5.1变量与函数（2） 函数的表示 课件 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“函数的表示”，通过直角三角形面积情境复习函数概念，以铁丝围长方形实例引出表达式、表格、图象三种表示方法，搭建从概念到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合潮汐图、水箱放水等现实问题，用数学眼光抽象数量关系，通过三种表示方法的转化培养几何直观与模型意识。例题精讲含错误对比，分层训练覆盖基础与拓展，小结清晰梳理要点，助力学生理解应用，也为教师提供丰富教学资源。

执教： 张二平 苏科版八年级数学上册 5.1变量与函数（2） --函数的表示 学习目标 1、通过实例，进一步了解函数的概念，了解函数的 三种表示方法，理解不同方法之间的内在联系。 2、能根据图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。 3、能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数 的自变量取值范围，并会求函数值。 学习重点： 能结合某些实际问题，写出相应的函数关系式及 自变量在实际问题中的取值范围。 学习难点： 从函数的不同表示方式中理解三种表示方法之间的 内在联系，从而获取所需要的信息。 一、情境创设： 直角三角形的面积为20cm2， 两直角边长分别为acm和bcm. （1）当a＝10时，b是多少？ （2）当a＝8时，b是多少？ （3）b是a的函数吗？若是，写出b与a的函数关系式； 若不是，试说明理由。   二、探索新知： 问题：用一根长2m的铁丝围成一个长方形， 长方形的一边长为x(m),另一边长为y(m)， 怎样表示y与x之间的函数关系? （函数值与自变量的关系一目了然） 可以在平面直角坐标系中 画图表示(如图)： 可以列式表示：y=        ；  (比较简洁，方便计算) 可以用表格表示： 1-x (很直观，可以看到变化趋势) 在太阳和月球引力的影响下,海水定时涨落的现象称为潮汐。 如图是江苏省一港口某日的潮汐图，图中的平滑曲线,如实记录了当天每一时刻的潮位,揭示了这一天里潮位y(cm)与时间t(h)之间的函数关系。 像这样,在直角坐标系中,如果描出以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标的点,那么所有这样的点组成的图形叫做这个函数的图像。 讨论： 小结： 一般地，函数可以用下面三种方法表示： 用表达式表示。如y=1-x，y=30t等， 像这样用自变量和常量组成的表示函数的表达式 叫作函数表达式(expression offunction)。 2.用表格表示。把自变量的取值写在第一行， 对应的函数值写在第二行. 3.用图象表示。如图，把自变量的取值作为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点， 这些点组成的图形叫作函数的图象(graph of function). 注意： (1)函数的三种表示方法可以相互转化, 在应用时要根据具体情况选择适当的方法; (2)并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来. 例如:气温与时间的函数关系,只可以用列表法和图像法表示, 而不能用表达式法表示. 1、甲、乙两人出门散步，用20min走了900m，甲随即按原速返回；乙遇到一位朋友，并与朋友交谈了10min后，用15min回到家里，在下列4个图像中，表示甲离家的路程s（m）与时间t（min）之间的函数关系的是        ；表示乙离家的路程与时间之间的函数关系的是          。 试一试： (2) (4) 2、根据图所示的程序计算函数值， 若输入的x值为 ，则输出的结果为 （　 　） A、 B、 C、 D、 A 小结： 1、认识函数图像时,一般要分两个方面, 一是函数图像上的点如何反映自变量的值与函数值 之间的关系； 二是函数图像如何反映函数值随自变量取值变化而 变化的情况.既要理解函数图像上每一个点的意义, 又要理解函数图像上每一段的意义. 2、自变量取值范围的确定与函数值的计算： (1)自变量取值范围的确定要考虑两点： ①函数表达式中等号右边的数学式子有意义； ②实际问题有意义. (2)函数值是当自变量取某一给定的值时函数表达式 所确定的一个对应值.求值步骤为①代入；②计算求值. 例题精讲： 例1、小明从甲地步行到乙地，图中的折线表示小明步行的路程s(km)与所用时间t(min)之间的函数关系，根据图象回答问题： (1)小明全程用了多长时间? (2)小明出发 50 min 时， 步行的路程是多少? (3)折线中有一条平行于横轴的线段， 它的实际意义是什么? 在实际问题中,自变量的取值通常有一定的范围.如此例中自变量t的取值范围是0≤≤70. 解：(1)小明全程用了70 min； (2)当=50时，s=3，即小明出发50min时，步行的路程为3km； (3)当t从20变化到40时，s的值不变， 说明小明在途中停留了20min. 例2、一水箱中有水500 L,现在往外放水,每分钟放水50 L,请用三种不同的方法表示水箱中剩余水量y(单位:L)关于放水时间t(单位:min)的函数关系. 解:(1)表达式法:y=500-50t. (2)列表法: t/min … 1 2 3 … 8 9 10 … y/L … 450 400 350 … 100 50 0 … (3)图像法: 以上答案是否正确? 若不正确,请给出正确答案. 解:不正确.正解:(1)表达式法:表达式为y=500-50t(0≤t≤10). (2)列表法: (3)图像法:图像如图所示. 三、独立训练： 1.下列图像中,不能表示y是x的函数的是 (　　) 2.在某次试验中,测得两个变量m和v之间的4组 对应数据如下表: 则v与m之间的关系最接近于下列各关系式中的 (　　) A.v=2m-2 B.v=m2-1 C.v=3m-3 D.v=m+1 C B 4.小明骑自行车从甲地到乙地,图中的折线表示小明行驶的 路程s(km)与所用时间t(h)之间的函数关系. (1)图像上的点A表示什么含义? (2)出发3h时,他离甲地多远? (3)他离甲地30km时,出发了多长时间? (4)分别说明线段CD,DE的意义. 3.已知函数 ，当x=2时,函数值y= _. 1 解:(1)点A的横坐标为1,纵坐标为10 , 表示小明出发1 h,离甲地10 km. (2)出发3 h时对应点为F,点F的纵坐标为20, 所以此时他离甲地20 km. (3)他离甲地30 km时对应点为B,点B的横坐标为5, 所以他离甲地30 km时,出发了5 h. 13 5.如图①,动点P以2cm/s的速度沿B→C→D→E→F→A的路径匀速运动,相应的△ABP的面积S(cm2)与时间t(s)之间的函数关系如图②所示.若AB=6cm,试回答下列问题. (1)求BC的长及多边形ABCDEF的面积； (2)求a,b的值. 解:(1)动点P在BC边上运动时,对应的时间为0~4 s, 易得BC=2×4=8(cm). 由题图可得CD=2×2=4(cm),DE=2×3=6(cm), EF=2×1=2 (cm),则AF=BC+DE=14 (cm). 又因为AB=6cm,所以多边形ABCDEF的 面积为AB·AF - CD·DE=60 (cm2). 四、拓展延伸 求下列函数中的自变量取值范围。 求函数表达式有意义的方法 ①函数的表达式是整式（或奇次根式）时，自变量取一切实数； ②函数的表达式是分式时，自变量的取值应使分母≠0； ③函数的表达式是二次根式（或偶次根式）时， 自变量的取值应使被开方数≥0。 ④函数的表达式是含有零次幂的结构， 则自变量的取值应使底数不为零； 解:(1)x≠5 (2)x≥7 (3)x≠2.5 （4）x为一切实数 （5）x为一切实数 五、总结反思： 1、函数的三种方法表示： 表达式法、表格发、图象法。 2、函数的图象 在平面直角坐标系中,以函数的自变量的值为横坐标、对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图象。 3.自变量取值范围的确定与函数值的计算: (1)自变量取值范围的确定要考虑两点: ①函数表达式中等号右边的数学式子有意义; ②实际问题有意义. (2)函数值是当自变量取某一给定的值时函数表达式所 确定的一个对应值. 求值步骤为①代入;②计算求值. 六、随堂检测 1.某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处。如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，能大致表示水的 深度hcm与放水时间ts之间的关系的图象是（ ） 2.等腰三角形顶角的度数是x，底角的度数是,y是x的函数吗? 如果是，写出函数表达式及自变量的取值范围。 A 解：y是x的函数。∵x+2y=180°，∴y=90°-0.5x 即函数表达式为y=90°-0.5x 由x＞0，且90-0.5x＞0，得0＜x＜180。 即自变量的取值范围0＜x＜180 3.等腰三角形周长为12，求底边y与腰长x之间的函数关系式， 并求出自变量x的取值范围是什么？ 4.研究发现，某种蟋蟀平均每分钟鸣叫的次数N(次)与环境 温度T(℃)有关，它们之间近似满足关系:T=10+ (N-40) (1)露营时小明记录了这种蟋蟀平均每分钟鸣叫60次， 估计此时的温度(结果精确到1℃). (2)按此关系，温度大约降为多少时，这种蟋蟀会停止 鸣叫?(结果精确到1℃) 解：∵2x+y=12，∴y=12-2x ∵x＞0，y=12-2x＞0且x+x＞y ∴ 3＜x＜6 $