精品解析：内蒙古自治区通辽市奈曼旗2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

全旗初级中学2025—2026学年度第一学期期末教学质量检测 九年级 数学试题（A） 测试范围：人教版·九年级上册全部 注意事项：1．本试卷共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列气象生活指数图标中，文字上方图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 3. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点B按顺时针方向旋转一定的角度得到，此时点C在边上．若，，则的长度是（ ） A. 3 B. 2 C. 5 D. 7 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，正六边形内接于，若周长是，则正六边形的边长是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 8. 已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有___个． 10. 将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到二次函数______的图象． 11. 被称为“代数符号之父”的韦达在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在特殊关系．对于一元二次方程，它的两根，与系数有如下关系：，，人们把这个关系称为韦达定理． 请运用韦达定理解决问题：已知和是关于的方程的两个根，则的值为______． 12. 如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解下列方程： （1）； （2）． 14. 小成家和小川家准备今年寒假去旅行，他们都准备在贵州、云南和北京三个地方中随机选择一个游玩． （1）小成家选到北京的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，求他们两家同时选到贵州的概率． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将绕点A逆时针旋转后得到． （1）画出，点的坐标为______； （2）画出关于点O对称的图形； （3）连接，求的度数． 16. 某商家展销如图所示矩形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边． （1）若除丝绸花边外白色部分的面积为，求丝绸花边的宽度． （2）已知该工艺品的成本是元/件，如果以单价元/件销售，那么每天可售出件．为了清库存，商家决定降价促销，要求销售单价不能低于成本．根据销售经验，如果将销售单价每降低元，那么每天可多售出件．当销售单价定为多少元时，才能使当日的销售利润最大？最大利润是多少？ 17. 如图，点A在上，点B在外，线段与交于点C，过点C作的切线交直线于点D，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于，两点（在的右侧），与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点． （1）如图，求抛物线的函数解析式及点的坐标； （2）连接，，求外接圆圆心的坐标； （3）若为抛物线上一个动点，点P关于原点对称的点为，当点落在此抛物线上时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 全旗初级中学2025—2026学年度第一学期期末教学质量检测 九年级 数学试题（A） 测试范围：人教版·九年级上册全部 注意事项：1．本试卷共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列气象生活指数图标中，文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 2. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 3. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根，能正确解方程是解题关键．根据一元二次方程的解，把代入一元二次方程中得到关于的方程，然后解此方程即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：．   故选：B ． 4. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 5. 如图，将绕点B按顺时针方向旋转一定的角度得到，此时点C在边上．若，，则的长度是（ ） A. 3 B. 2 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，由旋转的性质可得的长，再由线段的和差关系即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， 故选：A． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 的取值范围是且， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握根的判别式求参数的值. 7. 如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得，即可得出结果．本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于， ∵， 是等边三角形， ∵的周长是， ， 即正六边形的边长是， 故选：B 8. 已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … … 若点，，都在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，比较二次函数的函数值，通过表格确定函数的对称轴和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为直线， ∴由表格可知，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵，，，， ∴ 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有___个． 【答案】7． 【解析】 【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】设袋中红球有x个， 根据题意，得：， 解得：x＝7， 经检验：x＝7是分式方程的解， 所以袋中红球有7个， 故答案为7． 【点睛】此题考查利用频率估计概率，解题关键在于利用红球在总数中所占比例进行求解. 10. 将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到二次函数______的图象． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律即可得答案． 【详解】解：的图象向右平移2个单位长度，得； 再向上平移5个单位长度，得． 故答案为： 11. 被称为“代数符号之父”的韦达在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在特殊关系．对于一元二次方程，它的两根，与系数有如下关系：，，人们把这个关系称为韦达定理． 请运用韦达定理解决问题：已知和是关于的方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题关键．根据为一元二次方程的根得出，利用根与系数的关系得到两根之和为，将化简后，整体代入，求值即可． 【详解】解：∵和是关于的方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， ． 故答案为： 12. 如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，90度的圆周角所对的弦是直径．连接，如图，根据圆周角定理得为的直径，即，所以，设该圆锥的底面圆的半径为，根据弧长公式得到方程即可求得． 【详解】解：连接，如图， ， 为的直径，即， ， 设该圆锥的底面圆的半径为， ∴， 解得， 即该圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择适当的方法是解题关键． （1）利用十字相乘法求解方程即可； （2）先移项，再利用提公因式法求解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或， 解得，． 14. 小成家和小川家准备今年寒假去旅行，他们都准备在贵州、云南和北京三个地方中随机选择一个游玩． （1）小成家选到北京的概率是______； （2）请用列表或画树状图方法，求他们两家同时选到贵州的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）将贵州、云南和北京分别记为A，B，C，列出表格，进行求解即可． 【小问1详解】 解：小成家选到北京的概率是； 【小问2详解】 解：将贵州、云南和北京分别记为A，B，C．列表如下： A B C A B C 共有9种等可能结果，其中他们两家同时选到贵州的结果只有1种， ∴他们两家同时选到贵州的概率为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将绕点A逆时针旋转后得到． （1）画出，点的坐标为______； （2）画出关于点O对称的图形； （3）连接，求的度数． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查旋转画图，中心对称作图，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，根据旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质确定，然后顺次连接即可画出图形，最后写出的坐标； （2）根据中心对称的性质确定，然后顺次连接即可画出图形．掌握中心对称的性质是解题的关键； （3）由旋转的性质易证是等腰直角三角形，进而即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 由图可得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：由旋转的性质可得，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 16. 某商家展销如图所示的矩形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边． （1）若除丝绸花边外白色部分的面积为，求丝绸花边的宽度． （2）已知该工艺品的成本是元/件，如果以单价元/件销售，那么每天可售出件．为了清库存，商家决定降价促销，要求销售单价不能低于成本．根据销售经验，如果将销售单价每降低元，那么每天可多售出件．当销售单价定为多少元时，才能使当日的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）丝绸花边的宽度为 （2）当销售单价定为元时，才能使当日的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）设丝绸花边的宽度为，根据长方形的面积公式可得关于的方程，求解即可； （2）设销售单价降低元，利润为，求出关于的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设丝绸花边的宽度为， ∵除丝绸花边外白色部分的面积为， ∴， 解得：，（舍去）． 答：丝绸花边的宽度为． 【小问2详解】 解：设每件工艺品降低元出售，利润为W元， ∵销售单价每降低元，那么每天可多售出件， ∴． ∵， ∴当时，W取得最大值，此时销售单价（元）． 答：当销售单价定为元时，才能使当日的销售利润最大，最大利润是元． 17. 如图，点A在上，点B在外，线段与交于点C，过点C作的切线交直线于点D，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）直线AB与相切，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积，直角三角形性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，，由直线与相切，可得，证明，则，然后通过切线的判定方法即可求证； （）通过直角三角形性质得，，进而求出，由勾股定理得，最后通过即可求解． 【小问1详解】 解：直线与相切，理由， 如图，连接，， ∵直线与相切， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴． 又∵， ∴． 在中，， ∴，， ∴，即， 解得（负值已舍去）． ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于，两点（在的右侧），与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点． （1）如图，求抛物线的函数解析式及点的坐标； （2）连接，，求外接圆圆心的坐标； （3）若为抛物线上的一个动点，点P关于原点对称的点为，当点落在此抛物线上时，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，三角形外心的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，并正确添加适当的辅助线是解题的关键． （1）把代入，求出，可得抛物线的函数解析式，把所得解析式化为顶点式，即可得出点坐标； （2）设圆心为（如图），半径为，连接，根据为外接圆的圆心可得点在的图象的对称轴上，得出，根据抛物线解析式求出、坐标，得出，在中，利用勾股定理求出的值，即可得答案； （3）根据关于原点对称的点的坐标特征得出，把、代入抛物线解析式，得出关于、的方程组，解方程组求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线的函数解析式为． ∵，顶点为， ∴． 【小问2详解】 解：设圆心（如图），半径为，连接， ∵三角形外接圆圆心在三条边的垂直平分线上，则， ∴点在的图象的对称轴上， ∵， ∴，． 令， 解得：，， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 解得：， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵点与点P关于原点对称，， ∴． ∵点和点P都在抛物线上， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $