精品解析：河北省邢台市名校协作体2026届高三上学期模拟考试（一模）数学试题

2026届高三年级上学期模拟考试 数 学 试 题 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法计算即可求解. 【详解】由，得， 即，得. 故选：A 2. 已知集合 ，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式即可化简集合，根据集合交集的概念计算即可得，从而可得子集个数. 【详解】解不等式可得 ，所以， 因为，所以， 故的子集为，故子集个数为 . 故选：C. 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 的幂指数等于0，求得 的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得 ， . 故选：B. 4. 已知为坐标原点，为抛物线 的焦点，为上一点，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据焦半径公式可得，代入抛物线可得，进而可得. 【详解】设，因为，所以，解得， 因为为上一点，所以，故. 故选：B 5. 函数图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分离常数项化简函数解析式，根据函数图像变换，结合奇函数的对称性，可得答案. 【详解】， 易知函数的图像可由函数向左平移个单位，再向下平移 个单位得到， 由奇函数的图像关于成中心对称，则函数的图像关于成中心对称. 故选：D. 6. 已知直线与圆 ，圆 的交点从左到右依次为A，B，C，D，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，利用几何法求出直线与圆和相交的弦长，得解. 【详解】由圆，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 同理，圆 的圆心为，半径，圆心到直线的距离， 所以，， . 故选：B. 7. 若函数 在 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化成正弦型函数的解析式形式，结合函数零点的定义、换元法，特殊角的正弦函数值进行求解即可. 【详解】 ， 令，得， 因为函数 在 上恰有两个零点， 所以方程在内有两个不相等的实根， 因为， 所以， 所以有. 故选：A 8. 若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当 时，， 则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求即可求出. 【详解】， ， ，即， 在上的投影向量为， ，即， 整理得：，化简得：， ， ， ， ， ， ， 令，则， 时，， ， 解得：. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且到双曲线渐近线的距离为2，则（ ） A. B. 若过且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点，则 C. 若为双曲线上一点，且，则或 D. 若第一象限的点在双曲线上，且，则点的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线焦点到渐近线的距离可得的值，从而确定双曲线方程，根据双曲线的定义、通径长、双曲线上点的坐标特点逐项判断即可得结论. 【详解】双曲线的焦点到双曲线渐近线的距离为，故 ，故A正确； 由于，所以，故， 若过且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点，则代入双曲线方程，可得， 不妨取，则，故正确； 若为双曲线上一点，且，当在双曲线的左支上时，， 因为点到焦点距离的最小值为，所以不符合题意，舍去； 当点在双曲线的右支上时，，经检验符合题意， 综上，，故C不正确； 设，且，则， 因为，又， 所以， 则由，解得，则点的坐标为，故D正确. 故选：ABD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，为的中点，则（ ） A. B. 直线与所成角的最大值为 C. 过点作该正方体的截面，则截面的面积为 D. 三棱锥 外接球半径的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以 为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求出，求出利用向量法即可判断A；求出利用向量法即可判断B；找到截面，即等腰梯形，求其面积即可判断C；设球心，利用两点间距离公式求出 ，建立等式求出的范围进而求出半径的范围，即可判断D. 【详解】以 为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，所以， 设，其中，即， 所以点， 又，，， 所以，， 所以， 所以，故A正确； ， 因为，所以， 所以， 函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， 所以， 所以， 当时，直线与所成角最大， 因为，故直线与所成角的最大值不为，故B错误； 取 中点，连接， 因为为的中点，所以 ， 截面即为四边形， 又 ，所以， 又因为，故四边形为等腰梯形， 如图，作，垂足为 ， 所以， 所以， 所以等腰梯形的面积， 即截面的面积为，故C正确； 取 的中点，因为 为直角三角形，所以为 外接圆的圆心， 设外接球的球心为，根据外接球的性质，则平面 ， 设球心， 则， ， 因为 ，所以， 即， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值， 所以，所以， 即三棱锥 外接球半径的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 11. 在锐角三角形 中，角 所对的边分别为且则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用二倍角公式化简，结合基本不等式及三角函数的取值范围确定，的值，然后利用正弦定理将表示成 的函数即可求出的取值范围，最后利用余弦定理，借助二次函数即可求出的取值范围. 【详解】对于A B， ， 整理得：， 是锐角三角形， ,则， , 由基本不等式得：， 当且仅当时等号成立， ，，又，， ，即时，，故A正确，B错误； 对于C， ，,, ， , 是锐角三角形，, ，， 的取值范围为，故C错误； 对于D，由余弦定理得：， 即， 的取值范围为， ， 当时，，当时，，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，且，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解即可. 【详解】因为随机变量，所以， ， 所以. 故答案为：. 13. 已知数列的前n项和若，则的所有可能值为________. 【答案】 或 【解析】 【分析】利用公式可得数列的通项公式，根据质因数分解以及数列的性质，可得答案. 【详解】当时，； 当时，， 易知满足上式，可得， 可得， 由，则 不妨设，解得，所以； 不妨设，解得，所以. 故答案为： 或. 14. 若函数在定义域内有零点，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式形式，利用同构函数法，结合函数的零点定义、导数的性质进行求解即可. 【详解】函数的定义域为. 令 ， 令，于是有， 设函数，因此函数是实数集上的增函数， 所以由， 由， 当时，由， 设， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此，且 ，当 时， ，当时， ， 函数在定义域内有零点， 转化为函数在时，与直线有交点，如下图所示： 根据数形结合思想可知：当时，函数在时，总与直线有交点， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校对某次高三质量检测化学考试成绩进行了汇总，并将化学成绩按赋分规则转换为等级分数(赋分后学生的等级分数全部位于内)，整理后得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中m的值，并估计该校高三学生化学等级分数的第70百分位数； （2）用分层随机抽样的方法从等级分数位于内的学生中随机抽出8人，再从这8人中随机抽出3人，记ξ为这3人中等级分数位于内的人数，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】（1），； （2） 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率和为1可求的值；根据百分位数的定义求第70百分位数； （2）先按抽样比算出各层样本数，可得 的可能取值为 ，写出分布列，算出期望即可. 【小问1详解】 由题可得，解得； 数据小于70的占比为， 数据小于80的占比为， 所以第70百分位数位于区间内，记为 ， 则，解得. 所以估计该校高三学生化学等级分数的第70百分位数为75. 【小问2详解】 因为，两组的频率之比为， 所以从，两组中抽取的人数分别为6，2. 由题意 的可能取值为 ， 且，，， 所以 的分布列为： 1 2 3 所以. 16. 已知函数在处取得极小值. （1）求的值; （2）证明：时，. 【答案】（1） （2） 由（1）知， 证，即证， 即证，即证. 设，则， 令，得或， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，所以. 所以当时，. 【解析】 【分析】（1）先进行求导，根据极值的定义，求解的值，将的值进行检验得出结果； （2）将不等式进行转化，构造函数，利用导数研究函数的性质，总结得出结论即可. 【小问1详解】 由题知，则，又因为，所以. 检验：若， 则， 当 时，单调递减，当时，单调递增， 为的极小值点，符合题意. 所以：. 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，，， ， ， . （1）证明：平面 平面 . （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. （3）在棱 上(不含端点)是否存在点，使得 平面 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为 平面 ，平面 ，所以 ， 因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，平面 ，所以平面 平面 ； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，由，可得，求出平面法向量，由面面角向量法计算即可求解； （3）设 ，由线面平行向量法建立等式计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 平面 ，，所以 两两互相垂直， 以为坐标原点， 分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， ， ，设 ， ， ， 因为 ，所以 ，解得，所以 ， 所以 ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则，令 ，则 ， 所以平面 的一个法向量为 ， 由题意可得 可以为平面 的一个法向量， 设平面 与平面 所成锐二面角为 ， 则， 所以平面 与平面 所成锐二面角为； 【小问3详解】 设 ，因为点 在棱 上(不含端点)，所以， 设 ，则 ， ， 因为，所以 ， 则 ，所以 ， 则 ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则，令 ，则 ，， 所以平面 的一个法向量为 ， 若 平面 ，则 ， 即 ，解得， 所以存在点 ，且. 18. 已知椭圆（）M，N分别为E的上顶点、右顶点，，坐标原点O到直线MN的距离为 （1）求 的方程. （2）若 为 上不同的两点，的面积为直线的斜率均存在且分别为. （i）证明：为定值； （ii）设P为线段的中点，点，求 面积的最大值. 【答案】（1） ； （2） （i）①若直线的斜率不存在，设点， 则，又因为，可解得， 由对称性，不妨取，即， 此时；若取，同样可求得； ②若直线的斜率存在，可设直线，点， 联立直线与椭圆 ，整理得， 而，得， 根据韦达定理且直线的斜率均存在，有，则， 得到， 得， 整理得， 则 ，因，故， . 综上所述，，得证. （ii）. 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理以及等面积法，建立两个方程，即可得解； （2）（i）分直线斜率不存在与斜率存在两种情况讨论：①若斜率不存在，可根据求出 两点坐标，即可求得；②若斜率存在，可设出直线与点 ，联立直线与椭圆，根据韦达定理及三角形面积公式表示出，再由建立方程，即可求得与的关系，再根据韦达定理表示出，化简后即可得证； （ii）分直线斜率不存在与斜率存在两种情况讨论：①若斜率不存在，根据（i）中求得的 两点坐标，可求出；②若斜率存在，可根据韦达定理以及与的关系表示出点，再运用点到直线的距离公式表示出点到 的距离，再利用三角形面积公式与基本不等式，即可求得斜率存在时的最大值，比较两种情况下的最大值即可得解. 【小问1详解】 由题可知，，， 即，解得， 则椭圆. 【小问2详解】 （i）略 （ii）①若直线的斜率不存在，由（i）可知， ，则， 此时； ②若直线的斜率存在，由题可知，直线，， ，故， 又因为，故，点到直线 的距离， 因此， 由对称性，不妨假设，则， 因此， 令，则，则， 要使得面积最大，则 ，， 当且仅当，即 时，等号成立，则的最大值为. 综上所述，因为，故 面积的最大值为. 19. 已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列的完美子列. （1）求数列2，3，4，5，6，7的所有完美子列； （2）将数列1，2，3，…，，， ，…，的所有完美子列的个数记为求数列的通项公式； （3）证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列. 【答案】（1）；；；； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据完美子列的定义列出即可； （2）按首项分类，写出首项为时完美子列的个数，发现其满足等差数列，对该等差数列进行求和即可； （3）分，与进行讨论，逐类分析是否可能存在完美子列. 【小问1详解】 该数列的所有完美子列如下：；；；. 【小问2详解】 数列的完美子列 按首项分类，有如下情况： 若首项为，则完美子列为： ；；；；，共个完美子列； 若首项为 ，则完美子列为：；；；；，共个完美子列； 若首项为 ，则完美子列为：；；；，共4个完美子列； 若首项为，则完美子列为：；，共2个完美子列. 因此，. 【小问3详解】 设等比数列的公比为，易知 ， ①当时，若 ，则为非零常数列，即，取出3项后， 由于，即其中任意一项都不等于另外两项之和，因此此时不存在完美子列； 若 ，则为，易知其亦不存在完美子列； ②当时 ，假设存在完美子列. （i）若，当 时，设的一个完美子列为， 则，且， 但事实上，所以上述等式不可能成立，此时不存在完美子列； 当时，此时中项的绝对值随的增大逐渐增大，同理不存在完美子列. （ii）若，由①知不需要讨论的子列中的项全为正数或全为负数的子列， 当的一个完美子列中的项为两正一负时，设该完美子列为， 其中，（点拨：当时，无论的首项是正是负， 数列中的项均为一正一负交替出现，所以不需要再讨论首项与0的大小关系） 此时应有，则，（提示：只有正数中的最大数与负数的和才有可能等于另一个正数）. 若，则， 若，则， 所以等式不可能成立； 同理两负一正的情况也不成立。所以不存在完美子列. 综上，若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级上学期模拟考试 数 学 试 题 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合 ，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 32 3. 的展开式中的常数项为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 4. 已知为坐标原点，为抛物线 的焦点， 为上一点，，则（ ） A. B. C. 4 D. 5. 函数图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆 ，圆 的交点从左到右依次为A，B，C，D，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若函数 在 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当 时，， 则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且到双曲线渐近线的距离为2，则（ ） A. B. 若过且垂直于轴的直线与双曲线交于 两点，则 C. 若为双曲线上一点，且，则或 D. 若第一象限的点在双曲线上，且，则点的坐标为 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点， 为的中点，则（ ） A. B. 直线与所成角的最大值为 C. 过点作该正方体的截面，则截面的面积为 D. 三棱锥 外接球半径的取值范围为 11. 在锐角三角形中，角 所对的边分别为且则（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，且，则________ 13. 已知数列的前n项和若，则的所有可能值为________. 14. 若函数在定义域内有零点，则实数a的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校对某次高三质量检测化学考试成绩进行了汇总，并将化学成绩按赋分规则转换为等级分数(赋分后学生的等级分数全部位于内)，整理后得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中m的值，并估计该校高三学生化学等级分数的第70百分位数； （2）用分层随机抽样的方法从等级分数位于内的学生中随机抽出8人，再从这8人中随机抽出3人，记ξ为这3人中等级分数位于内的人数，求ξ的分布列和数学期望. 16. 已知函数在 处取得极小值. （1）求的值; （2）证明：时，. 17. 如图，在四棱锥 中， 平面，，， ， ， . （1）证明：平面 平面 . （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. （3）在棱 上(不含端点)是否存在点，使得 平面 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知椭圆（）M，N分别为E的上顶点、右顶点，，坐标原点O到直线MN的距离为 （1）求的方程. （2）若 为上不同的两点，的面积为直线的斜率均存在且分别为. （i）证明：为定值； （ii）设P为线段的中点，点，求 面积的最大值. 19. 已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列的完美子列. （1）求数列2，3，4，5，6，7的所有完美子列； （2）将数列1，2，3，…，，， ，…，的所有完美子列的个数记为求数列的通项公式； （3）证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $