第09讲 分式方程（寒假预习讲义）八年级数学新教材苏科版

第09讲 分式方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 分式方程的概念与解法 1.分式方程的概念 分式方程是指分母中含有未知数的方程。它是整式方程的延伸，其显著特征是方程的分母部分包含有待求解的未知数。例如，、 等都是分式方程，而像 这样分母中不含有未知数的方程则是整式方程，不属于分式方程范畴。 2.分式方程的解法 解分式方程的核心思路是将其转化为整式方程来求解，具体步骤如下： 1. 去分母：首先找到分式方程中所有分母的最简公分母，然后将方程两边同时乘以这个最简公分母，从而消除分母，把分式方程转化为整式方程。例如，对于方程 ，其最简公分母为 ，两边同乘 后得到 。 2. 解整式方程：按照整式方程（如一元一次方程）的求解方法进行计算，求出整式方程的解。对于上一步得到的整式方程 ，化简可得 ，进一步解得 。 3. 检验：由于在去分母的过程中，方程两边同乘的最简公分母可能为零，这会导致方程产生增根，因此必须对解得的结果进行检验。检验方法是将求得的未知数的值代入原分式方程的最简公分母中，如果最简公分母的值不为零，则该解是原分式方程的解；如果最简公分母的值为零，则该解是增根，原分式方程无解。例如，将 代入最简公分母 中，得到 ，所以 是原方程的解。 知识点2 ：分式方程的增根 1.增根的概念 增根是指在解分式方程时，通过去分母将分式方程转化为整式方程后，所求得的整式方程的解，但这个解会使原分式方程的分母为零，因此它不是原分式方程的解，而是在转化过程中额外产生的根。 2.增根产生的原因 增根产生的根本原因是在去分母步骤中，方程两边同时乘以了一个含有未知数的整式（即最简公分母）。当这个整式的值为零时，相当于方程两边同时乘以零，这会改变原方程的等价性，从而可能产生增根。例如，解方程 ，最简公分母为 (x - 1)(x + 1)，两边同乘后得到 ，解得 。将 代入最简公分母，(1 - 1)(1 + 1) = 0，所以 是增根，原方程无解。 3.增根的应用 在一些含有参数的分式方程问题中，可以利用增根来确定参数的值。具体方法是：先将分式方程转化为整式方程，然后根据增根使原方程分母为零的特点，求出增根的值，再将增根代入整式方程中，即可求出参数的值。例如，若分式方程 有增根，则增根为 。将原方程两边同乘 得到 ，化简为 ，即 。把 代入可得 ，解得 。 知识点3： 用分式方程解决问题 1.解题步骤 用分式方程解决实际问题的一般步骤与用整式方程解决问题类似，但需要特别注意检验解的合理性，不仅要检验解是否为分式方程的增根，还要检验解是否符合实际问题的情境。具体步骤如下： 1. 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确题目中的已知量、未知量以及它们之间的数量关系。 2. 设未知数：根据题目要求，设出适当的未知数，通常设直接未知数，即问题中要求的量为未知数。 3. 列分式方程：根据题目中的等量关系，列出分式方程。这是解决问题的关键步骤，需要准确找出等量关系，并用含有未知数的代数式表示相关的量，从而列出方程。 4. 解方程：按照分式方程的解法，求出方程的解。 5. 检验：先检验所求的解是否为原分式方程的增根，若为增根，则原方程无解，需要重新检查解题过程；若不是增根，再检验该解是否符合实际问题的意义，如时间、长度、人数等不能为负数或零等。 6. 作答：写出答案，回答问题。 2.常见题型及示例 常见的用分式方程解决的问题包括行程问题、工程问题、销售问题等。 · 行程问题：基本等量关系为路程 = 速度×时间，常涉及相遇、追及以及速度变化等情况。例如，甲、乙两地相距 120 千米，一辆汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行驶 x 千米，实际每小时比原计划多行驶 10 千米，结果提前 1 小时到达乙地。根据题意可列出方程：，解得 （经检验符合题意），即原计划每小时行驶 30 千米。 · 工程问题：基本等量关系为工作量 = 工作效率×工作时间，通常将总工作量看作单位“1”。例如，一项工程，甲单独做需要 x 天完成，乙单独做需要 天完成，两人合作 2 天后，剩下的工程由乙单独做还需要 3 天完成。根据题意可列出方程：，解得 （经检验符合题意），即甲单独做需要 10 天完成。 · 销售问题：涉及进价、售价、利润、利润率等概念，基本等量关系为利润 = 售价 - 进价. 【题型1 分式方程的定义】 例1．有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 例2．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 变式1．有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是 ．（请填写序号） 变式2．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有 ． 变式3．判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 【题型2 列分式方程】 例1．花江峡谷大桥是贵州交通的重要枢纽，全长约2890米．甲、乙两支施工队分别从大桥两端同时相向施工，甲队的施工效率是乙队的2倍，两队合作100天可完成大桥主体工程．设乙队每天施工米，下列分式方程中能正确表示题意的是（   ） A． B． C． D． 例2．《九章算术》记载了中国古代的“运粟之法”，其大意是：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意列出方程（   ） A． B． C． D． 变式1．某校组织八年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为 ． 变式2．随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到每周件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，则可列方程为 ． 变式3．下图是学分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 八（1）班、八（2）班两班师生前往某园林参加义务植树活动．已知八（1）班每天比八（2）班多种10棵树．如果分配给八（1）班、八（2）班两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：     兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________；兰兰同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________； (2)从以上两个同学所列方程中选择一个方程，回答老师提出的问题． 【题型3 解分式方程】 例1．分式方程的解为 （    ） A． B． C． D． 例2．对于实数m，n，定义一种新运算“※”：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（   ） A． B． C． D． 变式1．方程的解为 ． 变式2．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 变式3．解分式方程：． 【题型4 分式方程无解问题】 例1．若关于x的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．若关于x的分式方程无解，则实数m的值是（       ） A．0 B．2 C．－2 D．4 变式1．若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 变式2．当 ， 方程 会产生增根． 变式3．已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 【题型5 分式方程的应用——销售问题】 例1．为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 例2．某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满700元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩48元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程： ① ，② ．其中x表示的意义是（　　） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价 D．方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量 变式1．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．则第二批鲜花每盒的进价是 元． 变式2．某果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果的批发销售总额为10000元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则可列方程为 ． 变式3．哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出后，为了尽快售完，剩下的决定打八折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱？ 【题型6 分式方程的应用——行程问题】 例1．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．甲、乙两人沿着阿克苏湿地公园总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．小红到离家2100米的学校参加联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校，已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．设小红步行的平均速度为米/分，根据题意可得方程 ． 变式2．已知从阳朔至鹿寨国道的路程为，现在高速路程缩短了，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间比走国道少用1.5小时，设走国道的平均车速为，则根据题意可列方程为 ． 变式3．甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 【题型7 分式方程的应用——数字问题】 例1．有一个分数，分母比分子的4倍少1，把分子加上1后，所得分数的值为．若设该分数的分子为x，依题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 变式1．一个分数的分母比它的分子大3，如果将这个分数的分子加上11，分母加上2，那么所得分数是原分数的倒数．若设原分数的分子为，则可列分式方程为 ． 变式2．若一个分数的分子、分母同时加1，得；若分子、分母同时减2，则得，这个分数是 ． 变式3．一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于,求这个分数. 【题型8 分式方程的应用——工程问题】 例1．甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则符合题意的正确方程为（   ） A． B． C． D． 例2．某足球生产厂计划生产4800个足球，在生产完1200个后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了，结果共用了21天完成全部任务．设原计划每天生产个足球，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 变式1．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路 . 变式2．甲做180个机器零件比乙做240个机器零件所用的时间少，已知两人每小时共做70个零件，求甲、乙每小时各做多少个零件，设甲每小时做x个零件，可列方程 ． 变式3．某一工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； 方案：乙队单独完成这项工程，比规定工期多用5天； 方案：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 求规定的工期是多少天？ 【题型9 分式方程的应用——浓度问题】 例1．药店可以买到和两种浓度的酒精，通常人们选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将浓度为的酒精，稀释为的酒精，设需要加水．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．随着人们对生命健康的关注度的提高，医用酒精也逐渐成为家庭中的必备品．药店可以买到和两种浓度的酒精，人们通常选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将2浓度为的酒精，稀释为的酒精，设需要加水．根据题意，下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 变式1．将一包果珍冲剂溶于100克水中冲泡成浓度是的饮料，这包冲剂有 克． 变式2．化学小组欲将浓度为的酒精溶液稀释为的酒精溶液．设需要加水，根据题意可列方程为 ． 变式3．用蒸发的方法可以提高溶液的浓度．某化学实验室里有一瓶质量为40克的食盐水，其中含食盐4克，蒸发掉多少克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍？ 【题型10 分式方程的解为正负数】 例1．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 例2．若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 变式1．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 变式2．若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为 ． 变式3．按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 【题型11 分式方程的解为整数】 例1．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3 或4或7 D．2 或3或7 例2．若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（    ） A．3或5 B．或5 C．或3 D．或 变式1．若整数使关于的分式方程的解为整数，且使关于的不等式组有解且最多有1个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 变式2．若整数k使一次函数的图象不经过第三象限，且k使关于x的方程的解是整数，则满足条件的所有整数k的值的和为 变式3．若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，求符合条件的所有整数a的和． 【题型12 分式方程的规律】 例1．观察下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；…根据以上规律，第个方程以及它的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 例2．观察下面的变形规律：，，，，…回答问题：若，则的值为（    ） A．100 B．98 C．1 D． 变式1．观察下列各式：；；； 请你类比上面三个等式反映的规律，解下列方程： ．该方程的解是 ． 变式2．观察下面的变形规律：，，，， 解答下面问题：若，则的值为 ． 变式3．根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 1．分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 3．我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400千克，总产量同为3000千克的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．若设传统水稻亩产量为x千克，则下列方程正确的是（ ）（亩：市制土地面积计量单位） A． B． C． D． 4．若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 6．方程的解为 ． 7．若与互为倒数，则x的值为 ． 8．若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为 ． 9．随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 10．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 11．解方程 (1) (2) 12．解分式方程： (1)； (2)． 13．“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱．在某文创商店，每件“喜洋洋”的价格比“乐融融”多30元，用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是用290元购买“乐融融”吉祥物数量的2倍，求“喜洋洋”和“乐融融”两种吉祥物的单价． 14．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积． 15．某市需要铺设一段排水管道，甲施工队单独完成需要天，乙施工队单独完成需要天．现安排两队合作完成此项工程． (1)若两队合作施工，多少天可以完成？ (2)实际施工中，甲队先单独工作若干天后，乙队加入，两队再共同工作天恰好完成任务．求甲队先单独工作了多少天？ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 分式方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 分式方程的概念与解法 1.分式方程的概念 分式方程是指分母中含有未知数的方程。它是整式方程的延伸，其显著特征是方程的分母部分包含有待求解的未知数。例如，、 等都是分式方程，而像 这样分母中不含有未知数的方程则是整式方程，不属于分式方程范畴。 2.分式方程的解法 解分式方程的核心思路是将其转化为整式方程来求解，具体步骤如下： 1. 去分母：首先找到分式方程中所有分母的最简公分母，然后将方程两边同时乘以这个最简公分母，从而消除分母，把分式方程转化为整式方程。例如，对于方程 ，其最简公分母为 ，两边同乘 后得到 。 2. 解整式方程：按照整式方程（如一元一次方程）的求解方法进行计算，求出整式方程的解。对于上一步得到的整式方程 ，化简可得 ，进一步解得 。 3. 检验：由于在去分母的过程中，方程两边同乘的最简公分母可能为零，这会导致方程产生增根，因此必须对解得的结果进行检验。检验方法是将求得的未知数的值代入原分式方程的最简公分母中，如果最简公分母的值不为零，则该解是原分式方程的解；如果最简公分母的值为零，则该解是增根，原分式方程无解。例如，将 代入最简公分母 中，得到 ，所以 是原方程的解。 知识点2 ：分式方程的增根 1.增根的概念 增根是指在解分式方程时，通过去分母将分式方程转化为整式方程后，所求得的整式方程的解，但这个解会使原分式方程的分母为零，因此它不是原分式方程的解，而是在转化过程中额外产生的根。 2.增根产生的原因 增根产生的根本原因是在去分母步骤中，方程两边同时乘以了一个含有未知数的整式（即最简公分母）。当这个整式的值为零时，相当于方程两边同时乘以零，这会改变原方程的等价性，从而可能产生增根。例如，解方程 ，最简公分母为 (x - 1)(x + 1)，两边同乘后得到 ，解得 。将 代入最简公分母，(1 - 1)(1 + 1) = 0，所以 是增根，原方程无解。 3.增根的应用 在一些含有参数的分式方程问题中，可以利用增根来确定参数的值。具体方法是：先将分式方程转化为整式方程，然后根据增根使原方程分母为零的特点，求出增根的值，再将增根代入整式方程中，即可求出参数的值。例如，若分式方程 有增根，则增根为 。将原方程两边同乘 得到 ，化简为 ，即 。把 代入可得 ，解得 。 知识点3： 用分式方程解决问题 1.解题步骤 用分式方程解决实际问题的一般步骤与用整式方程解决问题类似，但需要特别注意检验解的合理性，不仅要检验解是否为分式方程的增根，还要检验解是否符合实际问题的情境。具体步骤如下： 1. 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确题目中的已知量、未知量以及它们之间的数量关系。 2. 设未知数：根据题目要求，设出适当的未知数，通常设直接未知数，即问题中要求的量为未知数。 3. 列分式方程：根据题目中的等量关系，列出分式方程。这是解决问题的关键步骤，需要准确找出等量关系，并用含有未知数的代数式表示相关的量，从而列出方程。 4. 解方程：按照分式方程的解法，求出方程的解。 5. 检验：先检验所求的解是否为原分式方程的增根，若为增根，则原方程无解，需要重新检查解题过程；若不是增根，再检验该解是否符合实际问题的意义，如时间、长度、人数等不能为负数或零等。 6. 作答：写出答案，回答问题。 2.常见题型及示例 常见的用分式方程解决的问题包括行程问题、工程问题、销售问题等。 · 行程问题：基本等量关系为路程 = 速度×时间，常涉及相遇、追及以及速度变化等情况。例如，甲、乙两地相距 120 千米，一辆汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行驶 x 千米，实际每小时比原计划多行驶 10 千米，结果提前 1 小时到达乙地。根据题意可列出方程：，解得 （经检验符合题意），即原计划每小时行驶 30 千米。 · 工程问题：基本等量关系为工作量 = 工作效率×工作时间，通常将总工作量看作单位“1”。例如，一项工程，甲单独做需要 x 天完成，乙单独做需要 天完成，两人合作 2 天后，剩下的工程由乙单独做还需要 3 天完成。根据题意可列出方程：，解得 （经检验符合题意），即甲单独做需要 10 天完成。 · 销售问题：涉及进价、售价、利润、利润率等概念，基本等量关系为利润 = 售价 - 进价. 【题型1 分式方程的定义】 例1．有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可． 【详解】解：①是分式方程，符合题意；②是分式方程，符合题意；③是整式方程，不符合题意；④是整式方程，不符合题意． 其中是分式方程的是①②， 故选：B． 例2．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的识别，解题的关键是掌握分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程，注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．据此解答即可 【详解】解：A．是一元一次方程，故此选项不符合题意； B．是分式方程，故此选项符合题意； C．是一元一次方程，故此选项不符合题意； D．是代数式，故此选项不符合题意． 故选：B． 变式1．有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查分式方程的判断，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进行判断即可． 【详解】解：①是整式方程；②是分式方程；③是分式方程；④是整式方程； 故符合题意的是②③； 故答案为：②③ 变式2．已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有 ． 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个判断即可，要注意分式方程中分母是关于未知数的整式． 【详解】解：①②分母中不含未知数，不是分式方程；③④⑤分母中含有未知数，是分式方程；⑥根号下含有未知数，是无理方程，不是分式方程， 故答案为：③④⑤． 变式3．判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】（1）解：是整式方程，不是关于的分式方程； （2）是关于的分式方程； （3）是整式方程，不是关于的分式方程； （4）是关于的分式方程 【题型2 列分式方程】 例1．花江峡谷大桥是贵州交通的重要枢纽，全长约2890米．甲、乙两支施工队分别从大桥两端同时相向施工，甲队的施工效率是乙队的2倍，两队合作100天可完成大桥主体工程．设乙队每天施工米，下列分式方程中能正确表示题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率． 乙队每天施工米，甲队每天施工米，两队合作每天施工米，合作100天完成2890米，由此列方程即可． 【详解】解：设乙队每天施工米，则甲队每天施工米． 依题意得：． 故选：C． 例2．《九章算术》记载了中国古代的“运粟之法”，其大意是：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，理解“提前”即原计划时间多于实际时间． 原计划每日行，实际每日行，原计划时间比实际时间多1日，据此列方程． 【详解】解：设原计划每日行x km，则原计划所需时间为日，实际所需时间为日． ∵实际比原计划提前1日到达， ∴， 故选B． 变式1．某校组织八年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意，大巴车和小车行驶距离相同，但小车速度更快且晚出发，利用时间关系列方程即可． 【详解】解：设大巴车的平均速度为千米/时，则小车的平均速度为千米/时．大巴车行驶时间为小时，小车行驶时间为小时．老师晚出发10分钟，即小时，由于同时到达，因此大巴车行驶时间等于小车行驶时间加上晚出发时间，即． 故答案为：． 变式2．随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到每周件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是根据快递员人数不变建立等量关系，根据快递员人数不变，原来总投递量除以每人投递量等于现在总投递量除以每人投递量，列出分式方程． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件件，则现在平均每人每周投递快件件， ∵原来总投递量为3600件，现在总投递量为4800件，由于快递员人数不变， ∴． 故答案为：． 变式3．下图是学分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 八（1）班、八（2）班两班师生前往某园林参加义务植树活动．已知八（1）班每天比八（2）班多种10棵树．如果分配给八（1）班、八（2）班两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：     兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________；兰兰同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________； (2)从以上两个同学所列方程中选择一个方程，回答老师提出的问题． 【答案】(1)八（2）班每天植树的棵树；八（1）班植树所花的天数八（2）班植树所花的天数；八（1）班植树150棵所花的天数；或八（2）班植树120棵所花的天数；八（1）班每天植树的棵数八（2）班每天植树的棵数10 (2)八年级（1）班每天植树50棵，八年级（2）班每天植树40棵，才能同时完成任务 【分析】此题考查了分式方程的应用及解分式方程，理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． （1）结合方程及等量关系即可得出；结合两个方程可分别得出所列方程的等量关系； （2）根据分式方程的解法分别求解两个方程即可得． 【详解】（1）欣欣同学所列方程中的表示：八（2）班每天植树的棵树，它的等量关系是：八（1）班植树所花的天数八（2）班植树所花的天数； 兰兰同学所列方程中的表示：八（1）班植树150棵所花的天数，它的等量关系是：八（1）班每天植树的棵数八（2）班每天植树的棵数 10（棵）； （2）解：选欣欣的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，． 答：八（1）班每天植树50棵，八（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 选兰兰的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，（棵），（棵）． 答：八（1）班每天植树50棵，八（2）班每天植树40棵，才能同时完成任务． 【题型3 解分式方程】 例1．分式方程的解为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的求解，通过去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，检验分母是否为零求出最后结果即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验当时，分母且， 故方程解为， 故选：C． 例2．对于实数m，n，定义一种新运算“※”：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程． 根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，然后求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 两边同乘，得：， 化简得：， 即：， ∴， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 故选：D． 变式1．方程的解为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．左右两边同时乘以最简公分母，去分母，化为整式方程求解，并检验根． 【详解】解： 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：1． 变式2．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查实数的概念及分式方程的解法，熟练掌握实数的概念及分式方程的解法是解题的关键；根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，通过分子为零求解即可． 【详解】解：由定义可知：， ∴， 解得； 经检验，当时，分母， 故是方程的解； 故答案为． 变式3．解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边乘，得 解得：． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 【题型4 分式方程无解问题】 例1．若关于x的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程增根问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先将分式方程化成一元一次方程，分式方程有增根时，分母为零的值满足整式方程，代入求解． 【详解】解：∵原方程为， 两边同乘得：， 化简得：， ∵方程有增根， ∴，即， 代入整式方程：， ∴． 故选：B． 例2．若关于x的分式方程无解，则实数m的值是（       ） A．0 B．2 C．－2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程无解的条件，利用增根的情况为无解是解题的关键． 分式方程无解的情况通常为解出的根为增根（使分母为零），先简化分式方程，再得到分式方程有增根时x的值，最后求解m即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 当时，原方程分母为零，即为增根，方程无解， ∴，解得：， ∴当时，方程无解， 故选：B． 变式1．若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程无解需考虑整式方程无解或产生增根，本题整式方程恒有解，故仅需分析增根情况． 【详解】解：原方程可化为，即， 由分式值为零的条件，分子为零且分母不为零，得且， 即 且， 当时，分母为零，为增根，代入得， 解得，此时方程无解． 故答案为：6． 变式2．当 ， 方程 会产生增根． 【答案】或 【分析】本题考查了解分别方程，以及分式方程的增根，理解分式方程产生增根的条件是解题的关键．通过求解方程，用m表示x，再令x等于使分母为零的值，求出m． 【详解】解：方程两边同时乘以公分母，得， 化简得， 当，即或时，分式方程有增根， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 或时，方程 会产生增根． 变式3．已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 【答案】(1) (2)0或4 【分析】本题考查分式方程的解与增根的概念．特别注意增根是使原方程分母为零的根，但在解方程过程中可能引入的无效解，需代入化简后的方程求出对应的值． （1）把代入方程计算即可求出k的值； （2）由分式方程有增根求出的值，分式方程去分母后代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：（1）∵方程的解为， ∴， 解得； （2）由分式方程有增根，得到或，解得， 分式方程去分母得：， 把代入方程得：，解得：， 把代入方程得：， 故的值为0或4． 【题型5 分式方程的应用——销售问题】 例1．为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用．设第二批跳绳每根的进价为x元，则第一批进价为元．根据第二批跳绳数是第一批的1.5倍，列出方程求解． 【详解】设第二批跳绳每根的进价为元，则第一批跳绳每根的进价为元． ∵第一批跳绳数量为根，第二批跳绳数量为根， 且第二批跳绳数是第一批的1.5倍， 根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴第二批跳绳每根的进价是15元． 故选：B． 例2．某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满700元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩48元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程： ① ，② ．其中x表示的意义是（　　） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价 D．方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量 【答案】C 【分析】根据题意，得x表示篮球的数量时，单价分别表示为，根据单价相同建立方程；x表示篮球的单价，分别表示出篮球的数量为，建立方程即可． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握列方程是解题的关键． 【详解】解：设购买x个篮球，单价分别表示为，根据单价相同建立方程； 设篮球的单价为x，分别表示出篮球的数量为，建立方程． 故选：C． 变式1．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．则第二批鲜花每盒的进价是 元． 【答案】150 【分析】本题考查了分式方程的应用． 设第二批鲜花每盒的进价为x元，则第一批每盒进价为元，根据第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，列出方程求解即可． 【详解】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，则第一批每盒进价为元， ∴第一批购进的盒数为盒，第二批购进的盒数为盒． ∵第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故第二批鲜花每盒的进价是150元． 故答案为：150． 变式2．某果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果的批发销售总额为10000元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设这种水果今年每千克的平均批发价是元，则去年每千克的平均批发价为元，由题意：今年这种水果的产量增加了，列出分式方程即可． 【详解】解：设这种水果今年每千克的平均批发价是元，则去年每千克的平均批发价为元， 由题意得：， 故答案为：． 变式3．哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出后，为了尽快售完，剩下的决定打八折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱？ 【答案】(1)第一批哈密瓜每件进价是元 (2)第二批哈密瓜赚了元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设第一批哈密瓜每件进价是元，则第二批哈密瓜的进价是元，根据水果店老板用元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）求出第二批哈密瓜的售价和件数，即可解决问题． 【详解】（1）解：设第一批哈密瓜每件进价是元，则第二批哈密瓜的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：第一批哈密瓜每件进价是元． （2）解：由（1）得：第二批哈密瓜的进价为（元），件数为（件）， 所以第二批哈密瓜的利润为：（元）． 答：第二批哈密瓜赚了元． 【题型6 分式方程的应用——行程问题】 例1．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是关键；根据题意，慢马送信时间为天，速度为里/天；快马送信时间为天，速度为里/天.快马速度是慢马速度的倍，由此列出方程. 【详解】设规定时间为x天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天， ∵ 慢马速度为，快马速度为， 且快马速度是慢马速度的倍， ∴ ， 故选A 例2．甲、乙两人沿着阿克苏湿地公园总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设乙的速度为，则甲的速度为，根据时间路程速度结合甲比乙提前12分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：12分钟， 设乙的速度为，则甲的速度为， 根据题意，得：． 故选：D． 变式1．小红到离家2100米的学校参加联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校，已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．设小红步行的平均速度为米/分，根据题意可得方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设小红步行的平均速度为米/分，则骑自行车的平均速度为米/分，根据骑自行车到学校的时间比步行到家的时间少20分钟，利用速度、时间和路程的关系列出方程即可． 【详解】解：设小红步行的平均速度为米/分，则骑自行车的平均速度为米/分， 由题意得，， 故答案为：． 变式2．已知从阳朔至鹿寨国道的路程为，现在高速路程缩短了，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间比走国道少用1.5小时，设走国道的平均车速为，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程在实际生活中的应用，根据走高速的时间比走国道的时间少1.5小时，利用时间、路程和速度的关系列出方程即可． 【详解】解：设走国道的平均车速为，则走高速的平均车速为． 根据题意，得 ， 故答案为：． 变式3．甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 【答案】(1)乙骑自行车的速度为300米/分钟 (2)出发6分钟后，两人与学校的距离相等 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟），根据题意列方程即可得到结论； （2）乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟，甲步行600米所需时间（分钟）设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米，然后分类讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟）， 根据题意得 解得：， 经检验是方程的根，且符合题意 答：乙骑自行车的速度为300米/分钟； （2）解：由（1）可得，乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟 甲步行600米所需时间（分钟） 设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米， 当时，甲与学校的距离为米， 设 解得（不合题意，舍去） 当时，甲与学校的距离为（米） 设 解得 ∴出发6分钟后，两人与学校的距离相等． 【题型7 分式方程的应用——数字问题】 例1．有一个分数，分母比分子的4倍少1，把分子加上1后，所得分数的值为．若设该分数的分子为x，依题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题意，找到关键描述语，本题要弄清分子和分母的关系，然后根据关键语列出方程． 【详解】解：由题意可得：分母为， ∴， 故选：C 【点睛】本题主要考查分式方程，根据条件得到分母，然后根据题意列方程即可． 例2．嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设印刷不清的分母为，由题意得，得出，再逐项分析即可判断． 【详解】解：设印刷不清的分母为， 由题意得，， 解得：， A、当时，，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 变式1．一个分数的分母比它的分子大3，如果将这个分数的分子加上11，分母加上2，那么所得分数是原分数的倒数．若设原分数的分子为，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，先表示出原分数的分母，再列出等量关系即可． 【详解】解：原分数的分子为 原分数的分母为 依题得． 故答案为：． 变式2．若一个分数的分子、分母同时加1，得；若分子、分母同时减2，则得，这个分数是 ． 【答案】 【分析】设这个分数为，根据已知条件列两个方程，再这两解方程即可求解. 【详解】解：设这个分数为， 依题意得，，， 解之得：， 经检验，是的所列方程的解且符合题意， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了用方程解决问题，找出题中的等量关系是关键． 变式3．一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于,求这个分数. 【答案】 【分析】设分子为x，则分母为（x+6），根据题意列出分式方程求解即可. 【详解】设分子为x，则分母为（x+6）， 根据题意得， 方程两边都乘4（x+7），得 4x+4=x+7， 解得x=1， 经检验x=1为原方程的解， 则这个分数为. 【题型8 分式方程的应用——工程问题】 例1．甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则符合题意的正确方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的应用，根据题意，甲做360个零件的时间等于乙做480个零件的时间，且甲、乙每天共做140个零件．设甲每天做x个零件，则乙每天做个零件．利用时间相等关系列方程． 【详解】解：∵ 甲做360个零件的时间为 ， 乙做480个零件的时间为 ， ∵时间相等， ∴ ， 即选项B正确． 故选：B 例2．某足球生产厂计划生产4800个足球，在生产完1200个后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了，结果共用了21天完成全部任务．设原计划每天生产个足球，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天生产个足球，则采用新技术后每天生产个足球，采用新技术前，生产时间为天，采用新技术后，生产时间为天，再根据一共用了21天完成任务即可列出对应的方程． 【详解】解：设原计划每天生产个足球，则采用新技术后每天生产个足球， 由题意得，， 故选：B． 变式1．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路 . 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系并正确列出方程是关键，注意要检验；设原计划每小时修路x米，根据实际工作效率提高和提前8小时完成任务，列出关于时间的方程． 【详解】解：设原计划每小时修路x米，则实际每小时修路米． 原计划修路时间为小时，实际修路时间为小时． 由题意得：， 解得． 经检验是原分式方程的解． 故原计划每小时修路50米． 故答案为：50． 变式2．甲做180个机器零件比乙做240个机器零件所用的时间少，已知两人每小时共做70个零件，求甲、乙每小时各做多少个零件，设甲每小时做x个零件，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程．设甲每小时做个零件，则乙每小时做个零件，根据甲做180个零件的时间比乙做240个零件的时间少小时，列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做个零件， 则甲做180个零件的时间为小时，乙做240个零件的时间为小时． 由题意，甲的时间比乙的时间少小时，即． 故答案为：． 变式3．某一工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； 方案：乙队单独完成这项工程，比规定工期多用5天； 方案：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 求规定的工期是多少天？ 【答案】 20天 【分析】本题考查分式方程的应用，解决本题的关键是根据方案建立等式． 通过设规定工期为x天，根据方案A与方案B可得到甲队与乙队单独完成的天数，根据方案C中甲、乙两队的工作量关系列出方程求解． 【详解】解：设规定工期为x天，则甲队单独完成需x天，乙队单独完成需天， 根据方案C，甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做正好完成，可列方程： ， 方程两边同乘，得：， 化简得：， 即，解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：规定的工期是20天． 【题型9 分式方程的应用——浓度问题】 例1．药店可以买到和两种浓度的酒精，通常人们选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将浓度为的酒精，稀释为的酒精，设需要加水．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据题意列分式方程． 根据列方程即可． 【详解】∵将浓度为的酒精，稀释为的酒精，设需要加水 ∴， 故选：B． 例2．随着人们对生命健康的关注度的提高，医用酒精也逐渐成为家庭中的必备品．药店可以买到和两种浓度的酒精，人们通常选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将2浓度为的酒精，稀释为的酒精，设需要加水．根据题意，下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据稀释前后溶质保持不变进行列式即可．本题考查了列分式方程解应用题，关键是了解浓度问题中的等量关系：浓度溶质质量溶液质量． 【详解】解：2浓度为的酒精中溶质的质量为， 加水后，溶液质量为，溶质质量保持不变， ∵浓度变为， ∴． 故选：C． 变式1．将一包果珍冲剂溶于100克水中冲泡成浓度是的饮料，这包冲剂有 克． 【答案】25 【分析】设这包冲剂有x克，根据浓度是得关于x的方程，解方程可得答案． 【详解】解：设这包冲剂有x克， 根据题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：这包冲剂有25克， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意得出方程是解题关键． 变式2．化学小组欲将浓度为的酒精溶液稀释为的酒精溶液．设需要加水，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】利用酒精的质量不变列方程即可． 【详解】解：设需要加水， 由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 变式3．用蒸发的方法可以提高溶液的浓度．某化学实验室里有一瓶质量为40克的食盐水，其中含食盐4克，蒸发掉多少克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍？ 【答案】蒸发掉20克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍 【分析】本题考查分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键．设蒸发掉克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍．根据前后的浓度关系列出方程求解即可，注意检验． 【详解】解：设蒸发掉克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍． 依题意，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解 答：蒸发掉20克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍 【题型10 分式方程的解为正负数】 例1．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，同时考虑解的非负性和分母不为零的限制条件是解题的关键． 解分式方程，得到，根据解为非负数和分母不为零的条件，得到且． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 整理得， ∴(其中)， ∵方程的解为非负数， ∴，即， ∴，解得， ∵分母， ∴，即，解得， ∴且． 故选：D． 例2．若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，解分式方程是关键；首先将原方程化简，利用分母关系合并项，然后求解出x关于m的表达式，再根据解为负数的要求得到m的范围，同时考虑分母不为零的约束． 【详解】解：∵原方程为， ∴方程化为， 即， 两边同乘（且），得， 解得：； ∵方程的解为负数，即， ∴， ∴， 解得：， ∵分母，即， ∴， 即， ∴； ∵当时，自动满足， ∴； 故m的取值范围为； 故选：B． 变式1．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程． 先通过分母变形化简分式方程，再求解得到x关于m的表达式，根据解为正数及分母不为零的条件列不等式求m的取值范围 【详解】解：原方程可化为， 即， 两边同乘得， 整理得， 解得： 可知且， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴， ∵分子为负， ∴分母，即； 由得，解得， 综上且． 故答案为：且． 变式2．若数使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解不等式组和分式方程的方法是解题的关键．首先解不等式组，得到解集为，要求有且只有四个整数解，即，从而得到；再解分式方程，得到，要求解为非负数且，从而得到且；综合两者，整数 为，求和即可． 【详解】解：第一个不等式， 两边乘6得：， 化简得：， 第二个不等式， 化简得：， 因此不等式组的解集为：， 要求不等式组有且只有四个整数解，即，需满足， 解得：； 解分式方程， 方程化为， 即， 解得：（其中，故)， 要求解为非负数，即，故， 综合不等式组和分式方程的条件得：且， 整数为， 则和为：． 故答案为：1． 变式3．按要求解答下列各题： (1)若关于的方程的解是正数，求的取值范围； (2)关于的方程解是负数，求的取值范围； (3)已知关于的方程有增根，求的值； (4)若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】(1)且 (2)且 (3)的值为或或 (4)或 【分析】本题考查了分式方程的解以及解分式方程，分式方程有增根和无解时求字母的值，解题的关键是掌握相关知识． （1）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为正数得到，且，即可求解； （2）先解分式方程得到，再根据该分式方程的解为负数得到，且，即可求解； （3）先解分式方程得到，再根据该分式方程有增根得到或或，即可求解； （4）先解分式方程得到，再根据该分式方程无解，可得或，即可求解． 【详解】（1）解： ， 该分式方程的解为正数， ，且， 解得且； （2）解： ， 方程有解，且解为负数， ，且， 且； （3）解： ， 该方程有增根， 或或． 的值为或或； （4）解： ， 分式方程无解， 或， 或． 【题型11 分式方程的解为整数】 例1．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3 或4或7 D．2 或3或7 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 分式方程， 方程的两边同时乘，得，， 整理得，， ∴， ∵方程有整数解， ∴或或或， ∴或或或或或或或， ∵， ∴， ∴或或， 故选：D． 例2．若是整数，且关于的方程有整数根，则的值是（    ） A．3或5 B．或5 C．或3 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程，用含m的代数式表示x，根据整数的意义可得m的值．解题的关键是将分式方程转化为整式方程，求出方程的解． 【详解】解： 去分母得： 化简得： 当时， 方程有整数根，的值是整数， 当时，，方程的根； 当时，，方程的根（增根，舍去）； 当时，，方程的根； 当时，，方程的根（增根，舍去）． 故选：A． 变式1．若整数使关于的分式方程的解为整数，且使关于的不等式组有解且最多有1个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程．先解分式方程，根据分式方程的解为整数，求出的整数值，再解不等式组，求出的取值范围，最后对的值进行取舍，求出它们的和即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， 关于的分式方程的解为整数， 或，且， 解得：或0或3或，且， 或3或， ， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 关于的不等式组，则有解且最多有1个整数解， ， 解得：， 综上可知：或3， 符合条件的所有整数的和为：， 故答案为：3． 变式2．若整数k使一次函数的图象不经过第三象限，且k使关于x的方程的解是整数，则满足条件的所有整数k的值的和为 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出满足条件的k的值，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答．先利用一次函数的性质列不等式组求解k的范围，再解分式方程可得结合分式方程的解为整数确定k的值，从而可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， 解得， ∴整数解为 解分式方程 ∴ 整理得： 得， ∵关于x的分式方程的解是整数， ∴或或且 ∴满足条件的整数k为0，，，3，， 又∵的整数解为 综上可知，满足条件的所有整数k的值为，0， 则满足条件的所有整数k的值的和为 故答案为：． 变式3．若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，求符合条件的所有整数a的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键． 解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出，解分式方程得出，结合关于y的分式方程有整数解，得出a的取值，再求和即可得解． 【详解】解：解不等式组得，即不等式组的解集为， ∵不等式组有解且最多有3个整数解，小于4的连续3个整数是3、2、1， ∴， 解得：， 解关于y的分式方程得， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴， ∴，即，解得， ∴符合条件的整数a为，4，7，10， ∴所有整数a的和为． 【题型12 分式方程的规律】 例1．观察下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；…根据以上规律，第个方程以及它的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先由所给方程找出规律，根据规律写出第个方程再求该方程的解． 【详解】解：（1）可化为；（2）可化为；（3）可化为； 经观察，第个方程为：． 将方程两边同乘以，得 ，即． 由题意知 经检验是原方程的解， 故选：B． 【点睛】本题考查了方程的规律及其解，解题的关键是应先根据所给方程找出规律，根据规律列出第个方程，最后求解． 例2．观察下面的变形规律：，，，，…回答问题：若，则的值为（    ） A．100 B．98 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据题目中给出的等式可以找到规律，找出规律，即第n个等式为，本题得以解决． 【详解】 ， 经检验，x=98是原方程的解， 故答案选B. 【点睛】本题考查了规律开题——数字的变化类，解分式方程，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，写出相应的等式． 变式1．观察下列各式：；；； 请你类比上面三个等式反映的规律，解下列方程： ．该方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类，解题关键是找出已知条件中各式的规律，熟练掌握解分式方程的一般步骤．根据已知条件中的等式，找出规律，方程两边同时乘2，然后按照规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x,并进行检验即可． 【详解】解：； ； ； ； ， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 变式2．观察下面的变形规律：，，，， 解答下面问题：若，则的值为 ． 【答案】998 【分析】本题考查了规律题—数字的变化类，解分式方程，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，写出相应的等式； 根据给定的变形规律，将求和中的每一项拆分为两个分数的差，通过（裂项相消法）化简求和式，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解： 由方程得： 经检验， 满足分母不为零的条件； 故答案为： 998． 变式3．根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示的计算方法计算； （3）根据题意原式变形得，结合材料提示的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是， 故答案为：； （2）解：猜想关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）解：， 变形得，，整理得，， ∴或， 解得，． 1．分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的求解，通过交叉相乘化为整式方程并求解，再检验整式方程的解是否为增根即可． 【详解】解： ， 解得， 检验：当时，， 故原分式方程的解为； 故选：B． 2．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程， 根据，可得，即可得出答案 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程可化为. 故选：C 3．我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400千克，总产量同为3000千克的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．若设传统水稻亩产量为x千克，则下列方程正确的是（ ）（亩：市制土地面积计量单位） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设传统水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克，根据亩产量和种植面积的关系，杂交水稻种植面积比传统水稻少2亩，列出方程． 【详解】设传统水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克 根据题意得，． 故选：B． 4．若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，解分式方程得到，根据解为正数且分母不为零确定取值范围． 【详解】解： ， 方程的解为正数， ， 又分母，即， ， 且， 故选：C． 5．定义运算：对于任意实数a、b、c，有．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的含参数问题，新定义问题，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得， ∵解为非负数， ∴ ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴且． 故选：B． 6．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，先将分式方程化为整式方程，再解这个整式方程并将的值代入分母检验． 【详解】解：， ， ， 检验：当时，， 是原方程的解． 7．若与互为倒数，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，根据题意列出分式方程，并按分式方程解法求解即可得到答案． 【详解】若与互为倒数， 则， 去分母： 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 8．若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解分式方程的增根，根据增根的含义可得，再进一步求解即可. 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：． 9．随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是根据购买数量相等列出方程．设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价为万元，根据用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等，列出方程即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 10．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，通过解一元一次不等式组得到，解分式方程得到，根据解为负整数且，找出满足条件的整数并求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， ∴； 去分母得，解得， ∵关于的分式方程的解为负整数， ∴是负整数，且 ∴是小于0的偶数，且， ∴a是小于0的奇数，且， 又∵， ∴a的值可以为， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 11．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题关键是不能忽视验根． （1）先去分母化为整式方程，再求解并验根； （2）先去分母化为整式方程，再求解并验根． 【详解】（1）解：去分母，得， 解得：， 经检验是分式方程的根； （2） 去分母，得， 解得：， 经检验是分式方程的增根，原方程无解． 12．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，特别是注意验根． （1）根据解分式方程的基本步骤解答即可； （2）根据解分式方程的基本步骤解答即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，去分母得 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，去分母得 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根，原分式方程无解． 13．“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱．在某文创商店，每件“喜洋洋”的价格比“乐融融”多30元，用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是用290元购买“乐融融”吉祥物数量的2倍，求“喜洋洋”和“乐融融”两种吉祥物的单价． 【答案】购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元 【分析】本题考查分式解应用题，读懂题意，找准等量关系列出分式方程求解是解决问题的关键． 设购买一个“乐融融”的单价为元，则购买一个“喜洋洋”的单价为元．由用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是，用290元购买“乐融融”吉祥物数量是，然后根据题意列出分式方程，求解后验根即可得到答案． 【详解】解：设购买一个“乐融融”的单价为元，则购买一个“喜洋洋”的单价为元． 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． （元）， 答：购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元． 14．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成任务．求原计划每天绿化的面积． 【答案】 0.6万平方米 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为 万平方米， ∴依题意得： 解得． 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天绿化的面积是0.6万平方米． 15．某市需要铺设一段排水管道，甲施工队单独完成需要天，乙施工队单独完成需要天．现安排两队合作完成此项工程． (1)若两队合作施工，多少天可以完成？ (2)实际施工中，甲队先单独工作若干天后，乙队加入，两队再共同工作天恰好完成任务．求甲队先单独工作了多少天？ 【答案】(1)天 (2)天 【分析】本题考查了工程问题的应用，核心是利用“工作效率工作时间工作量”的关系，通过设未知数建立方程求解．熟练掌握工作效率、工作时间与工作量的数量关系是解题关键． （1）先确定甲、乙两队的工作效率，再根据“两队合作的工作量之和总工作量”列方程求解合作完成时间； （2）先设甲队单独工作的时间，再结合“甲单独完成的工作量两队合作完成的工作量总工作量”列方程求解． 【详解】（1）解：甲施工队单独完成需要天，乙施工队单独完成需要天， 甲施工队每天完成，乙施工队每天完成， 设两队合作施工天可以完成， 则， 解得：， 答：若两队合作施工，天可以完成． （2）解：由（1）得，甲施工队每天完成，乙施工队每天完成， 设甲队先单独工作了天， 则， 解得：， 答：甲队先单独工作了天． 45 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $