北京市东城区2025一2026学年上学期期末统一检测 九年级数学

东城区2025一2026学年度第一学期期末统一检测 初三数学 2026.1 学校 班级 姓名 教育D号 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。 考 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号。 生 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 须 4.在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 知 5.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共16分，每题2分） 第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个， 1.在下列事件中，不可能事件是 A.投掷一枚硬币，正面向上 B.从只有红球的袋子中摸出黄球 C.通常加热到100℃时，水沸腾 D.射击运动员射击一次，命中靶心 2.2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射.下列航天图案是中心对称图形 的是 3.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,若AC=6,连接CE,则CE的长为 A.3 B.6 C.62 D.12 4.一元二次方程2x2一3x十1=0的根的情况，下列结论正确的是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 初三数学第1页（共8页） 5.如图，△ABC内接于⊙O,∠BAC=30°.分别以点A和点B为 圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M,N两点，作直线 MN交AC于点D,连接BD并延长交⊙O于点E,连接OA, OE,则∠AOE的度数是 A.30° B.50° C.60° D.75 6.已知点A(一2，y1),B(1,y2)在抛物线y=2x2+2x十1上，则下列判断正确的是 A.1<y1=y2 B.y1=y2<1 C.y1<1<y2 D.y2<1<y 7.在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒 克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次 函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图 象如图所示.根据图象，下列结论正确的是 y个 0.6 0.3- 0200 1000 3000x A.当y≥0.6时，x≥3000 B.当x≥1000时，y随x的增大而减小 C.当x=2000时，y有最大值 D.当y=0.4时，x=600 8.如图，在⊙O中，点C是直径AB上的动点（不与点A,B重合），分别以AC和BC为 直径作半圆，记阴影部分I的面积为S1,周长为C.过点C作CD⊥AB交⊙O于点 D,以CD为直径作圆，记此圆（阴影部分Ⅱ）的面积为S2,周长为C2. 给出下面四个结论： ①S,=S2;②S1与S2之和为定值； B ③C,为定值；④C2不超过C1的一半. 上述结论中，所有正确结论的序号是 A.①② B.③④ C.①②③ D.①③④ 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9.已知关于x的方程x2十mx一3=0的一个根是1，则m的值为 10.写出一个二次函数，使其图象满足：①开口向下；②经过点(0,2).这个二次函数的解 析式可以是 初三数学第2页（共8页） 11.某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活 的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 87 279 535 887 6337 13581 成活的频率凸 0.870 0.930 0.892 0.887 0.905 0.905 (保留小数点后三位) 根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为 (精确 到0.1). 12.我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割 圆术”的一个图形，AB所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相 切于点E,连接BE,∠ABE=15°，连接OE交AB于点F.若AB=4,则AB的长 为 (结果保留π) 13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，⊙O的半径为6，则BD 的长为 14.如图，抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)与直线y=mx十n(m≠0)相交于点P(一2,3)， Q(5,7),则关于x的方程ax2+bx十c=mx十n的解是 0(5,7) P-2,3) 初三数学第3页（共8页） 15.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,在△CDE中，∠DCE=90°，∠E=30°， AB=CE=12,点C,B,E在一条直线上.若在图1的基础上，保持△CDE不动，把 △ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上（如图2），则 旋转角∠ACD= 图1 图2 16.某工厂用甲、乙两种原料生产A,B两种产品.每日原料供应量如表一所示，每件产 品所需原料及利润如表二所示： 表一 原料 甲 乙 日供应量(kg) 60 80 表二 产品类型 甲原料(kg/件) 乙原料(kg/件) 利润（元/件） A 2 4 50 B 4 60 应市场需求，工厂要求每天生产的B产品数量不少于A产品数量 (1)若全部生产B产品，每日最多可生产 件； (2)工厂每日最大总利润为 元. 三、解答题（本题共68分，第17一22题每题5分，第23一26题每题6分，第27一28题 每题7分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.解方程：x2一2x=1. 初三数学第4页（共8页） 18.如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形 制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营 造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一. 如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆 弧形，用ACB表示，点O是ACB所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门 的拱高、现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图. 如图3，已知月洞门的横跨为AB,拱高为a.作法如下： ①作线段AB的垂直平分线MN,垂足为点D; ②在射线DM上截取DC=a; ③连接AC,作线段AC的垂直平分线交CD于点O; ④以点O为圆心，OC的长为半径作ACB 则ACB就是所要作的圆弧， 解答下列问题： (1)请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图 痕迹，不写作法)； (2)若AB=1m,CD=2.5m,求⊙O的半径长， 已知： AB A D B a 图1 图2 图3 19.已知关于x的一元二次方程x2一3mx十2m2=0. (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若x1,x2是此方程的两个实数根，且2x1一x2=3,求m的值. 20.在二次函数y=ax2十bx一2中，x与y的几组对应值如表所示. -2 0 1 … 2 … -2 -2 1 (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角 坐标系中画出二次函数的图象； .f..... (3)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向 上平移1个单位长度后所得图象与直线y=2相交 -3-2-10 2: 于A,B两点，请直接写出线段AB的长 二2 二3 初三数学第5页（共8页） 21.已知在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A,B,C 均在格点（小正方形的顶点）上， (1)如图1，以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，得到△AB1C1,画 出△A1B1C1; (2)如图2，在图中找一个格点E,使∠AEC+∠ABC=180°. 图1 图2 22.某班开展“我爱北京”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术” (分别记作A,B,C,D)四个研究主题，并采取小组合作的研究方式.同学们在四张完 全相同的不透明卡片的正面分别写上这四个研究主题，卡片背面保持完全相同， 山水 历史 文学 艺术 D (1)将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“历史”的 概率为 (2)各小组从这四张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究主题.将这 四张卡片背面朝上洗匀后，小明代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果后放 回，背面朝上洗匀后，小红代表第二小组从中随机抽取一张.请用列表或画树状 图的方法，求这两个小组研究主题不同的概率. 初三数学第6页（共8页） 23.在全球新能源汽车产业蓬勃发展的浪潮中，中国凭借强大的产业实力和技术创新能 力脱颖而出、已连续10年保持新能源汽车年产销量全球第一.随着技术迭代加速发 展，某新能源汽车的电池成本持续下降，2023年电池成本约为1200元/千瓦时， 2025年电池成本约为972元/千瓦时，求这两年该电池成本的年平均下降率 24.2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门 项目，篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线.以机器人站立点为原点建立平面直角坐 标系，篮球飞行的竖直高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)满足二次函数关系 y=a(x-h)2+k(a<0) 机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离x与竖直 高度y的几组数据如下： 水平距离x(米) 0 2 4 5 竖直高度y(米) 2.0 2.73.2 3.5 3.6 3.5 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度y 与水平距离x近似满足二次函数关系y=一0.08(x一4.32)2+3.8. (1)根据上述数据，直接写出机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为米， 满足的函数关系y=a(x一h)2十(a<0)是 (2)若篮球在水平距离5米处的竖直高度y满足3.2≤y≤3.5，视为有效投篮，则机 器人投篮 (填“有效”或“无效”)，挑战者投篮 (填“有效”或 “无效”). 25.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D是BC上一点，⊙O是△ACD的外 接圆.过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E. (1)求证：∠E=∠DAB; (2)若B是AE的中点，且AB=22,求CD的长. C 初三数学第7页（共8页） 26.在平面直角坐标系zOy中，抛物线y=x2+bx十3经过点(2,3)，点M为抛物线上 任意一点，其横坐标为n,过点M作MP∥x轴，点P的横坐标为一2m. (1)求b的值； (2)当线段MP与抛物线有两个公共点时，求出m的取值范围； (3)过点P作PQ⊥x轴交抛物线y=x2十bx十3于点Q,点M在抛物线上运动的过 程中，若线段PQ的长随m的增大而增大，直接写出m的取值范围， 27.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AD为△ABC的中线，E是AD上一点， 连接CE,将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到CF,过点F作FG⊥DC交DC的 延长线于点G. (1)求证：AD=FG; (2)连接BF,取BF的中点H,连接AH,DH.依题意补全图形，用等式表示线段 AH与DH之间的数量关系，并证明. 28.在平面直角坐标系xQy中，对于点P、点M和图形G,给出如下定义：在图形G上存 在点Q,使得点M是线段PQ的中点(P,Q不重合)，则称点P为图形G关于点M 的“映射点” 已知正方形ABCD的顶点为A(一1,2)，B(3,2),C(3,一2)，D(一1，-2) (1)已知点M的坐标为(4,1)，在点P1(5,3),P2(6,一1)，P3(8,4)中，正方形ABCD 关于点M的映射点是 (2)已知点M(m,一m十4)，若x轴上存在正方形ABCD关于点M的映射点，直接 写出m的取值范围； (3)已知点T(t,0),点M在半径为1的⊙T上，若⊙T上存在正方形ABCD关于点 M的映射点，直接写出t的取值范围， 初三数学第8页（共8页）