5.1 变量与函数 课件-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件围绕常量与变量、函数的概念及表示方法展开，通过汽车行驶、围篱笆等四个生活情境问题导入，引导学生观察现实中的量，区分常量与变量，再归纳变量关系，逐步抽象出函数概念，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，如从围篱笆问题中抽象长和宽的变量关系。通过小组合作探究变量对应关系，结合列表、表达式、图像（如心电图、气温图）等数学语言，发展推理意识和表达能力。采用问题驱动、合作归纳的教学方法，学生能直观理解函数本质，教师可借助丰富实例提升教学效率。

　 周末，老师一家从昆山出发到上方山野生动物园游玩，汽车在高速上以80km/h的速度匀速前往。在行驶过程中涉及到哪些量？哪些量不变？哪些量变化？ 问题·思考 动物园的羊驼场馆最近在整修，计划用30米长的篱笆为小羊驼们围建一个长方形的乐园。在这个围建过程中涉及到哪些量？哪些量不变？哪些量变化？ 问题·思考 为增强游客与羊驼互动的体验感，场馆推出了投喂套餐。每份套餐包含条状胡萝卜若干及一副橡胶手套，售价20元/份。在游客购买的过程中会涉及到哪些量？哪些量不变？哪些量变化？ 问题·思考 　　 开心的游玩结束后，返程开启 自动巡航，导航显示全程有60km， 在返程的过程中涉及到哪些量？哪 些量不变？哪些量变化？ 问题·思考 思考：若对上述四个问题中涉及产生的12个量进行分类，你会如何分类？ 探索·归纳 路程S 时间t 速度80km/h 份数x 费用y 单价20元 长方形的长l 长方形的宽w 篱笆长30m 自动巡航的速度v 全程所用时间 t 路程60km 数值保持不变的量叫作常量， 数值发生变化的量叫作变量． 在某一变化过程中， 变量与常量具备相对性. 探索·归纳 我们不仅要抽象出数学所要研究的对象，还要抽象出这些研究对象之间的关系． ——史宁中 探索·归纳 思考：你能说出上述问题中，每个变化过程中的变量之间所满足的具体关系吗？ 变化过程 问题1 问题2 问题3 问题4 路程S 时间t 长方形的长l 长方形的宽w 份数x 金额y 速度v 时间 t 变量 探索·归纳 合作探究：请以小组为单位，讨论并归纳出上述4个变化过程所具备的共同特征，并将所讨论的结果写在学历案上. 变化过程 S=80t w=15-l y=20x 共同特征 共性探索： 你能否举出一些生活中存在的具备这些共同特征的的实例，并进行简要的说明． 探索·归纳 一般地，在一个变化过程中有两个变量　x　和　y　，如果对于 x 的每一个确定的值，　y　都有唯一的值与它对应．那么称y 是 x 的函数，其中 x 是自变量． 函数的概念 探索·归纳 对于自变量x的每一个值，函数 y 的对应值称为函数值． 巩固·提高 判断下列问题中的变量的关系是否为函数关系： （1）在平静的湖面投入一粒石子，激起的圆形波纹的面积S cm2和半径r cm． （2）某水库水位的高低与相应的蓄水量如下表： 水位/m 106 120 133 135 … 蓄水量/m3 2.30×107 7.09×107 1.18×108 1.23×108 … 巩固·提高 （3）某地一天气温T ℃与时间t h的变化如下图： 判断下列问题中的变量的关系是否为函数关系： （4）列车从甲地匀速驶往乙地，列车距离甲地的路程S m与行驶时间t min满足关系S＝90t． 列表法 表达式法 图像法 S=80t w=15-l 巩固·提高 应用·拓展 1.按如图所示的运算程序，你能用含 x 的代数式表示 y 吗？ y 是 x 的函数吗？为什么？ 输出 y 输入 x +2 ×5 －4 　2.如图是某人在医院体检时心电图的一部分，图上横轴表示时间t s，纵轴表示心脏的心肌在活动中产生的电压U mV， 电压U是时间t的函数吗？为什么？ 应用·拓展 3.某轮船从甲港以v n mile/h的速度匀速驶向相距500 n mile的乙港，全程用时t h. （1） t是速度v的函数吗？ （2）如果用时10小时到达，那么速度是多少？ （3）如果要求在12.5 h内到达，那么速度至少要达到多少？ 解决·问题 互相转化 总结·展望 通过本节课的研究学习， 你收获了什么？ 你还有哪些疑问？ 根据经验，你认为后续还会研究函数的哪些知识？ 17世纪德国数学家莱布尼茨最早提出函数概念． 贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．” 欧拉认为函数不一定要用式子表示，他认为：“函数是随意画出的一条曲线。” 法国数学家柯西首先给出了自变量一词 . 清代李善兰在翻译《代数学》说：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数．中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思. 函数小史 　　（1）如果某轮船从甲港以30 n mile/h的速度匀速驶向相距500 n mile的乙港，其与乙港的距离s n mile是航行时间t h的函数吗？用含t的代数式表示s． 小试牛刀 　　（2）某轮船从甲港匀速驶向相距500 n mile的乙港，全程用时t h是速度 v n mile/h的函数吗？如果速度是10 n mile/h，那么全程用时多少？ 　　（3）某轮船从甲港匀速驶向相距500 n mile的乙港，如果要在12.5 h内到达，那么速度至少要达到多少？ 探索·归纳 小组汇报：在这个变化过程中有_____个变量______和_______； ______变化时，______也随着变化；对于______的每一个确定的值，_______都有唯一的值与它对应． 变化过程 问题1 问题2 问题3 问题4 变量 路程S 时间t 长方形的长l 长方形的宽w 份数x 金额y 速度v 时间 t 　2.如图是某人在医院体检时心电图的一部分，图上横轴表示时间t s，纵轴表示心脏的心肌在活动中产生的电压U mV． 　　（1）电压U是时间t的函数吗？为什么？ 应用·拓展 　（2）时间t是电压U的函数吗？为什么？ 应用·拓展 　　说明　自变量每确定一个数值，函数有一个并且只有一个值与之对应，但可能有多个自变量数值对应一个函数值． 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫作常量，数值发生变化的量叫作变量． 　　说明　变量与常量是相对而言的，判断变量与常量的前提是“在某一变化过程中”．一个量在某一变化过程中是常量，而在另一变化过程中则可能是变量． 探索·归纳 水位/m 106 120 133 135 … 蓄水量/m3 2.30×107 7.09×107 1.18×108 1.23×108 … Lavf60.16.100 Lavf60.16.100 Lavf60.16.100 Lavf60.16.100 Lavf60.16.100 $