第05讲单项式乘多项式（寒假预习讲义）（知识点+大题型+过关检测）七年级数学新教材苏科版

第05讲单项式乘多项式 （1大知识点+7大题型+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：单项式乘多项式 1.法则：单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 2.注意： (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 【题型1】单项式乘多项式法则 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法等知识， （1）根据单项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据单项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式训练】 1．（2025·陕西西安·三模）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘以多项式，利用单项式乘以多项式的法则进行计算即可．熟练掌握单项式乘以多项式的法则，是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 2．（2025·陕西西安·三模）计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题的关键． 直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 故选： C． 3．（2025·甘肃陇南·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘以多项式，用单项式乘以多项式的每一项即可． 【详解】解：， 故选：D． 【题型2】单项式乘多项式的计算问题 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，整式的加减运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）由单项式乘以多项式法则计算即可； （2）由单项式乘以多项式法则计算即可； （3）先进行单项式乘以多项式，再进行整式的加减计算； （4）先进行单项式乘以多项式，再进行整式的加减计算，最后再计算单项式乘以多项式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，熟练掌握单项式乘以多项式运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以单项式，积的乘方． （1）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可； （4）根据多项式乘以单项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、单项式乘以单项式、积的乘方、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （2）先计算积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （3）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （4）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【题型3】单项式乘多项式的化简求值问题 【例3】（21-22七年级下·陕西咸阳·月考）已知，求的值．（提示：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．） 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算单项式乘以多项式可得原式等于，再根据积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用可得，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式训练】 7．（2025·山东菏泽·二模）已知，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，掌握整体代入的方法是解题的关键． 先把所给条件变形为，再将代数式计算乘法，合并同类项得，变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B 8．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式以及代数式的求值，积的乘方的逆应用，掌握相关法则及概念是关键．利用单项式乘以多项式法则计算，再化为，将代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 故答案为： 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：．其中，． 【答案】，10 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把代入化简后的式子进行计算即可，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 【详解】解： ， 当时，． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)22 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为， 所以． 所以 ． 【题型4】单项式乘多项式的看错或补全问题 【例4】（24-25七年级下·山西运城·月考）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：．则手掌捂住的多项式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，多项式除以单项式．根据题意可得捂住的部分为，利用整式的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解：由题意得，手掌捂住的多项式为 ， 故答案为：． 【变式训练】 11．（22-23七年级下·河北石家庄·月考）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课上讲的内容，她突然发现一道题：，那么空格中的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘以多项式，多项式除以单项式，根据题意，用积除以，进行求解即可． 【详解】解：， ∴空格中的一项是； 故选C． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了，结果得，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 故选：C． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意可得：被除式，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：被除式， 故答案为：． 【题型5】单项式乘多项式的字母含参问题 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则求出展开式，再根据展开式中不含项可得项的系数为，解之即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项， ∴， ∴． 【变式训练】 14．（24-25七年级下·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含项，求出a的值即可． 【详解】解： ∵的计算结果中不含项， ∴， 解得：． 故选B． 15．（23-24七年级下·重庆·月考）要使中不含有的四次项，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有x的四次项，可得，即可求解． 【详解】解： ， 原多项式中不含有x的四次项， ， ， 故选：A． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 17．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的无关型运算． 先计算原整式，求出的系数，进而根据“不含项”计算即可． 【详解】解：原式 ． 因为不含项， 所以．解得． 【题型6】单项式乘多项式的应用问题 【例6】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，长方体的高为x，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，正确进行因式分解是解题的关键． 分别对进行因式分解，确定长方体的长、宽、高，再由长方形面积公式求解即可． 【详解】解：由，， ∴长方体的宽为，高为，长为， 故， 故答案为：． 【变式训练】 19．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为5的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，单项式乘以多项式的应用，用代数式表示所拼成的长方形的长与宽，再根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：拼成的长方形的长为，宽为， 所以面积为． 故选：D． 20．（21-22七年级下·湖北恩施·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条曲折小路，若小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，整式的乘法运算．根据平移，可得路的宽度，根据长方形的面积，可得答案． 【详解】解：由题意得这块草地的绿地面积为， 故选：B． 21．（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，熟练掌握计算公式是解题的关键；图中阴影部分的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即可得答案． 【详解】解：去掉，补上，则剩余部分为一个直角梯形， 图中阴影部分的面积为： ∵， ∴图中阴影部分的面积为：， 故答案为： 22．（25-26七年级下·全国·课后作业）请计算下列物体的体积和表面积． 【答案】圆柱的体积为、表面积为；长方体的体积为、表面积为 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、单项式乘以单项式、整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据圆柱和长方体的体积公式、表面积公式列式，再计算单项式乘以多项式、单项式乘以单项式、以及整式的加减，由此即可得． 【详解】解：圆柱的体积为 ． 圆柱的表面积为 ． 长方体的体积为 ． 长方体的表面积为 ． 23．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的． (1)用含，的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】大小卧室都是正方形，大卧室的边长是，根据正方形的面积公式：正方形的面积边长边长，代入字母表示出大卧室的面积；阳台是一个长方形，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的，阳台的宽是，阳台的长是，长方形的面积长宽，代入字母表示出代数式即可． 由，得，因为，所以，化简求出即可． 本题考查了列代数式，多项式乘以单项式，整式的加减运算，解决本题的关键是熟练利用长方形得到面积公式计算． 【详解】（1）解：大卧室面积是：， 阳台的面积是：． 答：大卧室的面积是，阳台的面积是． （2）解：因为， 所以， 露台面积是：， 阳台的面积是：， 因为， 所以， 即， 得：， 得． 【题型7】 单项式乘多项式的新定义问题 【例7】（24-25七年级下·四川达州·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 当时，原式． 【变式训练】 24．（23-24七年级下·全国·单元测试）现规定一种新的运算，，其中为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算，读懂规定运算的运算方法并列出代数式是解题的关键．根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，再减去1，列出算式，然后根据单项式乘多项式的法则去掉括号，再加减计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 25．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若规定：，则当时， 的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查整式的运算，代数式求值，根据新定义列出算式，利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的法则进行计算，利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意， ； 故答案为：15． 26．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义，求出，再将即可解答； （2）根据定义求得，得到，，再求出，最后整体代入即得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， ∴，， ∴ ． 故答案为：． ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方、单项式乘多项式以及合并同类项．分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则、单项式乘多项式以及合并同类项的运算法则对各项进行计算后再判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）一个长方体箱子的长、宽、高分别为：2、x、，则这个箱子的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的应用．先通过长方体的体积计算方法，列出乘法式子，然后进行计算即可． 【详解】解：这个箱子的体积为： ， 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出满足的条件即可． 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解题的关键是掌握单项式乘多项式的运算法则．根据单项式乘多项式，进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：B． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若长方形的两条边长分别为和，则此长方形的面积为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查列代数式，整式乘法，解答的关键是熟记长方形的面积公式．根据长方形的面积等于长乘以宽，列式计算即可． 【详解】解：长方形的面积为：， 故选：A． 6．（24-25七年级下·江苏常州·期中）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、一元一次方程的应用、单项式乘以多项式等知识，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义可得，计算有理数的运算即可判断①正确；根据新运算的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可判断②正确；先求出，，再根据新运算的定义代入计算，由此即可判断③正确；根据新运算的定义可得，则可得或，由此即可判断④错误． 【详解】解：由题意得： ，结论①正确； 由题意得：， ∵， ∴， 解得，结论②正确； ∵， ∴，， ∴ ，结论③正确； 由题意得：， ∵， ∴， ∴或， ∴或，结论④错误； 综上，正确的结论有①②③， 故选：A． 7．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式运算的几何应用，正确得到阴影面积与边长关系是解题的关键．设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则，，可得，再由阴影部分的面积为8，可得，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为 则，， ∴， ∵阴影部分的面积为8， ∴，即， ∴， 即大正方形的面积与小正方形的面积之差为． 故选：C 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，正方形，的边长分别是，，，，三点共线，要想求阴影部分的面积，只需知道（   ）的值． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，先求出，再根据，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形，的边长分别是，， ∴， ∴ ， ∴只需要知道的值就可以得到阴影部分面积， 故选：D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知单项式乘多项式的运算法则． 根据单项式乘多项式的运算法则即可求解． 【详解】∵， ∴ 故填：． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若（________），则括号内应填的被除式等于 ． 【答案】 【分析】此题考查的知识:除法与乘法的互逆关系:被除数除数商(核心依据)；项式乘多项式的运算法则:单项式与多项式的每一项分别相乘，再合并同类项(本题无同类项，直接保留结果)；整式的乘法运算:涉及同底数幂的乘法(如) 和符号法则(负号与各项相乘的符号处理)；即可解答． 【详解】解：∵被除数等于除数乘以商， ∴ ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题关键．根据单项式乘以多项式法则可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：10． 13．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将代数式，去括号合并得到最简结果，将已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ； ， ． 把代入，得 ． 所以，代数式的值为4． 故答案为：4． 14．（23-24七年级下·广东清远·期末）现定义运算“”，对于任意有理数，都有，例如：，由此可知 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，理解和运用新定义是解本题的关键． 利用题中的新定义对进行化简计算即可解答． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 三、解答题 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则求解，再合并同类项即可； （3）先根据单项式乘以多项式的计算法则求解，再合并同类项即可；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的乘法运算． （1）根据多项式的乘法公式计算即可； （2）根据多项式的乘法公式计算即可； （3）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （4）根据单项式的乘法公式计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 17．（24-25七年级下·湖南永州·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)这个多项式是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式混合运算，涉及单项式乘以多项式运算、去括号法则及合并同类项等知识，熟练掌握整式的乘法运算、整式加减运算法则是解决问题的关键． （1）根据题意，列式后，运用去括号法则及合并同类项求解即可得到答案； （2）根据题意，列式后，运用单项式乘以多项式的运算法则及合并同类项求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， ； （2）解：正确的计算结果为： ． 18．（24-25七年级下·河南周口·月考）数学课上，王老师给学生出了一道题：当时，求的值．小明说：“不用给出的值就可以计算出结果．”小军说：“没有的值不能计算出结果．”你认为他们谁的说法正确，请说明理由． 【答案】小明说得对，理由见解析 【分析】本题考查了单项式乘多项式化简求值，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．先合并同类项，再根据结果判断即可． 【详解】解：小明说得对，理由如下： ． 因为化简结果中不含有，， 所以结果跟，的值无关， 故小明说得对． 19．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查了整式的乘法运算与图形面积，求代数式的值，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）盲区面积等于梯形面积加上正方形面积加上两个直角三角形的面积，据此列式计算即可； （2）把整体代入（1）中所求代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，盲区的总面积为： ； （2）解：当时，． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲单项式乘多项式 （1大知识点+7大题型+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：单项式乘多项式 1.法则：单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 2.注意： (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 【题型1】单项式乘多项式法则 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（2025·陕西西安·三模）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·三模）计算：（　　） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃陇南·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 【题型2】单项式乘多项式的计算问题 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3】单项式乘多项式的化简求值问题 【例3】（21-22七年级下·陕西咸阳·月考）已知，求的值．（提示：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入．） 【变式训练】 7．（2025·山东菏泽·二模）已知，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 8．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为 ． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：．其中，． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【题型4】单项式乘多项式的看错或补全问题 【例4】（24-25七年级下·山西运城·月考）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：．则手掌捂住的多项式为 ． 【变式训练】 11．（22-23七年级下·河北石家庄·月考）数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课上讲的内容，她突然发现一道题：，那么空格中的一项是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是多项式．在计算时，小马同学把看成了，结果得，则的结果为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，小菲同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小菲同学记录的内容，可得到被除式应该为 ． 【题型5】单项式乘多项式的字母含参问题 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含项，求的值． 【变式训练】 14．（24-25七年级下·全国·期中）若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 15．（23-24七年级下·重庆·月考）要使中不含有的四次项，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 17．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如果的展开式中不含有这一项，那么的值为 ． 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知中不含项，求a的值． 【题型6】单项式乘多项式的应用问题 【例6】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，长方体的高为x，，则 ． 【变式训练】 19．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为5的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 20．（21-22七年级下·湖北恩施·期中）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条曲折小路，若小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（　　） A． B． C． D． 21．（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 22．（25-26七年级下·全国·课后作业）请计算下列物体的体积和表面积． 23．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是，露台的宽度为，阳台的宽度是露台宽度的． (1)用含，的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； (2)若，，求的值． 【题型7】 单项式乘多项式的新定义问题 【例7】（24-25七年级下·四川达州·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【变式训练】 24．（23-24七年级下·全国·单元测试）现规定一种新的运算，，其中为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若规定：，则当时， 的值为 ． 26．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）一个长方体箱子的长、宽、高分别为：2、x、，则这个箱子的体积是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若长方形的两条边长分别为和，则此长方形的面积为 （   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏常州·期中）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 7．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，正方形，的边长分别是，，，，三点共线，要想求阴影部分的面积，只需知道（   ）的值． A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算的结果是 ． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则 ． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若（________），则括号内应填的被除式等于 ． 12．（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，则的值为 ． 13．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则代数式的值为 ． 14．（23-24七年级下·广东清远·期末）现定义运算“”，对于任意有理数，都有，例如：，由此可知 ． 三、解答题 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 17．（24-25七年级下·湖南永州·期中）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)这个多项式是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 18．（24-25七年级下·河南周口·月考）数学课上，王老师给学生出了一道题：当时，求的值．小明说：“不用给出的值就可以计算出结果．”小军说：“没有的值不能计算出结果．”你认为他们谁的说法正确，请说明理由． 19．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $