精品解析：江苏省锡东高级中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

2025-2026学年第一学期1月阶段性测试 高三数学试卷 命题人：浦春玲 审核人：许薇嫣 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知非零向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. 670 B. 675 C. 2025 D. 4050 6. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 在我国著名的数学论著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知在堑堵中，，，，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 样本数据的下四分位数是 B. C. 甲、乙、丙、丁人站成一排，甲乙相邻，且乙丙不相邻的不同排法共有种 D. 变量关于变量的经验回归方程为．若时，的实际观测值为，则此时的残差为 10. 已知函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 0是的极小值点 B. 有可能有三个零点 C. 当时， D. 若存在极大值点，且，其中，则 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ） A. 当时，曲线与轴有个交点 B. 曲线的图象关于对称 C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于 D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 13. 已知点，，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是______． 14. 已知点是抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），且（其中为坐标原点），点在抛物线的准线上，动点满足：，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且恒成立． （1）求实数m的值． （2）在中，，且，若E为BC中点，求的最大值． 16. 已知数列：1，，，…，，… （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前n项和，求； 17. 如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心. （1）求证：平面； （2）当的长为何值时，二面角的大小为. 18. 已知椭圆的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4 . （1）求的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点. (i) 若的面积是的面积的两倍，求直线的方程; (ii)求面积的最大值. 19. 已知函数. （1）已知直线是曲线的切线，求实数a的值； （2）求函数的单调区间； （3）求证：恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期1月阶段性测试 高三数学试卷 命题人：浦春玲 审核人：许薇嫣 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果. 【详解】因为集合， ，故， 故选：B 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果. 【详解】因为，所以， . 故选：B. 3. 已知非零向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律得到，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，所以，即， 所以在上的投影向量为. 故选：C 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式和特值法，结合充分条件与必要条件的定义可得答案. 【详解】若，取，则，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， ∴若，则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. 670 B. 675 C. 2025 D. 4050 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 6. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的方程，求得，进而得到， ，再利用双曲线的定义，以及双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】由题意，直线过左焦点且倾斜角为60°， ∴，，∴，即 ∴，∴， 双曲线定义有，∴离心率. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)． 7. 在我国著名的数学论著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知在堑堵中，，，，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得底面为正三角形，且边长为，即可求出外接圆的半径，设三棱锥的外接球的半径为，则，从而求出，再由表面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以，则， 又为的中点，所以，所以底面为正三角形，且边长为， 则外接圆的半径， 又平面，，设三棱锥的外接球的半径为， 则，即，解得， 故外接球表面积为. 故选：D. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 样本数据的下四分位数是 B. C. 甲、乙、丙、丁人站成一排，甲乙相邻，且乙丙不相邻的不同排法共有种 D. 变量关于变量的经验回归方程为．若时，的实际观测值为，则此时的残差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将样本数据从小到大排序，然后利用百分位数求解即可得出选项A，利用组合数的性质计算即可得出选项B，先算出甲乙丙丁4人站成一排，甲乙相邻的总排法，然后计算乙丙也相邻的情况，相减即可得出选项C，先计算出预测值，然后根据残差的定义计算即可得出选项D. 【详解】选项A，将样本数据从小到大排序为：， 由：， 所以样本的下四分位数是，故A选项不正确， 选项B，由 ， 故B选项正确， 选项C，甲、乙、丙、丁人站成一排，甲乙相邻的总排法有种， 其中乙丙也相邻的情况有种， 因此甲乙相邻且乙丙不相邻的不同排法共有种， 故C选项正确； 选项D，当时，预测值为，而实际观测值为6， 则残差为，故选项D正确， 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 0是的极小值点 B. 有可能有三个零点 C. 当时， D. 若存在极大值点，且，其中，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】讨论a的取值情况，利用导数研究函数的单调性和极值，进而判断A，B；当时，利用导数得到函数的单调性，判断，的大小关系，进而判断C；若存在极大值点，则，即，因为，化简等式，即可判断 【详解】解：由题意可得， 令，当时，得或， 对于A，当时， 令，解得或，则在和上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 所以在处取得极小值， 同理，当时，在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值； 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故A正确； 对于B，当时， 在和上单调递增，在上单调递减， 当，，且先增后减再增，且在处取得极小值，此时只有一个零点. 同理，当时，在和上单调递减，在上单调递增，先减后增再减，且在处取得极小值, 当，，此时此时只有一个零点. 当时，，没有零点，故B错误； 对于C，当时，在上单调递减， 又，，所以，故C正确； 对于D，若存在极大值点，则，即， 因为，所以， 所以，， 即， 又，所以，故D正确. 故选： 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ） A. 当时，曲线与轴有个交点 B. 曲线的图象关于对称 C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于 D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值大于 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，解方程，可判断A选项；利用曲线的对称性可判断B选项；在曲线上的一点，可得出，利用导数求出函数在上最小值的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，在曲线的方程中，令，可得， 解得，所以当时，曲线与轴有个交点，A错； 对于B选项，在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为，即点也在曲线上， 所以曲线的图象关于直线对称，B对； 对于CD选项，当时，在曲线上的一点，则， 则，其中， 令，其中，则， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在使得，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 因为，所以，则， 所以， 所以，，且， 故，CD都对. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设等式利用诱导公式和辅助角公式推得，其中，求出，再由同角三角函数计算即得. 【详解】由可得， 则，整理得，其中， 故，解得， 于是. 故答案为： 13. 已知点，，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】因为，则点在以为直径的圆：上，又点在圆上，故转化为两圆有公共点问题，即可求解. 【详解】因为则点在以为直径的圆：上，设则，又点在圆上，故两圆有公共点， 所以，即，解得 故a的取值范围是： 故答案为： 14. 已知点是抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），且（其中为坐标原点），点在抛物线的准线上，动点满足：，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理结合可求出的值，可得出抛物线的方程，求出点的坐标，设，可得出，结合平面向量数量积的坐标运算和二次函数的基本性质可求得结果. 【详解】令、，易知点，直线的方程为， 联立与可得， 故，， 由，即， 故抛物线方程为． 由题意可知，，，解方程可得，， 所以，，所以． 设，由，则，即， 所以，， 可得， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且恒成立． （1）求实数m的值． （2）在中，，且，若E为BC中点，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再由辅助角公式，可得，联立即可求得； （2）先由条件求得，利用余弦定理推得，借助于基本不等式求出的最大值，再由线段中点的向量表达式，应用数量积的运算律即可求得的最大值. 【小问1详解】 对于函数，因恒成立， 则， 又因，其中， 依题意，，两边取平方，， 整理得，解得. 【小问2详解】 由（1）可得， 由，可得，因，则得，解得， 设的三个内角所对的边分别为，则， 由余弦定理，，即（*）. 由基本不等式，，即， 当且仅当时，等号成立. 又因E为BC中点，则，两边取平方，可得： ， 将（*）代入，可得， 故当时，取得最大值为. 16. 已知数列：1，，，…，，… （1）求数列的通项公式； （2）设，为数列的前n项和，求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用观察法及等差数列前n项和公式求解. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 依题意，. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 因此， 两式相减，得 ， 所以. 17. 如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心. （1）求证：平面； （2）当的长为何值时，二面角的大小为. 【答案】（1）证明：连接交于点，由重心性质可得是的中点， 又点是的中点，点在线段上且，可知是的重心； 连接，可知点在上，如下图所示： 由重心性质可得，，所以； 又平面，平面， 所以平面； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据重心性质以及线段比可知是的重心，再利用线段比例关系以及线面平行判定定理可得结论； （2）建立空间直角坐标系利用二面角的向量求法，由二面角的大小为解方程即可得满足题意. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面是边长为2的等边三角形，所以； 又平面，且分别为的中点，所以可得平面；即两两垂直； 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设的长为， 则可得，所以； 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 即可取， 易知平面的一个法向量为； 所以，解得或（舍）； 即当的长为3时，二面角的大小为. 18. 已知椭圆的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4 . （1）求的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点. (i) 若的面积是的面积的两倍，求直线的方程; (ii)求面积的最大值. 【答案】（1） （2）(i) 或；(ii) 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义得到，由离心率得到，由的关系得到，从而得到椭圆的方程； （2）(i)设，与椭圆方程联立得到，，由得到，代入，解出的值，得到直线的方程； (ii)由点坐标表示出点坐标，得到直线的方程，令得到点的坐标，利用弦长公式表示出，利用点到直线的距离公式得到三角形的高，从而表示出三角形的面积，利用换元和对勾函数性质得到面积最大值. 【小问1详解】 由题意得，所以， 又因为，所以，， 所以的方程为. 【小问2详解】 (i)当直线与轴垂直时，此时四点共线，不合题意； 当直线与轴不垂直时，设，， 不妨设点在轴上方，点在轴下方，即， 联立，消去并整理得， ，， 因为，即，所以， 所以，， ，， 所以解得，， 所以或， 即直线的方程为或 (ii) 因为，所以， 又因为，所以，所以， 令得， 因为，，所以， 所以， 所以， 又因为， 点到直线的距离， 所以， 令，则， ， 因为，，当时，，所以在上单调递增， 当时，取到最小值，此时取到最大值为. 19. 已知函数. （1）已知直线是曲线的切线，求实数a的值； （2）求函数的单调区间； （3）求证：恒成立. 【答案】（1） （2）在上单调递减，在上单调递增 （3）证明：恒成立， 恒成立恒成立. 令， 则， 令，则单调递增， 又，当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 恒成立. 【解析】 【分析】（1）由求得切点的坐标，代入切线方程求得. （2）利用多次求导的方法求得的单调区间. （3）将恒成立的不等式转化为，利用构造函数法，结合多次求导的方法来求得正确答案. 【小问1详解】 ， ，解得切点为， . 【小问2详解】 ， 当时，单调递减， 当时，， 单调递增，单调递递增. 综上所述，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：切点与切线的关系：在小问1中，利用导数求出曲线在给定直线为切线时的斜率，再通过求解切点的方法确定参数的值，这是典型的求切线与曲线关系的方法. 多次求导法：在小问2中，通过对函数进行多次求导，判断导数的符号变化来确定单调区间，是分析函数单调性的常用手段. 构造函数法求证不等式：在小问3中，通过将不等式转化为关于某变量的函数问题，利用构造函数并结合单调性分析来证明恒成立，是一种常用的不等式证明方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $