精品解析： 江苏省泰州市泰兴市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省泰州市泰兴市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算：（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直接解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角度的三角函数值，属于基础题，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 2. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 3. 某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（ ） A. 做100次这种实验，事件A必发生3次 B. 做100次这种实验，事件A不可能发生4次 C. 做1000次这种实验，事件A必发生30次 D. 大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义，即可解答． 【详解】解：某事件A发生的概率是，大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次， 故选：D 4. 函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据顶点式写出顶点坐标．根据二次函数的解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 【详解】解：二次函数， 该函数图象的顶点坐标为， 故选：B 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查院内接四边形的性质和圆周角定理.先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到解题即可. 【详解】解：∵， ∴， 又∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 故选：C. 6. 在中，，交延长线于点，，垂足为若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形和锐角三角比等知识点，熟练掌握锐角三角比是解题的关键． 利用等角的三角比相等和解直角三角形表示出相关的边，即可解此题． 【详解】解：由题可知， ， ， 又，， ， ， ， ， ， 在中， ， 令，， 又， ， 则， 在中， ， ， ． 故选：A． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 7. 已知，求__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质，学会利用代入法解决问题． 由题意可得，代入式子化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8. 已知，是方程的两个实数根，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， 故答案为： 9. 下图是某市某段时间内8个整点时刻的气温预报图，则这8个整点时刻气温的中位数是________℃． 【答案】16 【解析】 【分析】此题考查了求一组数据中位数，求一组数据的中位数时，未将这组数据进行排序将导致出错．另外，偶数个数据确定中位数时，应取排序后中间两个数的平均值作为这组数据的中位数，而不是其中任一个． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列：9、9、9、15、17、19、23、23，可得中位数为 ，所以气温的中位数是16℃． 故答案为：16． 10. 圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据圆锥的底面半径可以求出底面周长即为展开后的弧长,侧面积即为展开后扇形的面积,再根据扇形的面积公式求出扇形的半径即为圆锥的母线． 【详解】∵底面半径为3, ∴底面周长=2×3π=6π． ∴圆锥母线=． 故答案为:4． 【点睛】本题考查圆锥与扇形的结合,关键在于理解圆锥周长是扇形弧长,圆锥母线是扇形半径． 11. 如图，二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，则不等式的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象可直接进行求解． 【详解】解：由图象可得：当时，则有； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 12. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键． 【详解】解：∵线段两个端点的坐标分别为，，原点为位似中心， ∴点的坐标为，即． 故答案为：． 13. 如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，熟练掌握求正多边形的中心角和圆赒角定理是解题的关键. 连接、，先求出，再根据圆周角定理求解即可. 【详解】解：连接、，如图， ∵正六边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：. 14. 如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则tanB＝__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用格点和勾股定理计算AB、AC、BC，再判断△ABC的形状，最后求出tanB． 详解】解：连接A、C， 则AB=， AC=， BC=， ∵AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形． ∴tanB=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理和勾股定理的逆定理是解决本题的关键． 15. 如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，则的长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得，再利用勾股定理得，进而可求出，然后利用勾股定理求解即可．熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 为直径，且，， ， 在中，，根据勾股定理得： ， ， ， ． 故答案为：． 16. 平面直角坐标系中，点A，B在二次函数的图象上，且点A在点B的上方．点A，B的横坐标分别为m，，若m，t满足，则n的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，不等式性质，熟练的理解并运用二次函数的性质是解题的关键．利用二次函数表示出点A，B的纵坐标，再结合点A在点B的上方建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：点A，B的横坐标分别为m，， ，， 点A在点B的上方． ， 整理得：， ， 故答案为： 三、解答题：本题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算或解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查零次幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，解一元二次方程． （1）根据零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 因式分解，得， ∴或， ∴ 18. 从A，B，C三人中随机挑选两人参加市乒乓球双打比赛． （1）A被选中的概率为______； （2）用树状图或列表法求A，B都被选中的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是树状图或列表法求概率，熟练掌握概率公式和运用树状图或列表法求概率是解题的关键； （1）找出有A参加比赛的结果数，然后根据概率公式求解； （2）用列表法，共有6种等可能的结果，其中恰好A，B都被选中的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵从A，B，C三人中随机挑选两人，所有可能的情况有、、这种，其中被选中的情况有、这种． ∴被选中的概率为． 【小问2详解】 列表如下： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中A，B都被选中的结果有2种， ，B都被选中的概率为 19. 如图是我国年周岁及以上老年人口及其占全国总人口比重情况统计图 根据图中信息，回答下列问题． （1）年这5年中，______年周岁及以上老年人口数量占全国比重最大；年周岁及以上老年人口增长最多的一年增长______万人； （2）年这年中，______年周岁及以上老年人人口增长率最低，这一年增长率是______精确到 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）由根据折线统计图和条线统计图解答即可求解； （）由根据折线统计图和条线统计图解答即可求解； 本题考查了折线统计图和条线统计图，读懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，年60周岁及以上老年人口数量占全国比重最大， 年周岁及以上老年人口增长（万人）， 年周岁及以上老年人口增长（万人）， 年周岁及以上老年人口增长（万人）， ∵， ∴年周岁及以上老年人口增长最多的一年增长万人， 故答案为：， 【小问2详解】 解：由折线统计图可知，年周岁及以上老年人人口增长率最低， 这一年增长率是， 故答案为：，． 20. 如图①，一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东，轮船向正北方向航行后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向． （1）______ m，______（结果保留根号) ． （2）如图②，若轮船从B处向东航行到达点C，从点C处观测灯塔塔顶D的仰角为，则灯塔的高度是多少米？（参考数据：，，，结果精确到．） 【答案】（1）；1000 （2）53米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真审题得，，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）结合图形得，再在中，，代入数值计算，即可作答． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ， ， ， 故答案为：，1000； 【小问2详解】 解：由题意得， 在中，， 答：则灯塔的高度是53米． 21. 如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，．在的延长线上取点，使得． （1）试判断所在直线与的位置关系，并说明理由； （2）连接，若，，求扇形的面积． 【答案】（1）与相切；理由见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定和扇形的面积公式． 连接，根据圆的基本性质可知，所以，又因为，，可得，所以可得，从而可证直线与相切； 根据，，可知，利用扇形的面积公式可求扇形的面积． 【小问1详解】 解：直线与相切， 理由如下： 连接， ， ， ， ， 又， ， ， ， 直线与相切； 【小问2详解】 解：， ， ， 扇形的面积为：， 答：扇形的面积为． 22. 某数学兴趣小组探究对比两种水杯装水情况：了解不同型号的两种水杯1号杯，2号杯的高度与容积之间的关系．已知1号杯的水面高度是关于x的一次函数，2号杯的水面高度是近似关于x的二次函数，它们的函数图象不完整如图所示． （1）求关于x的函数关系式； （2）在相同体积的情况下，当时，求2号杯水面与1号杯水面的最大高度差． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质． （1）采用待定系数法解答，设关于x的函数关系式为：，把，，代入求解即可； （2）采用待定系数法求出关于x的函数关系式为：，计算高度差，根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设关于x的函数关系式为：， 把，，代入中得： ， 解得：， 关于x的函数关系式为：； 小问2详解】 解：设关于x的函数关系式为：， 把代入中得：， 解得：， 关于x的函数关系式为：， ， 当时，h的最大值为， 号杯水面与1号杯水面的最大高度差为． 23. 如图，在中，，点P在边上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点Q在边上，点M、N在边上；（画出一个即可，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）所作图中，若，连接，给出以下三个信息：①恰好平分；②；③菱形的面积为．请从上述三个信息中选择两个信息作为条件，求的长．你选择的条件是_____（填写序号)． 【答案】（1）见解析 （2）①②；（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）在的右侧作交于点，以为圆心，为半径画弧交于点，以为圆心，为半径作弧交于点，连接，四边形即为所求； （2）分三种情形：①②或①③或②③分别求出即可． 【小问1详解】 解：如图1中，菱形即为所求； 【小问2详解】 解：若选择①②，如图2， 平分， ， ， ， ， ， 又， 在中，， ； ， ， ， ； 若选择①③，如图 过Q作，垂足为H，同可得， 菱形的面积为20， ， ， 平分，，， ， 同可求 若选择②③，如图 过点P，Q作的垂线，垂足分别为E，F；设， 菱形的面积为20， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 解得，即， 同 故答案为：①②或①③或②③． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24. 在综合实践活动课上，为了探究“什么形状的车轮让车辆行驶更平稳”，甲，乙，丙三位同学分别制作了不同形状的车轮，并将车轮竖直放在水平地面上进行无滑动的滚动．在滚动过程中，车轮最高点离地面距离的最大值与最小值的差叫最高点振幅；车轮轴心离地面距离的最大值与最小值的差叫轴心振幅． 探究一： （1）如图1，甲同学制作的圆形车轮轴心O为其圆心，半径，在滚动过程中，最高点振幅为______ ，轴心振幅为______． 探究二： （2）如图2，乙同学制作的正方形车轮的轴心O为正方形的中心，边长，求车轮滚动过程中的最高点振幅和轴心振幅． 【知识科普】如图3，分别以正三角形的三个顶点A，B，C为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，三段弧线围成的图形叫做“莱洛三角形”． 探究三： （3）丙同学制作的“莱洛三角形”车轮的轴心O为正的中心，且．丙同学在探究过程中发现“莱洛三角形”车轮在滚动过程中如图最高点离地面的距离始终相等，即最高点振幅为0，请帮助丙同学计算轴心振幅． 【探究结果】 （4）研究表明，车轮的最高点振幅和轴心振幅越小，车轮行驶越平稳，你认为甲、乙、丙三个同学的方案中，______的方案更适合做车轮．（选“甲”或“乙”或“丙”) 【答案】（1）0；0 （2）；；（3） ；（4）甲 【解析】 【分析】探究一：根据题意即可解决问题； 探究二：连接，过点O作，中心O在线段上，根据题意和正方形的性质即可解决问题； 探究三：如图3，过点O作，垂足为M，延长交弧于点N，根据题意和等边三角形的性质即可解决问题．探究结果根：据车轮的最高点振幅和轴心振幅越小，车轮行驶越平稳，结合以上探究结果即可解决问题． 【详解】解：探究一：圆形车轮轴心O为其圆心，半径，在滚动过程中，最高点振幅为，轴心振幅为， 故答案为：0；0； 探究二：如图2，连接，过点O作，中心O在线段上． 转动过程中，当与地面垂直时，最高点和轴心离地面的距离均最大， 在中，，， ， 即最高点离地面的距离最大值为； 同理：， 即轴心离地面的距离最大值为； 当正方形一边落在地面上时，最高点和轴心离地面的距离均最小， 最高点离地面的距离最小值为，轴心离地面的距离最小值为， 最高点振幅为：，轴心振幅为：； 探究三：如图3，过点O作，垂足M， 为正的中心， ， 在中，，， ， ， 为圆心，， ； 延长交弧于点N， 当与地面垂直且点N落在地面上时，轴心离地面的距离最小， ， 当与地面垂直，且点A落在地面上时，轴心离地面的距离最大如图，； 轴心振幅为：； 探究结果：车轮的最高点振幅和轴心振幅越小，车轮行驶越平稳， 选甲的方案更适合做车轮． 故答案为：甲． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了圆的概念，正方形的性质，等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，解决本题的关键是理解最高点振幅、轴心振幅定义． 25. 如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． （1）若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： （2）若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； （3）当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 【答案】（1）①；②； ③；证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图像与性质，求点的坐标，整式的乘法． （1）①若，抛物线的表达式为：，从而得到，，， 根据待定系数法即可求出直线的解析式； ②求出点E的坐标，根据即可解答； ③根据各点坐标得到，，，即可得到； （2）同（1）思路即可解答； （3）设点，点，由点A、C的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点，表示出，，即可解答． 【小问1详解】 解：①若，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为：； ②对于直线：，当时，， ∴， ∴， 故答案为：； ③，理由如下： ，，，， ，，， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 当时，抛物线的表达式为：， ∴，，， 同理可得：直线的表达式为：， ∴， ∴， ，， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下： 设点，点， 由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， ，， 则， ， ， 故答案为： 26. 定义：若正方形的四个顶点都在三角形的边上，我们称这个正方形为该三角形的“所容正方形”． （1）如图①，在中，，，，正方形是的“所容正方形”． ①求“所容正方形”的边长； ②将①中“所容正方形”的顶点D、G分别在上移动（不与点C重合），如图②，当点E和F中仅有一点落在线段上时，求的长； （2）如图③，若正方形是的“所容正方形”，且，，的面积分别为3，1，1，求的长． 【答案】（1）①2 ②或 （2）2 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； ②如图②（1），当点E落在上，作，垂足为H，设，根据全等三角形的性质和锐角三角函数得到， ， ，根据勾股定理得到结论；如图②（2），当点F落在上，作，垂足为I，，设，同理可求，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图③，设，作交于H，根据全等三角形的性质和相似三角形的性质得到，， ，即，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：①四边形为正方形， ，， ， ， ， ， 即， ， ， 解得， 所容正方形的边长为2； ②如图②（1），当点E落在上，作，垂足为H，设， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得舍去，' ； 如图②（2），当点F落在上，作，垂足为I， 设，同理可得，，，， 在中，， 即， 解得舍去， ， 综上所述：的长为或； 【小问2详解】 解：如图③， 设，作交于H， ， ，， ， ，， ∵， ∴∽， ∴， ，即， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年江苏省泰州市泰兴市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算：（　　） A. B. 1 C. D. 2. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（ ） A. 做100次这种实验，事件A必发生3次 B. 做100次这种实验，事件A不可能发生4次 C. 做1000次这种实验，事件A必发生30次 D 大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次 4. 函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，交延长线于点，，垂足为若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 7. 已知，求__________________． 8. 已知，是方程的两个实数根，则______． 9. 下图是某市某段时间内8个整点时刻的气温预报图，则这8个整点时刻气温的中位数是________℃． 10. 圆锥底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为________． 11. 如图，二次函数与一次函数的图象相交于A，B两点，则不等式的解为______． 12. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为______． 13. 如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是______． 14. 如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则tanB＝__________． 15. 如图，是的直径，弦于点E，连接，若，，则的长为_________________． 16. 平面直角坐标系中，点A，B在二次函数的图象上，且点A在点B的上方．点A，B的横坐标分别为m，，若m，t满足，则n的取值范围是______． 三、解答题：本题共10小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算或解方程： （1）； （2）． 18. 从A，B，C三人中随机挑选两人参加市乒乓球双打比赛． （1）A被选中概率为______； （2）用树状图或列表法求A，B都被选中的概率． 19. 如图是我国年周岁及以上老年人口及其占全国总人口比重情况统计图 根据图中信息，回答下列问题． （1）年这5年中，______年周岁及以上老年人口数量占全国比重最大；年周岁及以上老年人口增长最多的一年增长______万人； （2）年这年中，______年周岁及以上老年人人口增长率最低，这一年增长率是______精确到 20. 如图①，一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东，轮船向正北方向航行后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向． （1）______ m，______（结果保留根号) ． （2）如图②，若轮船从B处向东航行到达点C，从点C处观测灯塔塔顶D的仰角为，则灯塔的高度是多少米？（参考数据：，，，结果精确到．） 21. 如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，．在的延长线上取点，使得． （1）试判断所在直线与的位置关系，并说明理由； （2）连接，若，，求扇形的面积． 22. 某数学兴趣小组探究对比两种水杯装水情况：了解不同型号的两种水杯1号杯，2号杯的高度与容积之间的关系．已知1号杯的水面高度是关于x的一次函数，2号杯的水面高度是近似关于x的二次函数，它们的函数图象不完整如图所示． （1）求关于x的函数关系式； （2）在相同体积的情况下，当时，求2号杯水面与1号杯水面的最大高度差． 23. 如图，中，，点P在边上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点Q在边上，点M、N在边上；（画出一个即可，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）所作图中，若，连接，给出以下三个信息：①恰好平分；②；③菱形的面积为．请从上述三个信息中选择两个信息作为条件，求的长．你选择的条件是_____（填写序号)． 24. 在综合实践活动课上，为了探究“什么形状的车轮让车辆行驶更平稳”，甲，乙，丙三位同学分别制作了不同形状的车轮，并将车轮竖直放在水平地面上进行无滑动的滚动．在滚动过程中，车轮最高点离地面距离的最大值与最小值的差叫最高点振幅；车轮轴心离地面距离的最大值与最小值的差叫轴心振幅． 探究一： （1）如图1，甲同学制作的圆形车轮轴心O为其圆心，半径，在滚动过程中，最高点振幅为______ ，轴心振幅为______． 探究二： （2）如图2，乙同学制作的正方形车轮的轴心O为正方形的中心，边长，求车轮滚动过程中的最高点振幅和轴心振幅． 【知识科普】如图3，分别以正三角形的三个顶点A，B，C为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，三段弧线围成的图形叫做“莱洛三角形”． 探究三： （3）丙同学制作的“莱洛三角形”车轮的轴心O为正的中心，且．丙同学在探究过程中发现“莱洛三角形”车轮在滚动过程中如图最高点离地面的距离始终相等，即最高点振幅为0，请帮助丙同学计算轴心振幅． 【探究结果】 （4）研究表明，车轮的最高点振幅和轴心振幅越小，车轮行驶越平稳，你认为甲、乙、丙三个同学的方案中，______的方案更适合做车轮．（选“甲”或“乙”或“丙”) 25. 如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． （1）若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： （2）若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； （3）当a值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 26. 定义：若正方形的四个顶点都在三角形的边上，我们称这个正方形为该三角形的“所容正方形”． （1）如图①，在中，，，，正方形是的“所容正方形”． ①求“所容正方形”的边长； ②将①中“所容正方形”的顶点D、G分别在上移动（不与点C重合），如图②，当点E和F中仅有一点落在线段上时，求的长； （2）如图③，若正方形是的“所容正方形”，且，，的面积分别为3，1，1，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$