精品解析：四川省德阳市第五中学2025-2026学年高二上学期期末数学模拟考试题

德阳五中高2024级期末模拟考试数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 的虚部为（ ） A. 43 B. 53 C. D. 2. 已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（ ） A. 相交 B. 异面 C. 相交或异面 D. 不确定 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 4. 已知随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，其中正确的结论为 A. 直线与是相交直线； B. 直线与是平行直线； C. 直线与是异面直线： D. 直线与所成的角为. 10. 已知是数列的前项和，若，，则下列结论正确的为（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和为 11. 曲线，是曲线上任意两点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的图象有且仅有条对称轴 B. 曲线所围成的面积为 C. 的最大值为 D. 记曲线上任意一点，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 已知，，则______． 13. 已知，，则______. 14. 已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线（，）有公共的焦点，其中，分别为左、右焦点，是与在第一象限的公共点.若线段的垂直平分线经过坐标原点，则当取最小值时，为_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组.第2组.第3组.第4组.第5组. （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 16. 已知的内角的对边分别为，向量，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 17. 已知数列满足点在直线上，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，，分别是线段，的中点，且平面平面. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 19. 已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，当时， ①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳五中高2024级期末模拟考试数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 的虚部为（ ） A. 43 B. 53 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数乘法法则计算，得到答案. 【详解】因为， 所以其虚部为. 故选：D 2. 已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（ ） A. 相交 B. 异面 C. 相交或异面 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知直线的位置关系，结合平面的基本性质，空间想象来判断a与d的位置关系. 【详解】由，是异面直线，则异面或相交，又，故异面或相交. 故选：C 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】结合诱导公式和特殊角的余弦值，根据分段函数解析式求值即可. 【详解】. 故选：C 4. 已知随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】因为， 即，解得. 故选：B 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有，解得或， 当时，与重合，不合题意； 当时，直线与平行； 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义、性质及数形结合判定选项即可. 【详解】因为等于点到准线的距离，作垂直于准线于,根据抛物线的定义可知， 所以当PQ垂直于准线时交准线于,，有最小值，,最小值为. 当且仅当在与抛物线的交点时取得等号. 故选：C. 7. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，且，，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理求解即可. 【详解】设则 ，则，得, 解得：则双曲线的渐近线方程为 故选：C. 8. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件分析得到数列的通项公式,并利用等差数列前n项和公式化简，进而求得数列的通项公式,再利用裂项相消求和法求得结果. 【详解】由题意可得，,…… 所以，. 所以， 所以，+++…+ 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，其中正确的结论为 A. 直线与是相交直线； B. 直线与是平行直线； C. 直线与是异面直线： D. 直线与所成的角为. 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据图形及异面直线的定义，异面直线所成的角判断即可. 【详解】结合图形，显然直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与所成的角即直线与所成的角,在等边中，所以直线与所成的角为, 综上正确的结论为C D. 【点睛】本题主要考查了异面直线，异面直线所成的角，属于中档题. 10. 已知是数列的前项和，若，，则下列结论正确的为（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】AC选项，利用求出通项公式，得到A正确，C错误；B选项，根据得到，故是公比为3的等比数列，B正确；D选项，由C选项知，故为首项为0，公差为1的等差数列，求出D正确. 【详解】AC选项，①，令得， 当时，②， 则①-②得，即， 故当时，， 显然不满足， 所以，A正确，C错误； B选项，因为，，所以， 即，所以数列是公比为3的等比数列，B正确； D选项，由C选项知，， 故，由于，， 故为首项为0，公差为1的等差数列， 数列的前项和为，D正确. 故选：ABD 11. 曲线，是曲线上任意两点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的图象有且仅有条对称轴 B. 曲线所围成的面积为 C. 的最大值为 D. 记曲线上任意一点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分类讨论可得四个象限中曲线的方程，由此可得曲线的图象；根据图象对称性可知AB正误；根据曲线内切于圆可知C正确；将转化为曲线上的点到直线的距离的倍，结合图形可求得D正确. 【详解】当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 可作出曲线的图象如下图所示（含坐标原点）， 对于A，由图象可知：曲线关于轴，直线，对称，A错误； 对于B，在第一象限中，曲线围成的图象面积为， 曲线所围成的图形面积为，B正确； 对于C，曲线内切于圆，且切点在上，如下图所示， 则的最大值即为圆的直径，，C正确； 对于D，， 的几何意义为曲线上的点到直线的距离的倍； 曲线上的点到直线的距离的最小值为， 的最小值为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算求解. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 13. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合题设，根据两角和与差的余弦、正弦公式得到，，两式相除即可求解. 【详解】由，得， 由，得， 所以. 故答案为：. 14. 已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线（，）有公共的焦点，其中，分别为左、右焦点，是与在第一象限的公共点.若线段的垂直平分线经过坐标原点，则当取最小值时，为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，，利用椭圆和双曲线的性质有，最后利用基本不等式即可求解． 【详解】 设半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则， 由，， 则，，， 所以，从而有， 故， 当且仅当，即时，等号成立； 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：关于离心率问题，可以根据条件得到关于a，c的齐次式，设，，利用椭圆和双曲线的定义有，，结合，得到，利用基本不等式求的最小值即可． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组.第2组.第3组.第4组.第5组. （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 【答案】（1），150 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中频率和为1求得后，再根据频率的定义可得人数； （2）根据分层抽样的定义确定各组人数，并设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，用列举法写出所有基本事件后可计算出概率． 【小问1详解】 由频率分布直方图知：，可得， 所以估计500名志愿者中年龄在的人数为. 【小问2详解】 由题设，第2组.第4组和第5组的频率之比为， 则6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自， 不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为， 则抽取两人的基本事件有， ，共15个， 而2名志愿者中恰好来自同一组的基本事件有：，共4个， 所以抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 16. 已知的内角的对边分别为，向量，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标公式和余弦定理，余弦函数的图象即可求得答案； （2）先由（1）的结论和基本不等式推出，利用三角形面积公式即可求得其最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 由余弦定理得，因为，所以． 【小问2详解】 由（1）得，即， 当且仅当时，等号成立， 则， 所以当时，面积的最大值为． 17. 已知数列满足点在直线上，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为，所以， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，， 两式相减，得， 所以. 18. 如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，，分别是线段，的中点，且平面平面. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 【答案】（1） 连接， 是边长为2的等边三角形，是线段的中点， 所以⊥， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为四边形为平行四边形，， 所以四边形为菱形，故⊥， 因为，分别是线段，的中点，所以， 所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，即⊥，由菱形性质和中位线得到⊥，从而得到线面垂直； （2）先证明线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式求出答案； （3）设，，表达出，求出两个平面的法向量，利用公式得到两平面夹角余弦值为，换元后，得到，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为，， 所以为等边三角形，是线段的中点，故⊥， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ，， 设平面法向量为， 则， 令，得，故， 故点到平面的距离； 【小问3详解】 设，， 设，则， 故，故， ， 由（1）知，平面， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，则, 设平面与平面夹角的大小为， 则 ， 令，因为，所以， 则， 因为，所以，， 故， 故平面与平面夹角的余弦值取值范围为. 19. 已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，当时， ①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； ②求的最小值. 【答案】（1） （2）①法1，由条件，可知直线的斜率存在， 设直线，，， 联立方程组：， 其中（▲）， 所以，， 由条件，即， 由于直线不过点，故， 化简可得， 所以 ， 代入（▲）式，，此时直线恒过定点． 法2，设，，由条件，即（★）， 由点在椭圆上，则有， 即①，同理可得② ， ①②可得： 代入（★）式可得：， 即， 变形可得．所以直线恒过定点． ②1 【解析】 【分析】（1）将，两点代入椭圆方程解出的值即可； （2）①解法一：设直线，，，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合，解出的关系即可求解；解法二：设，，利用在椭圆上可得， ，作差结合化简即可求解；②由可得点在以为直径的圆上，利用圆的性质求解即可； 【小问1详解】 由题意可得， 所以椭圆的标准方程为：． 【小问2详解】 ①略 ②因为，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为， 所以，此时的坐标为，的斜率，满足条件． 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $