培优点02：奔驰定理与三角形的四心【知识梳理+题型归纳】讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦奔驰定理与三角形四心（重心、垂心、内心、外心）的向量表示，按知识拓展、热点题型分类、课后训练的逻辑架构展开，通过考点梳理、规律方法总结、真题演练等环节，帮助学生构建向量与几何的关联框架，突破四心向量应用难点。 讲义以题型分类为核心，每个热点题型配套规律方法总结与分层练习，如重心问题中提炼等系数特征，外心问题结合正弦定理转化，培养学生数学思维与推理能力。设置经典例题与小试牛刀梯度训练，助力学生用数学语言精准表达几何关系，高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供系统指导。

2025-2026年高考二轮专题复习 【培优点02：奔驰定理与三角形的四心】 【知识拓展】 1.奔驰定理 如图,已知为内一点,有;其中分别为的面积. 证明 设,,,,. 根据三角形正弦定理面积公式得: 把①式两边与向量作数量积得: 同理,①式两边与向量作数量积均为0. 由于不可能同时与垂直,且不全为,故. 该结论对应的图形形似奔驰汽车标志,因此称为奔驰定理,对推导三角形四心的向量结论有直接作用. 2.三角形四心的向量表示及结论（利用奔驰定理可自行证明） (1)点是的重心 ; (2)点是的垂心 ; （注：为三角形的三个内角）. (3)点是的内心 ; （其中是的三边,分别对应角）. (4)点是的外心 . 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：奔驰定理与三角形面积之比的问题】 （24-25高一下·上海浦东新·月考）设点在的内部，且，则 .经典例题例题 【规律方法总结】 方法技巧： 1.核心公式：若点为内一点，满足（且），则的面积比为. 2.拓展应用：若点在外部，需结合向量系数的正负判断面积比的对应关系（系数符号反映点与三角形的位置关系）. 3.面积与整体的比例：与的面积比为，同理可得与的面积比. 【多选题】（24-25高一·江苏·假期作业）下列说法中正确的说法为（    ）小试牛刀1 A．若，，则 B．若，，分别表示，的面积，则 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 （23-24高三上·安徽安庆·月考）设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（    ）小试牛刀2 A．2 B． C． D．3 （24-25高一下·重庆渝中·期中）某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是内的一点，且存在，使得，则．请以此结论回答：已知在中，，，O是的外心，且，则 ．小试牛刀3 【热点题型2：奔驰定理与三角形重心】 （2025高一·全国·专题练习）已知是的重心，，其中内角的对边分别为，则 ．经典例题例题 【规律方法总结】 方法技巧： 1.重心的奔驰定理特征：若为的重心，则，对应奔驰定理中系数. 2.面积关系：重心将三角形分成面积相等的三个小三角形，即. 3.应用技巧：遇三角形重心相关向量问题，直接利用奔驰定理的等系数特征，快速转化为面积或向量运算. （2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ）小试牛刀1 A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 （24-25高三下·陕西西安·月考）在中，若动点P满足向量平行于向量，则P的轨迹过的（   ）小试牛刀2 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （24-25高一下·江苏扬州·期中）在非钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是的重心且，则角 ；若，，则 .小试牛刀3 【热点题型3：奔驰定理与三角形外心】 【多选题】（24-25高三上·山东·期中）记内角，，的对边分别为，，，已知，，若为的外心，则（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【规律方法总结】 方法技巧： 1.外心的向量特征：若为的外心，则（外心为三边垂直平分线的交点，到各顶点距离相等）. 2.奔驰定理对应关系：外心对应的三角形面积比为（A、B、C为的内角）. 3.向量式表达：结合奔驰定理，外心满足（因，可简化运算）. 【多选题】（23-24高一下·四川成都·期末）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A．的内切圆半径为 B． C． D． （23-24高一下·浙江绍兴·期中）在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ）小试牛刀2 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 （2025·广东江门·模拟预测）已知点分别是的外心，重心，，则的值为 .小试牛刀3 【热点题型4：奔驰定理与三角形内心】 （2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则 ， ．经典例题例题 【规律方法总结】 方法技巧： 1.内心的奔驰定理特征：若为的内心，a、b、c分别为中角A、B、C对边的边长，则. 2.面积关系：内心对应的三角形面积比为（内心为角平分线交点，到各边距离相等，面积比等于边长比）. 3.应用技巧：遇角平分线或内切圆相关问题，优先利用内心的奔驰定理向量式，将边长与向量系数关联. （2025高三·全国·专题练习）在中，I为的内心，若，则 .小试牛刀1 （24-25高一下·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的 .（填:重心、内心、外心或垂心）小试牛刀2 （2025高一·全国·专题练习）设为的内心，且，则角为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【热点题型5：奔驰定理与三角形垂心】 （2025高三·全国·专题练习）已知点在内，且是的垂心，若，则 ．经典例题例题 【规律方法总结】 方法技巧： 1.垂心的向量特征：若为的垂心，则（垂心为高的交点，邻边向量数量积相等）. 2.奔驰定理对应关系：垂心对应的三角形面积比为（A、B、C为的内角，需注意三角形为锐角三角形时值为正）. 3.向量式表达：结合奔驰定理，垂心满足. （2025高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ）小试牛刀1 A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 （2025高三·全国·专题练习）已知在同一个平面上有和一点，且满足关系式：，则为的（    ）．小试牛刀2 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 （2025高一·全国·专题练习）已知为的垂心，，，若，则 ．小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）若是的重心，且（为实数），则（   ） A． B． C．1 D． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．（2025高三·全国·专题练习）在中，为线段上的一点，满足，，，为上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 6．（24-25高一下·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且 ，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 7．（24-25高一下·湖北武汉·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 8．（22-23高一下·福建福州·月考）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则动点的轨迹经过的内心 B．若O为平面内任意一点，，则点为的重心 C．若为的垂心，，则 D．若为锐角的外心，且，则 9．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若是的重心，则 C．若为的垂心，，则 D．若分别表示的面积，则 10．（24-25高一下·山东·月考）点O，H分别是的外心、垂心，则下列选项正确的是（    ）． A．若且，则 B．若，且，则 C．若，，则的取值范围为 D．若，则 11．（24-25高一下·安徽合肥·月考）已知P为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（   ） A．若P为的垂心，，则 B．若P为锐角的外心，且，则 C．若P为的重心，则 D．若，则点P的轨迹经过的内心 12．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则点是的垂心 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 13．（25-26高一·全国·假期作业）以下命题中，正确的有（ ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 14．（2025高三·全国·专题练习）（多选）奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则．如图，设是内一点，的三个内角分别为，，，的面积分别为，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 15．（25-26高三上·山东青岛·月考）在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（   ） A．若点O为△ABC的重心，则 B．若点O为△ABC的外心，则 C．若点O为△ABC的垂心，则 D．若点O为△ABC的内心，且，则 16．（2026高三·全国·专题练习） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 17．（25-26高三上·安徽·月考）在中，角的对边分别为，点为内部一动点，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的中点，则 B．若点为的内心，则 C．若，则点过的外心 D．若为锐角三角形，点为的垂心，则 三、填空题 18．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）若O为的外心，且，则 ． 19．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角 . 20．（2025高一·全国·专题练习）在中，已知，，分别是的重心和外心，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高考二轮专题复习 【培优点02：奔驰定理与三角形的四心】 【知识拓展】 1.奔驰定理 如图,已知为内一点,有;其中分别为的面积. 证明 设,,,,. 根据三角形正弦定理面积公式得: 把①式两边与向量作数量积得: 同理,①式两边与向量作数量积均为0. 由于不可能同时与垂直,且不全为,故. 该结论对应的图形形似奔驰汽车标志,因此称为奔驰定理,对推导三角形四心的向量结论有直接作用. 2.三角形四心的向量表示及结论（利用奔驰定理可自行证明） (1)点是的重心 ; (2)点是的垂心 ; （注：为三角形的三个内角）. (3)点是的内心 ; （其中是的三边,分别对应角）. (4)点是的外心 . 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：奔驰定理与三角形面积之比的问题】 （24-25高一下·上海浦东新·月考）设点在的内部，且，则 .经典例题例题 【答案】/ 【分析】作，，，可知为的重心，推导出，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】作，，，如下图所示： 由可得，则为的重心， 延长交线段于点，则为的中点，则， 因为为的重心，所以，故， 同理可得，故，设， ，故， 同理可得，， 所以， 因此，. 故答案为：. 【规律方法总结】 方法技巧： 1.核心公式：若点为内一点，满足（且），则的面积比为. 2.拓展应用：若点在外部，需结合向量系数的正负判断面积比的对应关系（系数符号反映点与三角形的位置关系）. 3.面积与整体的比例：与的面积比为，同理可得与的面积比. 【多选题】（24-25高一·江苏·假期作业）下列说法中正确的说法为（    ）小试牛刀1 A．若，，则 B．若，，分别表示，的面积，则 C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数使得 【答案】BC 【分析】直接利用向量的传递性和向量的线性运算及三角形的面积特点以及向量共线的充要条件的应用判断、、、的结论． 【详解】对于A，若为零向量，则，成立，但可以不共线，故A错误； 对于B，若，则点为三角形的重心， 即，故B正确； 对于C：两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确； 对于D：若，，则，此时不存在使得成立，故D错误； 故选：BC． （23-24高三上·安徽安庆·月考）设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（    ）小试牛刀2 A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】先设，于是得到点O是的重心，则，再结合三角形面积公式即可求出的面积与的面积，进而得到答案. 【详解】不妨设，如图所示，    根据题意则，即点O是的重心， 取的中点，连接，则三点共线，且， 所以边上的高是边上的高的倍， ，即， 同理可得：，， 所以有， 又因为， 那么， 故的面积与的面积的比值为. 故选：A. （24-25高一下·重庆渝中·期中）某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是内的一点，且存在，使得，则．请以此结论回答：已知在中，，，O是的外心，且，则 ．小试牛刀3 【答案】/ 【分析】由结论可得，从而可得，再根据可得，从而有，求解即可. 【详解】    如图，因为O是的外心， 所以， 由结论可得， 即 ， 可得，即. 因为， 所以， 所以，即，即， 解得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛： 这道题的关键是能由结论得到，从而得到，再进行向量分解求解. 【热点题型2：奔驰定理与三角形重心】 （2025高一·全国·专题练习）已知是的重心，，其中内角的对边分别为，则 ．经典例题例题 【答案】/ 【分析】三角形重心的性质以及向量的线性运算，将已知向量等式转化为边的关系，再利用余弦定理求出角. 【详解】解法1：因为为的重心，所以， 从而，将其代入已知条件中， 可得 ． 又因为与不共线， 所以， 即，所以，即． 解法2：（以，为基底） 因为， ， ， 所以可化为， 即． 因为与不共线， 所以解得 所以，即． 故答案为：或 【规律方法总结】 方法技巧： 1.重心的奔驰定理特征：若为的重心，则，对应奔驰定理中系数. 2.面积关系：重心将三角形分成面积相等的三个小三角形，即. 3.应用技巧：遇三角形重心相关向量问题，直接利用奔驰定理的等系数特征，快速转化为面积或向量运算. （2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ）小试牛刀1 A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． （24-25高三下·陕西西安·月考）在中，若动点P满足向量平行于向量，则P的轨迹过的（   ）小试牛刀2 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】将提取出来, 转化成表示与共线的向量, 点是的中点, 故的轨迹一定通过三角形的重心. 【详解】由正弦定理得， 设 而 表示与共线的向量 而点是的中点, 所以的轨迹一定通过三角形的重心. 故选：C （24-25高一下·江苏扬州·期中）在非钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是的重心且，则角 ；若，，则 .小试牛刀3 【答案】 2 【分析】根据题意结合三角恒等变换可得，即可得角A；根据重心可得，根据数量积运算律运算求解即可. 【详解】因为，则， 整理可得， 显然，则，即， 又因为，可得； 因为点P是的重心，则， 可得， 即，整理可得，解得或（舍去）. 故答案为：；2. 【热点题型3：奔驰定理与三角形外心】 【多选题】（24-25高三上·山东·期中）记内角，，的对边分别为，，，已知，，若为的外心，则（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】的外心即为外接圆的圆心，即三边中垂线的交点，即可判断A，根据数量积的运算律判断B、C，利用奔驰定理判断D. 【详解】的外心即为外接圆的圆心，即三边中垂线的交点， 所以，故A正确； 取的中点，连接，所以，故C正确； 因为 ，故B错误； 因为为的外心， 则可设的外接圆半径为，，， ，故， 同理，， 又， 即. 所以， 即，故D错误； 其中（奔驰定理）的证明如下： 如图延长与边相交于点则 所以， 又， 又， 所以， 所以， 所以. 故选：AC. 【规律方法总结】 方法技巧： 1.外心的向量特征：若为的外心，则（外心为三边垂直平分线的交点，到各顶点距离相等）. 2.奔驰定理对应关系：外心对应的三角形面积比为（A、B、C为的内角）. 3.向量式表达：结合奔驰定理，外心满足（因，可简化运算）. 【多选题】（23-24高一下·四川成都·期末）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（    ）小试牛刀1 A．的内切圆半径为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】取边的中点，得内心P、外心O、重心G都在中线上，且，由三角形面积相等求出可判断A；求出可判断B；由余弦定理得，平方关系求出，得的外接圆半径，利用可判断C；利用可判断D. 【详解】取边的中点，连接， 因为，所以内心P、外心O、重心G都在中线上， 且，，内切圆半径， 对于A，由得 ，解得，故A正确； 对于B，因为，所以， ，故B正确； 对于C，由余弦定理得， ，所以， 所以的外接圆半径， ，所以， 所以， ，故C错误； 对于D，的外接圆半径， ，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出内心P、外心O、重心G都在中线上. （23-24高一下·浙江绍兴·期中）在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ）小试牛刀2 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】本题根据O是BC的中点，结合给定的向量条件式，即可判断动点M的轨迹. 【详解】因为，所以， 又因为O是BC的中点，所以直线MO是BC的中垂线， 故动点M的轨迹必通过的外心. 故选：B. （2025·广东江门·模拟预测）已知点分别是的外心，重心，，则的值为 .小试牛刀3 【答案】/ 【分析】设的中点为，连接，，由为的重心可得，由于为的外心，过点作，垂足为，可得，同理可得，进而求解即可. 【详解】设的中点为，连接，， 由于为的重心，则一定在线段上，且， 所以， 由于为的外心，过点作，垂足为，则为中点， 则， 同理可得， 则. 故答案为：. 【热点题型4：奔驰定理与三角形内心】 （2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则 ， ．经典例题例题 【答案】 ； 【分析】根据三角形内心向量表示式，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】， 即． 又因为是三角形的内心， 所以， 则有，解得，． 故答案为：； 【规律方法总结】 方法技巧： 1.内心的奔驰定理特征：若为的内心，a、b、c分别为中角A、B、C对边的边长，则. 2.面积关系：内心对应的三角形面积比为（内心为角平分线交点，到各边距离相等，面积比等于边长比）. 3.应用技巧：遇角平分线或内切圆相关问题，优先利用内心的奔驰定理向量式，将边长与向量系数关联. （2025高三·全国·专题练习）在中，I为的内心，若，则 .小试牛刀1 【答案】 【分析】根据内心的性质和向量关系可得到三角形三边的比值，然后根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，从而得出的值. 【详解】根据题意，画出图形为： 因为是的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知， 若，则，分别为三角形三边的长度. 因为，所以， 根据勾股定理的逆定理，则. 故答案为：90°. （24-25高一下·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的 .（填:重心、内心、外心或垂心）小试牛刀2 【答案】内心 【分析】利用单位向量和加法运算的几何意义得平分，从而得结论. 【详解】分别表示同方向的单位向量， 故平分，即平分， 所以直线一定经过的内心. 故答案为:内心. （2025高一·全国·专题练习）设为的内心，且，则角为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由内心的向量表示可得，结合余弦定理的推论计算即可得. 【详解】∵为的内心， ∴， ∴， 设，（）， 则， 又，所以. 故选：B. 【热点题型5：奔驰定理与三角形垂心】 （2025高三·全国·专题练习）已知点在内，且是的垂心，若，则 ．经典例题例题 【答案】 【分析】利用五心的向量表达式可求，利用两角和的正切公式得，进而得，即可求解. 【详解】依题意，取的中点，取的中点，连接， 则， 因为，所以，所以. 所以三点共线，且，连接，则，且， 所以， 如图，延长分别交于点， 在线段上取，使得.连接， 取的中点，取的中点，连接，    则， 因为，所以， 所以三点共线，且， 因为为的中点，所以，且，所以， 所以， 综上可得， 设， 因为， 整理得，可得，因为， 所以．又，所以，所以． 故答案为：. 【规律方法总结】 方法技巧： 1.垂心的向量特征：若为的垂心，则（垂心为高的交点，邻边向量数量积相等）. 2.奔驰定理对应关系：垂心对应的三角形面积比为（A、B、C为的内角，需注意三角形为锐角三角形时值为正）. 3.向量式表达：结合奔驰定理，垂心满足. （2025高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ）小试牛刀1 A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】B 【分析】根据数量积的运算可得，进而根据可得，结合垂线的定义即可求解. 【详解】由 ， 则，即， 故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：B （2025高三·全国·专题练习）已知在同一个平面上有和一点，且满足关系式：，则为的（    ）．小试牛刀2 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据可得，同理根据可得：，所以为的垂心. 【详解】由 ， ，所以. 同理由可得：. 所以为的垂心. 故选：D （2025高一·全国·专题练习）已知为的垂心，，，若，则 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】设，根据向量线性运算得到，并结合余弦定理求出，，，根据得到方程组，求出，，从而得到答案. 【详解】因为，设， 所以，故． 其中， 故， 又， 故，同理可得， 而， ， 联立方程解得，，所以． 故答案为： 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）若是的重心，且（为实数），则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用三角形重心的性质以及平面向量基本定理即可求得. 【详解】 如图，延长交于点，因是的重心，则点为的中点， 则，代入整理得， 因点在上，故得，则. 故选：B 2．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】先转化为共起点的向量，再利用三角恒等变换化简有序数对，最后等式两边点乘对边向量，由数量积的值进行判定． 【详解】 原式变形为： ． 因为 ， 所以 ， 同理，， 所以 （其中为的中点，内角的对边分别为）． （由三角形的高得到，即）， 即． 同理，，其中为的中点． 所以是的外心， 故选：A． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】先转化为共起点的向量，对其两边点乘对边向量，提取公因式，再由数量积的值进行判定． 【详解】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 4．（2025高三·全国·专题练习）在中，为线段上的一点，满足，，，为上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积公式和向量的四则运算可得是的内心，根据内切圆的性质解出，再利用数量积公式和几何性质化简即可求解. 【详解】由可得， 所以， 又，即， 所以在的平分线上，所以是的内心， 如图所示，的内切圆与三边分别相切于点， 由题意可得，解得， 所以， 故选：B 5．（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】B 【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形四心的性质即可判断. 【详解】因为，所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即为的中线上的点，且， 所以为的重心； 因为，所以，所以是的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得，，所以是的垂心. 故选：B 6．（24-25高一下·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且 ，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 【答案】D 【分析】根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 利用数量积的定义可判断为内心. 【详解】 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心， 故选：D 7．（24-25高一下·湖北武汉·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交与点，结合三角形面积公式得，再由已知有，最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值. 【详解】∵是的垂心，延长交与点，   ，同理， ∴，又， ∴，又， ∴， 不妨设，，，其中， ， ∴，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 故选：B 二、多选题 8．（22-23高一下·福建福州·月考）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则动点的轨迹经过的内心 B．若O为平面内任意一点，，则点为的重心 C．若为的垂心，，则 D．若为锐角的外心，且，则 【答案】BCD 【分析】根据三角形中中线的向量表示可判断A；根据向量的线性运算得到可判断B；根据，计算可判断C；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断D. 【详解】对于A选项，设中点为，如图， 则，， 所以P点轨迹经过三角形的重心，故A不正确； 对于B选项，， 可得 ，即，所以点为的重心,故B正确； 对于C选项，因为，，又因为为的垂心， 所以，所以，故正确； 对于D选项，因为且， 所以，整理得：，即， 设为中点，则，所以三点共线，如图， 又因为，所以垂直平分，故，正确. 故选：BCD 9．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若是的重心，则 C．若为的垂心，，则 D．若分别表示的面积，则 【答案】BCD 【分析】对于A，由数量积的定义，可得夹角余弦值小于零，可得其正误；对于B，由重心的性质，根据平面向量的加法，可得其正误；由垂心的定义，根据数量积定义式以及锐角三角函数，可得其正误；对于D，由平面向量的加法与数乘，可得点的位置，根据三角形的等积变换，可得其正误. 【详解】对于A，由，则，即， 所以仅仅只可得一个角为锐角，故A错误； 对于B，由题意可作图如下： 则为的中点，且，所以，故B正确； 对于C，由题意可作图如下： 则，所以，故C正确； 对于D，由题意可作图如下： 则分别为的中点，， 可得为上靠近的三等分点，易知，即，故D正确. 故选：BCD. 10．（24-25高一下·山东·月考）点O，H分别是的外心、垂心，则下列选项正确的是（    ）． A．若且，则 B．若，且，则 C．若，，则的取值范围为 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据向量的运算以及基本定理的推理，确定的位置可判断；根据条件可得，结合数量积的运算可判断；建立坐标系，将用三角函数表示出来，根据三角函数的性质可判断；根据垂心的性质，得，再结合数量积公式求解可判断. 【详解】对于：由可知，点共线， 由可知，点在的平分线上， 所以为的角平分线，所以与不一定相等，故错误； 对于：若，则为的中点， 又为的外心，所以， 所以，故错误； 对于：因为，所以， 如图，建立平面直角坐标系， 设，，， 因为，所以， 得， 所以， ，， 所以，故错误； 对于：因为，所以， 即，则， 同理可得， 所以， 设， 因为，所以， 即，则， ， 即，则， 所以. 因为，所以，故正确. 故选：. 11．（24-25高一下·安徽合肥·月考）已知P为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（   ） A．若P为的垂心，，则 B．若P为锐角的外心，且，则 C．若P为的重心，则 D．若，则点P的轨迹经过的内心 【答案】AB 【分析】根据计算可判断A；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断B；由重心的性质可知可判断C；设中点为，根据题意计算得，进而得可判断D． 【详解】对于A选项，因为，又因为为的垂心，所以， 所以，故A正确； 对于B选项，因为且， 所以，整理得：，即， 如图所示，设为中点，则，所以三点共线， 又因为为锐角的外心，则，所以垂直平分，故，故B正确； 对于C选项，如图所示，设中点为，则，由重心的性质可知，故C错误； 对于D选项，因为 ， 如图所示，设中点为，则，所以， 所以， 所以，即， 所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，故D错误． 故选：ABC. 12．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则点是的垂心 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 【答案】ABD 【分析】根据向量数量积的运算，结合三角形内心，外心，垂心和重心的性质，即可判断选项. 【详解】A.由， 即，同理，，则点是的垂心，故A正确； B. 若，则点是垂直平分线的交点，则，故B正确； C.由正弦定理得，故， 故， 取的中点，则， 故点在的中线上，则动点的轨迹经过的重心，故C错误； D. 设的中点为，， 所以， ， ， 所以， 故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确. 故选：ABD 13．（25-26高一·全国·假期作业）以下命题中，正确的有（ ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 【答案】ABD 【分析】根据三角形重心的性质可得，结合奔驰定理可判断A; 设点P到边的距离分别为，结合三角形面积公式可得，与条件比较，可判断B;由化简得，和奔驰定理比较可判断C;由三角形外心性质结合三角形面积公式可判断D. 【详解】对于A：是的重心，则, 代入就得到，故A正确； 对于B：设点P到边的距离分别为， 由得，， 即， 与已知条件比较知，，则是的内心，故B正确； 对于C：，即， 与比较得到，，故C错误； 对于D：是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为， 所以， 代入奔驰定理即可得到，故D正确， 故选：ABD. 如图，为内任意一点，角的对边分别为， 则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理. 14．（2025高三·全国·专题练习）（多选）奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则．如图，设是内一点，的三个内角分别为，，，的面积分别为，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】AD 【分析】根据奔驰定理即可求解A，根据重心的性质即可求解B，根据外心的性质，结合三角形面积公式可求解C，利用面积公式，结合内心的性质求解D. 【详解】对于A，由奔驰定理可得，， 因为不共线，所以，故A正确； 对于B，若是的重心，则，因为， 消去，可得，即三点共线，与题意不符，故B错误； 对于C，当为的外心时，，所以， 故由A项结论，， 即，故C错误； 对于D，当为的内心时，， 因，（为内切圆半径，分别为角的对边）， 则，所以，即，故D正确． 故选：AD 15．（25-26高三上·山东青岛·月考）在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（   ） A．若点O为△ABC的重心，则 B．若点O为△ABC的外心，则 C．若点O为△ABC的垂心，则 D．若点O为△ABC的内心，且，则 【答案】ACD 【分析】A选项，根据重心性质和向量的平行四边形法则来判断；B选项，根据外心性质和向量的数量积运算法则求解即可；C选项，根据垂心性质和向量的数量积运算法则求解即可；D选项，根据三角形内心的性质及向量三点共线求系数和即可. 【详解】A选项，如图1，设BC中点为D，则，由于点O为△ABC的重心，则，所以，A选项正确； B选项，如图2，设AB中点为E，由于点O为△ABC的外心,则垂直，，B选项错误； C选项，如图3，作，垂足为，则在上，在△ABC中由余弦定理可得，在直角△ACF中，， 所以，C选项正确； D选项，如图4，设△ABC的内切圆半径为，由可得， 则，， 由，且为三角形内角，可得，， 则， 延长交于点， 则即， 则，则， 由于B、C、G三点共线，则，，D选项正确； 故选：ACD. 16．（2026高三·全国·专题练习） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】ABC 【分析】对于A，取中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，由题意可得，再由三角形的面积公式可得 ，，设，可得，进而可得，，，即可判断；对于D，设的外接圆半径为，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断. 【详解】A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线， 所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为的垂心，， 则， 如图，⊥，⊥，⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若，，M为的外心， 则， 设的外接圆半径为，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：ABC 17．（25-26高三上·安徽·月考）在中，角的对边分别为，点为内部一动点，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的中点，则 B．若点为的内心，则 C．若，则点过的外心 D．若为锐角三角形，点为的垂心，则 【答案】ABD 【分析】利用平面向量的加减运算判断A，利用内心的性质判断B，结合角平分线的性质判断C，利用锐角三角形结合垂心的性质判断D即可. 【详解】对于A，点为的中点，，，， ，， ，故A正确； 对于B，若点为内部一动点，且， 设，，， ∴点为的重心，可得， 分析可得，，， ，可得， ，又∵点为的内心， 的高相等，都为内切圆的半径， ，可得， 可得，故B正确； 对于C，由题意得， 其中表示角的平分线所在直线上的向量，过的内心，故C错误； 对于D，由B可得，，， 而点为的垂心，如图，连接与相交于点，    则，而，， ， 又，， ，， 同理可得，， ， ，故D正确． 故选：ABD 三、填空题 18．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）若O为的外心，且，则 ． 【答案】0 【分析】根据已知条件判断三角形的形状，进而计算向量的数量积. 【详解】由得即， ∴点是的中点， 故是直角三角形，且， ∴, 故答案为：0. 19．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角 . 【答案】 【分析】根据三角形的重心求得，再利用余弦定理来求得正确答案． 【详解】因为G是的重心，所以有. 又，所以. 设，则有.由余弦定理，可得，， 所以. 故答案为： 20．（2025高一·全国·专题练习）在中，已知，，分别是的重心和外心，则 ． 【答案】2 【分析】记的中点为，根据重心和外心的性质得到，，从而利用向量数量积公式得到答案. 【详解】因为是的重心，所以． 记的中点为，则． 因为是的外心，所以，即． 于是 . 故答案为：2 1 学科网（北京）股份有限公司 $