2025--2026学年苏科版数学九年级上册期末模拟试卷（2）

九年级（上）期末数学模拟试卷（2） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为上升记为，所以下降记为， 所以水位下降时水位变化记作． 故选：． 2．化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【解答】解： ． 故选：． 3．某6人活动小组为了解本组成员的年龄情况，作了一次调查，统计的年龄如下（单位：岁），13，14，15，15，15，这组数据中的众数，平均数分别为（　　） A．12，14 B．12，15 C．15，14 D．15，13 【解答】解：这组数据中，12出现了1次，13出现了1次，14出现了1次，15出现了3次， 这组数据的众数为15， 这组数据分别为：12、13、14、15、15、15 这组数据的平均数． 故选：． 4．如图，在△中，点、分别是边，的中点．若△的周长是6，则△的周长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【解答】解：点、分别是边，的中点， 是三角形的中位线，，， 且， 又，， ， 即△的周长是△的周长的2倍， △的周长是6， △的周长是： ． 故选：． 5．对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【解答】解：、把点代入反比例函数得，故选项正确； 、，图象在第一、三象限，故选项正确； 、当时，随的增大而减小，故选项错误； 、当时，随的增大而减小，故选项正确． 故选：． 6．如图，是圆的直径，弦平分，过点的切线交于点，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：弦平分，， ． ． 故选项不符合题意； ， ， ，即，故选项不符合题意； 是的切线， ． ．故选项不符合题意； 如图，过点作于，则四边形是矩形， ． 在直角△中，． ， ． 故选项符合题意． 故选：． 二．填空题（共10小题） 7．分解因式：　　． 【解答】解：原式， 故答案为：． 8．分解因式：　　． 【解答】解：． 9．数据6，5，，4，7的平均数是5，那么这组数据的方差为　2　． 【解答】解：根据题意得， 解得， 这组数据的方差为． 故答案为2． 10．如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有　3　种． 【解答】解：选择小正三角形涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形， 选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，选择的位置共有3处． 故答案为：3． 11．如图，直线和相交于点，平分，，则　　度． 【解答】解：， ， 平分， ， 故答案为：． 12．如图，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，按这样的规律下去，的长为 　　为正整数）． 【解答】解：在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， 可得：，，故， 故答案为： 13．如图，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是 　24　海里．（结果精确到个位，参考数据：，， 【解答】解：． 作于点． 则， ， ． 在直角中，（海里）． 在直角中，， 则（海里）． 故答案为：24． 14．如图，与位似，位似中心为点，且的面积等于面积的，则　　． 【解答】解：与位似，位似中心为点， ， 的面积：面积， ， 故答案为：． 15．如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为　　． 【解答】解：由折叠可得，， ，，，四点共圆， ， 又， ， ， ， 同理可得，， ，即是的中点， 中，， 由，，，四点共圆，可得， 由，可得， ， 又， ， ，即， ， 故答案为：． 方法2： 解：由对称性可知， 又， ， ， 同理可得， 是的中点， ， 又，， ， ，即， ， 故答案为：． 16．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ； （2）如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度　　 ． 【解答】解：（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为：， 则点的坐标为：，点， 将点、的坐标代入抛物线表达式得： ，解得：， 即抛物线的表达式为：①， ， 故答案为：； （2）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：②， 联立①②并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为， 则， 故答案为：． 也可采取以下方法： 设过点的直线和轴的夹角为， 故设该直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 由（1）知，抛物线的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得：或， 则， 则． 三．解答题（共10小题） 17．计算：． 【解答】解： ． 18．为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平．现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下． 信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如图． 信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下． 分组 人数 7 2 7 信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：　4　 ； （2）下列结论正确的是 　　 ；（填序号） ①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的； ②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”； ③在信息三中，相比于点所代表的学生，点所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升； （3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数． 【解答】解：（1）， 故答案为：4， （2）①根据20位学生的体育成绩得分统计图可知：体育成绩低于80分的人数有8人，因此体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的，故①正确； ②根据20位学生的美育成绩得分统计图可知一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数，因此中位数位于之间，即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误； ③在信息三中，点的美育成绩为90，体育成绩为70，点的美育成绩为70，体育成绩为70，所以相比于点所代表的学生，点所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确； 故答案为：①③； （3）根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人，故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有（人． 19．某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）． 学生平均每天阅读时长情况统计表 平均每天阅读时长 人数 20 25 15 10 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 　100　 名学生，统计表中　　 ． （2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数． （3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“”的学生人数． （4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片，，，标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率． 【解答】解：（1）组的人数为25，占比为，且， 本次调查共抽取了100名学生； 组占比，， ， 故答案为：100，30； （2）样本中平均每天阅读时长为“”有15名， 且， 扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数为； （3）样本中平均每天阅读时长为“”的学生人数为10人， 且（名， 估计平均每天阅读时长为“”的学生人数为140名； （4）《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片，，，标记，画树状图如下： 一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即和《西游记》即有2种可能的情况， （恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）． 20．在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？ 【解答】解：设原来每天改造管道米，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：引进新设备前工程队每天改造管道30米． 21．已知与成正比例函数关系，且时，． （1）写出与之间的函数关系式； （2）求当时，的值； （3）求当时，的值． 【解答】解：（1）依题意得：设． 将，代入：得 所以，． （2）由（1）知，， 当时，，即； （3）由（1）知，， 当时，， 解得，． 22．如图，在平行四边形中，已知点在上，点在上，且． 求证：． 【解答】证明：四边形是平行四边形， ，． ． ，， 四边形是平行四边形， ． 23．如图，四边形是平行四边形，为上一点． （1）如图①，只用无刻度直尺在上作出点，使得四边形为平行四边形； （2）如图②，用直尺和圆规作出矩形，使得点、、分别在、、上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【解答】解：（1）如图1，点，四边形即为所求作． （2）如图2，四边形即为所求作． 理由：由，可得， 由．可得， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 24．如图，是的直径，点，在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 又， ， 是的直径， ， ， ， 即， 是半径， 是的切线； （2）解：在△中，设半径为，即，则， ， ， ， 在△中，，， ， ． 25．【问题探究】 （1）如图1，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，． ①请探究与之间的位置关系：　　； ②若，，则线段的长为　　； 【拓展延伸】 （2）如图2，和均为直角三角形，，，，，．将绕点在平面内顺时针旋转，设旋转角为，作直线，连接，当点，，在同一直线上时，画出图形，并求线段的长． 【解答】解：【问题探究】 （1）和均为等腰直角三角形， ，， ， ，且， 故答案为： ②如图，过点作于点， ，， 故答案为：4 【拓展延伸】 （2）若点在右侧， 如图，过点作于点， ，，，，． ， ， ， ， ， 即 ， 若点在左侧， ，，，，． ， ， ， ， ， 即 ， 26．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点．点在抛物线上，设点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式和，的值； （2）如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点的坐标； （3）如图2，若点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值． 【解答】解：（1）将代入， ， ， ， 当时，， 解得或（舍， ， 在直线上， ， 解得； （2）作轴交于， 点横坐标为， ， ，， 在和中， ，， ， ， ，即， ， 解得（舍或， ； （3）作轴交于，过点作轴交于， ， 轴， ， ， ， ， ，，， ，， 由， ， ， ， 当时，的最大值是． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/12 10:33:44；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 第14页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）数学期末模拟试卷（2） （考试时间：120分钟 满分150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分． 2．作图必须用2B铅笔，且加粗加黑． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（　　） A． B． C． D． 2．化简的结果为（　　） A． B． C． D． 3．某6人活动小组为了解本组成员的年龄情况，作了一次调查，统计的年龄如下（单位：岁），13，14，15，15，15，这组数据中的众数，平均数分别为（　　） A．12，14 B．12，15 C．15，14 D．15，13 4．如图，在△中，点、分别是边，的中点．若△的周长是6，则△的周长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 5．对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 6．如图，是圆的直径，弦平分，过点的切线交于点，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7．分解因式：　　． 8．分解因式：　　． 9．数据6，5，，4，7的平均数是5，那么这组数据的方差为　　． 10．如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有　 　种． 11．如图，直线和相交于点，平分，，则　 　度． 12．如图，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，按这样的规律下去，的长为 　　为正整数）． 13．如图，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时20海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是 　　海里．（结果精确到个位，参考数据：，， 14．如图，与位似，位似中心为点，且的面积等于面积的，则　　． 15．如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为　 　． 16．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 　　 ； （2）如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度　　 ． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本题满分8分) 计算：． 18．(本题满分10分) 为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平．现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下． 信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如图． 信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下． 分组 人数 7 2 7 信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：　　 ； （2）下列结论正确的是 　　 ；（填序号） ①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的； ②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”； ③在信息三中，相比于点所代表的学生，点所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升； （3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数． 19．(本题满分10分) 某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）． 学生平均每天阅读时长情况统计表 平均每天阅读时长 人数 20 25 15 10 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了 　　 名学生，统计表中　　 ． （2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数． （3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“”的学生人数． （4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片，，，标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率． 20．(本题满分10分) 在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？ 21．(本题满分10分) 已知与成正比例函数关系，且时，． （1）写出与之间的函数关系式； （2）求当时，的值； （3）求当时，的值． 22．(本题满分8分) 如图，在平行四边形中，已知点在上，点在上，且． 求证：． 23．(本题满分10分) 如图，四边形是平行四边形，为上一点． （1）如图①，只用无刻度直尺在上作出点，使得四边形为平行四边形； （2）如图②，用直尺和圆规作出矩形，使得点、、分别在、、上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 24．(本题满分10分) 如图，是的直径，点，在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 25．(本题满分12分) 【问题探究】 （1）如图1，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，． ①请探究与之间的位置关系：　　； ②若，，则线段的长为　　； 【拓展延伸】 （2）如图2，和均为直角三角形，，，，，．将绕点在平面内顺时针旋转，设旋转角为，作直线，连接，当点，，在同一直线上时，画出图形，并求线段的长． 26．(本题满分14分) 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点．点在抛物线上，设点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式和，的值； （2）如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点的坐标； （3）如图2，若点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值． 第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $