精品解析：广西梧州市苍梧中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期阶段性检测 九年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共6页，27题．全卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题纸规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题纸及试题指定的位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 若，则（　　） A. B. C. D. 2. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 3. 一元二次方程可配方成的形式．则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 4. 下列可以由抛物线平移得到的是（ ） A. B. C. D. 5. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A. B. C. D. 6. 将的圆周12等分，点、、是等分点，如图，的度数可能为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 从表中可知，下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴是y轴 B. 抛物线与x轴的一个交点为 C. 函数的最小值为 D. 当时，y随x增大而减小 8. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．以下结论：①；②；③；④若为任意实数，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 正十边形的中心角的度数为_____． 10. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ______． 11. 一组数据，，的平均数是90，方差是13.5． 如果这组数据再加上一个数90，那么这11个数的方差________填写“变大”、“变小”或者“不变”）． 12. 在数轴上，有一点A在数之间，那么，该点落在之间的概率为______ ． 13. 若二次函数y＝(k+1)x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k＝____． 14. 如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C和D是线段的两个黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离为______（结果保留根号）． 15. 如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点，点A的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为________． 16. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是______平方尺．（结果用含的式子表示） 17. 抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围是_______ ． 18. 如图，在中，是的弦．C为上一点，，连接并延长至点D，过点D作交于点E，连接，．当时，四边形面积的最大值为______ ． 三、解答题（本题共9小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 小明做作业：解方程：．发现系数“”印刷不清楚． （1）他把“”猜成8，请你解方程； （2）若此方程两个实根都是整数，请直接写出“”中所有可能的正数之和． 21. 人工智能越来越应用广泛，中学生也应该逐步了解人工智能．某中学对学生就人工智能的了解程度进行调查，随机从七、八年级各抽取了名学生参与“人工智能”知识竞赛，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ．七年级成绩的频数分布直方图如下：（数据分成五组：，，，，） ．七年级成绩在的数据如下：（单位：分） ．七、八年级各抽取的名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80.4 m n 141.04 八年级 80.4 80 84 96.10 根据以上信息，回答下列问题 （1）表中 ， ，请补全七年级成绩的频数分布直方图； （2）综合以上信息，请问七、八年级哪个年级对人工智能知识掌握得更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）竞赛成绩分及以上记为优秀，八年级的成绩按分数从大到小排列，第和第个数据均为分，且得分的学生只有这两名．该校七年级和八年级共有名学生，请估计七年级和八年级成绩优秀的学生总人数． 22. 小滨和小江一起进行摸球游戏：在一个不透明的箱子中放有2个白球和2个黑球，小球除颜色不同外其余都相同． 小滨：从该箱子中随机摸出一个球，摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同． 小江：从该箱子中随机摸出一个球后不放回，摇匀后再从中摸出一个球．摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同． 请判断小滨和小江的说法是否正确，并说明理由． 23. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 24. 孙老师在完成“2.5直线与圆的位置关系”教学后，对教材第67页的例3进行变式探究：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）取的中点G，过G作交于H，交于点F． 若，求的半径． 25. 当今，科幻小说图书销量上升迅速.某书店为满足广大顾客需求，订购某本热销科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是24元时，每天的销售量是120本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少5本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元. （1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围： （2）当该科幻小说销售单价定为多少时，书店每天销售该科幻小说所获得的利润最大？最大利润为多少元？ （3）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为845元，求a的值． 26. 已知二次函数． （1）求该二次函数的图象与x轴的交点坐标； （2）若，点是该二次函数的图象上一点，当时，，求m的值； （3）当时，将此时二次函数对应的抛物线称为“抛物线”，将“抛物线”向上平移个单位长度得到新“抛物线”，设“抛物线”与x轴在原点与之存在交点，请求出n的取值范围． 27. 折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．小明通过近期的学习发现，与圆有关的折叠问题渐渐成为探究的热点，他决定做个系列探究活动． （1）【初步尝试】 如图1，在中，是直径，点为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，已知，求的度数； 小明在解决这个问题时发现：解决圆的翻折问题有一个关键是翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆．这样一来，图1中易得． 请在小明的“发现”的提示下，求出的度数； （2）【深入探究】 如图2，在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，若已知的半径为5，且． ①求此时的长； ②直径上方半圆的中点为P，弧的中点为Q，连接，则的长为 ______； （3）【思维进阶】 如图3，在（2）的条件下，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段性检测 九年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共6页，27题．全卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题纸规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题纸及试题指定的位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．） 1. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由已知条件可得，然后求得的值后即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选B 3. 一元二次方程可配方成的形式．则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，比较得出m和n的值，再求它们的和，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵一元二次方程可配方成的形式， ∴， ∴ ， 故选：C． 4. 下列可以由抛物线平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 根据平移不改变函数开口方向及大小判断即可． 【详解】解：A.，开口方向改变，无法由平移得到； B.，开口大小改变，无法由平移得到； C.，二次函数无法由平移得到一次函数； D.，开口方向及大小均未改变，可以由抛物线平移得到； 故选：D. 5. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断． 【详解】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心． 故选C． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心． 6. 将的圆周12等分，点、、是等分点，如图，的度数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得，再由三角形外角的性质可判断出结论． 【详解】解：将的圆周12等分，则每一等分的度数为， ∵点、、是等分点， ∴ 又是的一个外角， ∴，即， 所以，满足条件的是选项D， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了贺周角定理以及三角形外角的性质，得出是解答本题的关键． 7. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 从表中可知，下列说法中正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴是y轴 B. 抛物线与x轴的一个交点为 C. 函数的最小值为 D. 当时，y随x增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据表格数据，确定抛物线的对称轴、与x轴的交点、最值和增减性，逐项判断正误． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为，故A错误． ∵点在抛物线上，且对称轴为， ∴点关于的对称点也在抛物线上，即抛物线与x轴的一个交点为，故B正确． 当时，，为函数的最小值，故C错误． ∵抛物线开口向上（时y最小，两侧y值增大）， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，故当时y随x增大而增大，D错误． 故选B． 8. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．以下结论：①；②；③；④若为任意实数，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①；由抛物线与x轴交点及抛物线对称轴可得抛物线与轴另一交点坐标，从而可得时，进而判断②；当时，，求出，再根据抛物线与轴的交点位置可判断③；根据二次函数最值即可判断④，即可得出结论． 【详解】解：根据图象可得，，， 对称轴为， ，即， ，故①正确； 根据二次函数的图象与轴交于点， 可得二次函数的图象与轴的另一个交点为， 当时，， ，故②正确； 根据二次函数与轴的交点在与之间，可得， 当时，， 即， ， 解得，故③正确； 当时，有最大值， 因此对于任意实数，， ∴，则， 即 故④正确； ∴正确的结论有①②③④． 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 正十边形的中心角的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正多边形的中心角的定义解决问题即可． 【详解】解：正十边形中心角的度数， 故答案为：． 10. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】将已知方程变形得，根据方程的解可将代入方程，即可求解，本题主要考查一元二次方程的解的运用，理解并掌握方程的解的计算方法是解题的关键． 【详解】解：已知， ∴， ∵是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 一组数据，，的平均数是90，方差是13.5． 如果这组数据再加上一个数90，那么这11个数的方差________填写“变大”、“变小”或者“不变”）． 【答案】变小 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，利用平均数和方差的计算方法求新数据的平均数和方差；通过计算加数后的新方差与原方差比较变化． 【详解】解：∵一组数据，，的平均数是90，方差是13.5． ， ∴， 如果这组数据再加上一个数90， ∴平均数为， ∴， ∴这11个数的方差变小． 故答案为：变小． 12. 在数轴上，有一点A在数之间，那么，该点落在之间的概率为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率的计算，熟练掌握该知识点是解题的关键．数轴上之间的长度为6，之间的长度为2，然后利用它们之间的长度比即可得出答案． 【详解】解：数轴上之间的长度为6，之间的长度为2，那么该点落在之间的概率为， 故答案为：． 13. 若二次函数y＝(k+1)x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k＝____． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据二次函数 的最高点在 轴上，可知 ，该函数顶点的纵坐标为 ，即可求得答案. 【详解】由题意可知：二次函数 的最高点在 轴上， 解之得： 故答案为 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，顶点坐标，明确顶点坐标在 轴上的意思是解题关键. 14. 如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C和D是线段的两个黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离为______（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由图可得，支撑点是线段的黄金分割点（靠近端点B），则，再根据即可求解． 【详解】解：由图可得，支撑点是线段的黄金分割点（靠近端点B）， ∴线段是较长部分， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 15. 如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点，点A的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形性质、含30度角的直角三角形的性质、坐标与图形性质等知识点．根据圆内接四边形性质求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，然后根据圆的基本知识即可得出答案． 【详解】解：∵A、B、M、O四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵在中，，，， ∴， 为的直径， ∴的半径为5， 故答案为：5． 16. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是______平方尺．（结果用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算、弧长的计算等知识点，从实际问题中抽象出圆锥的知识是解题的关键． 设米堆底部的扇形半径为r尺，根据米堆底部的弧长为8尺，求出底面半径为，所以这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积的和，据此解答即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r尺， 由米堆底部的弧长为8尺，可得，解得：， ∴这个米堆遮挡的墙面面积是（平方尺）． 故答案为：． 17. 抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围是_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的联系，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解决本题的关键．由抛物线对称轴求出参数b的值，将一元二次方程转化为二次函数与水平直线的交点问题，通过求函数在开区间内的函数值范围从而可确定t的取值范围． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 根据对称轴公式，其中，得，解得， 于是原方程化为，即， 令函数，求其在的范围内的y的取值范围， 该函数开口向上，对称轴在区间内， 当时取得最小值，当时，； 当时，；当时，， 因此函数值的范围为． 故方程在区间内有实数根时，t需满足， 故答案为：． 18. 如图，在中，是的弦．C为上一点，，连接并延长至点D，过点D作交于点E，连接，．当时，四边形面积的最大值为______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】延长至点，使得，连接，令点到边上的高为，证得四边形是平行四边形，进而得到，证得四边形的面积等于三角形的面积，由于、、始终都在同一个大小不变的圆上，得到当点刚好在的垂直平分线上，其垂直平分线与交于点，且过圆心，即位于点时，的面积最大，即四边形的面积最大，连接、，根据圆周角定理和垂径定理，结合线段垂直平分线的性质，得到的长，根据三角形的面积公式得到的面积，从而得到四边形的最大面积． 【详解】解：延长至点，使得，连接，设点到边上的高为，如图： 、， 四边形是平行四边形， ， 四边形的面积， 四边形的面积， 、， 、、始终都在同一个大小不变的圆上， 如图：当点刚好在的垂直平分线上，其垂直平分线与交于点，且过圆心，即位于点时，的面积最大，即四边形的面积最大，连接、， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 四边形最大面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用，是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 直接开方得：， 即：，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解：， ， 即：，， 解得：，． 20. 小明做作业：解方程：．发现系数“”印刷不清楚． （1）他把“”猜成8，请你解方程； （2）若此方程两个实根都是整数，请直接写出“”中所有可能的正数之和． 【答案】（1） （2）28 【解析】 【分析】本题考查了配方法求方程的根，根与系数关系，活用根与系数关系，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可． （2）利用根与系数关系定理解答即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得． 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得． 【小问2详解】 解：设中的数是n，是方程的两个实数根， 则， 根据题意，得， 又都是整数，且 ， 由于， 故 或或， 解得或或， 故正数之和为． 21. 人工智能越来越应用广泛，中学生也应该逐步了解人工智能．某中学对学生就人工智能的了解程度进行调查，随机从七、八年级各抽取了名学生参与“人工智能”知识竞赛，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ．七年级成绩的频数分布直方图如下：（数据分成五组：，，，，） ．七年级成绩在的数据如下：（单位：分） ．七、八年级各抽取的名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80.4 m n 141.04 八年级 80.4 80 84 96.10 根据以上信息，回答下列问题 （1）表中 ， ，请补全七年级成绩的频数分布直方图； （2）综合以上信息，请问七、八年级哪个年级对人工智能知识掌握得更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）竞赛成绩分及以上记为优秀，八年级的成绩按分数从大到小排列，第和第个数据均为分，且得分的学生只有这两名．该校七年级和八年级共有名学生，请估计七年级和八年级成绩优秀的学生总人数． 【答案】（1），， 补全七年级成绩的频数分布直方图如下： （2）解：∵七八年级的成绩的平均数相同，但七年级的成绩的中位数比八年级的中位数大， ∴七年级对学生就人工智能知识的掌握的更好． （3）人 【解析】 【分析】本题考查了频率分布直方图，中位数、众数、方差，用样本估计总体，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （）先根据中位数、众数的定义进行求解，再用减去成绩小于的人数即可补全统计图； （）根据中位数进行判断即可； （）用乘以七年级和八年级成绩优秀的学生数所占比，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，七年级成绩在的数据按从小到大排列如下单位：分：，，，，，，，，，，，， 七年级成绩的中位数为第、位数的平均数， ∵，， ∴中位数为，且第五组的人数是：人， 由题意知，出现次，次数最多， ∴众数为， 故答案为：，； 图略； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意知名， ∴估计七年级和八年级成绩优秀的学生人数为名． 22. 小滨和小江一起进行摸球游戏：在一个不透明的箱子中放有2个白球和2个黑球，小球除颜色不同外其余都相同． 小滨：从该箱子中随机摸出一个球，摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同． 小江：从该箱子中随机摸出一个球后不放回，摇匀后再从中摸出一个球．摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同． 请判断小滨和小江的说法是否正确，并说明理由． 【答案】 小滨的说法正确，小江的说法不正确． 理由：从该箱子中随机摸出一个球，共有4种等可能的结果，其中摸出白球的结果有2种，摸出黑球的结果有2种， ∴摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， ∴摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同， 故小滨的说法正确． 列表如下： 白 白 黑 黑 白 （白，白） （白，黑） （白，黑） 白 （白，白） （白，黑） （白，黑） 黑 （黑，白） （黑，白） （黑，黑） 黑 （黑，白） （黑，白） （黑，黑） 共有12种等可能的结果，其中摸出一白一黑的小球的结果有8种，摸出颜色相同的小球的结果有4种， ∴摸出一白一黑的小球的概率为，摸出颜色相同的小球的概率为， ∴摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率不相同， 故小江的说法不正确． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．从该箱子中随机摸出一个球，共有4种等可能的结果，其中摸出白球的结果有2种，摸出黑球的结果有2种，再利用概率公式可得摸出白球的概率和摸出黑球的概率，进而可得结论；列表可得出所有等可能的结果数以及摸出一白一黑的小球的结果数和摸出颜色相同的小球的结果数，再利用概率公式可得摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率，进而可得结论． 【详解】略 23. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）当时，，解得或，进而可得结论． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 24. 孙老师在完成“2.5直线与圆的位置关系”教学后，对教材第67页的例3进行变式探究：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）取的中点G，过G作交于H，交于点F． 若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴。 ． ． ， 。 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定定理、勾股定理等知识． （1）连接，证明．由得到，根据切线的判定 即可证明结论； （2）连接，设，则，．得到在和中，，据此即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵， 设，则，． 是的中点， 。 ， ． 又， 。 ， 在和中，， 。 解得（舍去），． 半径为． 25. 当今，科幻小说图书销量上升迅速.某书店为满足广大顾客需求，订购某本热销科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是24元时，每天的销售量是120本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少5本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元. （1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围： （2）当该科幻小说销售单价定为多少时，书店每天销售该科幻小说所获得的利润最大？最大利润为多少元？ （3）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为845元，求a的值． 【答案】（1） （2）当销售单价定为34元时，利润最大，最大利润为元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）设可获得利润为元．根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得当时，W取得最大值，然后根据每天扣除捐赠后可获得最大利润为元，列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元， ∴， 根据题意得：； 【小问2详解】 解：设可获得利润为元． ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 答：当销售单价定为34元时，利润最大，最大利润为元； 【小问3详解】 解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元． ， ∴该函数图象的对称轴为， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W取得最大值， ∴， ∴（不合题意舍去）， ∴． 26. 已知二次函数． （1）求该二次函数的图象与x轴的交点坐标； （2）若，点是该二次函数的图象上一点，当时，，求m的值； （3）当时，将此时二次函数对应的抛物线称为“抛物线”，将“抛物线”向上平移个单位长度得到新“抛物线”，设“抛物线”与x轴在原点与之存在交点，请求出n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）n的取值范围为 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）令，解方程求出，，即可得到二次函数的图象与x轴的交点坐标； （2）根据二次函数图象的顶点坐标为，二次函数图象的对称轴是，得到，即可求出答案； （3）求出抛物线的函数表达式为，将，代入，得，根据要使“抛物线”与x轴在原点与之间存在交点即可得到答案． 【小问1详解】 当时，． 解得，． ∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标为； 【小问2详解】 ∵，∴二次函数的图象开口向上． ∵点是该二次函数的图象上一点，当时，， 又∵二次函数图象的对称轴是， ∴二次函数图象的顶点纵坐标为． ∴． 解得； 【小问3详解】 当时，． ∴抛物线的顶点坐标为． ∴抛物线的函数表达式为． 将，代入，得． ∴要使“抛物线”与x轴在原点与之间存在交点，则顶点的纵坐标，即， 则n的取值范围为． 27. 折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．小明通过近期的学习发现，与圆有关的折叠问题渐渐成为探究的热点，他决定做个系列探究活动． （1）【初步尝试】 如图1，在中，是直径，点为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，已知，求的度数； 小明在解决这个问题时发现：解决圆的翻折问题有一个关键是翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆．这样一来，图1中易得． 请在小明的“发现”的提示下，求出的度数； （2）【深入探究】 如图2，在中，是直径，点C为圆上一点，将劣弧沿着弦翻折，交于点D，连接，若已知的半径为5，且． ①求此时的长； ②直径上方半圆的中点为P，弧的中点为Q，连接，则的长为 ______； （3）【思维进阶】 如图3，在（2）的条件下，点M为弧上的动点，连接并延长，交于点N，的中点为G，连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）①的长为；②； （3） 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，准确添加辅助线以及熟练运用各知识点是解题的关键． （1）利用翻折的性质或，得出对应圆心角的度数，通过角度之间的计算即可求出的度数； （2）①过点作，交于点，连接、，得出，由等腰三角形三线合一，得出，结合勾股定理先算出的长度，再算出的长度； ②添加辅助线构造出与有关的直角三角形，利用垂径定理，勾股定理等，计算出、的长，利用添加的辅助线证出四边形为矩形，即可得出与有关的直角三角形的两条直角边的长度，最后利用勾股定理得出的长度； （3）由翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆，可得，添加适当的辅助线，证明出，确定点的运动轨迹，判断出当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，利用勾股定理计算出该情况下、的长度，最终得到长度的最小值． 【小问1详解】 解：在找出点对应的原位置，连接、、、，如下图所示： 由翻折的性质，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①过点作，交于点，连接、，如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴点为中点， ∵， ∴， ∵圆的半径为5， 故， ∴， ∵， 由勾股定理得，， 即的长为． ②过点作，作，关于的对称点，，连接，交于点，连接，过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴， ∵为弧的中点，故为弧的中点， 即垂直平分， ∵，， 由勾股定理得， ∴， ∴，，， ∵，，为半圆的中点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：． 【小问3详解】 解：由（1）中翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中，翻折后它们所在的圆依然是等圆，可得，连接、、，如下图所示： ∵， ∴，故为等腰三角形， 又∵为中点， ∴，即， ∴点运动轨迹为以为直径所在的圆上， 取中点为，为圆心，当点、、三点共线（位于之间）时，长度最小，连接，，如下图所示： ∵，，为直角三角形， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $