 分析：所以。 3. 公式法的综合运用 （1）先提公因式，再用公式法：如果多项式的各项有公因式，应先提取公因式，再运用公式法分解。 分析：例如，分解，先提取公因式(3x)，得到，然后对运用平方差公式，分解为(3x(x + 2)(x - 2))。 （2）多次运用公式法：分解因式要彻底，有时需要多次运用公式。 分析：例如，分解，先将其看作的形式，其中，，运用平方差公式分解为，然后对这两个因式分别观察，发现，，所以最终结果为。 【题型1 因式分解的定义】 例1．下列从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式化为整式的积的形式． 【详解】解：∵ 因式分解是将多项式分解为几个整式的积的形式， 选项A：右边有，不是整式，不符合题意； 选项B：左边是单项式，不是和差形式，故不属于因式分解，不符合题意； 选项D：是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 选项C：左边是多项式，右边是整式的积的形式，是因式分解，符合题意； 故选：C． 例2．若多项式可分解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】展开，与原多项式比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：B． 变式1．在下列等式中：① ② ；③ ．其中属于因式分解的是 ，属于整式乘法的是 ．（填序号） 【答案】 ①③ ② 【分析】本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘以多项式，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式乘法是将整式的积展开为多项式形式，根据等式左右形式判断即可． 【详解】解：①是因式分解； ②这是整式乘法，不是因式分解； ③是因式分解； 故答案为：①③；②． 变式2．甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为，则 ， 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与因式分解，甲看错了b，因此甲计算中的a值正确；乙看错了a，因此乙计算中的b值正确．分别展开甲和乙的因式分解结果，得到a和b的值． 【详解】解：甲的结果为， ∴； 乙的结果为， ∴， 故答案为：12， 变式3．仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ∴解得． ∴另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)， 【分析】（1）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出和的值，进而就可以得到另一个因式． （2）由题意可以设另一个因式为，然后根据多项式乘多项式的法则，把展开、合并同类项，根据系数等量关系，求出、和的值，进而就可以得到另一个因式． 本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键． 【详解】（1）（1）解：设另一个因式为，得，则， ∴ 解得 ∴另一个因式为，的值为． 故答案为：另一个因式为，的值为． （2）（2）解：设另一个因式为，得 ∴， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，． 【题型2 公因式】 例1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提取公因式法因式分解，确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，据此找到答案即可． 【详解】解：∵系数和的最大公因数为，变量和都含有， ∴公因式为． 故选：C． 例2．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握方法是关键． 根据找公因式的方法，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂即可得出． 【详解】∵系数、、的最大公约数为，字母的最低次幂为，字母的最低次幂为， ∴公因式为． 故选：D． 变式1．多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求多项式的公因式，一个多项式的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此求解即可． 【详解】解：系数12和18的最大公约数是6；字母部分，的最小指数为2，的最小指数为2，的最小指数为1，故公因式为， 故答案为：． 变式2．把分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，提取公因式，掌握提取公因式的计算方法是关键． 找出多项式中各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数，确定公因式． 【详解】解：多项式中， 各项系数为，最大公约数为2， 字母部分，x的最小指数为1，y的最小指数为2，z的最小指数为1， ∴公因式为， 故答案为：． 变式3．下面是某同学把多项式分解因式的具体步骤及每一步骤的依据：     （加法交换律）     （提取公因式）     （逆用积的乘方）     （平方差公式） (1)事实上，该同学的解答是错误的，造成错误的原因是___________________； (2)请把多项式进行正确分解因式． 【答案】(1)分解因式不彻底，没有把公因式提尽（意思对即可得分） (2) 【分析】观察同学的解法，找出错误原因即可； 写出正确解法即可． 【详解】（1）分解因式不彻底 （2）      【点睛】此题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【题型3 提公因式法】 例1．把提公因式后，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法因式分解．通过将转化为，然后提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】∵， ∴， 因此另一个因式为． 故选：A． 例2．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，通过观察第二项中的可转化为，从而与第一项形成公因式，提取公因式后进一步分解即可． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 变式1．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 直接提取公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．先确定公因式，再提取即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式3．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）直接提取公因式即可； （2）先提取公因式，再由完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：原式． ； （2）解：原式 ． 【题型4 平方差公式法】 例1．分解因式：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式，将表达式写成两数平方差的形式，再进行因式分解． 【详解】解：． 故选：B． 例2．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式法因式分解，根据能用平方差公式法进行因式分解的多项式的特点，两个平方项且符号相反，进行判断即可． 【详解】解：A、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意； D、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选：C． 变式1．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解—公式法的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】． 故答案为：． 变式2．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，该表达式为二项式，通过观察可发现其符合平方差公式的形式，因此应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 变式3．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了公式法分解因式，分组法因式分解，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）先分组，然后利用完全平方公式，将式子转化为，然后再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型5 完全平方公式法】 例1．分解因式 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法的运用，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式计算． 将作为一个整体，应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故选：A． 例2．下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，根据完全平方公式，逐项检查各选项是否符合该形式． 【详解】解：对于A：能用平方差公式分解因式，不能用完全平方公式分解，故不符合题意； 对于B：，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意； 对于C：，能用完全平方公式分解，故符合题意； 对于D：，常数项应为，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意， 故选：C． 变式1．如果，，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用完全平方公式计算． 先利用已知条件和，通过加法求出的值，再因式分解代数式，代入的值即可求解． 【详解】解：∵据题意得， 由①②得：， ∴． 故答案为：． 变式2．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，因式分解，将变形得，求得，的值，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：将变形，得，可得，． ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形； ②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形； 所以的周长． 故答案为：． 变式3．仔细阅读下面例题，解答问题： 阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴ ， ∴且， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________， ________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)1，0 (2)4 (3)11 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系，根据三角形三边的关系得到c的范围，熟练掌握是解题的关键． （1）根据配方法和非负数的性质求解； （2）根据配方法和非负数的性质求出，，代入代数式求值即可； （3）根据配方法和非负数的性质求出：，，根据三角形三边的关系得到c的范围，根据c是正整数得到c的值，从而得到周长的值． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，， ∴，， 故答案为：1，0； （2）解：∵， ， 即， 则，， 解得，， ； （3）解：∵， ， ， 则，， 解得，， ∵， 即，且c是正整数， ∴， 即三角形三边分别为1，5，5， ∴的周长为． 【题型6 综合运用因式分解的方法】 例1．亮亮是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，3，，，，分别依次对应七个字：天，国，中，之，空，眼，桥．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．天空之桥 B．中国天眼 C．中国天空 D．天眼之桥 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握提公因式和公式法因式分解是解题的关键；先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，最后根据密码手册对应汉字即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 密码信息为“中国天眼”， 故选：． 例2．用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新运算法则，再结合因式分解的方法即可得到结果．根据新运算定义，先计算 得到多项式，然后进行因式分解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 变式1．分解因式：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．观察表达式，发现公因式，提取后剩余部分为，再利用平方差公式分解． 【详解】解：原式 ． 故答案为． 变式2．为保证数据安全，通常会将数据用加密的方式进行保存．例如：将一个多项式分解因式为，当，时，，，，将得到的三个数按照从小到大的顺序排列得到加密数据：121317．根据上述方法，当时，多项式分解因式后形成的加密数据是 ． 【答案】155763 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后再用平方差公式进行因式分解．再代入计算各因式的值，最后将数值按从小到大排列即可． 【详解】解：， 当时，，，， 将得到的三个数15、57、63按从小到大的顺序排列为15、57、63，故加密数据为155763． 故答案为：155763． 变式3．分解因式∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用提公因式和平方差分解因式即可． （2）利用提公因式和完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型7 十字相乘法】 例1．将多项式分解因式后有一个因式为，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法，准确的计算是解决本题的关键． 根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选C． 例2．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．得出之积为，之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】时，，故； 时，，故； 时，，故； 时，，故； 的取值有4个． 故选：C． 变式1．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解：利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：∵，且， 故利用十字相乘法可得， 故答案为：． 变式3．阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： 因此，可以得出． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了十字相乘法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先写成，再用题中的结论分解因式； （2）先写成，再用题中的结论分解因式； （3）先写成，再用题中的结论分解因式． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【题型8 分组分解法】 例1．把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，理解题意：把多项式先分组，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴把多项式先分组，得 故选：C 例2．应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分组分解法分解因式，根据完全平方公式的特点即可得到答案．把原式化为，从而可得答案. 【详解】解：， 故选B． 变式1．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的分组分解法和提取公因式法，将多项式合理分组是解题关键． 将多项式中含相同公因式的项分为一组，先对每组分别提取公因式，再提取两组的公共公因式． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．通过分组分解法，将原式分为两组，分别提取公因式后，再提取公因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式3．阅读材料1：对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”． 例如： 阅读材料2：对于某些四项的多项式，我们可以先按“1项加3项”或“2项加2项”的方式进行分组，然后分别在组内进行因式分解，再提取组间公因式，从而完成整个多项式的因式分解，这种分解因式的方法叫“分组分解法”． 例如： 根据上述两个材料，按要求完成下列问题： (1)用“配方法”分解因式： (2)用“分组分解法”分解因式： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法与分组分解法，因式分解； （1）根据配方法因式分解，即可求解； （2）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型9 整除问题】 例1．对于任意整数n，多项式都能被（   ）整除 A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被9整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式分解因式，数的整除，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用平方差公式分解因式，化简后即可判断． 【详解】解：=， ，， ∴原式． ∵为整数， ∴为整数， ∴原式能被9整除． 故选：D． 例2．若k为自然数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键．利用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后找到能被整除的数或式即可得答案． 【详解】解： ， ∴的值总能被3整除． 故选：B． 变式1．若n为正整数，则一定能被最大的正整数 整除． 【答案】12 【分析】本题考查了平方差公式，提公因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 原式利用平方差公式变形，再提公因式，即可解答． 【详解】解： ． ∴一定能被最大的正整数12整除． 故答案为：12 变式2．可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是 ． 【答案】65，63 【分析】利用平方差公式分解，整理即可确定出这两个数． 本题考查了公式法分解因式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ∴这两个数为65，63． 故答案为：65，63． 变式3．阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中b能被d整除，c能被e整除，那么a就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数，∴一定能被3整除． ∵8能被8整除，∴一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是______． A． 8    B． 10    C． 14    D． 17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数，能被36整除，请直接写出n的最小值． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)2 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据即可得到答案； （2）根据，其中一定是大于或等于2的正偶数，即可证明结论； （3）分别代入和即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，且n为正整数， ∴一定能整除的是14， 故选：C （2） ∵n是正整数， ∴必为偶数，即能被2整除， ∴一定能被24整除． （3）由（2）可知， 当时，，不能被36整除， 当时，，能被36整除， ∴n的最小值为2． 【题型10 最值问题】 例1．已知为多项式，且，则有（    ） A．最大值23 B．最小值23 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【分析】利用分组分解法，变为完全平方式解答即可． 【详解】 = = = ∵，， ∴≤23， ∴多项式的最大值是23， 故选A． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键． 例2．已知，，则的最小值是（   ） A．14 B．5 C．9 D．不存在 【答案】B 【分析】该题考查了完全平方公式分解因式及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得 ， 故的最小值是5， 故选：B． 变式1．阅读下面的材料并解答后面的问题． 小冰：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小华：能，求解过程如下： ． 因为，所以的最小值是． 问题：你能求出的最小值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了用完全平方公式因式分解的应用，熟练掌握用完全平方公式因式分解是解题的关键． 根据阅读材料，先现进行配方，得到结果，再根据平方式的非负性求解即可． 【详解】解：， 因为， 所以的最小值是2025． 变式2．已知m，n均为正整数且满足，则的最小值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解把等式变形为，再根据m，n均为正整数，讨论各种可能情况，求出m、n的值，判断出最小值． 【详解】解：， ， ． 因为m，n均为正整数， 所以或． 所以或或或， 所以或或或， 所以或． 所以的最小值为20． 故答案为：20． 变式3．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式：． ； 再如：求代数式的最小值． ， 可知当时，有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：__________________． (2)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最小值5 (3)当时，多项式有最小值2020 【分析】本题考查了配方法的应用（因式分解、多项式最值求解），解题的关键是通过配方法将多项式转化为完全平方式与常数的组合，利用完全平方式的非负性分析问题． （1）对多项式凑完全平方式，再用平方差公式因式分解； （2）将a、b的项分别配方，结合完全平方式非负性求最值； （3）先整理a的项并配方，再结合b的项配方，利用完全平方式非负性求最值． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： ，， 当，时，多项式有最小值．最小值为5． （3））解： ， 当且，即，时，多项式有最小值．最小值为2020． 【题型11 多项式长除法】 例1．明明和丽丽在因式分解关于x的多项式时，明明获取的其中一个正确的因式为，丽丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C．11 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，熟练掌握“多项式因式分解后，展开因式的乘积可通过系数对应求出原多项式的系数”是解题的关键．根据因式分解的性质，多项式等于两个正确因式的乘积，通过展开比较系数求和的值，再计算 【详解】解：∵ 多项式 有两个正确因式 和， ∴ ， 展开右边：， 比较系数得：，， ∴ ，， ∴ ． 故选：A． 例2．若是的一个因式，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，由已知中的两个因式，发现它们的关系符合平方差的形式是解题的关键． 根据多项式结构特点整理，判断出是运用平方差公式进行的分解，即可求解． 【详解】解：，它的一个因式 分解时是利用平方差公式， ． 故选：C． 变式1．如果是的一个因式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，代入求解即可． 【详解】解：若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，即： ， ， ， ， 故答案为：． 变式2．若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3．课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我们可以发现，如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0，商式则是这个整式的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式．下面请先阅读课本上的材料并解决下列问题． 整式除以整式——长除法 类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步骤是： （1）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）； （2）用竖式进行运算； （3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式． 例如，求的商式和余式，可以计算： 因此，商式是，余式是． (1)小明在对进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式中的符号被墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？ (2)已知整式有一个因式是，请试着运用长除法将整式进行因式分解． (3)①已知有一个因式是，请问★处的数字应该是几？ (4)②已知整式有一个因式是，求，，之间存在的关系． 【答案】(1)，长除法见解析 (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键． （1）分别根据例题列竖式进行多项式的除法计算，看余式是否为0即可； （2）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可； （3）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得★的值； （4）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0，即可求得答案． 【详解】（1）解：若因式为，那么用长除法操作如下： 若因式为，用长除法操作如下： 故该因式为； （2）解：用长除法操作如下： 故； （3）解：用长除法操作如下： 那么， ∴为； （4）解： 用长除法操作如下： 那么， ∴． 【题型12 因式分解的几何应用】 例1．如图四张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则，满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是正确表示出与． 先根据阴影部分面积为4个底为，高为的三角形面积和表示出，再由大正方形的面积减去表示，然后根据建立等式，再化简、进行因式分解求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， 故选：B． 例2．在学习了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得与的关系式为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，因式分解的应用，根据题意分别求得和，进而根据关系式得出，进而求得出的值． 【详解】解：根据题意，得，，且， 又∵， 故， 解得．即a的值为． 故选：D． 变式1．如图，A，B分别是边长为a，b的正方形地砖，C是边长为a，b的长方形地砖．现有4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，则还缺1块 型地砖． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 先计算4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖的总面积，再结合完全平方公式和正方形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型地砖，要拼成一个大正方形，还缺1块C型地砖． 故答案为：C． 变式2．如图1，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个多项式的因式分解：．则根据图2可以写出一个多项式的因式分解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据所给的图形直接求出大方形的面积，再利用6个小长方形的面积之和等于大长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：大长方形的面积为：， 6个小长方形的面积之和为：； ∴． 故答案为：． 变式3．学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1． (1)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是______；（用含a，b的代数式表示） (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为______； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则a与b有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据正方形的性质即可解决问题； （2）利用正方形的面积即可解决问题； （3）设，根据题意可得根据，列出等式，整理后得，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴ 应取4张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形． ∴ 此新的正方形的边长是， 故答案为：4，； （2）解：根据题意可知：， 故答案为：； （3）解：设， 根据题意，得 故答案为：． 1．下列从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此可得答案． 【详解】解：A、，等式不成立，故原式不是因式分解，不符合题意； B、这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 2．把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用平方差公式进行分解因式，根据公式为进行分解因式，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 3．已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的应用． 利用平方差公式因式分解，并代入已知条件计算． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 4．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值． 【详解】解：， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ． 故选：C． 5．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式 ，将其分解因式为．若取， 则有，其中 12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是（   ） A．111525 B．151025 C．101525 D．1215 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，将多项式分解因式，代入给定数值计算因式码，再按从小到大顺序排列形成密码即可． 【详解】解： ； 代入， ，得， ， ， 故因式码为10， 15， 25， 按从小到大顺序排列为 10， 15， 25， 密码为101525， 故选C． 6．因式分解的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 提取公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握通过提取公因式进行因式分解是解题的关键． 提取公因式，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 8．已知，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式因式分解，再将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得， ∵，， ∴，解得， 故答案为：3． 9．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整体代入法求代数式的值，由已知条件可得，将所求代数式进行因式分解后代入计算． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 11．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键． （1）直接提公因式，即可求解； （2）先提公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： （2） 12．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握用提取因式法进行因式分解是解题的关键． （1）提取公因式进行因式分解即可； （2）提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）提取公因式，再利用完全平方式进行因式分解即可； （4）提取公因式进行化因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 【答案】另一个因式是， 【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握题中所给解题思路，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算是解题的关键． 按题目中所给解题思路，按步骤求解即可． 【详解】解：设另一个因式是，则， 可得，， ，解得， 另一个因式是，m的值是3． 14．在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式与叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： ， ， ， 有最小值，最小值为4． 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式：①；②；③；④，其中是完全平方式的为______；（请填写序号） (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)③ (2)有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了完全平方式的定义，用完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式和完全平方式是解题的关键． （1）根据“完全平方式”的特点逐个判断即可； （2）利用完全平方公式把原代数式变形为，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：①②④都不是完全平方式，，则③是完全平方式； （2）解： ， ， ∴ ． 有最大值，最大值为． 15．自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： (1)若，则_______，_______． (2)已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． (3)若，则_______． (4)当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式为，k的值为； (3) (4) 【分析】本题考查了多项式的乘法，同底数幂的除法，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点． （1）直接计算后作答即可； （2）仿照题干作答即可； （3）计算后求出的值，进而作答即可； （4）设另一个因式为，然后利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果用含的代数式表示出，，再代入，最后根据同底数幂的除法可得结论． 【详解】（1）解：， 则， ∴，． 故答案为：，； （2）解：设另一个因式为，得 则， ， 解得， 另一个因式为，k的值为； （3）解：， 则， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：设另一个因式为，得 则， ∴，， 解得：，， ∴ ∴， ∴代数式的值为． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $